diciembre 2024 - Matías Raja

Podía habernos pasado a cualquiera

Parental advisory: contenido sólo para adultos. Es bien sabido que el rey Alfonso XIII era aficionado al cine porno. Hay que matizar que en esta época se trataba de filmes mudos, en blanco y negro. Un día reparó el rey en que uno de sus actores favoritos, posiblemente un señor con mostacho que actuaba en camiseta de tirantes, había dejado de aparecer en las películas que periódicamente recibía desde USA. Tras indagar Casa Real en los motivos, se supo que el intérprete estaba en la cárcel como consecuencia del fatal desenlace durante la ejecución de un atroz ejercicio erótico. Informado del asunto el monarca, con el semblante serio, visiblemente preocupado, tras unos segundos de reflexión dijo con gravedad: podía habernos pasado a cualquiera.

Después de escribir el post Tres canciones de amor y una carta inquietante, pensé que un buen tema para seguir con la música (aunque no en otra parte 😉 — perdón por chiste fácil) podría ser el de las canciones que cuentan historias. Pero no cualquier historia, sino aquellas plausibles que, al contrario que en la «anécdota», por llamarla de algún modo, de Alfonso XIII, sí que podrían habernos pasado… perdón, haberle pasado a cualquiera entre allegados y conocidos. He escogido ocho temas de estilos musicales diversos cuyo denominador común es, además de que me gustan, la factibilidad de su relato. Juzgue el lector si esto es así o exagero.

La fuerza del destino – Mecano

Un día conoces a alguien, pero ese primer encuentro no resulta nada memorable. Aún así, parece que el destino se empeña en sigáis tropezando y eventualmente surge el amor. Evidentemente, esta es una historia que podría contar casi cualquier pareja, mientras aún lo son. Por eso, el tiempo transcurrido desde la presentación hasta el primer beso es un valor añadido, sobre todo si se cuenta en años 🙂

Este tema compuesto por Nacho Cano apareció en 1988 en el album «Descanso dominical», que representa el cénit de Mecano. El videoclip de la canción es la primera actuación de una jovencísima Penélope Cruz que, que al igual que en la historia escenificada, mantendría unos años después una relación con el propio Nacho.

Misunderstanding – Genesis

También puede suceder que tras la primera cita, tú y la otra persona tengáis percepciones muy diferentes de lo sucedido. Tu acompañante entiende que el encuentro ha sido tan desastroso que ni merece la pena dar un finiquito explícito. Tú, por tu parte, te quedas esperando bajo la lluvia… ¿Un malentendido?

Este tema de Genesis de 1980 me fue sugerido por mi amigo y fiel lector Pedro Fernández cuando le hablé de la idea de este post. Entono un sentido mea culpa por no haberlo incluido en el momento de la publicación. Merece la pena ver el videoclip para saber cómo era Phil Collins de joven.

Budapest – Jethro Tull

De viaje por el extranjero conoces a una persona interesante o atractiva, o ambas cosas. La comunicación no verbal es fluida, pero difícilmente podéis mantener una conversación por la incómoda barrera del idioma. Quizás quieras algo más, pero la otra persona tiene claro que tú estás simplemente de paso y no hay que dejar que se compliquen las cosas… Aún así, el viaje será inolvidable.

Según cuenta Ian Anderson, líder, voz y flauta de Jethro Tull, esto pasó durante un concierto en Budapest en 1986. La chica tenía impresionada a toda la banda y así ha quedado inmortalizada en la canción. Por mi parte, yo descubrí este tema en Burgas (Bulgaria) junto al Mar Negro, disfrutando de rakia casera mientras trataba de poner en orden mis pensamientos.

He’s on the Phone – Saint Etienne

Una pareja acaba de tener un encuentro furtivo en un hotel. Él, posiblemente casado, está al teléfono para que no se note su ausencia del trabajo. Ella, universitaria, intenta irse sin hacer ruido. La cita fue iniciativa suya, sabe que se ha metido en un lío tremendo, pero en el fondo le gusta… ¿Es la vida complicada o la complicamos nosotros?

Canción de 1995 cuya melodía está tomada del tema Week-end à Rome del cantante francés Etienne Daho, que tiene una pequeña intervención en la versión inglesa. En cuanto a las letras, lo único en lo que coinciden es en la práctica del sexo en un hotel. El vídeo musical es para lucimiento de Sarah Cracknell, la cantante de Saint Etienne, a quien no le queda nada mal el estrabismo.

Il giardino proibito – Sandro Giacobbe

Un hombre le cuenta a su esposa que acaba de acostarse con la mejor amiga de ésta. La confesión se convierte en un alegato por el verdadero amor frente a la debilidad de la carne… prefiero no pronunciarme más sobre este tema y que cada palo aguante su vela.

Esta bellísima canción de Sandro Giacobbe aparecida en 1975 no aclara si al final el hombre es perdonado, o no. Forma parte del trío italiano de la «incorrección política» junto con Signora mia, también de Giacobbe, y Bella senz’anima, de Riccardo Cocciante. Todas estas canciones tienen versión en español de sus propios interpretes y numerosos covers, destacando en mi opinión los de Junco, cuyas cassettes pusieron banda sonora a muchos viajes en mi Renault Clio.

Dancing on my own – Robyn

Te han dejado recientemente y estás hecha polvo, pero aún así sales el fin de semana a intentar divertirte y olvidar… no, no haces eso. Realmente, lo que haces es salir por los mismos lugares que solías frecuentar en compañía de tu ex, con la intención de encontrártelo, ver qué hace, con quién está y, sobre todo, que él te vea a ti… o sea, mal.

La cantante sueca Robyn interpreta este tema de 2010 con tanta furia que se diría que la historia le hubiera ocurrido realmente a ella. En estos casos, lo mejor es tratar de pasar página y confiar en La fuerza del destino o leer a Paulo Coelho.

20 de abril – Celtas Cortos

Un día te encuentras flojo de ánimo y no se te ocurre otra cosa que escribirle una carta a tu ex. Peor aún, le pones un sello y la echas al correo (o le das al send). O todavía mucho peor, la conviertes en uno de los temas más famosos de tu banda, como hizo el Cifu.

Este tema de Celtas Cortos forma parte de la banda sonora vital de los que andábamos en los años 90 tratando de que nos pasaran cosas interesantes. Sin embargo, hasta la preparación de este post, desconocía la existencia del videoclip oficial (sinceramente, para mí no responde a la letra) ni de la existencia de una respuesta por parte de la aludida, que pone un contrapunto demoledor: la historia no es siempre como nos empeñamos en recordarla.

Summer Wine – Ville Valo & Natalia Avelon

Una atractiva chica te invita a su casa a probar su summer wine y quizás algo más… eso es lo último que recuerdas cuando despiertas con un dolor de cabeza tremendo y la cartera vacía. Al protagonista del tema le roban incluso sus espuelas de plata, que podría sustituirse hoy día por una cadena de oro con la cruz de Caravaca.

El tema original es de Nancy Sinatra y Lee Hazlewood, de 1966, que podéis ver aquí (úsese el link también en caso de que YouTube no crea que sois mayores de edad). Hay también una versión de Lana del Rey, pero he preferido la del cantante finés de rock gótico Ville Valo y la actriz alemana Natalia Avelon grabado para la banda sonora de Das Wilde Leben (La vida salvaje, muy apropiado), protagonizada también por Avelon. Claramente, el ingrediente llamado angel’s kiss in spring es burundanga.

Otro denominador común

Además de historias que nos podían habernos pasado a cualquiera y gustarme los temas musicales, todo gira alrededor del amor, sus secuelas y sus malinterpretaciones. Por eso cerraré el post con un bonus track indispensable.

Publicado el 28 de diciembre de 2024, Día de los Inocentes, para evitar herir susceptibilidades y con mucho amor 🙂

El *post* tendrá una foto asociada… mejor que sea bonita: vista desde Isla Plana.

¡Felices Fiestas!

Leandro

El pasado domingo fallecía tras una larga enfermedad, como suele decirse en estos casos para no hablar de cáncer, Leandro Marín Muñoz. Con su muerte también se va una parte de mi vida (o de mí mismo, mejor dicho) que, a pesar de pertenecer a un pasado casi remoto, nunca la había dado por acabada. Hasta ahora.

Campus de la Merced, el corazón de la Universidad de Murcia, una mañana de otoño de 1988. Allí unos cuantos esperábamos para entrar al primer examen de la fase regional de la Olimpiada Matemática. Era difícil no fijarse en él, con sus botas militares y su mirada que, además de inteligencia, transmitía una especie de voluntad y determinación férreas. Supongo que algo parecido debieron sentir quienes conocieron a un joven Napoleón Bonaparte o tuvieron frente a sí a un joven Julio César. Leandro había nacido para triunfar y eso es algo difícil de no percibir. Recuerdo años después, en casa de sus padres, como al abrir un armario se desparramaban por el suelo un buen número de diplomas y premios, anteriores a su entrada en la universidad, cuando todavía estudiaba en los Maristas. Por azares de la vida no me pude presentar a la fase nacional de la Olimpiada Matemática. Leandro sí estuvo y al quedar entre los cinco primeros, pudo asistir a la fase internacional que se celebraba ese año en Brunswick, el pueblo natal de Carl Friedrich Gauss.

Compañeros de quinto curso, primavera de 1994. Leandro a la derecha, Antonio pésimamente situado en primera fila (culpa mía como fotógrafo) y, a la izquierda, una posible explicación de mi escaso rendimiento académico…

Volvimos a encontrarnos al comienzo de la Licenciatura en Matemáticas, y siendo él de los pocos que conocía antes de entrar en la universidad, desarrollamos una relación estrecha desde ese mismo momento. Tras los primeros exámenes, parecía claro que estábamos destinados a acaparar las mejores calificaciones de nuestra promoción, con lo que se estableció una sana rivalidad entre nosotros. Mi padre sabía de Leandro, lo consideraba casi un ser mitológico y me preguntaba con frecuencia por él. Curiosamente, la madre de Leandro me revelaba en el tanatorio que en su casa yo tenía una consideración parecida… no obstante, Leandro me ganaba por goleada: no sólo hacía las tareas correctamente, sino que las presentaba impresas mientras que yo entregaba unos tristes folios manuscritos. A pesar de eso y otras distracciones, al final no se me dio tan mal. Leandro y yo fuimos los únicos de nuestra promoción (excluyo algunos compañeros que cambiaron de universidad durante los últimos cursos) que apostamos por realizar el doctorado.

Párrafo escogido por Leandro para la presentación de su tesis doctoral «Categories of Modules for Idempotent Rings and Morita Equivalences».

Compartimos despacho un tiempo, mientras él hacía su tesis en Teoría de Categorías y yo aún no había encontrado mi lugar en la investigación. Nunca supe qué atractivo veía en los diagramas de flechas y esos resultados tan poco intuitivos. Tras el doctorado, no tardó mucho tiempo en escalar posiciones en política universitaria, llegando a decano de la Facultad de Informática, posteriormente vicerrector de Información, Comunicación e Innovación, amén de otros cargos, incluso en la Comunidad Autónoma. En este punto, nuestras trayectorias laborales se separaron bastante, ya que yo opté por una vida académica más tranquila, además de odiar la gestión. Pero en 2004, diez años después de haber acabado la licenciatura, Leandro me pidió que hiciéramos el Camino de Santiago juntos. Era un momento especial para él, ya que Teresa, su esposa, estaba esperando una niña. El relato de esa aventura en uno de los primeros posts de este blog.

Fin de etapa del Camino de Santiago en Burgos, tostados por el sol, con cerveza y morcilla.

Con el nacimiento de Teresita Baby, nos distanciamos un poco más (yo también he experimentado algo parecido desde que Matías Jr. entró en escena). Leandro pasó unos años trabajando para Philips, en Holanda, a donde viajaba frecuentemente. Nunca me dio detalles de lo que hacía allí, respetando el NDA que tenía firmado con la multinacional, pero imagino que tenía que ver con sus capacidades como programador. En una época en la que los monitores de ordenador eran monocromáticos, Leandro escribía comandos en C a velocidad de estenógrafo en una línea infinita (ausencia de retorno de carro) sin mirar al teclado y ni casi a la pantalla. En resumen, Leandro alcanzó el éxito en la vida académica, la alta gestión y en el mundo de la empresa.

Premios 2017 a la Transferencia de Conocimiento, con Leandro (segundo por la izquierda).

Hay muchas más cosas que podría contar de Leandro, pero es momento de ir cerrando el post. Tras la noticia de su muerte se han amontonado los recuerdos en mi mente y la certeza desoladora de que todo eso ha quedado atrás, como mi juventud: ha dejado de ser presente perfecto para ser pasado simple (disculpas por seguir la terminología gramatical inglesa, más adecuada para lo que quiero decir). Aquí queda mi pequeño homenaje al compañero con el que rivalizaba y al amigo al que admiraba.

Tres teoremas de triángulos

Se ha afirmado en ocasiones que la verdad sólo existe en Matemáticas, por ser sus afirmaciones generales, irrefutables y eternas. Si bien esto es discutible desde distintos puntos de vista, hoy no es el día en el que entraremos en ese jardín. Esa verdad en Matemáticas emana de la posibilidad de demostrar las afirmaciones, de razonar a partir de lo que se da por sentado o resulta evidente, para llegar resultados complejos y, en ocasiones, nada obvios. Posiblemente, el primer resultado que se comprendió y motivó la necesidad de argumentar, dando así al comienzo de las Matemáticas como ciencia, fue la observación por Thales de que la igualdad de ángulos implica la semejanza (o proporcionalidad) de triángulos. El conocimiento acumulado en los tres siglos siguientes, sistematizado por Euclides en sus Elementos, se convirtió en el paradigma de teoría matemática. Esto último es también otro asunto muy interesante que no abordaremos aquí. Hoy sólo quiero comentar tres teoremas de triángulos que me llaman particularmente la atención.

¿Por qué el triángulo?

El triángulo (me referiré únicamente a los triángulos planos en este post) es un objeto muy sencillo y que, sin embargo, da mucho de sí. Para empezar, sus ángulos internos suman siempre dos rectos (0 ángulo llano) y las longitudes de dos de sus lados suman más que la del lado restante, manifestando así que el segmento rectilíneo es siempre el camino más corto entre dos puntos. Platon prohibía la entrada en su Academia a quien no supiera Geometría, y la enrevesada prueba de Euclides para demostrar la igualdad de los ángulos opuestos a los dos lados iguales de un triángulo isósceles recibía el nombre de pons asinorum, por ser el puente que debían cruzar los estudiantes para desasnarse.

De izquierda a derecha y de arriba a abajo, baricentro, incentro, circuncentro y ortocentro. Los dibujos del incentro y el circuncentro incluyen la idea para la prueba de su existencia, apoyada en la construcción de ciertas circunferencias. El dibujo relativo al ortocentro incluye la construcción del llamado triángulo órtico, de notables propiedades. Los dibujos están tomados de Wikipedia.

Los triángulos tienen cuatro puntos notables: el baricentro, donde concurren las medianas (líneas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto); el circuncentro, donde concurren las mediatrices (líneas que bisecan perpendicularmente cada lado); el incentro, donde concurren las bisectrices (líneas que bisecan cada ángulo); y el ortocentro, donde concurren las tres alturas (líneas que pasan por cada vértice siendo perpendiculares al lado opuesto). Estos cuatro puntos coinciden para un triangulo equilátero (y en este caso se llama simplemente centro), pero en general son diferentes. Demostrar su existencia o, lo que es lo mismo, convencerse de que cada una de esas cuatro ternas de rectas coincide en un punto, es una de las primeras satisfacciones que un joven estudiante podría tener con las Matemáticas…

Libro de Jean Dieudonné, gran matemático y enemigo acérrimo del triángulo.

… si esto se contara en algún momento del currículo educativo. El cambio de punto de vista en Geometría, que está muy bien para los matemáticos profesionales, ha tenido una incidencia negativa en la formación matemática escolar. Con la Geometría Analítica, toda relación geométrica puede reducirse a ecuaciones, dando la impresión de que es el método universal para abordar problemas y demostraciones, pero a costa de la intuición y la elegancia. Más «recientemente», hace sólo 150 años, Felix Klein concibió cada tipo de Geometría (euclídea, afín, proyectiva…) como el estudio de los invariantes asociados a un grupo de transformaciones. De este modo, la manera griega de hacer Geometría se fue arrinconando, y su sentencia definitiva tuvo lugar en 1960 cuando Jean Dieudonné exaltado gritó en un congreso ¡Abajo Euclides! ¡Muerte al triángulo! En ese momento, Bourbaki entraba en las escuelas con el pseudónimo eufemístico de Matemática Moderna.

Primer teorema: fórmula de Herón

Casi todo el mundo sabe que el área de un triángulo se calcula como la mitad del producto de la base por la altura. Sin embargo, casi nadie se para a reflexionar que base y altura dependen de la posición del triángulo, si bien el área obtenida no cambia. Además, la altura es un dato de carácter práctico si el triángulo está en posición vertical ya que se puede trazar la vertical con una plomada. Cuando el triángulo se presenta en forma de solar o parcela de ciertas dimensiones, no es sencillo averiguar lo que mide la altura de un triángulo respecto a una de sus bases (salvo que sea un triángulo rectángulo). Esto lo sabían de sobra los antiguos topógrafos, antes de que los datos del teodolito electrónico (estación total) se volcaran directamente en el ordenador, por lo que ellos solían utilizar la fórmula de Herón para calcular las áreas de los triángulos que aparecen en la descomposición de una parcela poligonal.

Fórmula de Herón (izquierda) para el área de un triángulo, siendo a, b y c los lados. La fórmula alcanza su máxima elegancia escrita en términos del semiperímetro s, definición a la derecha.

La fórmula de Herón puede ser deducida fácilmente a partir de relaciones trigonométricas (véase una prueba aquí). Su descubridor, Herón de Alejandría vivió en dicha ciudad en el siglo I y ha pasado a la historia como un reputado científico e inventor. Se le reconoce como el descubridor de la fuerza motriz del vapor, aunque sus artefactos fueran considerados como meras curiosidades: para qué inventar motores si tenemos esclavos 😕 También se le atribuye la invención de la primera máquina de vending, siendo agua bendita el producto dispensado a cambio de monedas en los templos de Alejandría.

Ilustración de Herón con su artefacto a vapor, tomada de National Geographic.

Segundo teorema: Napoleón

La figura de Napoleón Bonaparte puede resultar controvertida, sobre todo si se juzga con la óptica woke. Sin embargo, no se puede negar que fue una persona de gran inteligencia, y sabemos, además, que le gustaban las Matemáticas. Por todo esto resulta plausible atribuirle un teorema de Geometría, aunque no existe ninguna evidencia que confirme la autoría del Empereur. El llamado teorema de Napoleón dice que si se construyen triángulos equiláteros (exteriores) sobre los lados de un triángulo cualquiera, los centros de los triángulo añadidos forman, a su vez, un triángulo equilátero (el dibujo lo explica claramente).

A partir del triángulo ABC se añaden los puntos X, Y y Z de manera que los triángulos ABZ, ACY y BCX son equiláteros. Entonces los centros de estos triángulos, N, M y L forman un nuevo triángulo equilátero (dibujo de Wikipedia).

La prueba del teorema de Napoleón puede ser endiablada con técnicas de geometría analítica (también pueden usarse números complejos), pero resulta muy sencilla usando semejanza de triángulos y rotaciones. Para demostrar que los centros de los triángulos equiláteros son equidistantes se comparan dos a dos, observando que guardan la misma proporción de la longitud de cierto segmento. Para una explicación más detallada ver el siguiente dibujo hecho a tiza.

La línea roja une los baricentros del triángulo superior izquierdo y del triángulo inferior. Una rotación de 30º con centro en O la lleva hasta la línea amarilla, que resulta ser paralela a la línea azul porque la distancias de cada baricentro a O es proporcional a la longitud del lado del triángulo.

Tercer teorema: Morley

La trisección del ángulo, junto a la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo, fue uno de los grandes problemas abiertos que dejaron los matemáticos de la antigua Grecia. Realmente, el principal inconveniente para su resolución eran las estrechas condiciones impuestas por Platón: sólo se admite en Geometría lo que puede ser construido con regla y compás, ya que la recta y la circunferencia son las formas perfectas, las únicas admisibles. Quizás por este motivo, los griegos no se plantearon nunca un enunciado que tuviera como punto de partida la trisección de ángulos, ni aparentemente nadie, hasta 1899, año en el que Frank Morley encontraba un sorprendente resultado que ahora se conoce como el Milagro de Morley, o simplemente Teorema de Morley, posiblemente el último gran teorema que quedaba por descubrir en Geometría euclídea plana.

Teorema de Morley: el dibujo habla por sí solo (tomado de Wikipedia).

El Teorema de Morley, establece que las trisectrices de los ángulos de un triángulo cualquiera, tomadas dos a dos entre las más próximas a un mismo lado, se encuentran en tres puntos que forman un triángulo equilátero. A pesar de la sencillez del resultado, no se puede decir que exista una demostración fácil. Varios matemáticos de renombre como John Conway o Alain Connes han hecho aportaciones interesantes intentando conseguir una prueba más sencilla. Yo personalmente me quedo con el argumento que aparece en el libro «Fundamentos de Geometría» de Coxeter, donde tuve conocimiento de este resultado por primera vez. La idea es partir de un triángulo equilátero y construir alrededor de él un triángulo de ángulos cualesquiera que satisface la tesis del teorema.

Esquema de la prueba del teorema de Morley tomada de Coxeter. Puede verse que con una adecuada elección de los ángulos alfa, beta y gamma se consigue construir cualquier triángulo alrededor de uno equilátero.

Epílogo

Es posible que algún lector haya echado de menos al teorema de Pitágoras, pero el «teorema por antonomasia» no se refiere a triángulos generales sino únicamente a los triángulos rectángulos. Tampoco hemos dicho que tres de los puntos notables de un triángulo están alineados: se trata de la llamada recta Euler, una lamentable omisión de Euclides y los geómetras de la antigüedad. Finalmente, hemos comenzado con la idea de que la verdad sólo se puede encontrar en las Matemáticas. Curiosamente, la noción de «verdad» que se utiliza en Matemáticas se ha ido destilando a lo largo del tiempo. El primer cambio substancial tuvo lugar en el siglo XIX, precisamente con el descubrimiento de las geometrías no euclídeas, que pusieron de manifiesto por primera vez que la validez de un teorema no es universal sino que es relativa al sistema de axiomas que se adopte.