Matías Raja

Análisis Funcional

He estado enseñando Análisis Funcional, una asignatura de los estudios de Matemáticas en la UMU, durante muchos cursos, aunque de manera discontinua. Mi proyecto docente para la plaza de profesor titular de universidad, hace más de veinte años, fue sobre la asignatura de Análisis Funcional de la extinta licenciatura, que era anual y se impartía en quinto curso. Con la llegada del grado en Matemáticas llegaron también los recortes y el descafeinado, a pesar de lo cual, el Análisis Funcional conservó su aura de materia difícil, un feroz cancerbero que guardaba la puerta de salida de los estudios y que había que superar para obtener el ansiado diploma. El próximo curso, si Trump no lo remedia, el Análisis Funcional pasará a ser una optativa más, disputándose su impartición contra un buen puñado de «marías», sin ánimo de faltar al respeto. Casualmente, ese cambio ocurre mientras estoy a cargo de ella y no puedo evitar sentirme como el centinela que se queda dormido durante su guardia.

Es por eso que me he animado a escribir este post, en que hablaré del Análisis Funcional: en qué consiste, cómo aparece, y por qué es tan odiado. En efecto, una parte de la inquina contra el Análisis Funcional tiene algo de freudiano, como veremos más adelante. En cuanto al resultado que espero surta este alegato soy realista. Es muy poco probable que un profesor como yo, de escaso carisma docente, por decirlo de una manera aséptica, pueda convertir el Análisis Funcional en una materia atractiva para los estudiantes de Matemáticas, menos aquí con las limitaciones impuestas por la brevedad. Sin embargo, lo que sí creo que puedo hacer es dar unas pocas pinceladas, que revelen algo de su belleza, para los estudiantes (y público en general) a los que les gustan las Matemáticas, en la esperanza de que se matricularán de Análisis Funcional el último año de su carrera.

El Riesz-Nagy, uno de los primeros textos de Análisis Funcional y que contribuyó a su consolidación.

Nota: A lo largo del texto citaré muchos de mis posts anteriores, poniendo delante un simple «ver» para no recargar excesivamente la lectura.

El término «Análisis Funcional»

Que las palabras análisis y funcional sean de uso común provoca que su combinación aparezca en diferentes contextos con distintos significados, dando lugar a curiosidades como, por ejemplo, que mi amigo el arqueólogo Ignacio Martín Lerma y yo, matemático a la sazón, trabajemos ambos en «Análisis Funcional». Él analiza el posible uso de los artefactos prehistóricos y yo me ocupo de algo que no tiene absolutamente nada que ver con lo anterior. La palabra análisis adopta su significado actual en Matemáticas de la mano de uno de los mayores genios que ha dado la humanidad, Isaac Newton, cuya obra (publicada póstumamente) De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, acuña el término latino en el título. No obstante, la palabra análisis llevaba tiempo circulando en Geometría hasta que Newton comienza a usarla en relación con los infinitésimos. Esto sería llamado después Cálculo Infinitesimal, reservándose el término Análisis (Matemático) para ulteriores desarrollos de la teoría y el marco general que los recoge.

Vamos ahora por el calificativo. Otro genio, Leonhard Euler introduce el término función en matemáticas, como una fórmula evaluada sobre variables numéricas que arroja valores numéricos. En aquel tiempo ya se investigaban problemas de mayor enjundia en los que se requería evaluar una fórmula sobre funciones (curvas, por ejemplo) con valores numéricos. A este tipo de «funciones de funciones» se les llamó funcionales. El uso de este término quedó prácticamente confinado al Cálculo de Variaciones, que investigaba la minimización (o maximización) de ciertas cantidades sobre curvas o superficies. Por ejemplo, las curvas de longitud mínima contenidas en una superficie (geodésicas) o superficies de área mínima con un borde prefijado, como las que se obtienen sumergiendo un alambre en agua jabonosa. En estos casos, la longitud y el área, respectivamente, son los funcionales involucrados.

El origen

Al principio, el objeto del Análisis era encontrar la solución de problemas, es decir, mero Cálculo, aunque en dos acepciones de la palabra. Muchos de los métodos para resolver problemas usaban tácitamente la existencia de su solución, lo que no parecía ser un inconveniente, ya que la respuesta encontrada pondría el paño caliente a posteriori. Hacia el siglo XIX se hizo patente la existencia de algunos problemas para los que no existía solución, estaban «mal formulados». De hecho, el Análisis entero estaba en entredicho porque estaba basado en definiciones que rayaban la metafísica. En la segunda mitad del siglo XIX se hicieron notables esfuerzos para enmendar la situación. Se construyó una teoría de los números reales, se formalizó la teoría de límites y se definió rigurosamente el concepto de función: todo el Análisis se podía reescribir sobre una base sólida… tan sólida como los propios números naturales. Al tiempo comenzarían los grandes proyectos sistematizadores, como los cursos de Análisis para l’École Normale Supérieure de Goursat o Valiron.

Una obra fundamental de Euler que tengo en casa… facsímil, por supuesto 😕

El problema que motivó la aparición de las técnicas que constituirían el germen del Análisis Funcional fue el llamado problema de Dirichlet, del que nos ocupamos brevemente en Circuferencias y esferas. Se trata de resolver una ecuación diferencial en derivadas parciales, ver EDPSF, convirtiéndola en un problema variacional consistente en minimizar un funcional dado por cierta integral. Dirichlet postuló la existencia de solución por analogía con la Física (Principio de Dirichlet). Pero los argumentos habituales para problemas similares planteados sobre conjuntos numéricos (dimensión finita) fracasan estrepitosamente cuando intentan adaptarse a conjuntos de funciones (dimensión infinita). Los matemáticos hablamos de ausencia de compacidad, una propiedad de naturaleza topológica. En el caso del problema de Dirichlet, la solución vendría, años después, de una construcción geométrica bastante natural que se puede trasladar a dimensión infinita, la proyección ortogonal. Es esencial para esto, disponer de la integral de Lebesgue, ver Área, que permite que los espacios involucrados sean completos, otra propiedad topológica. Avances posteriores permitieron descubrir que en dimensión infinita está disponible una forma de compacidad más débil, y así se llama a su topología asociada.

¿Pero qué es el Análisis Funcional?

El primer objeto propio del Análisis Funcional fue el espacio de Hilbert, espacio de dimensión infinita en el que es posible realizar proyecciones ortogonales sobre subespacios cerrados gracias a la combinación de una estructura algebraica (espacio vectorial con un producto interior) y una propiedad topológica (completitud). El papel del armazón lineal en los conjuntos de funciones fue reforzado por el descubrimento de Fredholm de que ciertas ecuaciones funcionales tienen un comportamiento análogo a los sistemas finito-dimensionales. La hibridación de estructuras algebraicas y topológicas se mostró una idea fructífera, así que en los años sucesivos llegarían más: los espacios de Banach y Fréchet, los espacios vectoriales topológicos, las álgebras de Banach, Análisis Funcional no-Arquimediano, Análisis Funcional no-Conmutativo… Como suele ocurrir en Matemáticas, lo que surge como una herramienta auxiliar se convierte en protagonista indiscutible, y ya no tiene que pagar tributos a sus orígenes ni rendir cuentas a sus sobre su utilidad.

Grueso tomo sobre espacios de Banach (hay segundo volumen) editado por Johnson y Lindenstrauss.

Dice Bourbaki que el Análisis Funcional es el estudio estructural de los espacios vectoriales topológicos y las aplicaciones continuas entre ellos. Esta definición, dentro de su intachable generalidad, oculta el rasgo esencial del Análisis Funcional como cruce de caminos en Matemáticas: Cálculo de Variaciones, Ecuaciones en Derivadas Parciales, Álgebra (no sólo lineal), Topología, Geometría, Teoría de la Medida… El primer día de clase de la asignatura de Análisis Funcional pregunto al azar a los estudiantes sobre que parte de las Matemáticas les gusta más y tras oír la respuesta la relaciono con algún tópico más o menos próximo al programa: ¿anillos? calcularemos los ideales cerrados de C(K); ¿probabilidad? una sucesión de variables aleatorias centradas independientes se puede ver como una base hilbertiana; ¿ecuaciones algebraicas? la noción de grupo resoluble es de utilidad para formular una versión invariante del teorema de Hahn-Banach; ¿transformada de Fourier? puede verse indistintamente como un homomorfismo de álgebras de Banach o una isometría de espacios de Hilbert; ¿formas canónicas de matrices? la teoría espectral te va a gustar; ¿ciencia de datos? adivina a qué se dedicaban Johnson y Lindenstrauss cuando descubrieron su célebre lema 😉

Solución del Problema de Dirichlet con métodos probabilísticos, revelando otra conexión del Análisis Funcional, en el tomo 4 del curso de Stein y Shakarchi, Functional Analysis.

Matar al padre

Las Matemáticas se han diversificado mucho desde 1900, por poner una fecha entre el fin de los descubrimientos y el comienzo de las invenciones. Evidentemente, no todas las ramas son comparables en métodos ni profundidad de ideas. Tampoco los matemáticos de primera división se reparten por igual en ellas. Una de las mayores satisfacciones que me proporciona mi área de investigación es la certeza de que por ella han pasado muchas de las mejores cabezas de las últimas décadas. Por señalar datos objetivos, en ocasiones consulto trabajos de L. Schwartz, A. Grothendieck, A. Connes, J. Bourgain o T. Gowers, todos ellos medalla Fields, o M. Talagrand, premio Abel en 2024, o finalmente J. Lindenstrauss, que decidía sobre quienes debían recibir los galardones. Por otra parte, conozco demasiados colegas de otras disciplinas que dudo puedan decir algo similar, aunque esto no es lo más preocupante. La ausencia de referentes en un tema es un síntoma propio de la burbuja de publicaciones científicas, esa miríada de artículos que no contribuyen al conocimiento ni leerá nadie.

Obras de Análisis Funcional de Kolmogórov, Kantoróvich y von Neumann, atesoradas en mi biblioteca.

Ha quedado claro que hoy no he venido a hacer amigos. Casualmente, algunos de los autores de célebres textos de Análisis Funcional son también los fundadores de otras ramas de la Matemática. Andréi Kolmogórov, a quien ya conocemos por la teoría KAM, estableció los axiomas de la Teoría de Probabilidades y definió una distribución fundamental en Estadística. Leonid Kantoróvich, uno de los fundadores de la Programación Lineal, que permite abordar y resolver el problema del transporte óptimo de recursos, lo que le valió el premio Nobel de Economía en 1975. Finalmente, John von Neumann que además de concebir la Teoría de Juegos y contribuir notablemente a la Informática, entre otras muchas cosas, desarrolló el formalismo de la teoría de operadores no acotados, necesario para la fundamentación de la Mecánica Cuántica. Sobre los tres ejemplos dados, me gusta pensar que la comprensión de las ideas fundamentales del Análisis Funcional resulta inspiradora. Por eso, cuando algún colega de Estadística, Probabilidad, Investigación Operativa, Teoría de Juegos o Informática, cuestiona la necesidad del Análisis Funcional en el grado de Matemáticas no puedo evitar acordarme de Edipo.

Los hombres que no amaban el Análisis

Mi santoral tiene tres nombres: Arquímedes, Newton y Einstein. Los tres fueron capaces de modificar la visión del mundo de sus contemporáneos y siguientes generaciones. Arquímedes fue pionero en los métodos infinitesimales para realizar operaciones equivalentes a la integración. Newton enunció las Leyes de la Mecánica y desarrolló las matemáticas para formularlas y usarlas, el Análisis. De hecho, la segunda ley de Newton es una ecuación diferencial. Desde ese momento, el Análisis fue indispensable para modelizar la realidad, ver Ecuaciones Diferenciales. Sólo Einstein fue capaz de romper con la visión newtoniana, cosa que no hizo con el Análisis. En efecto, las Matemáticas que sirven para la Mecánica Clásica sirven también para la Relativista o la Cuántica. Indiscutiblemente, el Análisis ha sido la disciplina matemática más transversal. La planificación de las misiones Apolo a la luna se ha basado en Análisis Matemático, no en Geometría Proyectiva, Teoría de Galois o Métodos Bayesianos. Y sin embargo, la guinda del pastel analítico, el Análisis Funcional, hunde sus raíces en todas las Matemáticas.

Una página de un libro de Física general (Joos)… adivinen el tipo de matemáticas que se usan para calcular los orbitales del átomo de hidrógeno.

A pesar de todo eso, el peso del Análisis, en según qué ámbitos, va a depender de la composición discrecional de una comisión donde no se garantiza un representante de cada área, dicho esto en el supuesto generoso de considerarlas a todas equivalentes. No estoy hablando de la comisión de reforma del grado que decretó la optatividad del Análisis Funcional en mi universidad. Es todavía peor. Se trata de la convocatoria de Redes de Investigación 2024 del Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades. Consiste en unas ayudas a redes temáticas que aglutinan grupos de investigación de toda España. La Red de Análisis Matemático y Aplicaciones, concurrió a dicha convocatoria y quedó excluida. Sólo cinco redes matemáticas pasaron el corte: Dinámica, Atractores, no Linealidad, Caos y Estabilidad; Red de Ecuaciones en Derivadas Parciales no Locales y Aplicaciones; Red de Investigación en Educación Matemática; Red de Geometría Algebraica y Singularidades; y Red de Matemática Discreta y Algorítmica. Resulta, cuando menos, curiosa la excesiva especialización de algunas de las redes agraciadas… En el mismo documento puede verse que la red «Descolonizar la Historia del Espacio Atlántico» recibe una subvención de 43.000 euros. Aquí el problema no es tanto de falta de financiación como de ausencia de consideración hacia el Análisis, o al propio Isaac Newton, si me apuran.

¿Qué me aporta el Análisis Funcional?

Ya hemos dicho que las técnicas de Análisis Funcional surgen para establecer la existencia de soluciones de ciertas EDPs, pero no hemos entrado en demasiados detalles. Ocurre que la solución, que uno esperaría que fuera una función suficientemente regular (dos veces derivable para el problema de Dirichlet, por ejemplo), en general no lo será. El motivo es que para asegurar la completitud del espacio de Hilbert donde «viven» las soluciones hay que sustituir la derivada ordinaria (la inventada por Newton) por un tipo de derivada indirecta (llamada distribucional) que se define a través de la «dualidad». Este subterfugio, muy frecuente en Análisis Funcional, se investigó antes en el marco de la dimensión infinita que en espacios finito-dimensionales, donde también ha demostrado ser útil. Sin ir más lejos, en el uso de la dualidad encontramos las grandes aportaciones de von Newmann (Teoría de Juegos) y Kantoróvich (Programación Lineal), que explotan la relación entre el problema primal y su problema dual en dimensión finita. Pero la sustitución de funciones clásicas por distribuciones, que serían funciones evaluadas a través de la dualidad, encaja mejor con la visión postcuántica del mundo que nos rodea, ver EDPSF.

Manual de Análisis Funcional para estudios de ingeniería en Francia.

La combinación de estructuras algebraicas y topología da mucho juego. Por ejemplo, el espacio de funciones continuas C(K), sobre un espacio compacto K, es un álgebra de Banach conmutativa (una consecuencia de que la suma o el producto de funciones preserva la continuidad, grosso modo). Es natural preguntarse qué propiedades caracterizan a C(K) entre las álgebras y nos encontramos que la respuesta, gracias al Teorema de Gelfand-Naimark conmutativo, es relativamente sencilla en el caso complejo (por la intercesión de las funciones analíticas), mientras que el caso real requiere ideas complemente distintas provenientes de la Geometría (puntos extremos). Igualmente, podríamos preguntarnos hasta qué punto K está determinado por C(K) como espacio de Banach (renunciamos a la multiplicación). El teorema de Banach-Stone dice que si C(K) y C(H) son isométricos, entonces K y H son homeomorfos (disculpas por los palabros). Más aún, el teorema de Amir-Cambern muestra que se puede perturbar la isometría, que dejaría de serlo, hasta cierto punto pero no demasiado (distancia de Banach-Mazur menor que 2), porque Milutin demostró que C(K) y C(H) pueden ser isomorfos para K y H muy diferentes, por ejemplo K=[0,1] y H=[0,1]².

Probando un resultado sobre espacios C(K) en el despacho de Gilles Lancien (Besançon).

He optado por usar C(K) como ejemplo por la riqueza de su estructura algebraica y la evidente relación con la Topología. Yo, sin embargo, tengo más querencia por los espacios de Banach generales, en los que la ausencia de estructuras adicionales permite mayor variabilidad geométrica, especialmente, alrededor de la convexidad. En un futuro post hablaré un poco más de las matemáticas en las que trabajo y mis propios teoremas.

Una de los handicaps del razonamiento geométrico en espacios de Banach es saber reconocer en un dibujo plano las propiedades que permanecen en dimensión infinita. Parte de la pizarra durante un curso que impartí en el IMUS, Universidad de Sevilla.

Epílogo

Realmente, que el Análisis Funcional pase a ser una optativa en nuestro grado de Matemáticas no es una afrenta en sí misma. Cuando yo cursé la licenciatura, todo el quinto curso era totalmente optativo. La cuestión es decidir qué debe ser obligatorio en la formación de un titulado en Matemáticas. Yo entiendo que muchas de las Matemáticas que se estudian no serán de ningún provecho en la vida profesional a la mayoría de los egresados. Pero también creo que el objeto de esos contenidos es forjar el estilo de pensamiento matemático, una característica que los empleadores privados aprecian en quienes han cursado matemáticas, además de indispensable para la investigación. El Análisis Funcional, por su transversalidad en Matemáticas, por la originalidad y profundidad de las ideas que aporta, y por la potencia de sus aplicaciones, debería formar parte del currículo de un estudiante de Matemáticas al que le gusten las Matemáticas, que no son la mayoría. Mi amigo y colega de facultad, Pedro Fernández, afirma que estudiar Análisis Funcional fue como pasar de tener una vieja tele en blanco y negro a ver las cosas a todo color. Creo que esta metáfora no es en absoluto exagerada. Así pues, querido estudiante, la decisión está en tus manos.

Pizarra tras una lección de un curso de Análisis Funcional en la Université Nazi Boni de Bobo-Dioulasso (Burkina Faso). En la parte central se discute sobre teoremas espectrales para operadores compactos en el espacio de Hilbert.

Hermanos matemáticos

No es raro encontrar familias en las que varios miembros de la misma se han dedicado de manera profesional a las Matemáticas. Cuando se trata de dos hermanos siempre se puede especular sobre el motivo ¿recibieron estímulos similares? O bien ¿sigue el menor los pasos del mayor? Aunque tengo casos cercanos, nunca he tenido la curiosidad de preguntarles el motivo. Mi interés no es psicológico, sino histórico: hermanos famosos que han destacado en las matemáticas. Veremos algunos casos notables, de los cuales sólo el primero se puede decir que forma parte de la cultura matemática básica.

Hay un rasgo presente en la mayoría de los matemáticos de primera división: un ego desmesurado. No obstante, un gran ego en matemáticos mediocres es también relativamente frecuente, pero mucho menos justificable. Por eso me resulta muy interesante otra situación que puede darse en las familias: uno de los hermanos es un matemático de gran nivel cuyos resultados le garantizan un lugar destacado en la historia de esta ciencia; sin embargo, el otro hermano, no siendo matemático, es mucho más famoso, en términos absolutos o, mejor dicho, de cultura general.

La ambigüedad del título hermanos matemáticos permite tratar ambas situaciones en un mismo post.

Ambos matemáticos

Exponemos a continuación cuatro ejemplos de hermanos matemáticos. Los apellidos son Bernoulli, Riesz, Noether y Borwein. Mientras que los Bernoulli son un notable caso de saga familiar con querencia por las matemáticas a lo largo de varias generaciones, la elección de las otras tres parejas se puede relacionar más o menos con mis intereses científicos.

Bernoulli

Jacob Bernoulli (1654-1705) — Johann Bernoulli (1667-1748)

Nicolau Bernoulli tenía otros planes para sus hijos: quería que Jacob fuera teólogo y Johann médico. Jacob Bernoulli aprendió el Cálculo Infinitesimal directamente de uno de sus descubridores, Gottfried Leibniz, y contribuyó enormemente a su desarrollo. Entre sus logros se encuentran la ecuación de la curva catenaria y de la llamada espiral logarítmica, omnipresente en la naturaleza y cuya propiedad fundamental motiva el epitafio de Jacob Eadem mutata resurgo. Johann Bernoulli estudió también con Leibniz y contribuyó, asimismo, a la difusión del nuevo Cálculo. Recibió un buen dinero del Marqués de l’Hôpital por las lecciones que le impartió y con las que el noble francés publicó el primer libro sobre Cálculo Infinitesimal. Aunque Johann fue muy capaz y prolífico, también tenía un mal carácter dominado por la envidia, primero hacia su hermano mayor y luego hacia su hijo Daniel, al que no sólo le robó trabajos, sino que además lo echó de casa por ganar un premio de la Academia de Ciencias Francesa al que él también optaba. Un pupilo de Johann se convirtió en uno de los más grandes matemáticos de la historia, Leonhard Euler.

Riesz

Frigyes Riesz (1880-1956) — Marcel Riesz (1886-1969)

Gracias a estos dos matemáticos húngaros, el nombre Riesz es omnipresente en el Análisis Matemático, particularmente, en Análisis Funcional. Frigyes Riesz contribuyó al desarrollo y consolidación de esta disciplina, notablemente a través de su texto Leçons d’analyse fonctionnelle escrito en colaboración con B. Sz.-Nagy. Su teorema conocido con el poético nombre del «lema del sol naciente» es básico en Análisis Real para establecer resultados profundos sobre derivación. Entre los logros de su hermano Marcel Riesz se cuentan el teorema de Riesz-Thorin, resultado fundacional de la Teoría de Interpolación de Operadores, a la que se dedica mi amigo y compañero Pedro Fernández, y un criterio de compacidad en los espacios de Lebesgue. Los dos hermanos trabajaron juntos en un resultado fundamental de Análisis Armónico conocido, obviamente, como el Teorema de los Hermanos Riesz.

Noether

Emmy Noether (1982-1935) — Fritz Noether (1884-1941)

Hijos del también matemático Max Noether, Emmy es sin duda la más conocida de la familia por sus contribuciones al Álgebra y a la Física, hechas en un tiempo en el se miraba en con escepticismo a la mujer en la universidad, particularmente en Ciencia. Ahora, cualquier repertorio de mujeres científicas, por abreviado que sea, incluye a Emmy Noether. Era también un tiempo malo para ser judío en Alemania. Emmy emigró en 1933 a USA donde moriría dos años más tarde de las complicaciones derivadas por una operación para extirparle tumores. Menos famoso que su hermana y dos años menor, Fritz Noether hizo interesantes contribuciones al Análisis Funcional y Relatividad Especial. Cuando se le prohibió trabajar en Alemania, marchó a la URSS. Terrible error: detenido y encarcelado durante cuatro años durante la Gran Purga de Stalin, fue finalmente fusilado.

Borwein

Jonathan Borwein (1951-2016) — Peter Borwein (1953-2020)

Hijos del matemático David Borwein, ambos nacieron en Escocia, antes de que su padre se estableciera en Canadá. Como judío askenazi, nunca fue realmente de ningún sitio. Los últimos años de su vida, Jonathan ejerció en Australia, mientras su hermano Peter siguió en Canadá. Peter Borwein es conocido principalmente por sus algoritmos para el cálculo de π. Sufría de esclerosis múltiple. Jonathan Borwein publicó una ingente cantidad de artículos en una variedad de ramas de la Matemática, tanto pura como aplicada. Se le recuerda, sobre todo, como impulsor de la Matemática Experimental y un curioso resultado obtenido con su padre, las integrales de Borwein. Su muerte nos pilló a todos por sorpresa, ya que dos meses antes tuve el privilegio de invitarlo a un congreso celebrado en Cartagena.

El más famoso es el otro

En los siguientes cuatro ejemplos sólo hay un denominador común: el hermano matemático. El otro u otra ha alcanzado la fama en otra cosa pero muy diversa: Economía, Física, Filosofía o Cine. Garantizo diversión por la parte no matemática…

von Mises

Ludwig von Mises (1881-1973) — Richard von Mises (1883-1953)

Ludwig von Mises fue uno de los más distinguidos representantes de la Escuela Austriaca de Economía. Se podría decir que no recibió el premio Nobel por mal timing. Nacido en Lviv cuando aún era del Imperio Austro-Húngaro (posteriormente polaca, luego soviética y actualmente ucraniana). Enemigo del intervencionismo estatal, predijo el fracaso del socialismo… lo que, aparentemente, no implicaba su desaparición 😅. Richard von Mises, el hermano matemático, hizo contribuciones fundamentales en Mecánica de Fluidos y Teoría de la Elasticidad, aunque quizás se le recuerde más por su trabajo en la fundamentación de la Teoría de la Probabilidad. Para Mises (y también para Kolmogorov, quien estableció la axiomática definitiva) la única interpretación válida de la probabilidad en Ciencia, esto es, su conexión con la realidad, es la frecuentista. Su libro titulado Probability, Statistics and Truth debería de servir de vacuna contra las creencias bayesianas (más o menos, la búsqueda de la verdad partiendo de prejuicios).

Bohr

Niels Bohr (1885-1962) — Harald Bohr (1887-1951)

Niels Bohr ganó el Premio Nobel de Física en 1922 por sus trabajos sobre la estructura del átomo y la radiación. En aquel momento se estaba gestando la Mecánica Cuántica y, hasta la formulación precisa de la teoría unos años más tarde, todo lo que había era pura heurística y felices coincidencias. Bohr es también recordado por su animada polémica con Albert Einstein sobre la interpretación probabilística de la Mecánica Cuántica, en la que el segundo pronunció la recordada la frase «Dios no juega a los dados» y puso en aprietos a Niels con el Gedankenexperiment Paradoja de Einstein-Rose-Podolsky. Hablemos ahora del hermano, Harald Bohr, el torpe de la familia, ganó una medalla de plata olímpica con la selección de fútbol de Dinamarca. Como matemático hizo importantes contribuciones en la teoría de series de Dirichlet y en funciones casi-periódicas. Junto con Mollerup probó la más elegante caracterización de la función gamma de Euler, que es grosso modo una extensión del factorial más allá de los números enteros.

Weil

André Weil (1906-1998) — Simone Weil (1909-1943)

André Weil es uno de los miembros fundadores del grupo Bourbaki (precisamente en la foto) además de uno de los matemáticos más renombrados del siglo XX, no sólo por lo que demostró sino por los caminos que indicó para investigaciones futuras. La biografía de su hermana Simone Weil es poco menos que peculiar: simpatizante de movimientos marxistas y anarquistas, sin renunciar a sus ideas, desarrolla una espiritualidad cristiana llegando a experiencias místicas, cosa que no está mal para una chica de familia agnóstica judía; la mejor estudiante de su generación y de salud frágil, se enrola voluntariamente como obrera proletaria en una fábrica de Renault; pacifista convencida, se alista en la Columna Durruti para luchar en la Guerra Civil Española. Sus escritos filosóficos la sitúan como una de las más originales pensadoras contemporáneas. Muere de tuberculosis en 1943, con solo 34 años. Como curiosidades, ha servido de inspiración para el disco Lux de Rosalía y existe una iniciativa para su beatificación cuyo mayor obstáculo es que Simone nunca fue bautizada 😕

Pisier

Marie-France Pisier (1944-2011) — Gilles Pisier (1950 – )

Con los ojos azules como el mar frente al que vivió sus últimos años (la Côte d’Azur, d’ailleurs), Marie-France Pisier, musa de la nouvelle vague, trabajó bajo la dirección de Luis Buñuel y, sobre todo, de François Truffaut, para el que protagonizó varias de sus películas. Cuando se escribe «Pisier» en Google, después de Marie-France, el siguiente nombre en aparecer es el de Évelyne Pisier, su hermana mayor, escritora y politóloga, además de esposa de Bernard Kouchner, el fundador de Médicos Sin Fronteras. Hay que ir a la segunda página en las búsquedas de Google para que aparezca el hermano menor, Gilles Pisier, uno de los matemáticos vivos más importantes de Francia, que trabaja en Análisis Funcional con numerosas contribuciones fundamentales en espacios de Banach. Para mí, Pisier representa el éxito rotundo en Matemáticas: ser un genio y, al mismo tiempo, gozar de un enorme atractivo personal, completamente opuesto a la típica imagen nerd de los matemáticos. Tengo un buen recuerdo de la amabilidad con la que me recibió en su despacho de Paris-6 (Université Pierre-et-Marie-Curie) hace ya unos cuantos años.

Contrapunto final

Dejamos los hermanos para volver a las familias en general. Los Bernoulli, tratados al principio de este post, han proporcionado varias generaciones de matemáticos y científicos, un caso sin igual en la historia. A la hora de buscar algún parecido español siempre viene a mi mente la familia Torroja. Eduardo Torroja y Caballé (1847-1918) fue matemático, considerado como uno de los sembradores, así llamados los profesores que trajeron a España la Matemática que se hacía en Europa a finales del siglo XIX. Sus tres hijos fueron matemáticos y/o ingenieros, destacando Eduardo Torroja Miret (1899-1961), que fue la máxima autoridad mundial de su tiempo en hormigón. El hijo de este último, José Antonio Torroja Cabanillas (1933-2021), fue también un reconocido ingeniero de caminos y padre de Ana Torroja (1959- ), integrante del grupo Mecano, uno de los más exitosos del pop español. José Antonio Torroja decía con cierta resignación que había dejado de ser el hijo de su padre para ser el padre de su hija.

Colecciones de minerales

Desde los casi cuatro año que lleva funcionando este blog, el coleccionismo de minerales ha estado siempre presente, ya sea porque muchas entradas tratan de visitas a yacimientos para conseguir ejemplares, ya sea abordando el tema del coleccionismo per se como hemos hecho en Lo que me cuenta una wolframita de Córdoba, Coleccionismo de «piedras» y Turismo mineralógico. Precisamente, en ese último post abordé brevemente los tipos de colecciones de minerales que existen, ya que coleccionar minerales no es simplemente reunir minerales. Como el tema da bastante de sí, lo trataremos aquí con algo más de detalle.

Una vista parcial de mi colección de minerales.

Partiré del hecho de que el coleccionismo de minerales es una actividad practicada por muchas personas sin entrar en los motivos. Realmente, el coleccionismo es más bien una actitud, una manera de entender o relacionarse con los objetos… lo que se dice un tema complicado. Por eso me centraré más en cómo se ejerce el coleccionismo de minerales y su resultado, es decir, los tipos de colecciones a los que da lugar. Partiendo también de cierto conocimiento de los minerales, omitiré la definición precisa de algunas de las características que se valoran en un espécimen de colección.

Leyendo a Jean-Claude Boulliard

En el libro «Les minéraux. Sciences et collections» (CNRS, Paris, 2016) su autor, Jean-Claude Boulliard, director de la Colección de Minerales de la Sorbonne (París), dedica una buena cantidad de páginas a reflexionar sobre las colecciones de minerales. Tras repasar la historia del coleccionismo de minerales, se ocupa de los criterios de los museos a la hora de configurar las colecciones, que no están exentos de verse influenciados por las modas. Afirma, por ejemplo, que la exposición de ejemplares espectaculares en los museos va en detrimento de su valor didáctico, ya que estos no sirven de modelo para reconocer los minerales cotidianos. Las modas pueden tener efectos peores incluso. Durante el último cuarto del siglo XX se acuñó la idea de que las colecciones (públicas) de minerales eran reliquias del pasado costosas de mantener, provocando la desaparición de muchas de ellas. Añado, a título personal, el daño causado por la moda de convertir los museos en «centros de interpretación», llenos de paneles interactivos con lucecitas de colores, a costa de trasladar el grueso de las colecciones al almacén. Siempre quedará en mi memoria cierto periodo funesto del Museo Nacional de Ciencias Naturales, al parecer ya superado. Cuando voy a un museo lo hago para ver cosas, preferiblemente muchas. Leer siempre puedo hacerlo en casa.

Portada del libro que sirve de referencia a esta sección.

Por supuesto, Boulliard trata también el coleccionismo privado. Partiendo de que se colecciona para «darse gusto uno mismo», plantea la paradoja de que, si bien todo el mundo colecciona lo mismo en un momento dado, todo el mundo quiere que su colección sea especial. Expliquemos un poco esto. En una buena parte de las colecciones, la pirita estará representada por un ejemplar de Navajún, el cobre nativo vendrá de Míchigan y la crocoíta de Tasmania. Esto no es un demérito, puesto que las tres localidades producen ejemplares excepcionales, pero serán muy similares de una colección a otra, salvo por el tamaño de las piezas y, quizás, algún rasgo apreciable por especialistas. Boulliard también discute lo que es un ejemplar de colección y los aspectos a valorar, separando los criterios objetivos (perfección, brillo, estética general) de los subjetivos, que son aquellos que se traducen en la configuración de la colección. Hablaremos en las próximas secciones de los tipos de colecciones, si bien en la práctica, un coleccionista no suele limitarse a una única categoría.

Cristal euhédrico de yeso, Utrillas (Teruel). Según los cánones actuales, para ser considerado una pieza de colección debería estar embutido en un fragmento de la marga carbonosa donde se formó.

Las modas también afectan a las colecciones privadas. Por ejemplo, actualmente hay un manifiesto desprecio hacia los cristales aislados, incluso tratándose de cristales euhédricos que se han desarrollado de manera flotante. El canon estético actual exige que estos cristales estén insertos en una matriz de la roca en la que se han formado. Ciertamente, ese tipo de piezas aporta más información científica, además de una indiscutible estética «brutalista», pero no siempre es posible o procedente. Un cubo de pirita de quince centímetros de arista tiene entidad suficiente para no necesitar estar parcialmente embutido en una matriz, que impediría contemplar toda su perfección. Precisamente el libro de Boulliard muestra una foto de un descomunal cristal de tetraedrita, con pátina de alteración y sin matriz, ni falta que hace. Peor aún es para la norma estética imperante la ausencia de cristales. Muchas colecciones dejan de lado los minerales masivos, a pesar de que para algunas especies es la única opción o que importantes localidades mineras sólo producen este tipo de piezas. En el nombre de la didáctica, un museo que se precie no debe permitirse tales ausencias. Cierto tipo de colecciones, tampoco.

La colección sistemática

El objeto del coleccionista sistemático es acumular el mayor número de especies minerales, o por lo menos, las más representativas. Es también, por lo general, la manera en la que se accede al coleccionismo de minerales y por este motivo, es habitual que todo coleccionista conserve sus ejemplares de «sistemática» a pesar de su evolución posterior a otro tipo de colección. Los ejemplares suelen tener un rango de tamaños estandarizado que depende de la manera en la que se conserve la colección (vitrina, cajones). Rara vez la colección se acercará a los algo más de 5000 especies minerales que hay clasificadas hasta ahora. Por ello, lo más razonable es usar como directriz los minerales más frecuentes que suelen tratar los libros de mineralogía (unos pocos cientos).

Sala principal del Museo Geominero, ejemplo espectacular de colecciones sistemáticas de mineralogía y paleontología (foto tomada de la web del IGME).

Una de las situaciones a las que se enfrenta el coleccionista de sistemática es el de que una misma especie mineral puede estar representada por múltiples ejemplares. En efecto, los cambios de hábito cristalino, color o agrupamiento hacen que dos piezas de minerales tales como el cuarzo, la calcita o la barita, puedan ser muy diferentes entre sí. Recuerdo haber visto una colección privada en la que una de las vitrinas contenía únicamente ejemplares de barita de minas de la Región de Murcia. Sin llegar a estos extremos, no olvidemos que se colecciona por mero placer, así que la repetición de minerales con diferentes estéticas no es realmente un problema.

Tres cristales de cuarzo. De izquierda a derecha, un cuarzo tipo Herkimer con «fantasma» e inclusiones, un cuarzo hematoideo jacinto de Compostela y un cuarzo tipo alpino ¿Cuál de ellos debería representar a la especie «cuarzo» en una colección sistemática si sólo se pudiera elegir uno?

La colección de micros

El coleccionista ambicioso de sistemática entiende que (1) la mayor parte de los minerales descubiertos sólo existen en pequeñas cantidades y las muestras son necesariamente diminutas (2) es difícil o, equivalentemente, caro que los cristales de muchos minerales sean simultáneamente grandes y perfectos (3) y, finalmente, que las piedras ocupan mucho sitio. La solución simultánea a estos tres problemas es la colección de micros (thumbnails o micromounts, en inglés). Todas las muestras están miniaturizadas y contenidas en cajitas etiquetadas de tamaño estándar. Si no se tiene una vista excepcional, la única manera de contemplar y disfrutar de los ejemplares es con una lupa, preferiblemente binocular, o un microscopio digital.

Cajita con 12 micros, regalo de mi amigo y coleccionista de micros Fran García Alacid.

En general, los aficionados a los minerales micro disponen de sistemas de fotografía muy avanzados para poder mostrar sus piezas a otros colegas. Una foto con un campo de dos milímetros puede requerir de varias decenas de fotos con diferente profundidad de campo fusionadas con un software específico. Siendo todo esto espectacular, una reunión de coleccionistas de micros es uno de los acontecimientos más aburridos en el mundo de los minerales, si no se está mirando a través de una lupa «manchas de colorines o cosicas en bujeros» 🙂 Pido disculpas por el chiste a mis muchos amigos especialistas en micros, todos ellos además grandes fotógrafos de minerales.

Escena frente a las mesas de micros, en la Trobada de Micromineralogia i Sistemàtica Mineral Camprodon-Rocabruna en abril de 2024 (foto de Fran Garcia Alacid).

La colección-inversión

En ocasiones, una pequeña geoda (en términos mineros) proporciona ejemplares de calidad excepcional de un determinado mineral. Las piezas que salen a la venta son como una edición limitada y, posiblemente, irrepetible. Los precios que alcanzan en el comercio pueden parecer exorbitados, pero una vez que estén todos vendidos, su valor aumentará todavía más, salvo que aparezca otra inoportuna geoda mejor. El coleccionista que adquiere estas piezas sabe que está realizando una inversión con la que en un momento dado, si así lo desea, podría recuperar su dinero con pingües beneficios. Una colección completa de ejemplares excepcionales puede tasarse por encima de la suma del valor de sus partes, ya que está ahorrando al comprador muchos años de penosa búsqueda.

Juan José Pardo posando con la pieza ganadora de la Feria de Minerales de La Unión 2025, una barita azul con cristales de gran brillo. Es muy posible que las piezas que salieron de la geoda descubierta por Pardo y sus socios se revaloricen con el tiempo puesto que es tremendamente complicado trabajar las minas de la zona en las condiciones actuales (foto de La Unión de hoy).

Pasa algo parecido con las colecciones de gemas en bruto (talladas y engarzadas es un asunto al margen de la mineralogía). Un aguamarina bien cristalizada y de transparencia impecable vale más en bruto que lo que alcanzaría descuartizada en joyería, ya que en lugar de sumar el trabajo de talla, hay que valorar que la mayor parte de las piedras que van al tallador o lapidario no están en condiciones de ser ejemplares de colección. El verdadero lujo es que una piedra preciosa sea en sí misma una joya sin necesidad de manipulación humana.

*Aguamarina cristalizada sobre matriz tapizada de moscovita procedente de Pakistán (foto tomada de Wikipedia).*

Un notable coleccionista de gemas en bruto es Paco Saura, que produjo unos documentales muy interesantes sobre el tema (hace años los vi en VHS, no sé si estarán disponibles en otro formato). Tuve la oportunidad de conocer a Paco Saura en persona y conservo un recuerdo material y rosa de aquel encuentro.

Cristal de kunzita, piedra semipreciosa, regalo de Paco Saura.

Los ejemplares clásicos o con pedigree

Hace un par de siglos, cuando la minería era casi exclusivamente subterránea, los ingenieros seleccionaban piezas de mineral directamente de los filones. Minerales de una calidad excepcional y, en ocasiones, de tamaño considerable alimentaban las colecciones públicas y privadas. Una vez agotados los filones más ricos y con la evolución de la tecnología minera que permitió explotar menas de ley baja, cambió el aspecto de los minerales. En lugar de una masa de casiterita cristalizada de varios kilos tendremos una macla «pico de estaño» en matriz de pegmatita. Es posible que la tendencia estética del mineral en su roca matriz que mencionamos al principio sea pura consecuencia de la necesidad. Estos minerales procedentes de otros tiempos, a los que nos referiremos como clásicos o históricos, aparecen de vez en cuando en anticuarios, desembalajes y desvanes. Su estética, al estilo de los gabinetes de curiosidades del siglo XVII, difiere de la de hoy día… pero es que tales ejemplares sencillamente son imposibles hoy día. Mi buen amigo Manuel Morales se ha especializado en los ejemplares clásicos, preferiblemente españoles y particularmente de ámbito local.

Ejemplar de oropimente de Huancavelica, pieza de varios kilos en su peana, posiblemente con más de 100 años de antigüedad. Foto tomada, precisamente, en una feria de antigüedades en París por Manuel Morales.

Algo parecido, es la adquisición de ejemplares con pedigree, lo que no excluye ser a la vez piezas clásicas. Consiste en ejemplares que han pertenecido a colecciones anteriores, famosas o con propietarios de prestigio. Cuando un mineralogista fallece y la familia no desea continuar con la colección, el ofrecerla a un museo o estamento público no suele llevar a un resultado satisfactorio (hablamos de nuestra querida España). Con suerte, los mejores ejemplares salen al mercado. También hay historias exentas de dramatismo. Los gestores de la que fue una de las mejores colecciones privadas del mundo, la colección Folch, pusieron en circulación «duplicados» de los minerales (ejemplares repetidos de los especímenes que no se muestran al público) como forma de financiación y de hacer sitio.

La demarcación geográfica

Sin necesidad de ser un nacionalista recalcitrante, un coleccionista puede autoimponerse el reunir minerales procedentes de un único país, región, comarca, municipio o coto minero. En el propio Museo Geominero del IGME existen unas vitrinas que reúnen minerales por comunidades autónomas. Muchos de mis amigos coleccionistas distinguen las piezas de Sierra Minera (La Unión y Cartagena) de las de otras localidades para mostrar la abundante diversidad mineralógica de esta comarca minera y singularidad geológica donde las haya. Por otra parte, la limitación territorial puede esquivar los terrenos más favorables para minerales, algo así como hacer de la necesidad virtud, lo que obliga a ser más cuidadoso con la observación del terreno. Y en ocasiones, esto lleva su premio, como puede ser el descubrimiento de nuevos yacimientos. Esto lo he vivido en persona, y así lo cuento en mi artículo Los minerales del Valle de Ricote que tiene una continuación en forma de post.

Cubos de fluorita de verde Ulea, en el momento de su extracción. La existencia de estos cristales excepcionales constituye un aporte significativo al patrimonio natural del Valle de Ricote.

Las colecciones de minerales de una comarca determinada enriquecen el conocimiento de la misma y, eventualmente, pueden ser el germen de un museo. La investigación del patrimonio mineralógico, minero y/o geológico locales conduce a veces a la publicación de monografías que proporcionan información muy valiosa al tipo de aficionado del que hablaremos en el siguiente apartado. Antes de la divulgación masiva de yacimientos en redes sociales con coordenadas GPS, este tipo de libros era la única guía para encontrar los minerales. Recuerdo, con cierta nostalgia, mis primeros viajes en los años 90 con el libro «Introducción a los Minerales de España» de Galán y Mirete sobre el asiento del copiloto en mi Renault Clio, ver mi post Donde te lleven las piedras.

Algunos libros de mi biblioteca con información sobre minerales con diferentes regiones o comarcas.

La auto-colección

Un criterio muy válido para iniciar una colección de minerales es el de usar ejemplares obtenidos por uno mismo en el campo. Si los recursos para viajar son limitados esto conduce casi siempre a colecciones con demarcación geográfica. Boulliard advierte también de la limitada calidad de estas colecciones, pero la realidad es que cualquier aficionado puede entrar en contacto con otros coleccionistas que disponen de la experiencia y los medios técnicos para obtener buenos ejemplares. Como un auto-coleccionista no tiene acceso a una gran diversidad de especies minerales (es bueno conocer las limitaciones) lo que suele hacer es admitir ejemplares conseguidos mediante trueque de otros auto-coleccionistas. Esto funciona de manera bastante eficaz en las mesas de intercambio o en el aparcamiento de la Feria de Minerales de La Unión (la verdadera «feria» es la de los maleteros). El uso de dinero se evita más por pundonor que por racanería.

Ilustración tomada de internet sobre la recogida de fósiles… aplíquese también a minerales y no se pierda la última sección de este *post*.

El acto de recoger minerales es bueno en sí mismo… copio a continuación el texto que escribí en Turismo mineralógico. La recogida de minerales, en la medida que es una práctica minoritaria, que se obtienen de lugares muy degradados por la explotación minera abandonada o arrancados por la erosión, se puede considerar sostenible. Algunos opinan que es beneficiosa incluso. Ver por ejemplo el artículo de S. Moreton en mindat.org del que seleccionamos algunos de los encabezados de las razones que proporciona para la recolección de minerales:

Entretenimiento para todas las edades y habilidades
Es educativo
Los minerales son bellos
Los minerales son parte de nuestra herencia natural
Los coleccionistas hacen descubrimientos y contribuyen a la ciencia
Sin recolectores los museos estarían vacíos
Los minerales no recogidos están sentenciados
…

Añadiría, para acabar esta sección, que la recolección de minerales permite estar en contacto con la naturaleza y realizar ejercicio físico más o menos intenso dependiendo de como se desarrolle la búsqueda.

Mi colección

Al comienzo de Galería de Minerales me defino como auto-coleccionista que no recurre al trueque: «La mayor parte de las piezas las he recogido yo mismo en el yacimiento (digamos, más del 95%). La colección no contiene ejemplares comerciales o de intercambio. Los minerales regalados puedo aceptarlos en determinadas circunstancias, siendo una fundamental el visitar el lugar donde salió la pieza.» En cualquier caso, recogido o no por mí, lo más importante es que el mineral debe contar una historia. Cada una de las piezas de mi vitrina me recuerda un instante determinado de mi vida y no siempre es el momento en el que aparece el mineral. Se puede decir que éste es el tema principal que vertebra mi colección. En cuanto a caracteres secundarios, la estética de mis piezas es bastante personal ya que no crecí, como coleccionista, influenciado por los ejemplares disponibles en el mercado, sino por las descripciones de los libros. Por este motivo tengo muchos minerales masivos, y me gustan particularmente las menas metálicas.

Galena masiva del Coto de San Cristóbal (Mazarrón), donde trabajó mi abuelo Juan Raja, orgullosamente en mi vitrina junto a ejemplares más acordes al canon estético actual.

El resultado al final es un batiburrillo con una mayoría de piezas mediocres. No obstante, puedo destacar algunas peculiaridades de mi colección. En primer lugar, practico el «coleccionismo de kilómetro cero», es decir conseguir minerales del entorno más próximo a mi casa. Habría que aclarar qué significa «próximo» y qué significa «casa». Por casa entiendo los lugares a los que estoy vinculado sentimentalmente: Valle de Ricote, El Cañarico, Mazarrón… y actualmente Molina de Segura. Por próximo entiendo la menor distancia a la que empiezan a aparecer cosas 🙂 Esto tiene algo de reto por distintos motivos. En ocasiones porque el terreno es a priori poco propicio o bien porque la minería cesó hace mucho tiempo dejando un erial (Mazarrón). Por supuesto, también viajo en busca de minerales a yacimientos más o menos lejanos como relato en mi post Donde te lleven las piedras y no pierdo ocasión de mirar al suelo.

Pirolusita botroidal de Espinardo, a escasa distancia de mi lugar de trabajo… ilustra perfectamente la «mineralogía de kilómetro cero».

El buscar minerales en lugares improbables, donde nadie suele hacerlo, conduce de manera natural a la segunda peculiaridad a destacar de mi colección: «la anomalía». Me encanta reunir minerales con localidades totalmente inesperadas: fluorita de Ulea, barita de Mula, magnetita de Archena, piromorfita de Águilas… También hay minerales de yacimientos conocidos a los que el tiempo que he dedicado, principalmente horas bajo el sol, me ha permitido conseguir ejemplares notables: granates de Cehegín, piritas de Ricote, silicatos de Mazarrón y Tallante… posiblemente, «la anomalía» que se manifiesta en una parte de mis piezas es lo que, creo, me hace conocido en los círculos de coleccionistas de la Región de Murcia.

Masa de hematites laminar de La Unión, una de mis «anomalías» más emblemáticas.

¿Está el coleccionismo de minerales en peligro?

Supongo que he sorprendido al lector con el título de mi última sección. Ésta es una pregunta que se puede plantear, y responder, en varios niveles. Con muchos de mis colegas coleccionistas hemos hablado a veces de la desaparición de «la clase media» en el mercado de minerales. Se nota particularmente en las ferias el abismo que hay entre los precios de los minerales básicos de sistemática (normalmente en cajitas y por menos de 5 ó 10 euros) y las piezas de colección serias (cuyos precios empiezan en tres cifras) normalmente procedentes de yacimientos internacionales (las piezas españolas caras suelen ser ejemplares clásicos recolectados hace décadas). Es como si toda pieza que no es mineral masivo o abiertamente deficiente se considerara un mineral de inversión. Aunque no participo directamente en el comercio, los minerales de clase media permiten mantener en funcionamiento e investigación los yacimientos españoles.

Un yacimiento arqueológico se ha convertido en una molestia inasumible gracias a la Ley de Patrimonio Histórico. Un cabezo en un lugar de la Región de Murcia que no precisaré. El innecesario roturado en la falda del monte se corresponde con un yacimiento prehistórico, obviamente arrasado. No se puede denunciar porque no estaba inventariado.

Más preocupante es la amenaza que pesa sobre la recolección de minerales. La ley de Patrimonio Histórico Español asimila los fósiles, incluidos los restos de moluscos cuyas conchas levantan montañas enteras (la ley no distingue entre una terebrátula y el fémur de un dinosaurio), con el Acueducto de Segovia y otros monumentos singulares e irrepetibles. Este disparate legislativo, toda una anomalía respecto a países de nuestro entorno, es defendido por un puñado de personas que niega o desprecia el papel de los aficionados en el descubrimiento, recuperación y conservación de piezas de interés geológico. Pero lo cierto es que la Ley de Patrimonio Histórico ha contribuido más a la destrucción que a la defensa de su objeto, ya que los propietarios de terrenos con un yacimiento arqueológico lo ven como una maldición y colecciones enteras de fósiles han terminado en la basura por miedo a una sanción.

Escombrera dentro del complejo minero de La Unión. En lugares como éste busco minerales y lo que recojo pasa de ser basura a convertirse en patrimonio del Estado: me siento como el Rey Midas 🙂

Los talibanes de la defensa del Patrimonio Geológico quieren hacer extensiva a los minerales la prohibición que pesa sobre los fósiles. Demencial. Si lo de los fósiles es ya absurdo puesto que conforman rocas y montañas, los minerales son extraídos como materia prima para la industria. Por lo visto, salvar un mineral de la machacadora para exponerlo en tu casa debe ser tan grave como robar un busto de mármol de Pompeya. Esta prohibición de recolectar minerales se aplicaría también a minas o canteras abandonadas, lugares ya degradados que nuestros gobernantes imbuidos de ecologismo soterrarían bajo mantillo vegetal sin dudarlo. Dejar un mineral pudriéndose bajo raíces está bien, pero tenerlo a cubierto bajo techo es delito. Se pueden dar muchos más argumentos para ganar una batalla dialéctica contra los enemigos de la recolección de minerales y por ello recomendamos la lectura completa del artículo de Moreton mencionado más arriba.

Miembros de la Asociación Cultural Paleontológica Murciana recuperando de la inexorable destrucción de la erosión un fósil de Paleodictyon que ahora puede ser disfrutado en un museo. Obsérvese las caras de felicidad tras haber realizado una buena acción.

Aquí defiendo la recolección de minerales como ejercicio lúdico, dado que la que se hace con fines económicos, minerales para industria o colecciones, ya tiene su ámbito regulatorio y fiscal. Para que siga siendo posible la actividad del coleccionista recolector de minerales es importante que la administración no sólo oiga a sus detractores, sino también a los interesados. En este sentido, las asociaciones de coleccionistas juegan un papel fundamental. Quiero destacar en particular a la Sociedad Murciana de Mineralogía (SMM) y a la Asociación de Mineralogistas de La Unión y Cartagena (MINUCA) de ámbito en la Región de Murcia. Para que nuestros queridos lectores comprueben que los enemigos del coleccionismo de minerales van muy en serio, les recomiendo que lean este texto en la web de la SMM relatando lo cerca que estuvimos de perder la libertad para ejercer una actividad tan bonita, científica y sana como es la recolección de minerales.

Tomado del libro de Boulliard, con especial atención a la frase entre paréntesis: ¡Francia, qué gran país!

La vida se abre camino

Tenemos tendencia a pensar que el equilibrio es un rasgo esencial de la Naturaleza. Seguramente porque todo lo que podemos observar consiste en una superposición de ciclos, que son leves cambios periódicos para que nada realmente cambie, como la celebre frase de Il Gattopardo. En primer lugar, el día y la noche. Podríamos seguir con la sucesión de las estaciones a lo largo del año, las mareas, el ciclo del agua, etc. Y finalmente, el de cada especie con su ciclo vital: nacimiento, crecimiento, reproducción y muerte. Además, que el ciclo vital sea realmente un ciclo y no una espiral, depende de la interacción mutua entre especies: los conejos se alimentan de especies vegetales para prosperar, pero el zorro los mantiene a raya… y así ad eternum, o hasta que llegó el ser humano a ponerlo todo patas arriba ¿no? Bueno, todo esto que he contado es falso, al menos en la escala geológica. Cuando se profundiza en la historia de la vida sobre el planeta, no hay nada cíclico salvo la sucesión del día y la noche. Y lo único que se puede decir con certeza es que, a pesar de todo, la vida se abre camino.

Los ciclos no son eternos

Para comprobar esta afirmación basta remontarse hacia atrás, como con el manido chascarrillo de ¿qué fue antes, el huevo o la gallina? Pensemos en el ciclo de las estaciones (desde nuestra zona templada). Todo el mundo sabe que tiene que ver con la cantidad de radiación solar recibida, que varía a lo largo del año con el ángulo de incidencia de los rayos y este efecto es modulado por la latitud. Sin embargo, el clima de depende de otros factores que no han sido constantes a lo largo del tiempo. Por ejemplo, que el clima invernal en la mayor parte de Europa no sea más frío depende mayormente de la Corriente del Golfo que, como su nombre indica, a su vez depende de la disposición actual de los continentes. Si viajamos atrás en el tiempo descubriremos que las cosas pueden ser muy diferentes. En los comienzos del planeta, una larga glaciación global tuvo congelada la superficie de la tierra decenas de millones de años y la vida (en formas aún muy elementales) quedó confinada en el mar, bajo el hielo. A finales de la era paleozoica, todas las tierras emergidas se reunieron en un único supercontinente (Pangea) en el que reinó el clima desértico al principio. La arena roja de aquel gigantesco desierto se puede ver desde los Pinares de Rodeno en Albarracín al Cañón del Colorado, o en Canara (Cehegín) sin ir más lejos.

Arte parietal: escena de la Cueva de los Nadadores, en pleno desierto del Sahara.

Y si el clima cambia, los ecosistemas ligados a él también deben hacerlo. En mi post Minerales de Espinardo he dado alguna idea sobre lo mucho que ha cambiado el paisaje y la fauna en un intervalo de, apenas, diez millones de años, por lo que no insistiré más en la escala geológica. Pero los cambios en el clima son también apreciables en la escala humana, hasta tal punto que dejan en entredicho el mismo significado de la palabra «clima» como denominador común de la meteorología de una región. Sin necesidad de irse hasta las glaciaciones cuaternarias, en tiempos históricos han quedado documentadas importantes fluctuaciones del clima. Es indiscutible que actualmente atravesamos un proceso de cambio climático, ya sea por la mera razón de que está en la propia naturaleza de la Tierra. Otra cuestión es discutir si el cambio ocurre en un sentido u otro, acelerado por causa humana o no… A pesar de su importancia, estas cuestiones son tangenciales al tema que nos ocupa y el lector interesado podrá encontrar abundante información (muy distinto es pedir que sea objetiva) en internet 😕

El equilibrio es apariencia

Con bastante frecuencia nos encontramos noticias del tipo «un estudio reciente advierte de la situación crítica (o inminente colapso)» de tal o cual reserva natural o ecosistema. Dejando de lado algunas situaciones con causas evidentes y responsables enjuiciables, lo que en verdad revela este tipo de noticias es que los ecosistemas, en general, están lejos de ser estables, entendiendo por estabilidad ser poco sensible a perturbaciones (climáticas excluidas). No obstante, la idea de estabilidad no sólo está arraigada en el imaginario sino también en el pensamiento científico tradicional, hasta tal punto que un modelo teórico no será validado si no predice un posible equilibrio. Ante la dificultad de analizar un ecosistema, se hacen modelos para describir una pequeña parte del mismo, por ejemplo la interacción de dos especies. El llamado modelo depredador-presa, cuya primera formulación se debe a Lotka y Volterra, que lo propusieron (independientemente) hacia 1925. Este modelo, en su versión original y en posteriores modificaciones, propone una fluctuación periódica del número de individuos, por ejemplo zorros y conejos. Curiosamente, los modelos para una sola especie (en ausencia de depredadores y alimento ilimitado) prevén un crecimiento exponencial: «conejos», Fibonacci (1202); «cerdos», Vauban (1695); «humanos», Malthus (1798); por citar algunos.

Modelo depredador-presa derivado de Lotka-Volterra, pero corregido con crecimiento logístico y efecto por saturación de presa (tomado de J.D. Murray «Mathematical Biology», 2002).

Es cierto que muchos sistemas físicos tienden a la estabilidad, expresada ésta como un mínimo energético. Pero la vida, que recibe su energía directa e indirectamente del sol, está gobernada por la inestabilidad. Esto puede resultar paradójico, porque tendemos a pensar que el hecho de que un ecosistema cada elemento juegue su papel es algo que se ha conseguido con tiempo y ajuste, tal como describen, en pequeña escala, los modelos tipo Lotka-Volterra. Sin embargo, si los escenarios en los que transcurre la vida fueran estables, simplemente no hubiera sido posible la evolución de las especies. El gran árbol de la vida puede verse como una diversificación de adaptaciones sumamente especializadas surgidas para dar respuesta a cambios ambientales. Sobrevive el que se adapta, así que se puede decir que la contemplación de las especies en un momento dado es como ver el medallero olímpico, los campeones en cada categoría de su año. ¿En qué fallan los modelos matemáticos? Un modelo, necesariamente, es una idealización de la realidad, a costa de analizar una pequeña parte y simplificar las relaciones entre sus componentes. Por ejemplo, un modelo como el anterior, basado en ecuaciones diferenciales ordinarias, obvia que las especies se ubican o mueven en un territorio.

Algunos libros de mi biblioteca que tienen que ver con las matemáticas de los procesos complejos.

La dinámica de los sistemas complejos requiere de otro tipo de modelización matemática. Por ejemplo, partiendo desde una Física newtoniana completamente determinista y reversible, al aumentar indiscriminadamente el número de variables, se llega a la Mecánica Estadística y a la Termodinámica, caracterizadas por la irreversibilidad de los procesos que describen. Es decir, la complejidad no es simplemente un avance cuantitativo, sino un gran salto cualitativo. En los sistemas complejos no funcionan las aproximaciones lineales y tratar de hacer estadística a partir de datos experimentales se puede calificar, como poco, de discutible. Sin embargo, una buena parte de lo que se publica hoy día como «ciencia» consiste exactamente en análisis estadísticos sobre procesos cuya complejidad nos desborda.

Colonización y extinción

De nada serviría la maquinaria de la Evolución si cuando aparecen individuos con algún nuevo rasgo no encontraran el lugar adecuado donde sacarle partido. Así las especies se expanden por el mundo buscando su nicho, como quien busca un puesto de trabajo acorde a su cualificación. En ocasiones en nicho está vacío y la nueva especie se instala sin mayor problema. Pero también puede ocurrir que el nicho ya esté ocupado, por lo que la nueva especie tendrá que competir con la ya residente. Las Matemáticas predicen que a la larga sólo quedará una especie (leyes tipo «0 – 1»), pero no siempre la misma ya que pequeñas variaciones del ecosistema pueden favorecer a una u a otra indistintamente. Este principio está presente detrás de la mayor parte de las extinciones no «catastróficas» (como la que podría provocar un meteorito), pero también detrás de la extraordinaria biodiversidad que disfrutamos. Todas las especies buscan un lugar mejor para estar, por lo que vistas en la escala temporal todas son, en el fondo, forasteras.

Caricatura sobre la Evolución… no viene al caso con el tema, pero creo que es un concepto con el que todo el mundo está más o menos familiarizado.

Me pongo muy nervioso, por lo general, cuando se utiliza el término «especie invasora», referido a una especie animal o vegetal introducida, donde no existía antes, de manera deliberada o inconsciente por el ser humano. Yo no veo mucha diferencia en que una especie viaje de un lugar a otro en un tronco flotante, el excremento de un pájaro o el equipaje de un turista. La diferencia sólo existe en la opinión humana, motivada ésta por aspectos prácticos o sentimentales. Al final, es simplemente xenofobia. Por ejemplo, se habla mucho de la amenaza que constituye el cangrejo de río americano para la especie autóctona española. Sin embargo, la llamada especie «autóctona» parece ser una introducción hecha en el siglo XVI. Debo de ser raro porque me gusta el bullicio de las cotorras de Kramer en los bulevares de palmeras o washingtonias, como en Cartagena. Será que los sonidos tropicales no desentonan en absoluto con nuestras temperaturas. Por otra parte, no me gusta el mosquito tigre. Viene de un lugar donde no hay estaciones y aquí se comporta como tal, atacando durante todo el año y a todas horas.

Cuando éramos parte del ecosistema

Creo que uno de los colectivos más peligrosos para la Naturaleza es el de los ecologistas — ojo, utilizo este término en un sentido radical (o woke, si admitimos el anglicismo) que excluye a mis amigos 🙂 –. No confundir con los ecólogos, aunque la intersección entre ambos grupos pueda incluir un buen número de individuos. Estos últimos son científicos dedicados a estudiar los ecosistemas. Los ecologistas toman como dogma de fe una versión parcial y simplificada de la Ecología, aderezada en estos últimos tiempos con doctrina animalista y santería de la pachamama. Cuando un ecologista alcanza una posición de poder político, sus decisiones no son informadas científicamente, sino que se basan en su sistema de creencias, es decir, no admitirá otras opiniones ni debate alguno. Siempre he dicho que me dan miedo las teocracias y en muchos aspectos, que no entraré a discutir ahora, vivimos en una. Por marcar mi posición, sólo señalaré que yo sitúo estos dos titulares en un mismo plano: «dotar de personalidad jurídica a una charca» y «nombrar a la Virgen alcaldesa perpetua del pueblo», pero sólo la segunda me parece inofensiva.

Murcia en el Plioceno, con algunos constructores de paisaje, entre otras cosas, conteniendo la extensión y densidad de los bosques. Dibujo de Mauricio Antón tomado de una publicación de Pedro Piñero.

No niego el daño infringido a la Naturaleza por la actividad humana, especialmente desde la Revolución Industrial. Pero es incorrecto sacar al ser humano de la ecuación del ecosistema, que es lo que suelen hacer los ecologistas en sus propuestas de restaurar un improbable Edén. Es materialmente imposible reconstruir y mantener ecosistemas prehumanos hoy día en Europa. Simplemente no existen los elementos necesarios porque hemos acabado con ellos, por ejemplo, los grandes mamíferos plio/pleistocenos considerados «constructores de paisaje». Los bosques que conocemos y por los que nos gusta pasear son el producto de la interacción del ser humano con la Naturaleza a lo largo de los siglos. Comenzar a actuar ahora como si fuésemos ajenos a ellos es suprimir una de las fuerzas que contribuye a delicado equilibrio, aunque en realidad aparente… más o menos como un jardín que se deja de cuidar. Esto no es sólo una metáfora. Sin ir más lejos, los llamados expertos reaccionan con elaboradas explicaciones a favor del llamado «monte sucio», una de las pretendidas causas, si no de los incendios forestales, al menos de su gravedad. Los agentes forestales y los bomberos tienen también opiniones sobre el tema, pero ellos no son expertos, naturalmente.

Pinos de Churra, secándose. Foto tomada de La Verdad.

Ya tengo bastante con señalar errores y crearme nuevos enemigos, así que no intentaré proponer soluciones a problemas que requieren una larga reflexión. Sin embargo, sí que puedo decir una obviedad: podemos recuperar ecosistemas preindustriales, aunque sea a pequeña escala. Lo único que se requiere es que el ser humano ocupe en ellos el rol que le corresponde, con su mera actividad preindustrial: agricultura no intensiva, ganadería trashumante, caza como alimento, leñadores y carboneros… Pero tampoco podemos volver a la Edad Media, así que la opción más aceptable sería permitir y fomentar las actividades tradicionales en los campos y los montes, en lugar de prohibirlas desde el ecologismo de salón a golpe de decreto-ley. Un último ejemplo de cómo los cambios hechos desde una supuesta «sostenibilidad» provocan daños. Nuestros ilustres gobernantes decidieron un día que había que entubar las acequias de la huerta de Murcia para reducir el «gasto» de agua. Poco después comenzaron a morir moreras y otros árboles que no recibían riego directo, como los pinos centenarios de Churra.

Epílogo

He estado escribiendo este post de manera discontinua a lo largo de un tiempo que se me ha hecho largo. Creo recordar que originalmente tenía una idea clara de la estructura que le daría, siendo la foto inicial un ingrediente fundamental. Se trata de una recogida de muestras en la charca ácida de la corta Brunita (La Unión) que hice a petición de un microbiológo de la Universidad de Murcia para estudiar los organismos microscópicos que viven en tales condiciones de pH. Lo sorprendente es que realmente hay mucha vida en esa agua, que los ecologistas quieren secar y «renaturalizar». Existen peores ambientes. Se encuentra vida en las mismísimas fumarolas sulfurosas submarinas, similares a las que dieron origen a las minas de Rio Tinto. Se ha descubierto bacterias que viven de la degradación del plástico, incluso. Obstinadamente, la vida se abre camino. Y esa es mi esperanza, ante los cambios que se avecinan tras el aparente equilibrio, ante el deterioro de los ecosistemas tal como los conocemos y, sobre todo, ante los daños causados por las soluciones mesiánicas de los que nos gobiernan.

Libro de láminas artísticas de especies desaparecidas en tiempos históricos, lamentablemente por culpa del ser humano.

Xiamen

Ha pasado ya un mes desde que regresé de China… una frase que deseaba decir desde hace tiempo. En efecto, nunca había visitado China hasta que surgió esta oportunidad gracias a las Matemáticas. En mi imaginario, el gran país asiático seguía más cerca del relato de Marco Polo que de cualquier referencia contemporánea, incluidos los muchos comercios gestionados por ciudadanos chinos a escasa distancia de mi casa. Este post se titula Xiamen, la ciudad donde he pasado casi dos semanas, más centrado en la investigación que en el turismo. Ciertamente, no me he movido mucho alrededor, como suelo hacer en mis viajes. Supongo que en próximas ocasiones tendré la oportunidad de descubrir otros lugares de China, pero estos días han sido suficientemente ricos en experiencias para que merezca la pena hacer un relato.

Xiamen se sitúa sobre una isla conectada con el continente a través de varios puentes. Hacia el sur destaca una mancha de bosque (verde) que es además bastante abrupta. El mapa es de Baidu, el «Google» chino, ya que éste último no funciona demasiado bien allí.

Rocas en la playa frente a un mar plomizo, como el cielo sobre él. La imagen me recuerda, salvando las distancias, el vídeo de First we take Manhattan (then we take Berlin) de Leonard Cohen. Frente a esa costa, no muy lejos, se sitúa la «provincia» de Taiwan.

Este viaje ha sido posible gracias a la amabilidad y hospitalidad de mi colega el profesor Qingjin Cheng, que me invitó a Xiamen con la intención de abrir una etapa de colaboración matemática tras varios años de sana rivalidad en Super Weak Compactness… ahora mirad el acrónimo en mi camiseta. De esta historia entre Xiamen y Murcia doy cuenta un par de secciones más adelante.

Qingjin Cheng y el autor en Xiamen… la camiseta está elegida deliberadamente para esa primera foto.

La ciudad, el paisaje, contrastes

Xiamen tiene mas de medio millón de habitantes. Los nuevos desarrollos eclipsan a los edificios antiguos, pero a veces es posible encontrar rincones en los que uno puede viajar al pasado, aunque no muy remoto. El campus principal de la Universidad de Xiamen proporciona muchos lugares de romántica belleza. También hemos explorado un poco, dentro de nuestras limitadas posibilidades, en busca de escenas de la vida cotidiana en este remoto lugar.

Antiguo edificio rectoral de la Universidad de Xiamen, con los rascacielos al fondo.

Playa junto a la ciudad. Aunque las temperaturas eran bastante templadas en enero, no me pareció ver ningún bañista… supongo que será que no hay muchos ingleses.

Cuando pregunté por la gran cantidad de ventanas con rejas, la explicación que me dieron venía a resumirse en tres categorías: ladrones, niños y ancianos. Dejo al lector libertad para que especule mientras contempla esta foto.

Experimento fotográfico para tratar de ilustrar el agobio que me producen, en general, las ciudades.

Centro tecnológico que me pillaba de camino entre el hotel y la universidad.

Edificio principal de la Universidad de Xiamen, frente a un lago rodeado de jardines. Su silueta es un icono de la institución.

Complejo de templos budistas de Nan Putuo, a los que se accede desde el campus universitario. De hecho, fue asimilado por la misma universidad como una «facultad de religión» superada la Revolución Cultural.

Los templos reciben muchos visitantes diariamente. El que aparece en la foto alberga varias estatuas gigantes de Buda.

Detalle de los Budas luciendo llamativas esvásticas en el pecho. En efecto, dicho símbolo no fue inventado por los nazis.

Quemadero de barritas de incienso frente a los templos.

Rascacielos de Xiamen vistos desde las instalaciones deportivas de la Universidad de Xiamen.

Callejones poco céntricos de Xiamen… uno de esos paseos en busca de lo auténtico.

Restaurante con mucha «solera», escondido entre bloques de edificios más modernos.

Establecimiento de un proveedor de bambú para construcción y decoración.

No es fácil encontrar el concepto análogo de una «tienda de chinos» en la propia China. En la foto destacan las decoraciones para festejar el año nuevo chino, que tuvo lugar unos días tras mi regreso.

Panorámica de unos bajos en la «ciudad de la electrónica», donde fuimos a buscar, sin éxito, una clavija adaptadora.

Simpático graffiti. Sin embargo, lo que más me llama la atención es la erosión alveolar en el granito.

Curioso sendero de varios kilómetros que se adentra en el bosque por medio de pasarelas elevadas salvando desniveles con pendientes suaves.

Balcón con forma de corona circular para contemplar el mar.

Continuamos caminando por el sendero… realmente curioso.

Otro desnivel salvado con una rampa en forma de tornillo. Poco después se hizo de noche y dimos por finalizado el paseo.

La vida, o la comida

Durante mi estancia en Xiamen, afrontar la comida cada día se puede decir que tenía bastante de aventura. El problema de la comunicación y las pésimas traducciones provocaron situaciones pintorescas, como pensar que has pedido una sopa y que aparezcan con una fuente de gambas a la plancha. Hablaremos de la comida y la vida en general, pero comencemos con el que es, sin duda, el protagonista en la vida social china: el té.

Juego de té en el despacho del profesor Qingjin Cheng, con el que recibe a sus invitados.

Yo mismo me acostumbré a tomar té a todas horas… en la foto las «amenities» del hotel para preparación de té, entre otras cosas.

Para desayunar en el hotel había un buffet libre, eso sí, de alimentos sumamente variados. Tras varias pruebas, mi selección matinal acabó convergiendo a una composición como la de la foto.

Para probar la comida tradicional de Xiamen hay que ir al sitio adecuado. Este restaurante familiar ya era frecuentado por Qingjin Cheng en sus tiempos de estudiante así que no defraudó.

Difícil describir lo que hay en la imagen: embutido, tortilla, una especie de zarangollo y «dumplings» (aquí estamos más acostumbrados al término japonés «gyozas»). Todo esto se riega con agua templada… por supuesto, se puede pedir cerveza, pero es posible que también te la traigan templada.

No siempre es fiesta, así que también íbamos a comer a cantinas universitarias, con una gran variedad de platos.

Estando junto al mar, el pescado es excelente en Xiamen.

Una sopa bien cargada. Lo que me resulta más curioso de la col china es que conserve un color verde brillante tras la cocción.

Estética magnífica, pero mucho trabajo para comer.

Uno de los descubrimientos en el restaurante del hotel: bacalao con bulbos de lirio. En efecto, algunas de las especies de lirio locales producen un bulbo comestible.

Calle en un barrio dedicado, principalmente, a restaurantes de comida local rápida. Con las degustaciones gratuitas tras varias calles puede acabar uno saciado.

Doy por finalizada mi selección culinaria lamentando haber dejado Xiamen sin probar una de sus especialidades más famosas.

Una frutería… me hubiera gustado algo más rústico para la foto, pero a veces no hay forma de escapar de la globalización.

Tortugas de caparazón blando (género Trionyx) en una tienda de alimentación. La caja de las tortugas estaba junto a una caja de naranjas… no comprendí lo que me dijo la dependienta, pero creo que no se consideraban mascotas.

Acuario en un restaurante… más fresco el pescado, imposible.

Vendedora de recuerdos de la Universidad de de Xiamen. A pesar del aspecto de «top manta» del comercio, el pago es electrónico mediante escaneo de un código QR (en la mano).

Vista de la ciudad desde el monte, tomada durante una excursión que realizamos con Qingjin Cheng, su hijo, y varios de sus estudiantes.

Paisaje con reminiscencias de bosque mediterráneo. En esta época se veía más bien seco.

En el paseo se mezclaba la flora autóctona con otras especies procedentes de jardines que se han asilvestrado, como la buganvilla.

Caracola terrestre de grandes dimensiones… es curioso, en julio de 2024 tomé una foto parecida en Camerún.

Es muy llamativa esta especie de árbol que incansablemente lanza raíces desde las ramas para extenderse sobre una gran superficie.

Lago artificial en los dominios del campus de la Universidad de Xiamen.

Plantas epífitas en un árbol de la Universidad.

Selfie en una de las pocas ocasiones en las que tuve la oportunidad de buscar minerales. Lamentablemente, es sustrato granítico de Xiamen (como las rocas a mi espalda) no me dieron ninguna sorpresa más allá de su composición habitual.

Mis queridos rivales

Hace alrededor de 20 años intenté desarrollar una versión localizada (para conjuntos) de la súper-reflexividad, una propiedad de ciertos espacios de Banach. Mis resultados identificando una propiedad entre la compacidad métrica y la compacidad débil aparecieron en 2008 y poco años después descubrí que un equipo de la Universidad de Xiamen había llegado a resultados similares de manera independiente. Estos conjuntos llamados desde entonces súper débilmente compactos (la elección de palabras es técnicamente correcta pero algo desconcertante) y abreviados SWC permiten generalizar una buena cantidad de resultados importantes desarrollados a lo largo del siglo XX. En este programa investigación hemos estado trabajando y rivalizando, de manera exclusiva, el equipo de Xiamen y el «de Murcia» (yo mismo y, esporádicamente, colaboradores) durante la última década, dando lugar a una coyuntura peculiar: un tema de investigación que sólo me interesa a mí y a alguien en China 😕 Afortunadamente, esta situación ha comenzado a cambiar y los SWC interesan ya a cada vez más investigadores. Aquí podéis ver la presentación que realicé en Xiamen para ampliar información sobre este asunto.

«Meme» capturado de un estado de WhatsApp… creo que expresa muy bien la idea, a pesar de que el término «enemigos» no sea el más adecuado.

El equivalente de Facultad de Matemáticas, aunque técnicamente mi invitación fue expedida por el Tianyuan Mathematical Center in Southeast China.

Monumento dedicado a Chen Jingrun, matemático de Xiamen que contribuyó a la conjetura de Goldbach.

El profesor Lixin Cheng, jefe del grupo de Análisis Funcional de la Universidad de Xiamen, explicando las conexiones de los conjuntos SWC con otras cuestiones matemáticas.

Con Qingjin Cheng en una agradable mañana en la Universidad de Xiamen.

Comienzo de mi charla… el título está totalmente justificado 🙂

Photo finish con los asistentes a la charla. Hay que precisar que, a falta de diez días para la fiesta de año nuevo, muchos estudiantes habían ya comenzado sus vacaciones.

Cena tras la charla… imposible hacer un inventario de todo lo que sacaron.

Sala de café del Departamento de Matemáticas que sirve también como exposición de recursos didácticos matemáticos.

La oficina que ocupé tenía este cartel en la entrada… no puedo sentirme más honrado.

Marabunta de bicicletas y ciclomotores junto a plantas de bambú en la Universidad de Xiamen.

Control biométrico para acceder al campus universitario. Como puede verse claramente en la foto, el dispositivo me reconocía sin problema.

Futuro edificio de la Facultad de Cine de la Universidad de Xiamen. Actualmente comparte el edificio de Matemáticas.

Quiero dejar constancia de mi agradecimiento a los estudiantes que se ocuparon, en algún momento, de ayudarme con las muchas dificultades que encontré en Xiamen.

Jia Hongwei, el primero de los estudiantes de Qingjin que se ocupó de mí. Sin su ayuda mis días en Xiamen hubieran sido muy precarios… Desgraciadamente, no puedo explicar lo que se está celebrando en esta foto.

Aquí estoy con Changchi Huang, que ha demostrado resultados muy interesantes sobre SWC.

Zeyi Liu y Chunyan Luo, que tuvieron la amabilidad y la paciencia de pasar un día conmigo.

Qingjin Cheng y su hijo en primer plano, el día de la excursión al monte.

Curiosidades

La impresión que causa la primera vez en China es difícil de explicar. Desde el primer momento es evidente que uno llega a un país moderno, donde es prácticamente imposible hacer nada sin un buen puñado de aplicaciones instaladas en el móvil: cuando no te entienden sacan el DeepSeek para que traduzca, y además te da conversación si no han desactivado esa opción; todo se paga con Alipay; se comunican o se gestionan taxis, reservas… con WeChat.

Mi llegada al inmenso aeropuerto de Pekín.

Los billetes, uno de los pocos sitios donde se puede encontrar el retrato de Mao, son difíciles de ver ya que la mayor parte de los pagos son electrónicos. De hecho, tuve muchas dificultades para conseguir dinero físico y poder traerme algún billete para la colección.

Las vallas en las obras del metro estaban decoradas con escenas de la historia de Xiamen.

Fachada de mi hotel en Xiamen, el Lujiang MEGA. Además del edificio principal había villas de apartamentos.

El encargado de mantener los cristales limpios me dejó con la duda sobre si la jubilación es voluntaria, tardía o ni siquiera es una opción 😕

Un pasillo del hotel… hay que pensar que fue como mi casa durante dos semanas. Foto editada por Tere Coronado.

Decoración para recibir el nuevo año chino en el hall del hotel.

Mi tradicional análisis del parque móvil va a ser en esta ocasión muy breve: coches eléctricos por todas partes.

Un detalle curios de Xiamen es que todos los ciclomotores eran eléctricos, no dando la impresión de que hayan sido sustituidos masivamente, sino como si siempre hubieran sido así. Por ejemplo, los había tan viejos y destartalados como las «mobylettes» ruidosas y humeantes que usan los ancianos en las huertas del Valle de Ricote.

Monovolumen eléctrico de la marca VOYAH, el más usado como taxi colectivo en Xiamen.

Sobre la transición al vehículo eléctrico… mis peores pesadillas se hacen realidad.

Electrolinera, con innumerables puestos de recarga. Hasta que me topé con esta instalación no era evidente como se mueve tanto vehículo eléctrico en Xiamen.

Por razones que no alcanzo a comprender, un producto supuestamente muy exclusivo como el cognac de champagne Rémy Martin tiene establecimientos por toda China. Éste es uno de los dos que vi en la misma calle que mi hotel.

Con ese nombre no podía dejar de echar la foto… tienda en el aeropuerto de Xiamen.

Delicias para comprar en el aeropuerto… Los pocos yuanes que me quedaban me sirvieron para comerme unos arándanos.

No me traje una bolsa de estas por no jugármela en aduanas.

Té y otros productos en el aeropuerto de Pekín.

Máquina dispensadora de «power banks» para recarga de móviles y pequeños dispositivos. Nadie lleva encima un cargador porque hay de éstas por todas partes con diferentes adaptadores.

Mi maleta… se puede decir que es algo así como una provocación 🙂

Recorrido del avión Pekín-Madrid tal como lo muestra el monitor del avión.

Un cisne negro… durante mucho tiempo se pensó (en Occidente) que este ave no existía, lo que ha dado lugar a un paradigma matemático.

Me despido con esta foto en la Universidad de Xiamen donde espero volver pronto.

Podía habernos pasado a cualquiera

Parental advisory: contenido sólo para adultos. Es bien sabido que el rey Alfonso XIII era aficionado al cine porno. Hay que matizar que en esta época se trataba de filmes mudos, en blanco y negro. Un día reparó el rey en que uno de sus actores favoritos, posiblemente un señor con mostacho que actuaba en camiseta de tirantes, había dejado de aparecer en las películas que periódicamente recibía desde USA. Tras indagar Casa Real en los motivos, se supo que el intérprete estaba en la cárcel como consecuencia del fatal desenlace durante la ejecución de un atroz ejercicio erótico. Informado del asunto el monarca, con el semblante serio, visiblemente preocupado, tras unos segundos de reflexión dijo con gravedad: podía habernos pasado a cualquiera.

Después de escribir el post Tres canciones de amor y una carta inquietante, pensé que un buen tema para seguir con la música (aunque no en otra parte 😉 — perdón por chiste fácil) podría ser el de las canciones que cuentan historias. Pero no cualquier historia, sino aquellas plausibles que, al contrario que en la «anécdota», por llamarla de algún modo, de Alfonso XIII, sí que podrían habernos pasado… perdón, haberle pasado a cualquiera entre allegados y conocidos. He escogido ocho temas de estilos musicales diversos cuyo denominador común es, además de que me gustan, la factibilidad de su relato. Juzgue el lector si esto es así o exagero.

La fuerza del destino – Mecano

Un día conoces a alguien, pero ese primer encuentro no resulta nada memorable. Aún así, parece que el destino se empeña en sigáis tropezando y eventualmente surge el amor. Evidentemente, esta es una historia que podría contar casi cualquier pareja, mientras aún lo son. Por eso, el tiempo transcurrido desde la presentación hasta el primer beso es un valor añadido, sobre todo si se cuenta en años 🙂

Este tema compuesto por Nacho Cano apareció en 1988 en el album «Descanso dominical», que representa el cénit de Mecano. El videoclip de la canción es la primera actuación de una jovencísima Penélope Cruz que, que al igual que en la historia escenificada, mantendría unos años después una relación con el propio Nacho.

Misunderstanding – Genesis

También puede suceder que tras la primera cita, tú y la otra persona tengáis percepciones muy diferentes de lo sucedido. Tu acompañante entiende que el encuentro ha sido tan desastroso que ni merece la pena dar un finiquito explícito. Tú, por tu parte, te quedas esperando bajo la lluvia… ¿Un malentendido?

Este tema de Genesis de 1980 me fue sugerido por mi amigo y fiel lector Pedro Fernández cuando le hablé de la idea de este post. Entono un sentido mea culpa por no haberlo incluido en el momento de la publicación. Merece la pena ver el videoclip para saber cómo era Phil Collins de joven.

Budapest – Jethro Tull

De viaje por el extranjero conoces a una persona interesante o atractiva, o ambas cosas. La comunicación no verbal es fluida, pero difícilmente podéis mantener una conversación por la incómoda barrera del idioma. Quizás quieras algo más, pero la otra persona tiene claro que tú estás simplemente de paso y no hay que dejar que se compliquen las cosas… Aún así, el viaje será inolvidable.

Según cuenta Ian Anderson, líder, voz y flauta de Jethro Tull, esto pasó durante un concierto en Budapest en 1986. La chica tenía impresionada a toda la banda y así ha quedado inmortalizada en la canción. Por mi parte, yo descubrí este tema en Burgas (Bulgaria) junto al Mar Negro, disfrutando de rakia casera mientras trataba de poner en orden mis pensamientos.

He’s on the Phone – Saint Etienne

Una pareja acaba de tener un encuentro furtivo en un hotel. Él, posiblemente casado, está al teléfono para que no se note su ausencia del trabajo. Ella, universitaria, intenta irse sin hacer ruido. La cita fue iniciativa suya, sabe que se ha metido en un lío tremendo, pero en el fondo le gusta… ¿Es la vida complicada o la complicamos nosotros?

Canción de 1995 cuya melodía está tomada del tema Week-end à Rome del cantante francés Etienne Daho, que tiene una pequeña intervención en la versión inglesa. En cuanto a las letras, lo único en lo que coinciden es en la práctica del sexo en un hotel. El vídeo musical es para lucimiento de Sarah Cracknell, la cantante de Saint Etienne, a quien no le queda nada mal el estrabismo.

Il giardino proibito – Sandro Giacobbe

Un hombre le cuenta a su esposa que acaba de acostarse con la mejor amiga de ésta. La confesión se convierte en un alegato por el verdadero amor frente a la debilidad de la carne… prefiero no pronunciarme más sobre este tema y que cada palo aguante su vela.

Esta bellísima canción de Sandro Giacobbe aparecida en 1975 no aclara si al final el hombre es perdonado, o no. Forma parte del trío italiano de la «incorrección política» junto con Signora mia, también de Giacobbe, y Bella senz’anima, de Riccardo Cocciante. Todas estas canciones tienen versión en español de sus propios interpretes y numerosos covers, destacando en mi opinión los de Junco, cuyas cassettes pusieron banda sonora a muchos viajes en mi Renault Clio.

Dancing on my own – Robyn

Te han dejado recientemente y estás hecha polvo, pero aún así sales el fin de semana a intentar divertirte y olvidar… no, no haces eso. Realmente, lo que haces es salir por los mismos lugares que solías frecuentar en compañía de tu ex, con la intención de encontrártelo, ver qué hace, con quién está y, sobre todo, que él te vea a ti… o sea, mal.

La cantante sueca Robyn interpreta este tema de 2010 con tanta furia que se diría que la historia le hubiera ocurrido realmente a ella. En estos casos, lo mejor es tratar de pasar página y confiar en La fuerza del destino o leer a Paulo Coelho.

20 de abril – Celtas Cortos

Un día te encuentras flojo de ánimo y no se te ocurre otra cosa que escribirle una carta a tu ex. Peor aún, le pones un sello y la echas al correo (o le das al send). O todavía mucho peor, la conviertes en uno de los temas más famosos de tu banda, como hizo el Cifu.

Este tema de Celtas Cortos forma parte de la banda sonora vital de los que andábamos en los años 90 tratando de que nos pasaran cosas interesantes. Sin embargo, hasta la preparación de este post, desconocía la existencia del videoclip oficial (sinceramente, para mí no responde a la letra) ni de la existencia de una respuesta por parte de la aludida, que pone un contrapunto demoledor: la historia no es siempre como nos empeñamos en recordarla.

Summer Wine – Ville Valo & Natalia Avelon

Una atractiva chica te invita a su casa a probar su summer wine y quizás algo más… eso es lo último que recuerdas cuando despiertas con un dolor de cabeza tremendo y la cartera vacía. Al protagonista del tema le roban incluso sus espuelas de plata, que podría sustituirse hoy día por una cadena de oro con la cruz de Caravaca.

El tema original es de Nancy Sinatra y Lee Hazlewood, de 1966, que podéis ver aquí (úsese el link también en caso de que YouTube no crea que sois mayores de edad). Hay también una versión de Lana del Rey, pero he preferido la del cantante finés de rock gótico Ville Valo y la actriz alemana Natalia Avelon grabado para la banda sonora de Das Wilde Leben (La vida salvaje, muy apropiado), protagonizada también por Avelon. Claramente, el ingrediente llamado angel’s kiss in spring es burundanga.

Otro denominador común

Además de historias que nos podían habernos pasado a cualquiera y gustarme los temas musicales, todo gira alrededor del amor, sus secuelas y sus malinterpretaciones. Por eso cerraré el post con un bonus track indispensable.

Publicado el 28 de diciembre de 2024, Día de los Inocentes, para evitar herir susceptibilidades y con mucho amor 🙂

El *post* tendrá una foto asociada… mejor que sea bonita: vista desde Isla Plana.

¡Felices Fiestas!

Leandro

El pasado domingo fallecía tras una larga enfermedad, como suele decirse en estos casos para no hablar de cáncer, Leandro Marín Muñoz. Con su muerte también se va una parte de mi vida (o de mí mismo, mejor dicho) que, a pesar de pertenecer a un pasado casi remoto, nunca la había dado por acabada. Hasta ahora.

Campus de la Merced, el corazón de la Universidad de Murcia, una mañana de otoño de 1988. Allí unos cuantos esperábamos para entrar al primer examen de la fase regional de la Olimpiada Matemática. Era difícil no fijarse en él, con sus botas militares y su mirada que, además de inteligencia, transmitía una especie de voluntad y determinación férreas. Supongo que algo parecido debieron sentir quienes conocieron a un joven Napoleón Bonaparte o tuvieron frente a sí a un joven Julio César. Leandro había nacido para triunfar y eso es algo difícil de no percibir. Recuerdo años después, en casa de sus padres, como al abrir un armario se desparramaban por el suelo un buen número de diplomas y premios, anteriores a su entrada en la universidad, cuando todavía estudiaba en los Maristas. Por azares de la vida no me pude presentar a la fase nacional de la Olimpiada Matemática. Leandro sí estuvo y al quedar entre los cinco primeros, pudo asistir a la fase internacional que se celebraba ese año en Brunswick, el pueblo natal de Carl Friedrich Gauss.

Compañeros de quinto curso, primavera de 1994. Leandro a la derecha, Antonio pésimamente situado en primera fila (culpa mía como fotógrafo) y, a la izquierda, una posible explicación de mi escaso rendimiento académico…

Volvimos a encontrarnos al comienzo de la Licenciatura en Matemáticas, y siendo él de los pocos que conocía antes de entrar en la universidad, desarrollamos una relación estrecha desde ese mismo momento. Tras los primeros exámenes, parecía claro que estábamos destinados a acaparar las mejores calificaciones de nuestra promoción, con lo que se estableció una sana rivalidad entre nosotros. Mi padre sabía de Leandro, lo consideraba casi un ser mitológico y me preguntaba con frecuencia por él. Curiosamente, la madre de Leandro me revelaba en el tanatorio que en su casa yo tenía una consideración parecida… no obstante, Leandro me ganaba por goleada: no sólo hacía las tareas correctamente, sino que las presentaba impresas mientras que yo entregaba unos tristes folios manuscritos. A pesar de eso y otras distracciones, al final no se me dio tan mal. Leandro y yo fuimos los únicos de nuestra promoción (excluyo algunos compañeros que cambiaron de universidad durante los últimos cursos) que apostamos por realizar el doctorado.

Párrafo escogido por Leandro para la presentación de su tesis doctoral «Categories of Modules for Idempotent Rings and Morita Equivalences».

Compartimos despacho un tiempo, mientras él hacía su tesis en Teoría de Categorías y yo aún no había encontrado mi lugar en la investigación. Nunca supe qué atractivo veía en los diagramas de flechas y esos resultados tan poco intuitivos. Tras el doctorado, no tardó mucho tiempo en escalar posiciones en política universitaria, llegando a decano de la Facultad de Informática, posteriormente vicerrector de Información, Comunicación e Innovación, amén de otros cargos, incluso en la Comunidad Autónoma. En este punto, nuestras trayectorias laborales se separaron bastante, ya que yo opté por una vida académica más tranquila, además de odiar la gestión. Pero en 2004, diez años después de haber acabado la licenciatura, Leandro me pidió que hiciéramos el Camino de Santiago juntos. Era un momento especial para él, ya que Teresa, su esposa, estaba esperando una niña. El relato de esa aventura en uno de los primeros posts de este blog.

Fin de etapa del Camino de Santiago en Burgos, tostados por el sol, con cerveza y morcilla.

Con el nacimiento de Teresita Baby, nos distanciamos un poco más (yo también he experimentado algo parecido desde que Matías Jr. entró en escena). Leandro pasó unos años trabajando para Philips, en Holanda, a donde viajaba frecuentemente. Nunca me dio detalles de lo que hacía allí, respetando el NDA que tenía firmado con la multinacional, pero imagino que tenía que ver con sus capacidades como programador. En una época en la que los monitores de ordenador eran monocromáticos, Leandro escribía comandos en C a velocidad de estenógrafo en una línea infinita (ausencia de retorno de carro) sin mirar al teclado y ni casi a la pantalla. En resumen, Leandro alcanzó el éxito en la vida académica, la alta gestión y en el mundo de la empresa.

Premios 2017 a la Transferencia de Conocimiento, con Leandro (segundo por la izquierda).

Hay muchas más cosas que podría contar de Leandro, pero es momento de ir cerrando el post. Tras la noticia de su muerte se han amontonado los recuerdos en mi mente y la certeza desoladora de que todo eso ha quedado atrás, como mi juventud: ha dejado de ser presente perfecto para ser pasado simple (disculpas por seguir la terminología gramatical inglesa, más adecuada para lo que quiero decir). Aquí queda mi pequeño homenaje al compañero con el que rivalizaba y al amigo al que admiraba.

Tres teoremas de triángulos

Se ha afirmado en ocasiones que la verdad sólo existe en Matemáticas, por ser sus afirmaciones generales, irrefutables y eternas. Si bien esto es discutible desde distintos puntos de vista, hoy no es el día en el que entraremos en ese jardín. Esa verdad en Matemáticas emana de la posibilidad de demostrar las afirmaciones, de razonar a partir de lo que se da por sentado o resulta evidente, para llegar resultados complejos y, en ocasiones, nada obvios. Posiblemente, el primer resultado que se comprendió y motivó la necesidad de argumentar, dando así al comienzo de las Matemáticas como ciencia, fue la observación por Thales de que la igualdad de ángulos implica la semejanza (o proporcionalidad) de triángulos. El conocimiento acumulado en los tres siglos siguientes, sistematizado por Euclides en sus Elementos, se convirtió en el paradigma de teoría matemática. Esto último es también otro asunto muy interesante que no abordaremos aquí. Hoy sólo quiero comentar tres teoremas de triángulos que me llaman particularmente la atención.

¿Por qué el triángulo?

El triángulo (me referiré únicamente a los triángulos planos en este post) es un objeto muy sencillo y que, sin embargo, da mucho de sí. Para empezar, sus ángulos internos suman siempre dos rectos (0 ángulo llano) y las longitudes de dos de sus lados suman más que la del lado restante, manifestando así que el segmento rectilíneo es siempre el camino más corto entre dos puntos. Platon prohibía la entrada en su Academia a quien no supiera Geometría, y la enrevesada prueba de Euclides para demostrar la igualdad de los ángulos opuestos a los dos lados iguales de un triángulo isósceles recibía el nombre de pons asinorum, por ser el puente que debían cruzar los estudiantes para desasnarse.

De izquierda a derecha y de arriba a abajo, baricentro, incentro, circuncentro y ortocentro. Los dibujos del incentro y el circuncentro incluyen la idea para la prueba de su existencia, apoyada en la construcción de ciertas circunferencias. El dibujo relativo al ortocentro incluye la construcción del llamado triángulo órtico, de notables propiedades. Los dibujos están tomados de Wikipedia.

Los triángulos tienen cuatro puntos notables: el baricentro, donde concurren las medianas (líneas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto); el circuncentro, donde concurren las mediatrices (líneas que bisecan perpendicularmente cada lado); el incentro, donde concurren las bisectrices (líneas que bisecan cada ángulo); y el ortocentro, donde concurren las tres alturas (líneas que pasan por cada vértice siendo perpendiculares al lado opuesto). Estos cuatro puntos coinciden para un triangulo equilátero (y en este caso se llama simplemente centro), pero en general son diferentes. Demostrar su existencia o, lo que es lo mismo, convencerse de que cada una de esas cuatro ternas de rectas coincide en un punto, es una de las primeras satisfacciones que un joven estudiante podría tener con las Matemáticas…

Libro de Jean Dieudonné, gran matemático y enemigo acérrimo del triángulo.

… si esto se contara en algún momento del currículo educativo. El cambio de punto de vista en Geometría, que está muy bien para los matemáticos profesionales, ha tenido una incidencia negativa en la formación matemática escolar. Con la Geometría Analítica, toda relación geométrica puede reducirse a ecuaciones, dando la impresión de que es el método universal para abordar problemas y demostraciones, pero a costa de la intuición y la elegancia. Más «recientemente», hace sólo 150 años, Felix Klein concibió cada tipo de Geometría (euclídea, afín, proyectiva…) como el estudio de los invariantes asociados a un grupo de transformaciones. De este modo, la manera griega de hacer Geometría se fue arrinconando, y su sentencia definitiva tuvo lugar en 1960 cuando Jean Dieudonné exaltado gritó en un congreso ¡Abajo Euclides! ¡Muerte al triángulo! En ese momento, Bourbaki entraba en las escuelas con el pseudónimo eufemístico de Matemática Moderna.

Primer teorema: fórmula de Herón

Casi todo el mundo sabe que el área de un triángulo se calcula como la mitad del producto de la base por la altura. Sin embargo, casi nadie se para a reflexionar que base y altura dependen de la posición del triángulo, si bien el área obtenida no cambia. Además, la altura es un dato de carácter práctico si el triángulo está en posición vertical ya que se puede trazar la vertical con una plomada. Cuando el triángulo se presenta en forma de solar o parcela de ciertas dimensiones, no es sencillo averiguar lo que mide la altura de un triángulo respecto a una de sus bases (salvo que sea un triángulo rectángulo). Esto lo sabían de sobra los antiguos topógrafos, antes de que los datos del teodolito electrónico (estación total) se volcaran directamente en el ordenador, por lo que ellos solían utilizar la fórmula de Herón para calcular las áreas de los triángulos que aparecen en la descomposición de una parcela poligonal.

Fórmula de Herón (izquierda) para el área de un triángulo, siendo a, b y c los lados. La fórmula alcanza su máxima elegancia escrita en términos del semiperímetro s, definición a la derecha.

La fórmula de Herón puede ser deducida fácilmente a partir de relaciones trigonométricas (véase una prueba aquí). Su descubridor, Herón de Alejandría vivió en dicha ciudad en el siglo I y ha pasado a la historia como un reputado científico e inventor. Se le reconoce como el descubridor de la fuerza motriz del vapor, aunque sus artefactos fueran considerados como meras curiosidades: para qué inventar motores si tenemos esclavos 😕 También se le atribuye la invención de la primera máquina de vending, siendo agua bendita el producto dispensado a cambio de monedas en los templos de Alejandría.

Ilustración de Herón con su artefacto a vapor, tomada de National Geographic.

Segundo teorema: Napoleón

La figura de Napoleón Bonaparte puede resultar controvertida, sobre todo si se juzga con la óptica woke. Sin embargo, no se puede negar que fue una persona de gran inteligencia, y sabemos, además, que le gustaban las Matemáticas. Por todo esto resulta plausible atribuirle un teorema de Geometría, aunque no existe ninguna evidencia que confirme la autoría del Empereur. El llamado teorema de Napoleón dice que si se construyen triángulos equiláteros (exteriores) sobre los lados de un triángulo cualquiera, los centros de los triángulo añadidos forman, a su vez, un triángulo equilátero (el dibujo lo explica claramente).

A partir del triángulo ABC se añaden los puntos X, Y y Z de manera que los triángulos ABZ, ACY y BCX son equiláteros. Entonces los centros de estos triángulos, N, M y L forman un nuevo triángulo equilátero (dibujo de Wikipedia).

La prueba del teorema de Napoleón puede ser endiablada con técnicas de geometría analítica (también pueden usarse números complejos), pero resulta muy sencilla usando semejanza de triángulos y rotaciones. Para demostrar que los centros de los triángulos equiláteros son equidistantes se comparan dos a dos, observando que guardan la misma proporción de la longitud de cierto segmento. Para una explicación más detallada ver el siguiente dibujo hecho a tiza.

La línea roja une los baricentros del triángulo superior izquierdo y del triángulo inferior. Una rotación de 30º con centro en O la lleva hasta la línea amarilla, que resulta ser paralela a la línea azul porque la distancias de cada baricentro a O es proporcional a la longitud del lado del triángulo.

Tercer teorema: Morley

La trisección del ángulo, junto a la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo, fue uno de los grandes problemas abiertos que dejaron los matemáticos de la antigua Grecia. Realmente, el principal inconveniente para su resolución eran las estrechas condiciones impuestas por Platón: sólo se admite en Geometría lo que puede ser construido con regla y compás, ya que la recta y la circunferencia son las formas perfectas, las únicas admisibles. Quizás por este motivo, los griegos no se plantearon nunca un enunciado que tuviera como punto de partida la trisección de ángulos, ni aparentemente nadie, hasta 1899, año en el que Frank Morley encontraba un sorprendente resultado que ahora se conoce como el Milagro de Morley, o simplemente Teorema de Morley, posiblemente el último gran teorema que quedaba por descubrir en Geometría euclídea plana.

Teorema de Morley: el dibujo habla por sí solo (tomado de Wikipedia).

El Teorema de Morley, establece que las trisectrices de los ángulos de un triángulo cualquiera, tomadas dos a dos entre las más próximas a un mismo lado, se encuentran en tres puntos que forman un triángulo equilátero. A pesar de la sencillez del resultado, no se puede decir que exista una demostración fácil. Varios matemáticos de renombre como John Conway o Alain Connes han hecho aportaciones interesantes intentando conseguir una prueba más sencilla. Yo personalmente me quedo con el argumento que aparece en el libro «Fundamentos de Geometría» de Coxeter, donde tuve conocimiento de este resultado por primera vez. La idea es partir de un triángulo equilátero y construir alrededor de él un triángulo de ángulos cualesquiera que satisface la tesis del teorema.

Esquema de la prueba del teorema de Morley tomada de Coxeter. Puede verse que con una adecuada elección de los ángulos alfa, beta y gamma se consigue construir cualquier triángulo alrededor de uno equilátero.

Epílogo

Es posible que algún lector haya echado de menos al teorema de Pitágoras, pero el «teorema por antonomasia» no se refiere a triángulos generales sino únicamente a los triángulos rectángulos. Tampoco hemos dicho que tres de los puntos notables de un triángulo están alineados: se trata de la llamada recta Euler, una lamentable omisión de Euclides y los geómetras de la antigüedad. Finalmente, hemos comenzado con la idea de que la verdad sólo se puede encontrar en las Matemáticas. Curiosamente, la noción de «verdad» que se utiliza en Matemáticas se ha ido destilando a lo largo del tiempo. El primer cambio substancial tuvo lugar en el siglo XIX, precisamente con el descubrimiento de las geometrías no euclídeas, que pusieron de manifiesto por primera vez que la validez de un teorema no es universal sino que es relativa al sistema de axiomas que se adopte.

Pequeño geómetra examinando la prueba de la existencia del baricentro de un triángulo.

Editado 13/02/2026. Ayer tuve la oportunidad de dar una charla en la Facultad de Matemáticas de la UMU cuyo contenido está motivado por este post. Incluyo aquí el vídeo correspondiente.

Algunos minerales de la Región de Murcia

Como estoy muy liado con el trabajo, he decidido hacer un post fácil a base de fotos recicladas de mis estados de WhatsApp: cada día pongo en dicho recurso una foto (a veces varias) de un mineral de mi colección. Siguiendo las normas de la «mineralogía manoscópica», la mayor parte de las fotos incluyen mi mano como referencia. También, una gran parte de las fotos ha sido hecha en condiciones similares de iluminación (la lámpara de mi despacho). Finalmente, el denominador común que vertebra esta selección de algunos minerales de la Región de Murcia es la anomalía. Por esto entiendo, sobre todo, minerales corrientes encontrados en sitios insospechados, o bien ejemplares raros a nivel de la mineralogía regional. En ambos casos, hay una intención clara de poner en valor los minerales murcianos que no proceden de la Sierra Minera ni se ven, generalmente, en los puestos de la Feria de Minerales de La Unión.

Algunas de estas fotos se han incorporado la Galería de minerales de esta web, siempre en actualización, donde podéis ver otras piezas de mi colección.

Piromorfita, un fosfato de plomo muy raro en nuestra región. Este ejemplar procede de un bancal de almendros en Cuesta de Gos (Águilas) y está poco rodado, por lo que el filón está sepultado bajo el terreno arado.

Granate melanito, ejemplar completo (12 caras rómbicas) de 600 gramos, procedente de los alrededores de las minas de San Antonio (Cehegín). Aparece en roca ofítica meteorizada. He estado decenas de veces en yacimiento, desde la primera vez en los años 90, que me llevó mi padre.

Calcita, ejemplar procedente de Ojós. Lo excepcional de esta pieza es el tamaño y hábito de los cristales, de cuerpo casi cilíndrico rematados en pirámide triangular. Aparecen en una marga miocena donde el filón ha sido expuesto por la erosión (ver Minerales del Valle de Ricote).

Drusa de cristales de cuarzo «hielo» de Carrascoy, recogida en la escombrera de una mina de hierro. Reconozco que no es tan bonito como el cuarzo de La Unión, pero su aspecto de cubitos de cubata agrietados es verdaderamente peculiar (ver Cuarzo).

Cristales cúbicos de fluorita de Bolnuevo (Mazarrón). La fluorita no está citada en los grandes cotos mineros de Mazarrón, pero si que aparece masiva y difícilmente reconocible en una pequeña mina de plomo en dolomías franciscanas. Hasta ahora sólo he podido recuperar una pieza con cristales que no superan los 5 milímetros (ver Minerales de Mazarrón).

Pirita, Ricote. Ha llovido mucho desde que me pasé varios días cavando en busca nódulos de pirita en margas cretácicas de la Sierra de Ricote y tuve la suerte de recuperar varios ejemplares excelentes. Este nódulo ha sido recogido en tiempos más recientes. Exhibe un patrón de cristales en forma de roseta y se encontraba expuesto por la erosión, a pesar de lo cual tiene una bonita pátina (ver Minerales del Valle de Ricote).

Las localidades clásicas para la prehnita en la Región son Cehegín y Caravaca (un yacimiento desaparecido). Pero a mí me encanta esta pieza de un aforamiento de ofitas en la Sierra de Ricote (ver Minerales del Valle de Ricote).

La hornblenda basáltica aparece en buenos cristales en los basaltos de Tallante (Cartagena), casi siempre sueltos y rotos, en su mayoría, al ser liberados por la erosión. Este ejemplar, completo y de buen tamaño está todavía embutido en matriz, lo que le da un valor adicional para «vitrinólogos» (ver Minerales de Mazarrón).

La famosa celestina de Ulea aparece en areniscas miocenas. La de la foto es una celestina de Ulea formada en terrenos del Keuper, concretamente, en un estrato de origen evaporítico. El hábito tabular de los cristales y la delicada tinción por óxidos de hierro hacen de esta pieza una de mis favoritas (ver Minerales del Valle de Ricote).

Cubo (deformado) de fluorita verde de Ulea. Sin duda uno de los yacimientos más sorprendentes de Murcia. Los cristales aparecen flotantes y sus seis caras no se desarrollan por igual, lo que no le quita espectacularidad a las piezas (ver Minerales del Valle de Ricote).

Cerusita sobre galena. Una cantera en La Paca (Lorca) expuso antiguos filones de galena. Alguna de las piezas llevaban cerusita y el ejemplar de la foto es el que tenía cristales de mayor tamaño, si bien, las drusas de cristales pequeños suelen ser más brillantes.

Aragonito fibroso teñido por cobre, Almendricos (Lorca). La mina Santa Isabel, cuyo acceso es complicado y aún recuerdo con agobio los metros que había que arrastrarse sin poder levantar la cabeza, corta una cueva natural donde se formó este bonito mineral.

Pirolusita (o similar, los manganesos son complicados) botroidal sobre psilomelana y acompañada de calcita, formada en los terrenos miocenos de Espinardo (Murcia). Un pequeño yacimiento menos conocido que el de San Ginés de la Jara (Cartagena).

Cristales de cuarzo sobre dolomita, de pequeño tamaño pero gran pureza. La formación de esta drusa está ligada a procesos hidrotermales en un afloramiento ígneo triásico de Ojós (ver Minerales del Valle de Ricote).

Piritoedro de la rambla del Piscalejo (Caravaca), aunque tiene una gruesa pátina de óxido por estar a la intemperie, su tamaño excepcional lo compensa (ver La verdadera historia del mamut de Caravaca).

Ramita de cobre nativo cubierta de malaquita, de Nogalte (Lorca). Las labores mineras han sido sepultadas por la agricultura, así que los minerales están dispersos bajo los almendros.

Nódulo de barita, de una rambla que va a parar al río Quípar en Caravaca. Este peculiar yacimiento, en el contacto Triásico y Cretácico ha sido estudiado por mi amigo Luis Arrufat

Hematites, procedente de la Cuesta de las Lajas de La Unión. Esta magnífica masa de óxido de hierro es una de las anomalías más curiosas que he recogido, ya que su origen no está ligado al del resto de las especies del famoso distrito minero (ver Mis minerales de La Unión).

Andalucita, agregado en forma de ramo de cristales prismáticos de base cuadrada, con biotita, de Mazarrón. Desde que encontré las primeras andalucitas en las andesitas hace 40 años, este es el mejor ejemplar que he recogido (ver Minerales de Mazarrón).

Feldespato de la familia de las plagioclasas (duda entre anortita y albita). Se trata de un cristal completo, aunque algo irregular, salido de los basaltos de Tallante (Cartagena). Es el mayor ejemplar que he conseguido tras muchas horas bajo el sol de verano y el ardiente suelo volcánico (ver Minerales de Mazarrón).

Calcita de Archena. Este ejemplar procede del parking que había frente al Balneario de Archena junto a un talud vertical, el mismo que se derrumbó atrapando varios coches. La pureza y hábito en la pequeña drusa me parecen dignos de mención (ver Minerales del Valle de Ricote).

Aragonito, agregado de prismas y agujas pseudohexagonales del Keuper de Ulea. Agradezco a Fran García que me indicó el lugar exacto de donde procede este ejemplar (ver Minerales del Valle de Ricote).

Masa de blenda y galena, con un carbonato, de las minas del Cerrillar en la Cresta del Gallo (Murcia). Curiosamente, mucha gente aún cree que la antigua mina era de hierro. He usado la luz para diferenciar entre los minerales, así la galena aparece algo más azulada.

Celestina y calcita, del monte Miravete de Torreagüera (Murcia). Mineralógicamente hablando, lo más curioso que he recogido en varios años viviendo en las inmediaciones.

Filón de cobre y mercurio, minas del Collatero en Las Balsicas (Mazarrón). En las pasadas Navidades visité por última vez la galería y tomé esta foto en la que destaca la gama de verdes y azules de los minerales de cobre alterados y el rojo intenso del cinabrio pulverulento (ver Minerales de Mazarrón).

Calcedonia del Cabezo Negro de Zeneta. La calcedonia no es difícil de ver en ese afloramiento volcánico, pero en forma de pequeña estalactita es una curiosidad.

Azurita en forma de roseta tipo Chessy, encontrada en Morata (Lorca, pero más cerca de Mazarrón 🙂 ). Formada en la zona de meteorización de unos esquistos con magnetita y calcopirita. Para mí es una pieza extraordinaria (ver Minerales de Mazarrón).

Hematites cristalizada de Ulea, formada en yesos del Keuper. Aunque el desarrollo de los cristales es un poco irregular, las caras brillan como espejos (ver Minerales del Valle de Ricote).

Cuarzo, agregado de cristales crecidos sobre calcedonia del Mesiniense de Campos del Río. Llama la atención el curioso hábito a base de recrecimientos en las pirámides hexagonales.

Bornita de Santomera. Desde el punto de vista de la calidad mineral, para mí las minas de cobre de Santomera son las más importantes de la Región. He identificado, además, calcopirita, calcosina y covellina, por decir sólo los sulfuros. La memoria del IGME menciona cobres grises, pero nunca he visto arseniatos allí… merecería la pena hacer un estudio en condiciones.

Manganita/pirolusita de Mazarrón. Se trata de una placa cristalizada que recuperé en una escombrera donde se pueden encontrar otras manifestaciones de los óxidos de manganeso, maravillosos a la lupa binocular (ver Minerales de Mazarrón).

Galena, minas de San Cristóbal — Los Perules de Mazarrón. Encontrar galena, cantidades apreciables, en las viejas minas es una tarea casi imposible. Por eso esta pieza recogida en 2021 con un filón de galena de varios centímetros de grosor, acompañada de siderita, pirita y cuarzo, figura entre mis «tesoros» más apreciados (ver Minerales de Mazarrón).

Un par de curiosidades

También he hecho propaganda de las propiedades de los minerales a través de los estados de WhatsApp, como el magnetismo o la fluorescencia.

Piedra imán de La Unión. En este vídeo se puede ver como es capaz de levantar unas tijeras. Aunque tiene un magnetismo bastante fuerte, no es comparable al de un imán artificial. El movimiento de vaivén que hago al principio polariza levemente el acero de las tijeras y mejora la atracción (ver Piedra imán).

Algunos minerales: calcita (Ojós), cuarzo (Villanueva), nódulo de barita (Caravaca), hemimorfita (Zarzadilla de Totana) y fluorita (Ulea).

Los mismos minerales con luz UV de onda larga.

Epílogo

Este post, aparte de fácil, es una reivindicación de mi forma de entender la mineralogía: minerales de composición sencilla que no dejan de sorprenderte, menas metálicas y muchos minerales extraídos más por la erosión que por el martillo… Espero que os haya gustado. Si es así, otro día, en lugar de algunos minerales de la Región de Murcia, hablaremos de lo que podemos encontrar en las provincias limítrofes, o más lejos 🙂

Bautismo viajero

Nunca hubo afición a viajar en mi familia, es decir, el viaje por mero placer. Sólo se viajaba por motivos familiares, si los había, o laborales. Quizás fuera esto último lo que les hacía ver los viajes como algo molesto. La lista de localidades donde mi familia ha vivido desde que estoy en el mundo da idea de ello: Cartagena, l’Ampolla, Archena, Madrid, El Cañarico y vuelta a Archena. Apenas tengo recuerdos de mis clases de párvulos en Cataluña…. A Madrid llegamos mi madre y yo en el camión Barreiros que llevaba los muebles familiares (mi padre lo había hecho antes en el SEAT 850), como en una vieja película de Berlanga. De los muchos recuerdos que guardo de aquella Archena hablaremos cuando sucumba a la nostalgia… Pero hoy me ocuparé del momento que comencé a viajar al extranjero y, sobre todo, a viajar por mi cuenta, lo que podría llamar mi bautismo viajero.

Una par de páginas de mi primer pasaporte.

La fecha se sitúa en 1994, si bien los viajes que más me marcaron se extienden hasta 1996. Así que puede decirse que este post celebra un pequeño aniversario personal. En estos 30 años he visitado alrededor de 40 países. Sin embargo, con 22 años de edad apenas había salido de España. En efecto, la única excepción fue un rápido paso por Andorra en 8º de EGB, en el que los maestros acompañantes nos endosaron una buena cantidad de botellas de whisky, cartones de tabaco, cintas VHS y cajas de munición (un ítem de cada por alumno). Y no se presentaría de nuevo la oportunidad de salir al extranjero hasta el viaje fin de carrera (mal llamado «de estudios») que fue a Estambul. Después de aquello y con vista a seguir con el doctorado, las peticiones de becas y ayudas para estancias se materializaron en tres experiencias más: Paraguay (Asunción), Reino Unido (Londres) y Perú (Piura), los dos últimos en 1995. El ciclo bautismal se cierra el verano de 1996 con el Interrail por Europa.

No siempre se podía hacer fotos, así que compraba postales… Ocho fotos y un mapa ¿qué más se puede pedir?

Turquía

Un viaje contratado a través de agencia no parece la mejor manera de comenzar un curriculum de viajero independiente, pero de alguna manera tenía que romper el maleficio (no haber participado en programas de intercambio ni tener viaje de estudios en bachillerato). No recuerdo como se acordó el destino entre mis compañeros de 5º curso de licenciatura, pero me pareció estupendo. Es posible que los frecuentes atentados terroristas en Estambul contribuyeran en algo a la economía del viaje, además de volar con la desaparecida compañía búlgara Balkan y su flota de obsoletos aviones soviéticos. Al comienzo se planteó la posibilidad de planificar la semana con las actividades a realizar conjuntamente. Tras el primer día, un amigo y yo nos escindimos del resto del grupo, desanimados por el escaso espíritu de aventura de los demás (por ejemplo, tras un primer encuentro con la cocina turca, los otros decidieron comer a partir de entonces en una famosa cadena de hamburgueserías).

Postal con una imagen típica de Estambul: Santa Sofía.

Mi amigo y yo nos planteamos la posibilidad de adentrarnos en la parte asiática de Turquía, lo que fuese razonable para ir y volver en la misma día. El lugar elegido fue la ciudad de Bursa, a unos 150 kilómetros. Esta fue la primera vez que puse en práctica en el extranjero el Blitzreise (así en alemán, que queda mejor). El simple hecho de ver como funciona el transporte público allí, por ejemplo, el autobús no sale a la hora prevista sino cuando se llena, fue muy instructivo. Al llegar a Bursa nos encontramos una situación muy diferente a la de Estambul: nadie hablaba otra lengua que no fuera el turco. Tras un buen rato preguntado, conocimos a dos estudiantes con los que pudimos comunicarnos en inglés y nos acompañaron durante toda la jornada en Bursa.

Los estudiantes de Bursa que nos acompañaron en aquel escarceo por Asia Menor… buscando información para este post he encontrado las señas de uno de ellos.

El Mausoleo Verde de Bursa, uno de los lugares a los que nos llevaron de visita.

Después del feliz regreso de Bursa, ya estaba totalmente animado a visitar cualquier lugar que estuviese razonablemente al alcance del trasporte público, como los barrios menos turísticos de Estambul. Compré un pequeño diccionario Turco–Español con el que esperaba abrirme camino por terreno inhóspito. Uno de los días llegué hasta un lugar de la costa del Mar Negro que, aunque oscuro, su color es otro 🙂 Desde entonces, llegar hasta el mar en cualquier viaje (siempre que sea posible, claro) se ha convertido en una obligada ceremonia para mí.

El resto de los días por Estambul también fue interesante…

El Mar Negro, desde un punto al norte del Bósforo donde llegué en autobús. Años después me bañé en sus aguas en una playa de Burgas.

El avión que cubría el trayecto Sofia — Estambul. Mi cinturón de seguridad no tenía hebilla, así que hice un nudo.

Mi primer billete extranjero… realmente no éste, pero igual. El que seleccioné en Estambul, prácticamente nuevo, para traer a España fue sustraído en el registro aduanero no-presencial. Con ese dinero en 1994 apenas se podía comprar una barra de pan…

Paraguay

Faltando pocos meses para terminar la licenciatura comencé a buscar opciones que me permitieran continuar (principalmente las llamadas becas F.P.I. o F.P.U.), pero se presentó una oportunidad única. Por primera vez se convocaban las becas Intercampus/E.AL que permitirían a estudiantes de último curso y doctorado españoles visitar universidades de América Latina, y viceversa. Sin dudarlo eché los papeles y me concedieron una estancia de un mes en la Universidad Nacional de Asunción en Paraguay, que tuvo lugar entre agosto y septiembre de 1994. Viaje con escalas San Javier — Madrid — Buenos Aires — Asunción. Durante ese tiempo me alojé en la casa de un emigrante aragonés, que después de décadas en América no había perdido su acento maño, y cuyo hijo era profesor en la facultad a la que me habían asignado.

Visita a Cerro Koí, donde se produce disyunción columnar en areniscas.

Detalle de un fragmento de arenisca con forma de prisma hexagonal.

Lo que más me impresionó nada más llegar a Paraguay fue la vegetación tropical, esa fuerza que tiene la vida para abrirse camino… plantas creciendo sobre los cables del tendido eléctrico (clavel de aire), por ejemplo. De Asunción recuerdo su trazado perfectamente euclídeo típico de las ciudades indianas, y que todo se paralizaba cuando pasaba el tren a vapor que cubría el trayecto Asunción–Encarnación (y vuelta) una vez por semana, el primer ferrocarril de pasajeros que funcionó en Sudamérica (y sin demasiada renovación al parecer). Por supuesto, algo hice también en la universidad: mis lecciones de Geometría Analítica permitieron, por ejemplo, que uno de los profesores se ausentara para colaborar en un proyecto de campesinos sin tierra. Acabada la docencia diaria, mi anfitrión me llevaba a conocer la noche de Asunción… y luego estaban los fines de semana.

El tren cruzando Asunción, cuando todavía funcionaba (foto de Juha Tamminen).

Si ya he llegado hasta aquí, por qué no un poco más lejos… Compré un billete de avión a Santiago de Chile y a las pocas horas estaba volando sin plan alguno. La camiseta de mi promoción, con una llamativa fórmula matemática, me permitió conocer a dos personas que me ayudaron al llegar. Al día siguiente el conservador del museo de minerales de la Universidad de Chile me invitaba a levantar un meteorito de buen tamaño, y al otro contemplaba por primera vez el Pacífico desde Valparaiso. Decidí regresar a Asunción en autobús para ver más paisaje, haciendo escala en Mendoza y parando unos días en Buenos Aires… lo que pude hasta que me dijeron que debía volver inmediatamente por algún asunto de la embajada. En mi ingenuidad pensé que Felipe González, en su visita a Paraguay, recibiría a los estudiantes de la primera edición de Intercampus. Según recuerdo, sí que recibió a los de la Ruta Quetzal… lo de la embajada era por otra cosa 😕

Vista del Océano Pacífico desde Valparaiso.

Ascensión de Los Andes en autobús, parte chilena.

Parada para trámites aduaneros en el Paso de los Libertadores, muy cerca del Aconcagua.

La aridez de Los Andes argentinos, en la bajada hacia Mendoza.

El fin de semana siguiente volví a viajar. Esta vez en colectivo hacia Ciudad del Este, donde crucé la frontera con Brasil para visitar las Cataratas de Iguazú. Ciertamente, las cataratas son impresionantes, pero su entorno inundado de vida no le anda a la zaga. Después visité el estado argentino de Misiones, y alguna de las ruinas sobre suelo rojo que le dan nombre mientras en mi mente sonaba Ennio Morricone. Ya en Corrientes, creo recordar, desperté en el hotel con un señor roncando en la cama de al lado: no se preocupe, es empleado nuestro — me dijo la recepcionista como aclaración. La inmensidad del Paraná, entre Corrientes y Resistencia es uno de mis últimos recuerdos antes de regresar a Asunción y poco después a España.

Postal de Iguazú. La mayor cantidad de agua cae por la parte argentina, así que las vistas típicas son desde la parte brasileña.

Foto realizada por unas turistas japonesas que me enviaron unas semanas después a España.

Puente sobre el Paraná uniendo las ciudades de Resistencia y Corrientes.

Reino Unido

Me concedieron una de las ayudas que pedí en 1994 para poder realizar estudios en el University College London, aunque el dinero apenas podía cubrir dos meses de estancia. Al menos, serviría para mejorar mi inglés, así que mayo y junio de 1995 los pasé allí, alojado en la residencia de estudiantes International Hall. Nada más llegar, me llamó la atención la cantidad de gente que había en los parques tirados en el césped tomando el sol como lagartos. A los pocos días lo comprendí: llegó la lluvia y ya no dejaría de llover hasta finales de junio, poco antes de mi regreso a España. Durante esos primeros y soleados días andaba muy desinhibido y me lanzaba a hablar con cualquiera por la calle, lo que se materializó en un par de citas. Con la lluvia y la llegada de mi colega Luis Oncina a la semana siguiente me relajé un poco y traté de centrarme en las matemáticas.

Otra de las imágenes icónicas de Londres.

Uno de los pocos documentos oficiales que necesitaba para moverme por UCL.

A título anecdótico, mi tutor, John Jayne, me encargó estudiar un artículo considerablemente largo de Jean Saint-Raymond. En aquellos dos meses no pude sacarle partido, pero casi diez años después fue la clave de uno de los trabajos que tengo en más estima (en caso de curiosidad, éste es el artículo). Pasé bastante tiempo paseando por Londres, visitando museos y librerías, sobre todo. Una de las historias más simpáticas es cuando me presenté en el Natural History Museum (nada que ver con el estropicio que hay ahora) diciendo que quería hacer una donación de minerales en nombre de… España. Bajó el curator de mineralogía a hablar conmigo, a resultas de lo cual terminé visitando el museo gratis 🙂 Finalmente, también disfruté frente Buckingham Palace de uno de los aniversarios más emotivos: los 50 años de la victoria en Europa (VE Day), con los aviones de la contienda volviendo a volar sobre Londres.

Entre esa muchedumbre estoy, más perdido que *Wally*.

Conservo experiencias curiosas de ese par de meses en Londres que suelo reservar para los amigos y, quizás, para otro post… Naturalmente, intenté visitar otros lugares de Gran Bretaña, pero las circunstancias sólo me permitieron hacer un par de viajes turísticos en autobús, primero a Oxford y luego a Edimburgo, del que guardo muy buen recuerdo. Por eso, para ver algo de paisaje decidí regresar a España en autobús, lo que incluía ferry a través del Canal de la Mancha (aún no habían hecho el túnel submarino). Algo más de treinta horas, incluyendo un cambio de coche en Sants, con las que considero más que satisfecho mi bautismo autobusero.

La única postal de Edimburgo que tenía a mano.

Uno de los pocos lujos que me permití viviendo en Londres.

Y después…

Al poco de volver de Londres me fui dos meses a Perú (de nuevo en el marco del programa Intercampus/E.AL), de lo que he contado una pequeña parte en El año que vivimos peligrosamente. Después, en verano de 1996 hice el Interrail por Europa y en otoño de ese mismo año me fui a vivir a Francia, cerrando así mi bautismo viajero. Durante un tiempo llegué a pensar que dar tumbos por el mundo sería mi forma de vida, pero en el curso 1997/98 me incorporé como profesor en la Universidad de Murcia. Al menos, mi trabajo me permite visitar sitios relativamente lejanos, aunque durante breves periodos.

Para acabar, quisiera añadir una confesión. Este post tiene algo de espina que tenía que sacarme. Cuando estaba gestando la idea de este blog pensaba que podría en él contar mis viajes «de juventud» o, por lo menos, la parte más interesante o divertida. Sin embargo, esos primeros viajes no están tan bien «documentados» como los que hago ahora. Las escasas fotos que conservo amarillean y parecen remitir a un pasado lejano, como si fueran las vivencias de otro… Será que el formato digital es incompatible con la experiencia analógica.