¿El fósil más antiguo de Murcia?

Las estructuras cilíndricas tubulares que observan en el canto rodado de la foto tienen alrededor de 480 millones de años (periodo Ordovícico inferior). Esta roca ha aparecido en las terrazas fluviales del río Segura a su paso por la murciana villa de Lorquí, lugar al que ha llegado por procesos estrictamente naturales (transporte fluvial, terrestre y, eventualmente, marino), por lo que sería el fósil más antiguo de la Región de Murcia… al menos del que yo tengo noticia (oficialmente, los restos de datación más remota son del Devónico). Lo que sigue está dedicado a poner en contexto y justificar el título del post.

¿Qué es un fósil?

Los fósiles son vestigios de vida pasada conservados en las rocas. Es habitual pensar en los fósiles como las partes duras de los organismos, huesos o conchas, de animales desaparecidos porque las partes blandas, tejido orgánico, se descomponen mucho antes del tiempo que le lleva al sedimento convertirse en roca (diagénesis). No obstante, a veces se preservan materiales orgánicos, como los exoesqueletos de los insectos encerrados en ámbar. O bien, los materiales orgánicos se transforman en algo duradero, como la madera petrificada por sílice. O simplemente dejan una impronta en la roca. En efecto, los moldes de organismos que permiten reconocer su aspecto en el momento de ser cubiertos por sedimento también se consideran fósiles, como las huellas de hojas y tallos que podemos encontrar en toba calcárea.

Posando en los años 90 con una icnita en el Barranco del Gredero (Caravaca), que tomé inicialmente por la impronta de una medusa (foto de M. A. Mancheño).

Más aún, se consideran fósiles los vestigios de la actividad de organismos pretéritos. Por ejemplo, los corales son una excrecencia calcárea producida por los pólipos marinos. Sin ir más lejos, también son fósiles los excrementos cuando se fosilizan (coprolitos), como los de las hienas por su alto contenido en hueso triturado. La icnitas son perturbaciones reconocibles en el propio sedimento provocadas por los organismos. Esto incluye la trama hexagonal de «corralitos» llamada paleodictyon, las pisadas de un dinosaurio, el rastro de un trilobites (cruziana) o los tubos producidos por un animalito que excava el sedimento marino. Este es el caso de los llamados skolithos, especie icnofósil a la que parecen adscribirse los restos hallados en Lorquí. Agradezco a Francisco Ceprián, compañero de Nautilus, su ayuda con la identificación de la especie y las discusiones alrededor de este tema.

Cruzianas, rastros estriados producidos por trilobites, en una cuarcita ordovícica de Herrera del Duque (Badajoz).

El Paleozoico en España

El Paleozoico acaba hace 250 millones de años, pasando al Mesozoico, la era de los dinosaurios. En aquel momento, lo que sería nuestro país, estaba ocupado por el llamado Macizo Ibérico (o Hercínico). La orogenia varisca elevó y metamorfizó parcialmente los terrenos sedimentarios, provocando también intrusiones graníticas. El resultado de esos procesos es más o menos evidente hacia el oeste de la Península, pero no tanto en el sureste. En efecto, la fuerte erosión y subsecuente acumulación de sedimentos, a partir del Triásico, afectó principalmente en el sector oriental de la Península. La mayor parte de la Región de Murcia está cubierta por terrenos formados a partir del Mesozoico, dejando la plataforma hercínica totalmente cubierta. El lugar más cercano a Murcia en el que se puede observar un vestigio del Macizo Ibérico es el Estrecho del Hocino en Salobre (Albacete), donde aflora, entre Triásico, una extensión relativamente grande de cuarcita armoricana del Ordovícico inferior. Recomiendo la visita de tan pintoresco lugar.

Estrecho del Hocino, en Salobre (Albacete) muy cerca de Alcaraz, en que queda expuesta la cuarcita armoricana del Ordovícico (foto de Red de Áreas Protegidas de Castilla-La Mancha).

Si no afloran materiales de Ordovícico en la Región de Murcia ¿cómo explicar la presencia de un fósil de ese periodo en la cuenca del Segura? De eso nos ocuparemos más adelante. La ausencia de los terrenos antiguos del Macizo Ibérico afecta, y mucho, en el plano de los minerales. No sólo a nivel del aficionado coleccionista sino también «geopolítico». Por ejemplo, no hay prácticamente yacimientos de estaño en el sector oriental de la Península, pero sí los hay de cobre. Como consecuencia, la fabricación del bronce (estándar) a partir del cobre local requiere de comercio de larga distancia y se ha podido demostrar que así era durante la Edad del Bronce. No es tampoco por casualidad que la más importante ruta que corre de norte a sur por el occidente peninsular se llama Vía de la Plata, si bien lo que hacía era hermanar (mejor dicho, alear) el estaño gallego con el cobre onubense.

Trilobites en una «pizarra» extremeña.

El bichito (realmente grupo) más característico del Paleozoico es el trilobites. Este artrópodo caminaba por los fondos marinos dejando sus rastros (las mencionadas cruzianas) mientras que los skolithos (cuyo aspecto no conocemos, o no relacionamos con los restos de algún organismo) horadaban el sedimento. Notemos que los restos de trilobites aparecen mejor conservados en unas «pizarras», que se llaman lutitas, reservando el primer término para las que han sufrido metamorfismo. Las fuertes presiones a los que son sometidos los sedimentos durante la orogenia pueden deformar los fósiles y el metamorfismo destruirlos completamente. No es de extrañar que las cuarcitas en las que se conservan icnofósiles no estén totalmente «cocidas». Una cuarcita completamente metamorfizada es casi un vidrio, se rompe en fractura concoidea, como el silex. Una cuarcita que no ha recibido un metamorfismo tan intenso recuerda más a una arenisca porque en las fracturas se distingue la individualidad de los granos de cuarzo que la componen.

Skolithos en cuarcita armoricana, Berrueco (Zaragoza). Nótese la ausencia de fractura concoidea (foto tomada de Wikimedia Commons).

Los terrenos más antiguos de la Región

El Macizo Ibérico está sepultado bajo sedimentos mesozóicos de la Región de Murcia, pero sólo en los sectores norte y noroeste. El sur y sureste del territorio son un «injerto» de materiales ajenos a Iberia y que podríamos decir que son medio «africanos». Se trata de los materiales béticos, también llamados penibéticos o internos (por contraposición a los externos), que llegaron con la colisión de la microplaca tectónica de Alborán durante la orogenia alpina. El resultado fue la incrustación de materiales paleozoicos metamorfizados (complejo Nevado-Filábride) y el cabalgamiento de los sedimentos, de edad muy variable, acumulados en las fosas intermedias (complejos Alpujárride y Maláguide). Algunos geólogos interpretan el Nevado-Filábride como una parte del Macizo Ibérico que ha vuelto a aflorar tras un viaje por los infiernos (manto terrestre), pero por más que lo intento, cuando subo la Sierra de Almenara no me siento como si estuviera en la provincia de Salamanca 😉

Mapa elaborado por Antonio del Ramo, tomado de Regmurcia integra_digital, en el que las cuencas neógenas han sido suprimidas para mostrar mejor la parte de la Región correspondiente a los materiales béticos.

Debido a que es relevante para nuestra discusión, incluimos también un mapa de los terrenos béticos desglosado en los tres complejos (Nevado-Filábride, Alpujárride y Maláguide). Los materiales más antiguos han sido identificados en el Maláguide de la Sierra de la Torrecilla (Lorca) con edades anteriores al Devónico, si bien no contienen fósiles en estos niveles. Es en materiales fechados en el Devónico, cerca del Castillo de Xiquena (castillo de frontera en un paraje desolado que recomiendo visitar) que aparecen los fósiles más antiguos in situ de la Región de Murcia. Preciso lo de in situ para distiguirlo del canto rodado que estamos discutiendo en este post. Esos fósiles han consistido en un tentaculites, además de restos de crinoides y trilobites. En niveles del Carbonífero de Lorca han aparecido cruzianas incluso. En el complejo Alpujárride no se han descrito fósiles, lo que parece normal por el alto metamorfismo.

Mapa elaborado por Antonio del Ramo, tomado de Regmurcia integra_digital, mostrando los tres complejos de los materiales béticos de la Región de Murcia. Esta vez se han incluido las cuencas neógenas que sepultan la mayor parte del territorio.

La sorpresa es que sí que se han encontrado fósiles en materiales del complejo Nevado-Filábride, fuertemente metamorfizado. No sólo eso, sino que existen en suficiente variedad para describir el biotopo. Esta «foto» del Devónico inferior está impresa en mármoles negros de Ramonete (Lorca). Este hallazgo, que incluye el trilobites más antiguo de la Región de Murcia fue hecho por el geólogo Casto Laborda. Recomiendo la lectura de los artículos de Laborda y de Luis Chamizo, ambos en el número 9 del Boletín de la Asociación Paleontológica Murciana.

Sección de trilobites, descubierto por Casto Laborda en los mármoles negros de Ramonete (Lorca).

Montañas trituradas

Los productos de la erosión del Macizo Ibérico se incorporan a los sedimentos mesozoicos, a veces en forma de gruesas rocas, sobre todo al comienzo de una serie sedimentaria. La orogenia alpina eleva los estratos conteniendo rocas paleozoicas a una gran altura sobre el nivel del mar, poniendo en marcha un nuevo proceso erosivo. Los fragmentos de cuarcita son exhumados y trasladados a un nuevo lugar por gravedad y corrientes de agua, avanzando así en su redondeado. Estos cantos llegan a las llanuras creadas por la colmatación de las cuencas neógenas donde se quedan en forma de coluviones, pero no por mucho tiempo. La bajada del mar provocada por las glaciaciones cuaternarias pone de nuevo en marcha la maquinaria erosiva. El coluvión es destruido por el abarrancamiento de las margas miocenas y nuestros cantos de cuarcita viajan aguas abajo, donde al perder el río su capacidad de transporte los deja a un lado, formando una terraza fluvial sobre la que el cauce se encajonará más adelante… Pero, ¿cómo estamos seguros de que así fue la historia de nuestro fósil?

Mapa de los alrededores de Murcia, en el que aparecen Lorquí, aguas del Segura arriba, y las sierras mencionadas.

Las cuarcitas armoricanas ordovícicas no son las únicas que llegan a las cuencas neógenas murcianas. En efecto, el fuerte metamorfismo al que han sido sometidos los materiales béticos ha tenido como consecuencia la formación de cuarcitas de edad pérmica o posterior. De hecho, en los alrededores de la ciudad de Murcia (Espinardo) existen potentes acumulaciones de materiales béticos con abundancia de cuarcita. Podemos dar por casi por seguro que al Valle de Ricote y aguas arriba del Segura no han llegado cuarcitas béticas (no se puede decir lo mismo de las dolomías, pero eso es otra historia). Sin embargo, aguas abajo de Archena se extiende la gran llanura miocena desde la cual se observan las sierras de Espuña y Carrascoy, fuentes de cuarcita bética. El gradiente fluvial actual no permitiría que tales materiales llegaran a Lorquí, pero en el pasado no fue así: cuarcitas armoricanas y béticas conviven en los sedimentos de Lorquí.

Cuarcita bética en los sedimentos continentales de Espinardo. Su color la delata, pero su escaso desgaste nos dice que no ha viajado mucho.

¿Cómo podemos asegurar que el canto rodado de Lorquí es ordovícico? Hay varios argumentos que sustentan esta teoría. Para empezar, la pieza está muy rodada y pulida (lo que su tamaño de grano le permite). Las cuarcitas béticas del Neógeno murciano no presentan por lo general un grado de erosión tan avanzado, ya que el transporte por gravedad o fluvial ha sido relativamente corto (la erosión en playa puede descartarse en nuestro caso). Además, en la zona donde fue encontrado, el material de la terraza fluvial no muestra la tendencia a colores violáceos del material bético de Espinardo. Se puede añadir que skolithos, aunque no exclusivo, es tremendamente típico en la cuarcita armoricana. Basta hacer una simple búsqueda en Google para convencerse de ello. En muchas de las fotos proporcionadas por el buscador podemos ver cuarcitas con características similares al canto rodado de Lorquí.

En el fondo, da lo mismo

El mal uso de la navaja de Ockham consiste en confundir la explicación más conservadora con la más plausible. Resulta que, de vez en cuando, lo que parece más extraño es realmente lo más probable. Simplemente no lo hemos pensado porque nos aferramos a la seguridad del paradigma. Siempre me acuerdo de Marcelino Sanz de Sautuola y los bisontes de Altamira: una niña (su hija) tuvo que decirle lo que era evidente. Ahora puedo decir que uno de mis hobbies es romper paradigmas, después de que mi madre rompiera el primero por mí con su ingenuidad, como la niña María Sanz de Sautuola: yo era incapaz de ver lo obvio. Algún día comenzaré a desvelar aquí de qué paradigmas hablo, pero no será mañana.

Otra vista del «fósil» en el que se aprecia un gran paralelismo y homogeneidad en diámetro de los tubitos.

En este post sólo quería dar una idea de lo inalcanzable que puede llegar a ser la verdad en ciencia. Recapitulando: es discutible decir que el fósil es murciano ya que no estaba en su estrato original; es posible que el fósil no sea el más antiguo porque hay cuarcitas béticas más recientes cerca; finalmente, es aceptable decir que el fósil ni siquiera es un fósil, que es sólo la sombra de un bicho cuyo aspecto no conocemos. Un canto rodado sin más valor que el que le da mi relato. Como dijo el gran Eudald Carbonell cuando se vio acorralado por interpelaciones sobre el (discutible) origen del yacimiento Sima de los Huesos de Atapuerca: “en el fondo, da lo mismo”.

Dedico este post a Juan Ruiz, que me ha enseñado a mirar Lorquí con otros ojos.

¿Paradigmas? ver Los minerales del Valle de Ricote.

Análisis Funcional

He estado enseñando Análisis Funcional, una asignatura de los estudios de Matemáticas en la UMU, durante muchos cursos, aunque de manera discontinua. Mi proyecto docente para la plaza de profesor titular de universidad, hace más de veinte años, fue sobre la asignatura de Análisis Funcional de la extinta licenciatura, que era anual y se impartía en quinto curso. Con la llegada del grado en Matemáticas llegaron también los recortes y el descafeinado, a pesar de lo cual, el Análisis Funcional conservó su aura de materia difícil, un feroz cancerbero que guardaba la puerta de salida de los estudios y que había que superar para obtener el ansiado diploma. El próximo curso, si Trump no lo remedia, el Análisis Funcional pasará a ser una optativa más, disputándose su impartición contra un buen puñado de «marías», sin ánimo de faltar al respeto. Casualmente, ese cambio ocurre mientras estoy a cargo de ella y no puedo evitar sentirme como el centinela que se queda dormido durante su guardia.

Quería dejar claro con esta imagen que me dedico profesionalmente al Análisis Funcional.

Es por eso que me he animado a escribir este post, en que hablaré del Análisis Funcional: en qué consiste, cómo aparece, y por qué es tan odiado. En efecto, una parte de la inquina contra el Análisis Funcional tiene algo de freudiano, como veremos más adelante. En cuanto al resultado que espero surta este alegato soy realista. Es muy poco probable que un profesor como yo, de escaso carisma docente, por decirlo de una manera aséptica, pueda convertir el Análisis Funcional en una materia atractiva para los estudiantes de Matemáticas, menos aquí con las limitaciones impuestas por la brevedad. Sin embargo, lo que sí creo que puedo hacer es dar unas pocas pinceladas, que revelen algo de su belleza, para los estudiantes (y público en general) a los que les gustan las Matemáticas, en la esperanza de que se matricularán de Análisis Funcional el último año de su carrera.

El Riesz-Nagy, uno de los primeros textos de Análisis Funcional y que contribuyó a su consolidación.

Nota: A lo largo del texto citaré muchos de mis posts anteriores, poniendo delante un simple «ver» para no recargar excesivamente la lectura.

El término «Análisis Funcional»

Que las palabras análisis y funcional sean de uso común provoca que su combinación aparezca en diferentes contextos con distintos significados, dando lugar a curiosidades como, por ejemplo, que mi amigo el arqueólogo Ignacio Martín Lerma y yo, matemático a la sazón, trabajemos ambos en «Análisis Funcional». Él analiza el posible uso de los artefactos prehistóricos y yo me ocupo de algo que no tiene absolutamente nada que ver con lo anterior. La palabra análisis adopta su significado actual en Matemáticas de la mano de uno de los mayores genios que ha dado la humanidad, Isaac Newton, cuya obra (publicada póstumamente) De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, acuña el término latino en el título. No obstante, la palabra análisis llevaba tiempo circulando en Geometría hasta que Newton comienza a usarla en relación con los infinitésimos. Esto sería llamado después Cálculo Infinitesimal, reservándose el término Análisis (Matemático) para ulteriores desarrollos de la teoría y el marco general que los recoge.

Expertos en Análisis Funcional 🙂

Vamos ahora por el calificativo. Otro genio, Leonhard Euler introduce el término función en matemáticas, como una fórmula evaluada sobre variables numéricas que arroja valores numéricos. En aquel tiempo ya se investigaban problemas de mayor enjundia en los que se requería evaluar una fórmula sobre funciones (curvas, por ejemplo) con valores numéricos. A este tipo de «funciones de funciones» se les llamó funcionales. El uso de este término quedó prácticamente confinado al Cálculo de Variaciones, que investigaba la minimización (o maximización) de ciertas cantidades sobre curvas o superficies. Por ejemplo, las curvas de longitud mínima contenidas en una superficie (geodésicas) o superficies de área mínima con un borde prefijado, como las que se obtienen sumergiendo un alambre en agua jabonosa. En estos casos, la longitud y el área, respectivamente, son los funcionales involucrados.

El origen

Al principio, el objeto del Análisis era encontrar la solución de problemas, es decir, mero Cálculo, aunque en dos acepciones de la palabra. Muchos de los métodos para resolver problemas usaban tácitamente la existencia de su solución, lo que no parecía ser un inconveniente, ya que la respuesta encontrada pondría el paño caliente a posteriori. Hacia el siglo XIX se hizo patente la existencia de algunos problemas para los que no existía solución, estaban «mal formulados». De hecho, el Análisis entero estaba en entredicho porque estaba basado en definiciones que rayaban la metafísica. En la segunda mitad del siglo XIX se hicieron notables esfuerzos para enmendar la situación. Se construyó una teoría de los números reales, se formalizó la teoría de límites y se definió rigurosamente el concepto de función: todo el Análisis se podía reescribir sobre una base sólida… tan sólida como los propios números naturales. Al tiempo comenzarían los grandes proyectos sistematizadores, como los cursos de Análisis para l’École Normale Supérieure de Goursat o Valiron.

Una obra fundamental de Euler que tengo en casa… facsímil, por supuesto 😕

El problema que motivó la aparición de las técnicas que constituirían el germen del Análisis Funcional fue el llamado problema de Dirichlet, del que nos ocupamos brevemente en Circuferencias y esferas. Se trata de resolver una ecuación diferencial en derivadas parciales, ver EDPSF, convirtiéndola en un problema variacional consistente en minimizar un funcional dado por cierta integral. Dirichlet postuló la existencia de solución por analogía con la Física (Principio de Dirichlet). Pero los argumentos habituales para problemas similares planteados sobre conjuntos numéricos (dimensión finita) fracasan estrepitosamente cuando intentan adaptarse a conjuntos de funciones (dimensión infinita). Los matemáticos hablamos de ausencia de compacidad, una propiedad de naturaleza topológica. En el caso del problema de Dirichlet, la solución vendría, años después, de una construcción geométrica bastante natural que se puede trasladar a dimensión infinita, la proyección ortogonal. Es esencial para esto, disponer de la integral de Lebesgue, ver Área, que permite que los espacios involucrados sean completos, otra propiedad topológica. Avances posteriores permitieron descubrir que en dimensión infinita está disponible una forma de compacidad más débil, y así se llama a su topología asociada.

¿Pero qué es el Análisis Funcional?

El primer objeto propio del Análisis Funcional fue el espacio de Hilbert, espacio de dimensión infinita en el que es posible realizar proyecciones ortogonales sobre subespacios cerrados gracias a la combinación de una estructura algebraica (espacio vectorial con un producto interior) y una propiedad topológica (completitud). El papel del armazón lineal en los conjuntos de funciones fue reforzado por el descubrimento de Fredholm de que ciertas ecuaciones funcionales tienen un comportamiento análogo a los sistemas finito-dimensionales. La hibridación de estructuras algebraicas y topológicas se mostró una idea fructífera, así que en los años sucesivos llegarían más: los espacios de Banach y Fréchet, los espacios vectoriales topológicos, las álgebras de Banach, Análisis Funcional no-Arquimediano, Análisis Funcional no-Conmutativo… Como suele ocurrir en Matemáticas, lo que surge como una herramienta auxiliar se convierte en protagonista indiscutible, y ya no tiene que pagar tributos a sus orígenes ni rendir cuentas a sus sobre su utilidad.

Grueso tomo sobre espacios de Banach (hay segundo volumen) editado por Johnson y Lindenstrauss.

Dice Bourbaki que el Análisis Funcional es el estudio estructural de los espacios vectoriales topológicos y las aplicaciones continuas entre ellos. Esta definición, dentro de su intachable generalidad, oculta el rasgo esencial del Análisis Funcional como cruce de caminos en Matemáticas: Cálculo de Variaciones, Ecuaciones en Derivadas Parciales, Álgebra (no sólo lineal), Topología, Geometría, Teoría de la Medida… El primer día de clase de la asignatura de Análisis Funcional pregunto al azar a los estudiantes sobre que parte de las Matemáticas les gusta más y tras oír la respuesta la relaciono con algún tópico más o menos próximo al programa: ¿anillos? calcularemos los ideales cerrados de C(K); ¿probabilidad? una sucesión de variables aleatorias centradas independientes se puede ver como una base hilbertiana; ¿ecuaciones algebraicas? la noción de grupo resoluble es de utilidad para formular una versión invariante del teorema de Hahn-Banach; ¿transformada de Fourier? puede verse indistintamente como un homomorfismo de álgebras de Banach o una isometría de espacios de Hilbert; ¿formas canónicas de matrices? la teoría espectral te va a gustar; ¿ciencia de datos? adivina a qué se dedicaban Johnson y Lindenstrauss cuando descubrieron su célebre lema 😉

Solución del Problema de Dirichlet con métodos probabilísticos, revelando otra conexión del Análisis Funcional, en el tomo 4 del curso de Stein y Shakarchi, Functional Analysis.

Matar al padre

Las Matemáticas se han diversificado mucho desde 1900, por poner una fecha entre el fin de los descubrimientos y el comienzo de las invenciones. Evidentemente, no todas las ramas son comparables en métodos ni profundidad de ideas. Tampoco los matemáticos de primera división se reparten por igual en ellas. Una de las mayores satisfacciones que me proporciona mi área de investigación es la certeza de que por ella han pasado muchas de las mejores cabezas de las últimas décadas. Por señalar datos objetivos, en ocasiones consulto trabajos de L. Schwartz, A. Grothendieck, A. Connes, J. Bourgain o T. Gowers, todos ellos medalla Fields, o M. Talagrand, premio Abel en 2024, o finalmente J. Lindenstrauss, que decidía sobre quienes debían recibir los galardones. Por otra parte, conozco demasiados colegas de otras disciplinas que dudo puedan decir algo similar, aunque esto no es lo más preocupante. La ausencia de referentes en un tema es un síntoma propio de la burbuja de publicaciones científicas, esa miríada de artículos que no contribuyen al conocimiento ni leerá nadie.

Obras de Análisis Funcional de Kolmogórov, Kantoróvich y von Neumann, atesoradas en mi biblioteca.

Ha quedado claro que hoy no he venido a hacer amigos. Casualmente, algunos de los autores de célebres textos de Análisis Funcional son también los fundadores de otras ramas de la Matemática. Andréi Kolmogórov, a quien ya conocemos por la teoría KAM, estableció los axiomas de la Teoría de Probabilidades y definió una distribución fundamental en Estadística. Leonid Kantoróvich, uno de los fundadores de la Programación Lineal, que permite abordar y resolver el problema del transporte óptimo de recursos, lo que le valió el premio Nobel de Economía en 1975. Finalmente, John von Neumann que además de concebir la Teoría de Juegos y contribuir notablemente a la Informática, entre otras muchas cosas, desarrolló el formalismo de la teoría de operadores no acotados, necesario para la fundamentación de la Mecánica Cuántica. Sobre los tres ejemplos dados, me gusta pensar que la comprensión de las ideas fundamentales del Análisis Funcional resulta inspiradora. Por eso, cuando algún colega de Estadística, Probabilidad, Investigación Operativa, Teoría de Juegos o Informática, cuestiona la necesidad del Análisis Funcional en el grado de Matemáticas no puedo evitar acordarme de Edipo.

Los hombres que no amaban el Análisis

Mi santoral tiene tres nombres: Arquímedes, Newton y Einstein. Los tres fueron capaces de modificar la visión del mundo de sus contemporáneos y siguientes generaciones. Arquímedes fue pionero en los métodos infinitesimales para realizar operaciones equivalentes a la integración. Newton enunció las Leyes de la Mecánica y desarrolló las matemáticas para formularlas y usarlas, el Análisis. De hecho, la segunda ley de Newton es una ecuación diferencial. Desde ese momento, el Análisis fue indispensable para modelizar la realidad, ver Ecuaciones Diferenciales. Sólo Einstein fue capaz de romper con la visión newtoniana, cosa que no hizo con el Análisis. En efecto, las Matemáticas que sirven para la Mecánica Clásica sirven también para la Relativista o la Cuántica. Indiscutiblemente, el Análisis ha sido la disciplina matemática más transversal. La planificación de las misiones Apolo a la luna se ha basado en Análisis Matemático, no en Geometría Proyectiva, Teoría de Galois o Métodos Bayesianos. Y sin embargo, la guinda del pastel analítico, el Análisis Funcional, hunde sus raíces en todas las Matemáticas.

Una página de un libro de Física general (Joos)… adivinen el tipo de matemáticas que se usan para calcular los orbitales del átomo de hidrógeno.

A pesar de todo eso, el peso del Análisis, en según qué ámbitos, va a depender de la composición discrecional de una comisión donde no se garantiza un representante de cada área, dicho esto en el supuesto generoso de considerarlas a todas equivalentes. No estoy hablando de la comisión de reforma del grado que decretó la optatividad del Análisis Funcional en mi universidad. Es todavía peor. Se trata de la convocatoria de Redes de Investigación 2024 del Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades. Consiste en unas ayudas a redes temáticas que aglutinan grupos de investigación de toda España. La Red de Análisis Matemático y Aplicaciones, concurrió a dicha convocatoria y quedó excluida. Sólo cinco redes matemáticas pasaron el corte: Dinámica, Atractores, no Linealidad, Caos y Estabilidad; Red de Ecuaciones en Derivadas Parciales no Locales y Aplicaciones; Red de Investigación en Educación Matemática; Red de Geometría Algebraica y Singularidades; y Red de Matemática Discreta y Algorítmica. Resulta, cuando menos, curiosa la excesiva especialización de algunas de las redes agraciadas… En el mismo documento puede verse que la red «Descolonizar la Historia del Espacio Atlántico» recibe una subvención de 43.000 euros. Aquí el problema no es tanto de falta de financiación como de ausencia de consideración hacia el Análisis, o al propio Isaac Newton, si me apuran.

¿Qué me aporta el Análisis Funcional?

Ya hemos dicho que las técnicas de Análisis Funcional surgen para establecer la existencia de soluciones de ciertas EDPs, pero no hemos entrado en demasiados detalles. Ocurre que la solución, que uno esperaría que fuera una función suficientemente regular (dos veces derivable para el problema de Dirichlet, por ejemplo), en general no lo será. El motivo es que para asegurar la completitud del espacio de Hilbert donde «viven» las soluciones hay que sustituir la derivada ordinaria (la inventada por Newton) por un tipo de derivada indirecta (llamada distribucional) que se define a través de la «dualidad». Este subterfugio, muy frecuente en Análisis Funcional, se investigó antes en el marco de la dimensión infinita que en espacios finito-dimensionales, donde también ha demostrado ser útil. Sin ir más lejos, en el uso de la dualidad encontramos las grandes aportaciones de von Newmann (Teoría de Juegos) y Kantoróvich (Programación Lineal), que explotan la relación entre el problema primal y su problema dual en dimensión finita. Pero la sustitución de funciones clásicas por distribuciones, que serían funciones evaluadas a través de la dualidad, encaja mejor con la visión postcuántica del mundo que nos rodea, ver EDPSF.

Manual de Análisis Funcional para estudios de ingeniería en Francia.

La combinación de estructuras algebraicas y topología da mucho juego. Por ejemplo, el espacio de funciones continuas C(K), sobre un espacio compacto K, es un álgebra de Banach conmutativa (una consecuencia de que la suma o el producto de funciones preserva la continuidad, grosso modo). Es natural preguntarse qué propiedades caracterizan a C(K) entre las álgebras y nos encontramos que la respuesta, gracias al Teorema de Gelfand-Naimark conmutativo, es relativamente sencilla en el caso complejo (por la intercesión de las funciones analíticas), mientras que el caso real requiere ideas complemente distintas provenientes de la Geometría (puntos extremos). Igualmente, podríamos preguntarnos hasta qué punto K está determinado por C(K) como espacio de Banach (renunciamos a la multiplicación). El teorema de Banach-Stone dice que si C(K) y C(H) son isométricos, entonces K y H son homeomorfos (disculpas por los palabros). Más aún, el teorema de Amir-Cambern muestra que se puede perturbar la isometría, que dejaría de serlo, hasta cierto punto pero no demasiado (distancia de Banach-Mazur menor que 2), porque Milutin demostró que C(K) y C(H) pueden ser isomorfos para K y H muy diferentes, por ejemplo K=[0,1] y H=[0,1].

Probando un resultado sobre espacios C(K) en el despacho de Gilles Lancien (Besançon).

He optado por usar C(K) como ejemplo por la riqueza de su estructura algebraica y la evidente relación con la Topología. Yo, sin embargo, tengo más querencia por los espacios de Banach generales, en los que la ausencia de estructuras adicionales permite mayor variabilidad geométrica, especialmente, alrededor de la convexidad. En un futuro post hablaré un poco más de las matemáticas en las que trabajo y mis propios teoremas.

Una de los handicaps del razonamiento geométrico en espacios de Banach es saber reconocer en un dibujo plano las propiedades que permanecen en dimensión infinita. Parte de la pizarra durante un curso que impartí en el IMUS, Universidad de Sevilla.

Epílogo

Realmente, que el Análisis Funcional pase a ser una optativa en nuestro grado de Matemáticas no es una afrenta en sí misma. Cuando yo cursé la licenciatura, todo el quinto curso era totalmente optativo. La cuestión es decidir qué debe ser obligatorio en la formación de un titulado en Matemáticas. Yo entiendo que muchas de las Matemáticas que se estudian no serán de ningún provecho en la vida profesional a la mayoría de los egresados. Pero también creo que el objeto de esos contenidos es forjar el estilo de pensamiento matemático, una característica que los empleadores privados aprecian en quienes han cursado matemáticas, además de indispensable para la investigación. El Análisis Funcional, por su transversalidad en Matemáticas, por la originalidad y profundidad de las ideas que aporta, y por la potencia de sus aplicaciones, debería formar parte del currículo de un estudiante de Matemáticas al que le gusten las Matemáticas, que no son la mayoría. Mi amigo y colega de facultad, Pedro Fernández, afirma que estudiar Análisis Funcional fue como pasar de tener una vieja tele en blanco y negro a ver las cosas a todo color. Creo que esta metáfora no es en absoluto exagerada. Así pues, querido estudiante, la decisión está en tus manos.

Pizarra tras una lección de un curso de Análisis Funcional en la Université Nazi Boni de Bobo-Dioulasso (Burkina Faso). En la parte central se discute sobre teoremas espectrales para operadores compactos en el espacio de Hilbert.