Mes: marzo 2023

El propósito de este post es destacar ciertos aspectos del Sistema Solar que, como matemático, me resultan interesantes y con la esperanza de alguno resulte novedoso para mis queridos lectores. Esto último no va a ser sencillo… La observación del cielo es tan antigua como la Historia, así como la curiosidad por saber lo que hay ahí arriba (o afuera) es tan inmensa como el Universo. La Astronomía, desde que se diferenció de la Astrología, es una disciplina bien desarrollada y su divulgación una de las populares. También, algunos de los divulgadores de la astronomía alcanzaron una gran fama en vida: Camille Flammarion en el siglo XIX, Carl Sagan en el XX, y más recientemente, Neil deGrasse Tyson. Por este motivo, no es fácil contar algo realmente sorprendente sobre el Sistema Solar.

El cielo desde un zigurat

En la antigua Babilonia, los sacerdotes escrutaban los cambios que se producían en el firmamento y lo anotaban todo, de manera que, tras siglos de observaciones, habían descubierto la periodicidad de numerosos fenómenos, incluidos los eclipses. La aplicación más básica era el dominio del calendario, que administraban como un saber hermético, pues el conocimiento del momento preciso de las siembras era fundamental para la economía del estado. Además del sol, la luna y las estrellas, había unos objetos cuya posición y ritmos no seguían las mismas pautas: los planetas. De manera tácita se asumió que sus ciclos debían tener alguna repercusión en lo que ocurría en el suelo y a la búsqueda de esa influencia se la llamó Astrología. Esta conexión resultaba tan “evidente”, que la Astrología no sólo fue tolerada por la Iglesia medieval, sino que también se llegó a enseñar en las universidades.

Algunos planteamientos de la Astrología pueden parecernos ahora ridículos desde la ciencia moderna, pero estimularon la observación cuidadosa y cuantitativa del cielo, dando lugar a una disciplina matemática: la Trigonometría. En particular, la llamada Trigonometría Esférica tiene que ver con las relaciones entre las distintas magnitudes de un triángulo esférico, cuyos lados son segmentos de circunferencia máxima. Resulta curioso que los lados de un triángulo esférico se midan como ángulos, pero es lo más adecuado porque esa es la única referencia que podemos tener entre los astros que observamos desde la Tierra. El área de un triángulo esférico es también una medida angular, es decir, relativa, pero recibe el nombre de ángulo sólido. Al igual que la longitud de la circunferencia de radio unitario, 2pi, señala el ángulo lineal máximo, el área de la esfera de radio unidad, 4pi, es el valor del ángulo sólido máximo.

Quizás el hecho más fascinante (al menos para mí) de los triángulos esféricos es que su área se obtiene simplemente sumando sus ángulos y restando pi al resultado. Esta misma operación daría cero en un triángulo plano (véase mi post Circunferencias y esferas), pero no en un esférico. En un globo terráqueo es fácil trazar un triángulo con un vértice en el Polo Norte y los otros dos en el ecuador, de manera que sus tres ángulos son rectos. La fórmula del área arroja un valor de pi/2, que es una octava parte de la esfera (y de 4pi, obviamente). Curiosamente, la fórmula del área de los triángulos esféricos se puede deducir sin apenas conocimientos geométricos usando una fórmula combinatoria que expresa la medida de la unión de tres conjuntos: súmense todas las áreas, réstense las áreas de las intersecciones dos a dos y, finalmente, súmese el área de la intersección de los tres conjuntos.

Dice con bastante ironía Jean Dieudonné, uno de los miembros del influyente grupo matemático Bourbaki, que la Trigonometría actualmente sólo interesa a tres colectivos: a los astrónomos, a los agrimensores y a los autores de libros de Trigonometría. No obstante, la Trigonometría Esférica proporciona un modelo fácilmente comprensible de una Geometría no euclidiana en la que los triángulos de pequeñas dimensiones son muy parecidos a los triángulos planos, pero a medida que aumenta la escala también aumentan las diferencias. ¿No pasará lo mismo en el Universo? En efecto, a nuestra escala (o la de nuestros instrumentos de medida) nos parece euclidiano, pero podría no serlo globalmente… Albert Einstein nos abrió ese melón.

La cuarta ley de Kepler

Si pensamos en las leyes de Kepler, recordaremos al menos tres de ellas: la primera describe la forma de las órbitas de los planetas alrededor del sol; la segunda explica las variaciones de velocidad de un planeta a lo largo de su órbita; finalmente la tercera relaciona los tamaños de las órbitas de dos planetas con la duración de su revolución alrededor del sol. Pongamos un ejemplo de esta última, si un planeta tiene una órbita cuyas dimensiones duplican las de, por ejemplo, la Tierra, su año será 2.83 veces mayor que el nuestro (1033 días terrestres). Ya comentamos en nuestro post Elipse que Isaac Newton dio la demostración matemática de las leyes de Kepler a partir de su ley de Gravitación Universal.

¿Qué es lo que falta en el conjunto de las tres leyes de Kepler? La respuesta más obvia, quizá, es que no proporcionan ninguna información sobre la disposición relativa de los planetas. En aquel momento, sólo se conocían seis: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. A falta de una hipótesis mejor, Kepler relacionó los planetas con los sólidos platónicos, es decir, los cinco poliedros regulares (convexos, hay que especificar), que inscritos y/o circunscritos en cierto orden en seis esferas producen unos radios cuyas proporciones, dentro de cierto margen de error, coincidían con las de las órbitas planetarias. Desde el punto de vista moderno, el modelo Kepleriano puede parecernos algo carente de fundamento, pero en realidad está haciendo algo que los matemáticos seguimos haciendo todavía: buscar patrones.

Encontrar un buen patrón depende mucho del conocimiento acumulado. La hipótesis de la elipse, por ejemplo, funcionó y pudo justificarse a posteriori, pero la distancia relativa entre planetas del Sistema Solar necesitaba una aproximación menos mística. El astrónomo alemán Johann E. Titius propuso que las distancias relativas al Sol estaban en progresión (esencialmente) geométrica, salvo por dos detalles: una corrección particular para Mercurio; y una “laguna” entre Marte y Júpiter. Otro alemán, Johann D. Bode que da también su nombre a esta ley, propuso que el hueco entre Marte y Júpiter correspondía a un planeta que aún no había sido observado. Hay que decir que en ese momento no se había descubierto aún Neptuno, planeta para que la ley de Titius-Bode falla estrepitosamente. Un grupo de 24 astrónomos, en su mayoría alemanes, se lanzó a la búsqueda del supuesto planeta intermedio entre Marte y Júpiter. En la Nochevieja de 1800 a 1801 apareció, por fin, un diminuto planeta: Ceres.

El descubridor de Ceres fue el italiano Giuseppe Piazzi que pudo seguir al planetoide durante un mes aproximadamente, hasta que cayó enfermo. Después, la pista de Ceres se perdió y nadie fue capaz de encontrarlo… Hasta que llegó Carl Friedrich Gauss, el más grande matemático del siglo XIX (por no decir de todos los tiempos, estas comparaciones son delicadas), y con las observaciones de Piazzi, que representaban un 1% de la órbita de Ceres, realizó complejos cálculos con un método de su propia invención y dijo a los astrónomos hacia dónde debían enfocar sus telescopios en diciembre de ese mismo año. El planeta apareció exactamente donde dijo Gauss que aparecería… bueno, con medio grado de error 😕

El misterioso método de Gauss incluía el ajuste con mínimos cuadrados, que hoy día es una técnica estándar para hacer predicciones a partir de cierto número de medidas experimentales. Sabemos también que Gauss en su estudio de las órbitas planetarias usó un algoritmo llamado transformada rápida de Fourier (FFT), años antes de que Joseph Fourier en persona definiera su transformada (sin la etiqueta “rápida”) y con más de un siglo de anticipación sobre Cooley y Tucker, los “inventores oficiales” de la FFT: así era Gauss. Para cerrar esta sección, después de Ceres, se descubrió en órbitas cercanas otros pequeños planetas: Palas, Juno, Vesta… la cuenta va por miles, pero cada vez más diminutos y ya nada redondos. Es esas circunstancias, la noción de planeta debía definirse de manera precisa por lo que Ceres quedó fuera de la lista y nos referimos en su lugar al cinturón de asteroides. Por cierto, el mismo criterio provocó la expulsión de Plutón en 2006 de la lista oficial de planetas del Sistema Solar. Plutón resulta ser parte de un cinturón de asteroides exterior llamado de Kuiper.

El problema de los tres cuerpos

Nos ocuparemos ahora de una cuestión de Mecánica Celeste. Notemos primero que, realmente, las elipses son soluciones exactas para las ecuaciones Newtonianas del movimiento cuando se considera un sistema de dos cuerpos (el Sol y un planeta). Matemáticamente, el problema se reduce al de una sola masa en un campo gravitatorio central y puede resolverse dando la posición exacta del planeta en cada momento. Cuando hay tres cuerpos interactuando mútuamente entre sí, la dificultad del problema aumenta considerablemente y no es posible dar una solución explícita de las órbitas… y no digamos ya cuando se tiene un número mayor de cuerpos como el propio Sistema Solar.

El llamado problema de los tres cuerpos se puede abordar con distintas simplificaciones. Una de ellas es suponer que dos de los cuerpos no son demasiado masivos para despreciar su interacción mutua. Evidentemente, cada uno de los cuerpos pequeños seguirá el modelo elíptico, si es que permanecen confinados en sus órbitas, pero es posible que nos interese saber como se moverá uno respecto al otro. Si las órbitas de estos dos cuerpos son suficientemente próximas, podemos considerar una como perturbación de la otra. Esto permite deducir resultados aparentemente sorprendentes como el siguiente: imaginemos que un astronauta da un salto desde la Estación Espacial Internacional (ISS) de manera que se aleja de ella flotando en el vacío. No pasa nada, en alrededor de 45 minutos volverá a la ISS. En efecto, la trayectoria del astronauta (alrededor de la Tierra) es una elipse de dimensiones similares a la que traza la ISS y, por lo tanto, con el mismo periodo.

Consideremos ahora un sistema compuesto de dos objetos masivos y un tercero mucho menor. En este caso, el problema de los tres cuerpos admite unas soluciones curiosas: existen dos puntos relativos a la posición de las masas mayores (moviéndose con ellas) donde una tercera masa quedaría en una posición estable. Estos son los llamados puntos de Lagrange estables (hay otros puntos estacionarios, pero son inestables), que actúan como receptáculos de pequeñas masas a la deriva, los llamados asteroides troyanos. Desde la predicción hecha por el matemático ítalo-francés Joseph-Louis Lagrange, se tardó casi un siglo en poder observarlos. En el Sistema Solar, Júpiter acapara casi todos los troyanos. Obviamente, es el segundo cuerpo más masivo después del Sol, y junto con él forma un potente atractor de troyanos.

Kolmogorov, Arnold y Moser

Lo cierto es que los planetas del Sistema Solar se influyen unos a otros, quizás no tanto como para marcar la vida de un recién nacido, pero sí como para inquietar a los astrónomos sobre un cataclismo en el futuro. Por ejemplo, el descubrimiento de Neptuno fue posible gracias a las perturbaciones que provocaba en la órbita de Urano. A su vez, el planetoide Plutón fue descubierto por las perturbaciones que provocaba sobre Neptuno. Las elipses que describirían teóricamente los planetas alrededor del sol según el modelo de dos cuerpos, están “abolladas” consecuencia de esta mutua interacción.

Si bien el efecto de la interacción entre dos planetas dados puede parecer pequeño puntualmente, su efecto prolongado a lo largo del tiempo podría acumularse. A medida que los dos planetas orbitan alrededor del sol se producen alternativamente situaciones de máximo acercamiento y máximo distanciamiento. La atracción gravitatoria entre ellos, mayor durante la máxima proximidad, se convierte en una fuerza pulsante. Hay situaciones en las que una pequeña fuerza ejercida periódicamente causa un gran efecto a largo plazo: imaginemos un columpio al que se le da un pequeñísimo impulso cada vez que comienza a alejarse. Al cabo de un rato, el columpio ejecuta grandes oscilaciones. Este fenómeno se conoce como resonancia y ocurre cuando la frecuencia de la fuerza coincide o está muy próxima a la frecuencia natural del sistema al que se aplica.

Andrei Kolmogorov, uno de los matemáticos rusos más importantes del siglo XX, comenzó el estudio de la posible resonancia en sistemas dinámicos como el constituido por el Sistema Solar. Este estudio fue continuado por su discípulo Vladimir Arnold y el alemán Jürgen Moser. El teorema KAM (por las iniciales de los matemáticos mencionados) dice, aplicado a los planetas, que las órbitas serán estables cuando el cociente de sus frecuencias es muy irracional en un sentido tan preciso como técnico para ser expuesto aquí. A mis colegas matemáticos puedo decirles que la condición KAM recuerda ligeramente la definición de los números transcendentes de Liouville. En lo que respecta al Sistema Solar, la mayor parte de los cataclismos por resonancia ocurrieron en una etapa inicial, y los cocientes de las frecuencias de los planetas actuales están lejos de ser conmensurables. No hace mucho, la matemática italiana Gabriella Pinzari realizó una mejora substancial del teorema KAM.

Concluyendo

Recuerdo como si fuera ayer aquella noche de invierno de 1976 cuando vi por primera vez la ilustración* con la que he comenzado este post. Todavía me dura el abrumador sentimiento de pequeñez y vacío que me provocó. Por eso no puedo evitar tener cierto apuro cuando miro la noche estrellada reconociendo constelaciones y buscando luceros. A pesar de que cada vez es más difícil disfrutar del cielo nocturno, que se le ha declarado la guerra a la oscuridad, la noche estrellada está ahí, envolviéndonos, para que mientras miramos al infinito, sigamos haciéndonos las preguntas más fundamentales de nuestra existencia.

(*) El libro es «Geografía Universal» (Antonio M. Zubia, Ed. S.M. 1967) de 2º de bachillerato, un libro de texto que usó mi hermana.