Se ha afirmado en ocasiones que la verdad sólo existe en Matemáticas, por ser sus afirmaciones generales, irrefutables y eternas. Si bien esto es discutible desde distintos puntos de vista, hoy no es el día en el que entraremos en ese jardín. Esa verdad en Matemáticas emana de la posibilidad de demostrar las afirmaciones, de razonar a partir de lo que se da por sentado o resulta evidente, para llegar resultados complejos y, en ocasiones, nada obvios. Posiblemente, el primer resultado que se comprendió y motivó la necesidad de argumentar, dando así al comienzo de las Matemáticas como ciencia, fue la observación por Thales de que la igualdad de ángulos implica la semejanza (o proporcionalidad) de triángulos. El conocimiento acumulado en los tres siglos siguientes, sistematizado por Euclides en sus Elementos, se convirtió en el paradigma de teoría matemática. Esto último es también otro asunto muy interesante que no abordaremos aquí. Hoy sólo quiero comentar tres teoremas de triángulos que me llaman particularmente la atención.
¿Por qué el triángulo?
El triángulo (me referiré únicamente a los triángulos planos en este post) es un objeto muy sencillo y que, sin embargo, da mucho de sí. Para empezar, sus ángulos internos suman siempre dos rectos (0 ángulo llano) y las longitudes de dos de sus lados suman más que la del lado restante, manifestando así que el segmento rectilíneo es siempre el camino más corto entre dos puntos. Platon prohibía la entrada en su Academia a quien no supiera Geometría, y la enrevesada prueba de Euclides para demostrar la igualdad de los ángulos opuestos a los dos lados iguales de un triángulo isósceles recibía el nombre de pons asinorum, por ser el puente que debían cruzar los estudiantes para desasnarse.

Los triángulos tienen cuatro puntos notables: el baricentro, donde concurren las medianas (líneas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto); el circuncentro, donde concurren las mediatrices (líneas que bisecan perpendicularmente cada lado); el incentro, donde concurren las bisectrices (líneas que bisecan cada ángulo); y el ortocentro, donde concurren las tres alturas (líneas que pasan por cada vértice siendo perpendiculares al lado opuesto). Estos cuatro puntos coinciden para un triangulo equilátero (y en este caso se llama simplemente centro), pero en general son diferentes. Demostrar su existencia o, lo que es lo mismo, convencerse de que cada una de esas cuatro ternas de rectas coincide en un punto, es una de las primeras satisfacciones que un joven estudiante podría tener con las Matemáticas…

… si esto se contara en algún momento del currículo educativo. El cambio de punto de vista en Geometría, que está muy bien para los matemáticos profesionales, ha tenido una incidencia negativa en la formación matemática escolar. Con la Geometría Analítica, toda relación geométrica puede reducirse a ecuaciones, dando la impresión de que es el método universal para abordar problemas y demostraciones, pero a costa de la intuición y la elegancia. Más «recientemente», hace sólo 150 años, Felix Klein concibió cada tipo de Geometría (euclídea, afín, proyectiva…) como el estudio de los invariantes asociados a un grupo de transformaciones. De este modo, la manera griega de hacer Geometría se fue arrinconando, y su sentencia definitiva tuvo lugar en 1960 cuando Jean Dieudonné exaltado gritó en un congreso ¡Abajo Euclides! ¡Muerte al triángulo! En ese momento, Bourbaki entraba en las escuelas con el pseudónimo eufemístico de Matemática Moderna.
Primer teorema: fórmula de Herón
Casi todo el mundo sabe que el área de un triángulo se calcula como la mitad del producto de la base por la altura. Sin embargo, casi nadie se para a reflexionar que base y altura dependen de la posición del triángulo, si bien el área obtenida no cambia. Además, la altura es un dato de carácter práctico si el triángulo está en posición vertical ya que se puede trazar la vertical con una plomada. Cuando el triángulo se presenta en forma de solar o parcela de ciertas dimensiones, no es sencillo averiguar lo que mide la altura de un triángulo respecto a una de sus bases (salvo que sea un triángulo rectángulo). Esto lo sabían de sobra los antiguos topógrafos, antes de que los datos del teodolito electrónico (estación total) se volcaran directamente en el ordenador, por lo que ellos solían utilizar la fórmula de Herón para calcular las áreas de los triángulos que aparecen en la descomposición de una parcela poligonal.

La fórmula de Herón puede ser deducida fácilmente a partir de relaciones trigonométricas (véase una prueba aquí). Su descubridor, Herón de Alejandría vivió en dicha ciudad en el siglo I y ha pasado a la historia como un reputado científico e inventor. Se le reconoce como el descubridor de la fuerza motriz del vapor, aunque sus artefactos fueran considerados como meras curiosidades: para qué inventar motores si tenemos esclavos 😕 También se le atribuye la invención de la primera máquina de vending, siendo agua bendita el producto dispensado a cambio de monedas en los templos de Alejandría.

Segundo teorema: Napoleón
La figura de Napoleón Bonaparte puede resultar controvertida, sobre todo si se juzga con la óptica woke. Sin embargo, no se puede negar que fue una persona de gran inteligencia, y sabemos, además, que le gustaban las Matemáticas. Por todo esto resulta plausible atribuirle un teorema de Geometría, aunque no existe ninguna evidencia que confirme la autoría del Empereur. El llamado teorema de Napoleón dice que si se construyen triángulos equiláteros (exteriores) sobre los lados de un triángulo cualquiera, los centros de los triángulo añadidos forman, a su vez, un triángulo equilátero (el dibujo lo explica claramente).

La prueba del teorema de Napoleón puede ser endiablada con técnicas de geometría analítica (también pueden usarse números complejos), pero resulta muy sencilla usando semejanza de triángulos y rotaciones. Para demostrar que los centros de los triángulos equiláteros son equidistantes se comparan dos a dos, observando que guardan la misma proporción de la longitud de cierto segmento. Para una explicación más detallada ver el siguiente dibujo hecho a tiza.

Tercer teorema: Morley
La trisección del ángulo, junto a la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo, fue uno de los grandes problemas abiertos que dejaron los matemáticos de la antigua Grecia. Realmente, el principal inconveniente para su resolución eran las estrechas condiciones impuestas por Platón: sólo se admite en Geometría lo que puede ser construido con regla y compás, ya que la recta y la circunferencia son las formas perfectas, las únicas admisibles. Quizás por este motivo, los griegos no se plantearon nunca un enunciado que tuviera como punto de partida la trisección de ángulos, ni aparentemente nadie, hasta 1899, año en el que Frank Morley encontraba un sorprendente resultado que ahora se conoce como el Milagro de Morley, o simplemente Teorema de Morley, posiblemente el último gran teorema que quedaba por descubrir en Geometría euclídea plana.

El Teorema de Morley, establece que las trisectrices de los ángulos de un triángulo cualquiera, tomadas dos a dos entre las más próximas a un mismo lado, se encuentran en tres puntos que forman un triángulo equilátero. A pesar de la sencillez del resultado, no se puede decir que exista una demostración fácil. Varios matemáticos de renombre como John Conway o Alain Connes han hecho aportaciones interesantes intentando conseguir una prueba más sencilla. Yo personalmente me quedo con el argumento que aparece en el libro «Fundamentos de Geometría» de Coxeter, donde tuve conocimiento de este resultado por primera vez. La idea es partir de un triángulo equilátero y construir alrededor de él un triángulo de ángulos cualesquiera que satisface la tesis del teorema.

Epílogo
Es posible que algún lector haya echado de menos al teorema de Pitágoras, pero el «teorema por antonomasia» no se refiere a triángulos generales sino únicamente a los triángulos rectángulos. Tampoco hemos dicho que tres de los puntos notables de un triángulo están alineados: se trata de la llamada recta Euler, una lamentable omisión de Euclides y los geómetras de la antigüedad. Finalmente, hemos comenzado con la idea de que la verdad sólo se puede encontrar en las Matemáticas. Curiosamente, la noción de «verdad» que se utiliza en Matemáticas se ha ido destilando a lo largo del tiempo. El primer cambio substancial tuvo lugar en el siglo XIX, precisamente con el descubrimiento de las geometrías no euclídeas, que pusieron de manifiesto por primera vez que la validez de un teorema no es universal sino que es relativa al sistema de axiomas que se adopte.

Me alegra saber que el pequeño Matías ha optado por ser geómetra. Es una decisión inteligente dados los tiempos que corren.
Jajajaja… En otros tiempos «geómetra» era sinónimo de matemático, digno oficio. Sin embargo, el término «analista» tuvo connotaciones muy negativas tras la obra del obispo Berkeley «The Analyst – A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician».
Malos tiempos para la lírica…
Muy divulgativo el tema matemático que has tratado esta vez amigo Matías. Además, has conseguido hacerlo ameno, al mismo tiempo que no ha permitido conocer algo de historia sobre los pensadores griegos y su influencia en la geometría. Muchas gracias por compartirlo