Neandertales

Neandertales, ilustración de Z. Burian tomada de «Encyclopédie illustrée de l’homme préhistorique» de Jan Jelínek, Gründ (1989).

Tenía pensado escribir sobre los neandertales en algún momento, pero esperaba antes ponerme al día sobre los más recientes descubrimientos y hacer un post algo más presentable. Evidentemente, por mucho interés que pueda tener en los neandertales, no me dedico profesionalmente al tema. Sin embargo, una serie de “señales” me ha indicado que el momento es ahora. Acaba de fallarse el premio Nobel de Fisiología/Medicina a favor del sueco Svante Pääbo por sus investigaciones sobre ADN de homínidos extintos, en particular, por haber secuenciado el genoma neandertal.

Michael Walker, Ignacio Martín Lerma y Luis de Miquel, en un momento del homenaje al primero realizado en el Museo Arqueológico de Murcia.

Además, hoy mismo recibe un homenaje Michael Walker, profesor jubilado de la Universidad de Murcia y director durante muchos años de las excavaciones en la Sima de las Palomas (Torre Pacheco), uno de los principales yacimientos neandertales de la Península Ibérica. En fin, yo veo señales claras para escribir este post, timing perfecto… otros podrían ver oportunismo. El caso es que las informaciones sobre los neandertales son últimamente tan frecuentes que lo más difícil, a estas alturas, es ser original.

¿De qué hablamos?

Homo neanderthalensis (más tarde nos ocuparemos de la hache) es una especie extinta de seres humanos que vivió entre 300.000 BP y 30.000 BP, redondeando un poco, en lo que actualmente es Europa y una buena parte de Asia incluyendo Oriente Medio. Nota: BP indica años before present, es decir, «antes del presente», pero presente aquí es el año 1950 por convenio, lo que viene a ser cambiar la referencia de la fecha de nacimiento de Nuestro Señor por la de los baby boomers cuando se indican acontecimientos pasados. En relación con los Homo sapiens, es decir, los humanos modernos o nosotros, los neandertales eran en general más robustos y estaban mejor adaptados al clima frío, ya que prosperaron durante la última glaciación.

Clásico libro de Obermaier en su edición de Ed. Istmo (1985). El libro original es de 1925, por lo que es fácil encontrar diferencias respecto al tratamiento actual de los neandertales.

Viene ahora el momento de poner los puntos sobre las íes. Una especie, en el sentido biológico de la palabra, puede presentar una gran variabilidad geográfica y temporal (más de 250 Ka) por lo que la definición de neandertal es delicada, como la de cualquier otro organismo extinto. Más aún, afirmar que los neandertales son (eran) otra especie puede resultar algo excesivo porque hay constancia de hibridación fértil con H. sapiens: nosotros mismos, los europeos, somos neandertales en una pequeña proporción de nuestros genes. Finalmente, mientras que el límite superior del intervalo temporal es discutido en relación con la definición de neandertal, el límite inferior va reduciéndose a medida que se hacen nuevos hallazgos. Actualmente se han datado restos neandertales en 28.000 BP. Al parecer, la Península Ibérica es el último reducto de H. neanderthalensis.

Árbol filogenético de la estirpe humana, tal como se concebía hace algunos años. Tomado del libro «Los neandertales» de Antonio Rosas, CSIC (2010).

Tradicionalmente se ha pensado que los neandertales evolucionan de las primeras poblaciones que migraron a Europa desde África llevando consigo la tecnología del bifaz. Al parecer, en primer lugar llegaron a Europa homínidos sin esta tecnología, como el hombre de Orce o el grupo de Dmanisi, y en una segunda oleada llegaron los H. heilderbergensis con sus flamantes bifaces. Sin embargo, ahora hay algunos investigadores que quieren situar el origen de los neandertales en una migración post-Achelense, lo que a mí me deja particularmente descolocado… No entraré en ese tema, por lo menos hasta que lea los argumentos a favor de dicha teoría.

Arqueología de los neandertales

Industria lítica típica musteriense, tomado de «Outils préhistoriques» por Jean-Luc Piel-Desruisseaux, Ed. Dunod (2002).

En lo que respecta a Europa (y parte de Asia) hay una identificación entre neandertales (especie humana), Paleolítico medio (periodo de la prehistoria) y musteriense (tecnología lítica). Los neandertales desarrollaron también una forma particular de talla llamada Levallois consistente en la preparación de facetas de la futura herramienta antes de separarla del núcleo. Espero que el siguiente dibujo ayude a entender mejor la explicación.

La pieza representada abajo (vista superior e inferior) es la que se ha extraído arriba, pero ligeramente ampliada. Ilustración de «Encyclopédie illustrée de l’homme préhistorique» citado arriba.

Mientras que los fósiles humanos proceden principalmente de cuevas y rellenos de simas (con las condiciones adecuadas para la conservación de nuestros frágiles huesos), las piezas musterienses, en sílex o cuarcita, pueden encontrarse mucho más repartidas: laderas de montes con covachas, lugares de paso como las ramblas, antiguos manantiales (hoy desecados) donde acudían a beber… En particular, en la Región de Murcia ese tipo de hallazgos no son extraños: los neandertales se pasearon por todas partes tallando y abandonando sus útiles de piedra. Una pieza musteriense aislada que podamos encontrar en el campo no constituye un yacimiento, al igual que una golondrina no hace verano, pero es muy recomendable contactar con un experto para que realice una valoración.

Una mirada escalofriante desde el pasado: rostro neandertal embutido en toba procedente de la Sima de las Palomas (Torre Pacheco).

Desde hace poco más de una década, la posibilidad de recuperar ADN de los restos neandertales preservados en ciertas condiciones de humedad y temperatura, hace que haya que extremar las precauciones para no contaminar las muestras. Muchos arqueólogos acuden a sus excavaciones vestidos como los médicos que tratan a un enfermo ébola. Otra línea de investigación muy interesante es la de establecer y documentar la convivencia entre especies, neandertales y sapiens. Para ello se excava en cuevas y abrigos con presencia de útiles musterienses y del Paleolítico superior, en principio, causados por ocupaciones sucesivas, pero prestando especial atención al momento de transición. Ejemplos de esta doble ocupación son los abrigos de Rambla Perea (Mula) excavados por el equipo de Joao Zilhao, o la Cueva del Arco (Cieza) cuyas campañas dirige mi querido amigo Ignacio Martin Lerma, aunque aún no se ha establecido la cohabitación entre especies en dichos yacimientos.

La evolución de un paradigma

Charles Darwin publicó su «El origen de las especies» en 1859. Desde ese momento, los científicos estuvieron especialmente receptivos a cualquier fósil que pudiera servir como eslabón perdido entre el simio y el hombre. El primer resto óseo en desempeñar ese papel fue una peculiar bóveda craneal encontrada tres años antes en una cantera cerca de Düsseldorf (Alemania) que inicialmente se había interpretado como una malformación en un humano moderno. Después se sumaron otros hallazgos, como el cráneo Forbes encontrado en Gibraltar por la misma época.

Bóveda craneal encontrada en la cantera de Feldhofer, en Neanderthal, cerca de Düsseldorf. Éste fue el primer fósil adscrito a un antepasado del hombre moderno.

El nombre neandertal se toma de Neanderthal, literalmente “valle de Neander” en alemán, en donde estaba la cantera en la que aparecieron los restos. A su vez dicho topónimo es en honor al músico y religioso Joachim Neander, cuyo apellido familiar original era Neumann, literalmente “hombre nuevo”. El cambio estético del apellido no altera el significado, sólo que ahora debemos acudir al diccionario de griego. Señalemos que el nombre equivalente Neandro existe en castellano. Finalmente, la h se pierde en la reforma ortográfica del alemán a principios del siglo XX, siendo actualmente valle “das Tal”.

Así que, etimológicamente resumiendo, neandertal es el valle del hombre nuevo, una denominación sumamente oportuna. No mucho tiempo después y también en Alemania, Friedrich Nietzsche anunciaría la muerte de Dios y el advenimiento del superhombre… creo que me estoy desviando del tema. Volviendo a los restos humanos, señalemos que el cráneo Forbes es recuperado por el teniente Edmund Flint, siendo “flint” la palabra inglesa para sílex, el material favorito de los neandertales ¿Casualidad o conspiración? Lo dejo ahí, esperando haber arrancado alguna sonrisa 🙂

Lámina del libro de Ciencias Naturales de 3º de Bachillerato de la editorial ECIR (1965), por R. Verdú Payá y E. López Mezquida. La idea está bastante clara…

Las primeras representaciones de los neandertales, llamados en aquel tiempo hombres de las cavernas, son simiescas. La causa de esto la encontramos en la incorrecta interpretación de los huesos de individuos ancianos junto con no pocos prejuicios. Una de las imágenes cinematográficas de los neandertales que ha dejado más huella es, sin duda, La guerre du feu, con la memorable interpretación de Ron Perlman (dicen las malas lenguas que iba sin maquillar). En las últimas décadas, las reconstrucciones físicas basadas en evidencias anatómicas han avanzado mucho. Si se añade, además, la interpretación del genoma en términos de características físicas y los descubrimientos arqueológicos en lo que respecta a estética y adornos de los individuos, la imagen de los neandertales cambia radicalmente.

Recreación de una chica neandertal en un lecho de pieles, por Tom Björklund. Después de contemplarla, a algunos de mis amigos la hibridación entre especies ya no les parece una idea tan descabellada.

Otro de los vuelcos de paradigma ocurridos en la última década es el reconocimiento de pensamiento simbólico y arte parietal en los neandertales. Hasta hace relativamente poco se les negaba algunas de las características que los sapiens solemos decir que nos hacen más humanos. Todo empezó con el descubrimiento de objetos puramente ornamentales y pigmentos, en Cueva Antón (Mula) y la Cueva de los Aviones (Cartagena). Después se han descubierto círculos realizados con espeleotemas en lo más profundo de una gruta francesa (Bruniquel) y se ha datado en fechas del Paleolítico medio unas pinturas esquemáticas realizadas en la Cueva de Ardales (Málaga). Por si fuera poco, en algunos enterramientos neandertales se han descubierto pólenes (el polen es extraordinariamente resistente en contexto arqueológico) de plantas cuya explicación más plausible es la realización de ofrendas florales a los difuntos. ¿A qué ya no nos parecen tan brutos los hombres de las cavernas?

Cuéntame un cuento

Se han propuesto muchas explicaciones para la extinción de los neandertales: cambios climáticos, enfermedades, exterminados por H. sapiens (o sea, nosotros)… Otro motivo que si bien no sería una causa en sí mismo sino que añadido a los anteriores dejaría a H. neanderthalensis en una situación más desfavorable respecto a H. sapiens es una de las tesis expuestas en el libro «Sapiens» del pensador israelí Yuval Noah Harari.

Portada del million seller de Harari.

La idea principal posiblemente sea anterior a Harari, pero no he podido rastrearla. Básicamente sostiene que los grupos de H. sapiens están más cohesionados que los de H. neanderthalensis porque tienen la capacidad de contar historias, de crear mitos, de fabricar dioses. Mirando al pasado reciente podemos poner ejemplos de muchedumbres de personas capaces de acometer grandes proyectos, para bien o para mal, porque siguen una idea materializada en un libro: La Biblia, El Corán, Mein Kampf… De la misma manera, en el pasado remoto los grupos de sapiens se organizaron alrededor de unos mitos y creencias. Eso les permitió superar las situaciones en las que los neandertales sucumbieron.

Pero la capacidad de contar historias, o fabricar mitos, tiene que ver con las características del lenguaje en el que se realiza la comunicación. Éste debe ser recursivo en el sentido definido por Noam Chomsky, es decir, el lenguaje debe admitir “estructuras anidadas” exactamente como hacen los narradores en una novela para contar lo que dicen los personajes, o el diccionario para poner ejemplos de la palabra que acaba de definir. Un idioma más sencillo, plano por así decirlo, puede servir para organizar una cacería en grupo o decir dónde hay agua o fruta, pero no permitiría planificar a medio o largo plazo.

Grupo de arqueólogos del Paleolítico medio, no ellos sino su objeto de estudio… Joao Zilhao con sombrero, e Ignacio Martín Lerma a la derecha (realmente, tendría que haber puesto la foto un par de secciones más arriba…).

La teoría es atractiva, sin duda, pero no la comparto. Yo creo que los neandertales tenían un mundo simbólico profundo y eso es difícil de llevar sin un lenguaje complejo y recursivo. Además de las evidencias aportadas en la sección anterior, mi particular interpretación de algunos útiles líticos me permite afirmar que, incluso, Homo heidelbergensis hacía juguetes para sus niños y tenía sentido del humor. Bueno, esto lo digo yo que no soy un profesional de la Antropología… pero tampoco estoy limitado por los paradigmas imperantes. Espero que en algún momento no muy lejano, llegue a estas mismas conclusiones la ciencia oficial (o mainstream scholars, como diría Giorgio A. Tsoukalos, uno de mis magufos favoritos).

Algo de lectura

He mencionado unos cuantos libros, pero en un tema como éste se quedan obsoletos en cuatro días, con la excepción de los que tratan de industria lítica (aquí no suele haber sorpresas).

En primer lugar, «Los neandertales» de Antonio Rosas, investigador del CSIC y del Museo Nacional de Ciencias Naturales. Conocí a Antonio Rosas durante el breve tiempo que estuvo vinculado al yacimiento paleontológico de Quibas (Abanilla). Su librito da un panorama muy resumido de lo que se sabía, o se pensaba, alrededor de 2010. Mucho más reciente y extenso es el best seller de Rebecca Wragg Sykes «Neandertales» . Estoy seguro de que con él resolveré un buen puñado de mis lagunas sobre los descubrimientos más recientes en materia de neandertales, pero voy leyendo muy despacio (son más de 400 páginas).

Tres libros amenos sobre los neandertales, cada uno en su estilo.

Una de mis recomendaciones para el verano fue el libro «La prehistoria en la mochila» de Ignacio Martín Lerma publicado este mismo año por Aguilar. Como ya lo he leído, haré una breve reseña.

En forma de una vuelta a la Península Ibérica, un joven neandertal llamado Sepik visita distintos lugares que hoy día son destacados yacimientos arqueológicos buscando una nueva zona en el que poder establecerse con su clan. Sin embargo, en todos los lugares por donde pasa las comunidades están igual de mal o peor. Cuando regresa a Cieza en compañía de Omati, una cromagnona de la que se ha enamorado, no puede ofrecerle a su clan un nuevo hogar, pero sí que puede enseñarles formas alternativas de explotar los recursos a su alrededor gracias a todo lo que ha aprendido durante su viaje.

Pala para mayonesa” del Abric Romaní, reconstrucción basada en el molde que dejó la pieza original de madera.

Con alguna licencia literaria, como el uso de leguaje recursivo por parte de los personajes, Martín Lerma logra integrar en su relato todas las peculiaridades de cada uno de los yacimientos visitados, incluida la “pala para mayonesa” del Abric Romaní, el dramático canibalismo en El Sidrón, o la bellísima interpretación de las manos de Maltravieso. Ojo, otro spoiler: los malos del libro son los neandertales del Boquete de la Zafarraya. Espero que esto último no les siente demasiado mal a mis amigos de la Axarquía, Amalia y Juan.

Epílogo

Hemos visto que, al final, los neandertales no eran muy distintos de nosotros. El mestizaje entre neandertales y sapiens, establecido por el análisis de los genomas, ha permitido que podamos verlos incluso como nuestros antepasados. Puede que la especie, o estirpe, neandertal haya desaparecido, estrictamente hablando, pero una parte de ellos sigue viviendo en nosotros.

Mi YO hipster-neandertal. Imagen generada por un software en el Museo de Historia Natural de Viena, en 2020.

Madera fósil

Sección pulida de tronco petrificado procedente de Madagascar que me regaló mi querido amigo Fernando Cánovas. Pueden apreciarse claramente los anillos de crecimiento.

Acabadas las vacaciones de verano y, supuestamente, «recargadas las pilas», quisiera retomar con fuerza la actividad divulgativa. En esta ocasión le toca a la Paleontología y hablaré de algo que durante muchos años ha sido un misterio para mí, la madera fósil, o más en general, los fósiles de vegetales. Digo bien, un misterio: cómo han podido preservarse árboles muertos hace millones de años, sabiendo que la madera se pudre y descompone, ya sea a la intemperie o enterrada. Por contra, que una concha o un hueso puedan fosilizarse no resulta tan extraño… En este post trataremos de arrojar alguna luz sobre la transformación de la madera en «piedra» teniendo en cuenta los procesos de fosilización, así como las circunstancias que han concurrido en la preservación de muestras de distintas eras.

Petrified Forest National Park en Arizona (USA), santuario de la madera fósil que no tengo la fortuna de haber visitado… todavía (foto tomada de Wikipedia).

Diferentes tipos de fosilización

Los fósiles son los vestigios de vida de eras pasadas. En ocasiones, los organismos contienen partes inorgánicas, lo cual puede resultar chocante, y por ello resistentes a la descomposición tras la muerte del organismo. Por ejemplo, carbonato cálcico (conchas de moluscos), fosfato cálcico (huesos, dientes) y sílice (diatomeas, espículas de algunas esponjas).

En el caso de los vegetales, la presencia de materia inorgánica es casi irrelevante, por lo que los procesos de fosilización, cuando son posibles, implican la transformación total de los restos. La parte de la Paleontología que estudia la formación de fósiles se llama Tafonomía. A continuación describiré algunos de los procesos que permiten la conservación de plantas de tiempos remotos.

Improntas

Improntas de hojas en una toba calcárea, inmediaciones del río Guadalentín cerca de El Cañarico (Murcia). Los tubitos huecos que también se observan corresponden a tallos ausentes.

Si el vegetal queda cubierto por alguna substancia es posible que se preserve el aspecto externo de mismo mucho tiempo después de descomponerse. Esto es lo que ocurre con la toba calcárea que depositan algunos ríos y fuentes alrededor de los vegetales que mojan. También pueden producirse improntas vegetales en ciertos sedimentos como areniscas de grano fino o calizas lacustres.

Carbonización

Fragmento de carbón procedente de una mina de la cuenca hullera de León.

En determinadas condiciones la materia orgánica acumulada en un pantano no se descompone, sino que es progresivamente enriquecida en carbono, al eliminarse el hidrógeno y otros elementos, por la acción de bacterias anaerobias. La materia orgánica va compactando al tiempo que se transforma en carbón, reduciéndose el volumen hasta una décima parte del original. Esto hace difícil que se conserven las estructuras vegetales. Sin embargo, si se producen intercalaciones de limos, o precipitaciones calcáreas, entre la materia orgánica hay más oportunidades de poder recuperar fósiles de un yacimiento de carbón. También, incidentalmente, la madera puede carbonizarse en un incendio y preservarse después en sedimento.

Óxido de hierro

Pequeños cilindros de óxido de hierro en marga miocena que se corresponden con raíces de plantas que crecían en ambiente fangoso, Lorquí (Murcia).

Alrededor de la materia orgánica sumergida en ambiente pobre en oxígeno (anaerobio) actúan bacterias que obtienen su energía de las reacciones químicas más insólitas. A partir del azufre orgánico y el hierro, siempre abundante, producen sulfuro de hierro (pirita o marcasita) que rellena el hueco ocupado por el organismo, a veces preservando estructuras. Este proceso se llama piritización. En lo que respecta a vegetales, distintas bacterias anaerobias puede intervenir a la vez: he visto fósiles mixtos en carbón y pirita en el escombro de una mina. Si bien la substancia inicial es el sulfuro de hierro, lo normal es que en condiciones cercanas a las de la intemperie éste se transforme en limonita (hidróxido de hierro de aspecto enrobinado), que es la forma más habitual de encontrar estos fósiles. También hay bacterias que obtienen su energía directamente de la oxidación del hierro, que podrían tener un papel en la formación de ciertos fósiles vegetales en limonita.

Sílice

Madera silificada de Campos del Río (Murcia), encuadre de 5 cm de anchura.

La más perfecta «petrificación» de la madera ocurre por medio de la sílice (óxido de silicio). La materia vegetal conserva la forma después de muerta por la rigidez de las paredes celulares hechas de lignina y celulosa, entre otros componentes. El interior de la célula queda vacío. En determinadas condiciones, la materia vegetal sumergida es penetrada por las substancias disueltas en el medio, en particular la sílice. Este material comienza a rellenar los huecos dejados por las células en una primera fase. En una segunda fase la sílice sustituye también el material de las paredes celulares. El resultado final puede ser cuarzo criptocristalino (calcedonia) o sílice hidratada (ópalo). La diferencia entre ambas versiones quizás pueda deberse a si la sílice va simplemente disuelta o en estado coloidal. Debido a que la substitución se hace célula a célula, se preservan las estructuras vegetales perfectamente.

Falsos fósiles

Dendritas de óxido de manganeso (psilomelano) con aspecto de impronta vegetal (foto tomada en una fachada de Bolnuevo, Murcia).

Del mismo modo que los vegetales pueden transformarse en substancia mineral, algunos minerales pueden recordar estructuras vegetales. Los crecimientos paralelos de cristales, o las direcciones preferentes en ciertas rocas metamórficas como los esquistos, pueden recordar las fibras de la madera; los espelotemas (formaciones calcáreas) pueden imitar troncos y ramas; los cristales que ramifican desde un punto pueden parecerse a un haz de hojas aciculares… Pero los crecimientos de tipo fractal llamados dendritas, como los de psilomelano (un óxido de manganeso), sí que causan mucha confusión, especialmente porque las plantas también manifiestan patrones fractales.

La madera fósil a lo largo de las eras

A continuación haré un repaso de la madera fósil a lo largo del tiempo geológico, ilustrándolo con ejemplares de yacimientos españoles.

Carbonífero

Fragmento de tronco de calamites en óxido de hierro, mina Emma, Puertollano (Ciudad Real).

El Carbonífero es un periodo de la era Paleozoica que va desde 359 Ma a 299 Ma. Su nombre hace alusión a los grandes depósitos de carbón incluidos en él y que se originaron en ambientes lacustres. En esta época todavía no habían aparecido las plantas con flores, y la vegetación no era tan diversa como en la actualidad. Entre los fósiles destacan los helechos arborescentes, similares a los que siguen existiendo en algunas selvas y los calamites, un tipo extinto de equisetos gigantes.

Impronta carbonosa de hojas de helecho, mina Emma, Puertollano (Ciudad Real).

Se pueden recuperar restos de esta época en las escombreras de algunas minas de carbón, como las de la cuenca de León-Asturias. Sin embargo, las muestras que tengo provienen de la mina Emma de Puertollano (Ciudad Real) que tuve la oportunidad de visitar con un permiso. El origen de este yacimiento es curioso porque fue sellado por las cenizas de una erupción volcánica y por eso también se le conoce como la «Pompeya paleobotánica» o la «Pompeya del Paleozoico».

Triásico

Fragmento de rama fosilizada en sílice, Ulea (Murcia).

El Triásico es el primer periodo de la era Mesozoica y abarca de los 251 Ma a los 201 Ma. Parte de los sedimentos de este periodo (Keuper) se originaron en lagunas o mares interiores con algo grado de salinidad, lo que favorece la silificación de la madera. El exceso de sílice también provoca la formación de cristales de cuarzo alrededor del fósil, lo que lo hace menos evidentes.

Madera fosilizada en sílice de Ulea (Murcia). La fibra puede observarse levemente en dirección horizontal, mientras que el veteado aparece en vertical. Encuadre de 3 cm de anchura.

En el Triásico ya existen los bosques de coníferas y los restos recuperados en el Keuper de Ulea (Murcia) parecen adscribirse a ese taxón. La importante concentración de estos restos fue comunicada a las autoridades responsables de Patrimonio de la Región de Murcia tal y como cuento en mi reseña biográfica. La calidad de la fosilización en sílice oscura permite observar las fibras y veteado de la madera, mientras que otros restos conservan estructuras externas.

Cretácico

Sección de tronco fosilizado en sílice de El Bonillo (Albacete).

El Cretácico es el último periodo de la era Mesozoica, que va entre 145 Ma y 65 Ma. Aunque existen facies lacustres cretácicas al norte de la Región de Murcia y que se continúan por Albacete, éstas son más adecuadas para buscar restos de dinosaurios que de madera fósil. Por otra parte, los fragmentos de madera silificada procedentes de terrenos cretácicos de Albacete diría que se han fosilizado en ambientes marinos muy cercanos a la costa.

Fragmento de madera fósil mostrando los anillos de crecimiento (aproximadamente horizontal) procedente de Tobarra (Albacete).

Se pueden recuperar trozos de tamaño variable, correspondiendo algunos a fragmentos de tronco. En otros, que serían esquirlas, es más fácil observar las estructuras internas como fibras o anillos de crecimiento.

Resto vegetal fosilizado en sílice de Cervera del Río Alhama (La Rioja). La trama de fibras se corresponde con la de una planta no leñosa, como una palmera o similar.

Aunque he descartado el origen lacustre para los restos descritos de Albacete, en otros lugares no es así. En Cervera del Río Alhama (La Rioja) en la zona donde aparecen los cuarzos hialinos que corresponden a facies lacustres continentales se puede encontrar restos vegetales fosilizados en sílice negra.

Neógeno

Fragmento de madera fosilizada en sílice del Messiniense de Campos del Río (Murcia) con aspecto de tablón carcomido.

El Neógeno es un periodo de la era Cenozoica que comienza hace 23 Ma y llega hasta hace 2,5 Ma, justo antes del Cuaternario, aunque este límite fue modificado en tiempos recientes. Durante el Mioceno (subdivisión del Neógeno), más particularmente en el Messiniense (subdivisión aún más fina del Neógeno), el mar Mediterráneo quedó aislado del océano Atlántico convirtiéndose así en una «balsa de salmuera» fosilizante.

Fragmento de madera fosilizada en sílice de Archena (Murcia) en el que se puede apreciar la rugosidad de la corteza y un nudo.

Los restos de madera fósil de este periodo son relativamente abundantes en la Región de Murcia. Destaca un «tablón» fosilizado conservado con los rastros de carcoma de Campos del Río. En ese mismo yacimiento he visto algunos restos de madera parcialmente carbonizados y silificados. He podido observar también algunos restos curiosos pero aislados en Archena . En Molina de Segura y Fortuna han aparecido fosilizados troncos de palmera.

Fragmento de palmera fosilizada en sílice de Fortuna (Murcia) en el que se aprecia la estructura interna.

Del Neógeno pero más reciente, lo que correspondería al Plioceno, mencionaré una pieza muy curiosa encontrada en los sedimentos de una playa de Estepona (Málaga). Se trata de una piña de conífera fosilizada en carbón, que apareció junto a restos de moluscos como dentalium, posiblemente arrastrada hasta el mar por las lluvias. La pieza está protegida por un endurecimiento concéntrico de la arenisca debido a la presencia de óxido de hierro del sedimento, cuyo origen más probable sea la alteración de una parte de sulfuro de hierro que acompañaba al fósil inicialmente.

Piña de conífera fosilizada en carbón y rodeada de un enriquecimiento en óxido de hierro de la arenisca, Estepona (Málaga).

Turismo de árboles petrificados

Los árboles petrificados, como cualquier otro fósil, se pueden encontrar en los museos de Paleontología. A veces no hace falta ni entrar al museo para verlos porque debido a sus grandes dimensiones y calidad de la roca en la que están fosilizados pueden exponerse en el exterior. Así ocurre en el Museo Nacional de Ciencias Naturales (Madrid) o el London Natural History Museum (Londres).

Más interesante es para mí cuando estos fósiles se pueden ver en el lugar donde aparecieron, ya que el contexto puede aportar una información extra. Además de eso, la visita a los yacimientos paleontológicos puede ser uno más de lo mucho que puede ofrecer la comarca donde se encuentran. He seleccionado tres visitas que conozco personalmente, aunque me he visto obligado a usar fotos de internet para ilustrarlos. Los lugares son de España, porque el Petrified Forest National Park me pilla un poco lejos…

Maestrazgo

Arbol fosilizado en Castellote (Teruel), foto tomada de https://venerablesarboles.blogspot.com/

El Maestrazgo es una comarca histórica a caballo entre Aragón y la Comunidad Valenciana, muy interesante desde los puntos de vista paisajístico, etnográfico, arqueológico y, por supuesto, paleontológico. Añadiré que algunos de los pueblos de esta comarca figuran entre los más bonitos de España, pero dejo al lector que haga las indagaciones oportunas, porque aquí hemos venido a hablar de árboles. En Castellote, en la zona del Barranquillo, han aparecido varios troncos fósiles de notables dimensiones que han sido acondicionados para su visita in situ (la calidad de la fosilización no hace aconsejable su traslado).

Señorío de Molina

Tocón mostrando algunas raíces. Foto tomada de http://www.rillo-de-gallo.com/geoparque.htm

La comarca conocida como Señorío de Molina tiene por capital la notable villa de Molina de Aragón, que se ubica en la provincia de Guadalajara (la división administrativa actual a veces no coincide con la medieval). De Molina de Aragón toma su nombre el mineral llamado aragonito y por el interés geológico de la comarca se ha creado el Geoparque Molina – Alto Tajo. Uno de los hitos del parque son los árboles fosilizados en posición de vida de Rillo de Gallo. Cierto es que los árboles solo exhiben el tocón (parte baja del tronco con las raíces), pero esto lo convierte en un yacimiento singular.

Sierra de la Demanda

Arbol fósil parcialmente «recosntruido» en Hacinas (Burgos), foto tomada de https://www.terranostrum.es/

La Sierra de la Demanda se ubica entre La Rioja y las provincias de Burgos y Soria. Los yacimientos de huellas de dinosaurios de La Rioja son los más conocidos, así como las famosas piritas de Navajún y Ambasaguas, en la misma comunidad. No obstante, al sur de la Demanda hay también mucho que ver. A un cuarto de hora de coche desde el Monasterio de Silos está el pueblo de Hacinas (Burgos), donde se pueden ver algunos troncos fosilizados que han aparecido en los alrededores.

Circunferencias y esferas

Ilustración de Lecciones de Geometría de Cirodde, Madrid 1905.

Hoy voy a hacer “divulgación matemática”. En particular, hablaré de circunferencias y esferas, en el sentido más euclídeo de la palabra. El detonante de esta ocurrencia ha sido el vídeo que me envió mi querido amigo Luis Arrufat por WhatsApp, que podréis ver a continuación (el vídeo está incrustado en la página, en caso de problemas para visualizarlo podéis verlo también en YouTube). Sólo una advertencia, las hipnóticas imágenes enganchan.

Si habéis visto con detenimiento el vídeo, cada bola blanca («pelota» en la lamentable traducción) se mueve en una línea recta, pero conjuntamente se «perciben» como rodando dentro del círculo rojo. Yo trataría de discernir aquí si el problema es realmente la percepción o lo que se entiende normalmente por rodar. Por ejemplo, considerad la rueda de una bicicleta que se desplaza por un camino recto y llano. Pues bien, ni uno sólo de sus puntos describe una trayectoria circular: el buje se mueve en línea recta, mientras que un punto en el neumático describe una trayectoria con forma de cicloide. Sin embargo, nadie discute si la rueda da vueltas o si está rodando ¿no?

Curva cicloide producida por la rueda de una bicicleta (imagen tomada de https://robadabambini.blogspot.com)

Una discusión tan similar como infructuosa es la de si la luna gira sobre sí misma, o no lo hace, ya que en su recorrido mensual alrededor de la tierra siempre presenta a un observador terrestre la misma cara. Como esto no va de Psicología ni Filosofía o Astronomía, sino de Matemáticas, lo primero que haré será aclarar por qué si una circunferencia rueda dentro de un círculo con el doble de diámetro todos sus puntos describen trayectorias rectilíneas.

Una explicación sencilla

En la escuela se enseña que los tres ángulos (internos) de un triángulo suman un ángulo llano (180 grados sexagesimales). Otra cosa bien diferente es si alguna vez nos han dado una explicación razonada, o razonable, de este aserto. En Geometría, como en cualquier otra teoría matemática hay que partir de unos principios que se dan por ciertos (postulados o axiomas). El hecho de que la suma de ángulos de un triángulo arroja siempre el mismo valor emana directamente del llamado «Postulado de las Paralelas» (también conocido como El Quinto Postulado) que afirma que, en el plano, dados una recta y un punto fuera de ella, sólo se puede trazar una paralela a la recta dada pasando por dicho punto. El dibujo a continuación ilustra como se relaciona la suma de ángulos con el Postulado de las Paralelas.

Tras trazar una paralela a un lado del triángulo por el vértice opuesto, resulta que los ángulos rojos (alfa) son iguales, y lo mismo ocurre con los azules (beta), por lo que se pueden transportar a la parte superior del dibujo y sumados al ángulo negro dan como resultado un ángulo llano.

No voy a engañar al lector: estoy ocultando algunas dificultades de manera deliberada. Por ejemplo, lo que se entiende por «ángulo» en Matemáticas. No entraré en ese jardín porque todo el mundo entiende de manera intuitiva el ángulo como cierto tipo de magnitud geométrica expresable en una escala numérica (de hecho, en la práctica se mide con un goniómetro o un transportador de ángulos). Ahora mostraré una curiosa propiedad de los ángulos en una circunferencia.

El ángulo rojo «beta» es exactamente el doble del ángulo negro «alfa».

El dibujo arriba ilustra la siguiente propiedad: cada vez que se da una circunferencia de centro X, un diámetro de ella con uno de sus extremos llamado O y un punto A en la circunferencia, el ángulo que forma el segmento XA con el diámetro por la parte opuesta a O es exactamente el doble del ángulo que forma el segmento OA con el diámetro en O. La prueba es muy sencilla, pero el limitado editor de texto de la web no me permite usar símbolos, así que daré el esquema argumental insertando una nota manuscrita, como si estuviera en clase usando una pizarra.

Argumento de mi puño y letra… lo siento, no soy calígrafo.

He apelado a otro resultado que en la práctica parece evidente, pero no lo es tanto su demostración: si un triángulo tiene dos lados iguales (llamado en tal caso isósceles), los ángulos opuestos a ellos son iguales entre sí. El propio Euclides dio una demostración bastante aparatosa que incluía como «bonus track» una construcción geométrica que lejanamente puede parecer un puente. Pons asinorum (el puente de los burros) se ha llamado popularmente, porque había que pasar por él para «desasnarse» y aprender la Geometría. Ya estamos en condiciones de explicar lo que pasa en el vídeo con el que comenzábamos el post de hoy.

Los arcos coloreados tienen la misma longitud por que el de la circunferencia cuyo diámetro es la mitad corresponde a un ángulo que es el doble.

El dibujo muestra dos círculos siendo el diámetro del grande el doble del pequeño. Los dos ángulos marcados están también en relación de ser uno el doble del otro, sólo que el ángulo mayor está en la circunferencia pequeña. Eso hace que los dos arcos coloreados tengan la misma longitud, los que puede interpretarse de la manera siguiente: si el circulo pequeño rueda hacia abajo, el punto B irá a parar directamente al O, y de hecho se situará siempre sobre el diámetro vertical porque el razonamiento se puede hacer con cualquier ángulo o posición de partida.

Ángulos inscritos y fútbol

El resultado sobre ángulos que ha sido clave en la sección anterior, tiene más consecuencias. Si dada una circunferencia con uno de sus diámetros, hacemos la construcción anterior del ángulo y su doble a cada lado obtenemos sumándolos un ángulo con un vértice en la circunferencia y otro que mide exactamente el doble con su vértice en el centro. Esta construcción es reversible en el sentido que si partimos de un ángulo con un vértice sobre la circunferencia y que engloba al centro de ésta podemos deducir que el ángulo con vértice en el centro de la circunferencia y que abarca el mismo arco de ésta debe ser el doble. A los ángulos con un vértice en una circunferencia nos referiremos como inscritos en ella.

A cada lado del diámetro se aplica la regla anterior: el ángulo inscrito que tiene un diámetro por lado es la mitad del ángulo centrado. La suma sigue guardando la misma proporción, pero también la diferencia.

La restricción de que el centro de la circunferencia esté comprendido en el ángulo inscrito puede evitarse. En efecto, igual que se argumenta con la suma se puede hacer también con la diferencia. Así cualquier ángulo inscrito es exactamente la mitad del ángulo centrado en la circunferencia que abarca el mismo arco. Consecuentemente, todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales entre sí (suele llamarse capaz a este arco). El dibujo explica muy bien este hecho.

Todos los ángulos que abarcan el mismo arco de circunferencia (el que va entre A y B) miden lo mismo (alfa).

Este bonito principio geométrico tiene una inesperada aplicación al fútbol… OMG! 😕 Empiezo a parecerme a José Manuel López Nicolás (espero que para bien). Un jugador corre con el balón por una línea paralela a la banda ¿en qué momento verá la portería rival con un ángulo máximo? El problema tiene una solución trivial si la línea entra en la portería: una vez que está dentro. En otro caso, nuestras consideraciones sobre ángulos inscritos en circunferencias permiten resolver el problema de forma muy elegante.

El jugador (punto rojo) avanza por la línea negra horizontal hacia la portería (azul). La verá bajo un ángulo máximo cuando se sitúe en el punto de tangencia de la circunferencia que pasa por los postes de la portería y es tangente al recorrido del jugador.

El motivo por el que el punto de tangencia da la solución al problema del jugador es el siguiente: cualquier otro punto antes o después de éste corresponderá a un ángulo inscrito en una circunferencia de radio mayor. El correspondiente arco capaz tiene la misma cuerda (la anchura de la portería) pero al ser más grande la circunferencia el ángulo es menor.

Newton y la atracción de las esferas

Estamos lejos de haber sacado todo el pringue a los ángulos inscritos y a los arcos capaces. Observemos la construcción dada el el siguiente esquema: dos cuerdas de una circunferencia se cortan en un punto y las completamos con sendos segmentos para formar dos triángulos: A y B. Resulta que los triángulos son semejantes, es decir, tienen iguales sus tres ángulos. En efecto, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Pero también los otros pues pueden verse como ángulos inscritos con el mismo arco capaz.

Los triángulos A y B son semejantes. Es decir, serían semejantes si el dibujo estuviera bien hecho.

Newton andaba tratando de resolver el problema de la atracción gravitoria entre los astros, sabiendo que las masas puntuales satisfacen la ley del inverso del cuadrado de la distancia. Los planetas y las estrellas son asimilables a bolas sólidas que pueden considerarse compuestas de capas esféricas al igual que una cebolla. El genio inglés sabía que le bastaba resolver el problema para una esfera hueca cuya masa está repartida homogéneamente en su superficie. El caso más sencillo de tratar es la evaluación de la fuerza atractiva cuando la masa está dentro de la esfera, que no responde a una situación astronómica.

El arco azul azul atraería al punto P con la misma fuerza, pero opuesta, que el arco rojo si la intensidad fuera inversamente proporcional a la distancia.

La solución del problema viene dada por una lectura adecuada de la semejanza de los triángulos enfrentados con la que hemos comenzado la sección. Si el ángulo que forman las cuerdas entre sí es pequeño, podemos cambiar los sendos lados de los triángulos por arcos de circunferencia. Si cada arco (A, B) atrajera al punto P con una fuerza inversamente proporcional a la distancia a la que se encuentra, ambas fuerzas se compensarían por la semejanza de los triángulos anteriormente descrita. Como la circunferencia se puede descomponer completamente en pares de arcos similares, la fuerza neta sobre el punto P es nula. Ahora bien ¿no era la Ley de Gravitación proporcional al cuadrado del inverso de la distancia? Si abandonamos en contexto plano para ir al espacial, en lugar de arcos de circunferencia tendremos casquetes de esfera. Las áreas son proporcionales al cuadrado de las longitudes, por lo que la compensación se producirá si la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Ahora todo cuadra.

Página de la edición en español de los Principia de Newton donde discute la atracción dentro de una esfera homogénea (Tecnos 2011).

Insistamos en que la diferencia entre los triángulos rectilíneos y los que usan arcos de circunferencia es que los primeros son realmente semejantes, mientras que los segundos sólo lo son de manera aproximada. Esta aproximación es mejor cuanto más estrecho es el ángulo, lo que viene a ser como sustituir el arco de circunferencia por su cuerda en el razonamiento. Esto es un argumento de tipo infinitesimal como los que ya empleaba Arquímedes en el cálculo de áreas, volúmenes y centros de masa. Después de Newton, los métodos infinitesimales se sistematizaron dando lugar a la rama de las Matemáticas llamada Análisis.

En el estudio del efecto gravitatorio de las esfera homogénea sobre un punto exterior es útil notar que se vuelve a producir una semejanza de triángulos, tal como indica el dibujo. Se puede deducir de ello que el arco más lejano atrae con la misma fuerza que el más cercano. Sin embargo, aún quedaría algo de trabajo por hacer hasta poder deducir, como hizo Newton, que la atracción neta de la esfera homogénea sobre un punto exterior es equivalente a la que produciría toda la masa de la esfera así estuviera concentrada en su centro.

Página de la edición en español de los Principia de Newton donde discute la atracción dentro de una esfera homogénea (Tecnos 2011).

El universo confinado en un círculo

Al comienzo de este post hemos mencionado, y apelado, al Postulado de la Paralelas, uno de los axiomas sobre los que se fundamenta la Geometría plana clásica. Una característica común de los sistemas axiomáticos en Matemáticas es tratar de ser lo más escuetos posible: si algo puede deducirse de principios más básicos, no debe estar en la lista de axiomas. Durante mucho tiempo se pensó que el Postulado de la Paralelas era demasiado complicado para ser un principio fundamental y debía de ser consecuencia de los otros axiomas. Sin embargo, en el siglo XIX varios matemáticos llegaron a la conclusión de que era indispensable porque existen «geometrías planas» diferentes de la euclídea que cumplen todos los axiomas menos el Postulado de las Paralelas. ¿Cómo es posible tener otras geometrías planas? Realmente, lo que llamamos geometría plana no son los dibujos con los que ilustramos los resultados, sino dos conjuntos de objetos, «puntos» y «rectas», que satisfacen unas ciertas relaciones de incidencia descritas por los axiomas. En principio, los «puntos» no tienen por qué parecer puntos, ni las «rectas» parecer rectas.

Libro fundamental, nunca mejor dicho, para la Geometría y el Método Axiomático en Matemáticas, edición en español del CSIC 1991.

Un descubrimiento notable del siglo XVII, la llamada Geometría Proyectiva, que encuentra sus raíces en el estudio renacentista de la perspectiva en dibujo y pintura. En Geometría Proyectiva plana no existen las paralelas: dos rectas diferentes siempre se cortan en un único punto, al igual que por dos puntos diferentes pasa una única recta. Los axiomas de la Geometría Proyectiva son simétricos respecto al papel que juegan puntos y rectas, de tal manera, que si uno demuestra un resultado y después cambia en su enunciado puntos por rectas y rectas por puntos, el enunciado resultante será automáticamente cierto. En otras palabras, si tratando de interpretar un teorema de Geometría Proyectiva de un libro escrito en sueco, confundimos puntos con rectas y viceversa en el texto, no lo notaremos. Sin embargo, no es la Geometría Proyectiva nuestro objetivo, ya que en ella no hay ni métrica ni ángulos, ni mucho menos, paralelismo.

Ejemplo de resultados duales en Geometría Proyectiva plana (F. Enriques, Lecciones de Geometría Proyectiva, EEE Madrid 1946). Quien desee saber como sigue el enunciado (y la prueba) puede verlo aquí.

Carl F. Gauss, Janos Bolyai y Nikolai Lobachevski descubrieron de manera independiente la Geometría Hiperbólica, Gauss antes que los otros dos, aunque no lo publicó. En la Geometría Hiperbólica hay distancias y ángulos, pero no se cumple el Postulado de las Paralelas. Una forma relativamente sencilla de construir un modelo del plano hiperbólico es la siguiente: tomemos un círculo al que llamaremos «disco», los puntos interiores del disco serán los puntos del plano hiperbólico y los arcos de circunferencia contenidos en el disco y perpendiculares a su frontera serán las «rectas» del plano hiperbólico. Hay otras construcciones, pero la que acabamos de describir es la que más ha inspirado al artista neerlandés M. C. Escher.

Ángeles y Demonios, no de Dan Brown, sino de Escher, teselando el plano hiperbólico.

El siguiente dibujo (abajo) muestra una «triangulación» del plano hiperbólico. Realmente cada supuesto triángulo está delimitado por tres rectas y todas las rectas que aparecen son mutuamente paralelas: en efecto, son arcos de circunferencia perpendiculares a la frontera del disco y que no se cortan en el interior. A pesar de ser el disco un objeto limitado para nuestra intuición euclídea, cada triángulo es infinito (desde el punto de vista hiperbólico) y se requiere, además, un número infinito de triángulos para rellenarlo. Se oye entre mis lectores una voz que dice: – ¡Normal! Si cada vez son más pequeños…-. Pero, insisto, eso vuelve a ser nuestra intuición euclídea tratando de orientarse en un universo que no es el suyo.

«Triangulación» del plano hiperbólico representado como un disco.

De hecho, todos esos triángulos tienen las mismas dimensiones y son simétricos unos de otros desde el punto de vista de la Geometría Hiperbólica. Esta simetría hiperbólica se puede llevar a cabo mediante una operación euclídea llamada “inversión”. Dada una circunferencia de radio r, el inverso respecto a ella de un punto P distinto del centro O, es otro punto P* situado en el mismo radio (O, P, P* están alineados y O no está entre los otros dos) tal que el producto de OP por OP* es r2. Como el inverso de P* es, a su vez, P decimos que P y P* son simétricos entre sí respecto a la circunferencia. En el caso que nos ocupa del disco hiperbólico, cada par de triángulos contiguos puede ser llevado el uno en el otro mediante una inversión respecto a la circunferencia cuyo arco comparten como lado. Asombrosamente, el disco se aplica en sí mismo por la inversión. La clave de esto está en un dibujo, que apareció hace rato, completado con otra circunferencia.

Respecto a la circunferencia mayor, los puntos A y B’ son simétricos. También los puntos B y A’, y todos los puntos de la circunferencia menor agrupados convenientemente por pares. El motivo es la constancia del producto de distancias a O que se deduce de la semejanza de los triángulos AOB y A’OB’.

La triangulación mostrada en el dibujo del disco hiperbólico tiene una peculiaridad. Imaginemos que en cada lado separando dos triángulos se abre una puerta que permite ir de un triángulo al otro. Ahora, supongamos que partiendo de cierto triángulo, hemos hecho un viaje cruzando un buen número de puertas sin volver atrás. Pues bien, si queremos volver al punto de partida la única forma de hacerlo es desandar el recorrido realizado. Debido a que la inversión, ligeramente modificada, es una función compleja holomorfa (no quiero dar definiciones excesivamente técnicas), la triangulación hiperbólica es la clave de un profundo teorema de É. Picard: una función holomorfa no constante definida en el plano complejo toma todos los valores, excepto posiblemente uno. La idea de esta prueba consiste en suponer que deja de tomar dos valores, lo que permitiría, sabiendo algo más de Análisis Complejo, almacenar convenientemente todos sus valores en los triángulos del plano hiperbólico para convertirla, momentáneamente, en una función inyectiva. Hay otras pruebas del teorema de Picard, pero carecen de la belleza caleidoscópica del plano hiperbólico.

La frontera metálica de Mr. Green

La fuerza entre cargas eléctricas, al igual que la gravedad, también responde a la ley del inverso del cuadrado de la distancia. Sin embargo, hay varias diferencias. Una de ellas es que la fuerza puede ser repulsiva o atractiva dependiendo del signo de las cargas. Una determinada distribución de cargas eléctricas se manifiesta en cualquier punto del espacio como un efecto (fuerza) sobre una carga test que se sitúe sobre dicho punto. Este noción recibe el nombre de campo eléctrico y se puede abordar matemáticamente por medio de una función llamada potencial. Dada una distribución de cargas, se puede hallar el potencial que genera usando una integral de volumen. Y, a su vez, dado el potencial se puede recuperar la densidad de carga por medio de la llamada ecuación de Poisson.

La ecuación de Poisson al estilo matemático contiene el signo menos y 4pi, pero no contiene la constante de permitividad del vacío (que alegremente suponemos igual a 1). Los físicos suelen evitar las dos primeras en la propia definición del potencial.

Pero otra de las diferencias que el campo eléctrico tiene respecto al gravitatorio es la existencia de los llamados “conductores”. Se trata de materiales por los que las cargas se pueden mover libremente, de manera que el potencial en ellos es siempre constante al poco de situarlos en un campo eléctrico estático. Esto se traduce en que las cargas se sitúan en la superficie del conductor: la ecuación de Poisson arroja valor cero para la densidad de carga en el interior. Es más interesante conocer la función potencial en el espacio libre de conductores y cargas al que llamaremos dominio. Tratar de conocer el potencial a partir de la ecuación diferencial que satisface y el valor que toma en la frontera de su dominio, se conoce como Problema de Dirichlet.

Efecto del campo eléctrico sobre cuerpos conductores, ilustración de G. Bruhat – Électricité, Masson, Paris 1956. Las líneas de campo son perpendiculares a los conductores por su superficie tiene potencial constante.

Del Problema de Dirichlet se sabe que tiene solución única, cuando la tiene. Pero no se sabe si tiene solución en general, si bien los matemáticos no han cesado en su empeño de resolverlo. George Green propuso una fórmula que solamente requería determinar una función dependiente del dominio (llamada función de Green en su honor) con ciertas propiedades especiales. Para construirla, era preciso demostrar que el campo producido por una carga en el interior del dominio coincide en la frontera del dominio con otro campo producido por cargas fuera del dominio. Green tuvo la siguiente idea: supongamos que la frontera del dominio es un conductor, en cuyo caso las cargas se moverán por la frontera para compensar el campo producido por la carga puntual. Así, el campo sobre la frontera será constante, y si se conecta a una toma de tierra, se puede hacer la constante igual a cero. De esta manera, «galvanizando» el conjunto y con ayuda de cables, estableció Green la resolubilidad del problema de Dirichlet.

Enunciado del Problema de Dirichlet en el espacio.

Naturalmente, el rigor de las Matemáticas tal como las entendemos ahora no admite el razonamiento de Green: no se puede probar un teorema de Geometría basándose en que los triángulos están hechos de madera, por ejemplo. El propio Dirichlet erró en sus razonamientos al apelar a la intuición física. Dirichlet formuló el problema en términos equivalentes a la minimización de cierta cantidad interpretable como una energía, el así llamado Principio de Dirichlet. Si bien la Naturaleza es un ejemplo de sostenibilidad porque se rige por principios de mínima energía, el razonamiento tampoco es admisible como Karl Weierstrass señaló, afeándole la conducta al mismísimo Bernhard Riemann. Los métodos desarrollados por los matemáticos de finales del siglo XIX para eliminar la heurística física de las pruebas de existencia de soluciones dieron lugar al Análisis Funcional.

Las línea desde cada punto de la circunferencia a B (azul) miden el doble que la correspondiente línea hacia A (roja).

Para acabar este post volveremos a la Geometría elemental con la que comenzamos viendo como se puede utilizar para resolver el problema de Dirichlet para el círculo, o la esfera, dependiendo de las dimensiones. No escribiremos la fórmula de Green, que no viene al caso, sino que veremos como evitar el «razonamiento eléctrico». Asumamos que el efecto de la carga es inversamente proporcional a la distancia (no es el caso de la fuerza, pero sí el del potencial en tres dimensiones). Si dos puntos A y B son simétricos respecto a una circunferencia, ocurre una curiosa propiedad: desde cada punto de la circunferencia las distancias a A y B guardan una misma relación constante. En el dibujo, el cociente de distancias a B entre las distancias a A es 2. Eso implica, en particular, que si en A hubiera una carga eléctrica, su efecto sobre los puntos de la circunferencia sería el mismo que si situamos el doble de carga sobre B.

No daré la prueba del último argumento empleado… pero quien quiera detalles podrá encontrarla en este excelente libro, ya clásico, de Pedro Puig Adam

Conclusión

Con este post he querido mostrar la unidad de las Matemáticas y su continuidad en el tiempo. Resultados relativamente modernos como el Teorema de Picard o la solución del Problema de Dirichlet para el círculo entroncan directamente con las propiedades métricas de las circunferencias que estudiaba Euclides dos milenios antes. Circunferencias y esferas siguen estando en el centro de las Matemáticas. No en vano, las últimas palabras de Arquímedes antes de que un soldado romano le quitara la vida (para disgusto de Marcelo, todo hay que decirlo) fueron: Noli turbare circulos meos! (¡No toquéis mis círculos!).

Elipse

¡Qué no cunda el pánico! No voy a dar una lección sobre la elipse partiendo de cero. Para eso ya está la Wikipedia e innumerables blogs didácticos. Este post será sólo una reflexión sobre esta curva clásica, en el que contaré algunas curiosidades. Una cosa… si esto fuera una conferencia con un público con el que pudiera interactuar (en tiempo real), añadiría detalles que aquí he omitido de manera deliberada. Espero que estas ausencias no sean un problema para el lector que sepa leer entre líneas.

Enciclopedia de Grado Medio de la editorial Dalmau Carles Pla (Gerona 1950) en la que estudió mi padre. El dibujo de la izquierda ilustra la definición métrica de la elipse.

La elipse y yo

Es un hecho comúnmente aceptado que los libros de texto escolares van reduciendo su contenido (y aumentando su precio) año tras año. Esto ya debía de ser cierto hace por lo menos cuatro décadas porque los libros de mis hermanos, que son mayores que yo, o incluso los de mi padre, parecían más interesantes que los míos (hablaremos algún día de esta manía de privar de información a los niños en el cénit de su curiosidad). Con esos libros abandonados por sus usuarios que recuperé del trastero monté mi «primera biblioteca» en El Cañarico, en la que pasaba largas horas hojeándolos. En esos libros supe por primera vez de la elipse.

Aprendí que la elipse, junto con la parábola, la hipérbola y la circunferencia (realmente un caso particular de la elipse), son las llamadas curvas cónicas porque se obtienen como secciones de un cono (de revolución). Esto lo sabía Apolonio de Perga en el s. III de nuestra era, pero a mí me resultaba muy extraño… ¿Cómo es posible que un corte oblicuo del cono sea una curva con dos líneas de simetría (una de ellas es evidente) en lugar de una figura ovoide? Sólo había una forma de comprobarlo… cortar un cono.

Exin Castillos, foto tomada de Wikipedia.

Y así hice. Corté con un serrucho uno de los tejados cónicos que cubren las almenas de un popular juego de construcción de castillos en los años 70. Aparte de destrozar una pieza que ahora sería bastante valiosa entre los coleccionistas frikis, el experimento no me convenció mucho. Podría haber «seccionado» más cómodamente el cono proyectando oblicuamente el haz de luz de una linterna en sobre una pared. Años después aprendí como hacer eso mismo con Geometría Analítica, que reduce los objetos geométricos elementales a ecuaciones algebraicas.

Esquema del argumento de Dandelin, tomado de Courant-Robins ¿Qué es la Matemática? (Aguilar 1979)

Si pudiera viajar al pasado, le contaría a mi joven yo el argumento de Dandelin, la elegante demostración con Geometría elemental de que la sección oblicua (pero no más oblicua que la generatriz) de un cono de revolución satisface la definición métrica de la elipse. Los focos resultan ser los puntos donde dos esferas adecuadas tocan el plano (mejor dicho, son tangentes) que realiza la sección. Todo lo que hay que saber es que si desde un punto se traza una recta tangente a una esfera, la distancia al punto de tangencia no depende la recta escogida. El argumento se puede adaptar igualmente a la hipérbola y la parábola, por lo que Germinal P. Dandelin alcanzó la gloria redemostrando hechos conocidos durante más de 1500 años.

Ilustración del libro «Algebra lineal y algunas de sus aplicaciones» de L.I. Golovina (MIR 1983) que muestra los efectos de una transformación afín consistente en un acortamiento horizontal (x 1/3) y un alargamiento vertical (x 2). Así podemos convertir un cocodrilo en un monstruo de Dungeons and Dragons.

Después de haber estudiado matemáticas tantos años me sigo sorprendiendo con algunas cosas. Por ejemplo, el hecho elemental de que aplicando a la circunferencia una transformación afín siempre se obtenga una elipse. ¿Qué tiene esto de sorprendente? Me explico. Una transformación afín deforma el plano según dos direcciones no necesariamente perpendiculares, estropeando distancias y ángulos (un cuadrado puede transformarse en cualquier paralelogramo). Sin embargo, aplicada la transformación afín a una circunferencia, el resultado es siempre una elipse, con sus dos ejes perpendiculares y sus notables propiedad métricas. Más aún, esto que acabo de decir es sólo un caso particular de que cualquier forma cuadrática puede expresarse canónicamente (únicamente combinaciones lineales de cuadrados de las variables) mediante una transformación ortogonal en cualquier dimensión.

El mecánico celeste

El paso del sistema geocéntrico de Ptolomeo al heliocéntrico de Copérnico no sólo simplificó la comprensión de la dinámica planetaria, sino que también marcó el momento en el que Ciencia y Religión debían tomar caminos diferentes (es bien sabido que el «divorcio» se llevó unos años: eppur si muove). En el sistema de Copérnico los planetas giraban alrededor del sol el órbitas circulares. Johannes Kepler estudió los datos recopilados minuciosamente por Tycho Brahe y llegó a la conclusión de que las órbitas de los planetas realmente son elípticas y el sol ocupa uno de los focos. Esta es la primera ley de Kepler. La segunda ley describe la variación de la velocidad para un planeta en su órbita elíptica, y la tercera relaciona la duración del «año» para dos planetas diferentes en función del tamaño de la órbita.

Posiblemente el libro más importante de la historia de la Ciencia (edición en español, Tecnos 2011)… puesto disputado con «El origen de las especies» de Darwin.

Isaac Newton inventó el Cálculo Infinitesimal (derivadas, integrales, series de potencias, ecuaciones diferenciales…), descubrió las Leyes de la Mecánica, descubrió la Ley de Gravitación Universal explicando el funcionamiento del sistema solar, descompuso la luz explicando así los colores y la formación del arco iris, construyó el telescopio reflector tal como se usa hoy día en los grandes observatorios y en el Hubble… Nunca se ha contribuido más a la Ciencia (ni a la Humanidad) trabajando en solitario entre cuatro paredes. Aún así, de vez en cuando aparece algún «iluminado» de la autoayuda diciendo que todos podemos ser genios, que tenemos el mismo potencial y que desarrollarlo es cuestión de motivación… bullshit!

Parte de Los Principios Matemáticos de Filosofía Natural donde Newton trata la relación entre la ley del inverso del cuadrado de la distancia y las órbitas según curvas cónicas.

Un día de agosto de 1684, Edmund Halley (el dude del cometa) le preguntó a Newton cómo serían las trayectorias de los planetas si estos fueran atraídos por el sol con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Newton le dio la solución al instante: elipses. Asombrado, Halley le preguntó la razón para ello. Newton le dijo simplemente «lo he calculado». Newton sabía todo eso, y más, desde 1666. Hoy conocemos que uno de los motivos por los que Newton fue tan prudente, por así decirlo, es que estaba intentando resolver el problema de la atracción gravitatoria entre esferas sólidas (y no masas puntuales) que es lo que son, aproximadamente, los grandes astros. Halley insistió a Newton para que publicara sus descubrimientos y llegó a financiar de su bolsillo la edición de los «Philosophiæ naturalis principia mathematica« (el latín era la lengua científica, como hoy día lo es el inglés).

Lápida bajo la que reposan los resto de Newton, en la Abadía de Westminster. Cerca de Newton están otros físicos como Lord Kelvin, James C. Maxwell, Paul Dirac y Stephen Hawking. A poca distancia está también Charles Darwin, que debe aburrirse mucho con sus vecinos.

La imaginería popular representa a Newton bajo un manzano contemplando la caída de la fruta o, peor aún, siendo golpeado por ella. La grandeza de Newton consiste en haberse dado cuenta que la fuerza que hace caer la manzana es la misma que mantiene «atada» la Luna alrededor de la Tierra; que la Luna traza una órbita cerrada alrededor de la Tierra porque está «continuamente cayendo» sobre ella; que lo mismo ocurre con la Tierra y los otros planetas que giran alrededor del sol; y que la gravedad es la fuerza que mueve la máquinaria del universo, más allá de donde puede llegar a mirar con su telescopio reflector.

La lección perdida de Feynman

Hacia el final de La Novena Puerta, adaptación cinematográfica del Club Dumas de Arturo Pérez Reverte, el protagonista, interpretado por Johnny Depp, regresa al establecimiento de los hermanos Ceniza en Toledo. Allí se encuentra con unos obreros que están desmontando el local y, mientras estos mueven un pesado armario, una lámina vuela suavemente desde lo alto del mueble hasta sus pies: se trata de la página (con un grabado) que completa el libro por el que Boris Balkan (el villano de la historia) ha estado matando a lo largo de la película (spoiler, sorry).

Portada de mi ejemplar de «Feynman’s lost lecture», por D.L. Goodstein y J.R. Goodstein.

Más o menos, así podría haber ocurrido, cuando Judith R. Goodstein entró en el despacho de Robert B. Leighton, profesor retirado de Caltech, mientras estaban desalojando sus cosas para reutilizar el espacio: apareció una carpeta polvorienta que contenía la lección perdida de Feynman. Leighton, junto con Matthew Sands, había sido el encargado de transcribir las lecciones de Física que Richard Feynman impartió en Caltech entre 1961 y 1963, y que dieron lugar a una aclamada obra muy usada en primeros cursos universitarios. Esa lección extraviada de Feynman, que no había sido incluida en el libro, trataba sobre las órbitas de los planetas.

Edición conmemorativa de «The Feynman Lectures on Physics», o la manera de conciliar el amor a la Ciencia con la bibliofilia.

La manera moderna de resolver el problema de las órbitas planetarias consiste en escribir las ecuaciones del movimiento en coordenadas polares (las leyes de conservación ayudan en esta tarea), cambiar la variable r (distancia al origen de la fuerza) por 1/r y observar como la ecuación, salvo una constante es la del oscilador armónico. La Geometría Analítica nos permite identificar ahí la elipse en términos de las coordenadas polares. El problema real, con dos masas, es más complicado porque ambas se mueven, pero puede ser reducido con un truco matemático a una sola masa atraída desde un punto inmóvil. Sin embargo, la introducción de una tercera masa complica infinitamente el sistema (problema de los tres cuerpos).

Uno de los dibujos del libro «Feynman’s lost lecture».

Curiosamente, Feynman aborda el problema de las órbitas de los planetas siguiendo los pasos de Newton, con Geometría a la antigua usanza. Pero Feynman, al igual que Newton, era un genio y aportó su original visión a la demostración de la primera ley de Kepler. En lugar de estudiar únicamente la trayectoria del planeta (elipse), trazó el diagrama vectorial de las velocidades demostrando que estas se sitúan sobre una circunferencia, pero parten de un punto entre el centro y el borde de ésta. La trayectoria del planeta se recupera como la envolvente de una familia de rectas que ilustran la propiedad de que cualquier tangente a la elipse forma ángulos iguales con los dos segmentos que parten del punto de tangencia a los focos. No es mi intención entrar en detalles aquí, pero se puede decir que hay, en cómo argumenta aquí Feynman, una cierta reminiscencia de las ideas con las ideas que él mismo expone (o trata de exponer) de manera elemental la Electrodinámica Cuántica, teoría por la que obtuvo el Nobel en 1965.

En ocasiones veo elipses

La relación geométrica entre la circunferencia y la elipse empleada por Feynman puede ser usada para obtener elipses como experimento casero. Tome un disco circular de papel, marque un punto que no sea el centro ni esté en el borde y doble el papel de manera que el borde del disco se sitúe sobre el punto marcado. Esto se puede hacer de infinitas maneras, pero bastan unos cuantos dobleces bien repartidos para que la elipse comience a aparecer como envolvente de estos. El centro de la circunferencia y el punto marcado serán los focos de la elipse así obtenida.

Experimento casero para obtener un elipse como envolvente de líneas dadas por dobleces en el papel. Están marcados el centro de la circunferencia y el punto elegido. Tiempo de realización (incluyendo cortar el disco) 5 minutos.

Pero aunque no las busque en libros o las fabrique en papel, no puedo evitar seguir viendo elipses cuando salgo a la calle. Las veo incluso en la charcutería: los salchichones de grandes dimensiones son aproximadamente cilíndricos, y cortados al bies producen sabrosas elipses. El argumento de Dandelin es mucho más sencillo de seguir para una sección cilíndrica (animo al lector a que lo haga) mientras disfruta un buen bocadillo de salchichón ibérico.

Sección elíptica producida en un salchichón ibérico (foto de Internet).

También, en un día soleado (o con una fuente de luz puntual), sobre una chapa de acero inoxidable arañada aleatoriamente o el capó de un coche con la pintura gastada por el tiempo, los arañazos iluminados forman patrones elípticos. La explicación es sencilla conociendo algunos conceptos: los arañazos que se iluminan son los que están contenidos en planos que son tangentes a algún elipsoide cuyos focos son la fuente luminosa y nuestro ojo. Las elipses formadas como envolventes de arañazos iluminados resultan ser la intersección de la superficie (arañada) con la familia de elipsoides confocales mencionada (prometo escribir en algún momento las cuentas para mis colegas de profesión).

Reflejo con arañazos en una chapa de acero inoxidable (foto de Internet hasta que pueda hacer una suficientemente buena del capó de mi coche).

La propiedad de reflexión de la elipse, o el elipsoide, respecto a los focos no solamente ocurre para la luz, sino también para el sonido. Existen varios lugares en el mundo donde se puede experimentar un curioso fenómeno: dos personas en lugares opuestos de una espaciosa sala llena de gente relativamente ruidosa pueden conversar entre ellos en susurros hablando y escuchando a la pared. Uno de esos lugares es la Sala de los Secretos de la Alhambra de Granada, pero hay más como puede consultar aquí. La bóveda elipsoidal, no sólo permite la adecuada reflexión del sonido, sino que además los diferentes trayectos de las ondas tienen la misma longitud. Esto contribuye a que el sonido no se distorsione. El paraboloide de revolución es esencialmente un elipsoide con un foco infinitamente alejado, por lo que goza de propiedades similares para: la luz (espejos cóncavos, faros halógenos), otras ondas electromagnéticas (antenas parabólicas) y ondas sonoras (micrófonos de escucha a larga distancia de los espías).

Para acabar, haré una pequeña mención a la Geometría de los espacios de Banach, mi tema de investigación en Matemáticas. Un cubo (hexaedro) cortado de manera conveniente, produce un hexágono regular. Todos podemos estar de acuerdo en que un hexágono regular está más cerca de ser «redondo» que un cubo. Si «cortáramos» con un plano un cubo en cuatro o más dimensiones (esto es difícil de imaginar, lo reconozco) podríamos obtener un poliedro regular con más lados que aproxima mejor a la circunferencia. El matemático israelí A. Dvoretzky demostró en 1961 que un cuerpo convexo simétrico en espacio n-dimensional al ser cortado aleatoriamente por un plano que pase por su centro producirá con una probabilidad alta elipses aproximadas, siendo más aproximadas y la probabilidad más alta a medida que la dimensión n crece.

¿Cómo se clasifican las rocas?

El otro día paseando con Tere por Bolnuevo, entre la playa y la Sierra de las Moreras (dudo que alguna vez las hubiera) tuve ocasión de decir la manida frase “me alegro mucho de que me hagas esa pregunta”. No era para menos. La respuesta académica habitual se considera uno de los temas más soporíferos de los que se tratan en la escuela ¿Quién (con una cierta edad) no recuerda este anuncio de TV? Realmente, no se trata de un asunto aburrido, pero se suele despachar con una larga enumeración de tipos en lugar de unas pocas ideas básicas y simples. Por cierto, la pregunta era: ¿Cómo se clasifican las rocas?

El autor estudiando unas margas en el Valle de Ricote.

Lo primero que hay que entender es que la Geología trata de los procesos que ocurren en nuestro planeta y conforman no solamente el paisaje que vemos, sino también lo que hay debajo del mismo. Así que lo primero a tener en cuenta para clasificar una roca es saber en qué tipo de proceso se ha formado. Posteriormente, se tiene en cuenta la composición y, eventualmente, otras características como la textura. Pero lo primero es lo primero: los procesos.

Procesos geológicos

Los procesos geológicos necesitan energía para ocurrir, así como cualquier máquina para funcionar. Cuando la energía procede de la Tierra misma, es decir, el calor que almacena bajo la corteza terrestre, el proceso se dice interno. Si la energía que anima el proceso procede del exterior, principalmente del sol, se trata de un proceso externo

El libro de Geología de F. Anguita y F. Moreno está dividido en dos partes de acuerdo a la clasificación de los procesos.

La orogenia o formación de montañas es un proceso interno, ya que se debe a los empujes de las placas tectónicas provocados por corrientes de convección en el manto terrestre. Por otra parte, la erosión provocada por los agentes atmosféricos, el transporte de sedimento por los ríos y la precipitación de sales en aguas marinas por variaciones de la temperatura son procesos externos.

La terminología puede dar lugar a confusión, pues un volcán, aunque arroja material al exterior es un proceso interno, mientras que un sistema kárstico a cientos de metros bajo tierra evidencia un proceso externo. 

Rocas sedimentarias

Son las que se forman como consecuencia de los procesos externos. Su nombre puede sugerir que proceden de la consolidación de sedimentos arrastrados o en suspensión en medio acuoso, pero no siempre es así. Pueden formarse también por precipitación química o acción biológica (ambos orígenes se dan en las calizas, por ejemplo) o sin mediación del agua (loess, polvo transportado por el aire).

Dune du Pilat (Francia), toda esta arena ha llegado arrastrada por el viento.

Los principales componentes de las rocas sedimentarias son el carbonato cálcico (calizas), óxido de silicio (areniscas), sulfato de calcio y otras sales (evaporitas), silicatos del grupo del caolín (arcilla)… hemos destacado entre paréntesis las rocas “monovarietales”, pero también se dan mezclas, como la calcarenita (caliza con sílice), marga (arcilla con caliza) o el flysch (alternancia de bandas de arcilla/marga y caliza).

Los Mallos de Riglos (Huesca), potente acumulación de conglomerado.

Las rocas sedimentarias formadas en antiguas cuencas marinas aforan hoy y forman montañas gracias a los procesos orogénicos que, aún siendo de tipo interno, no cambian la naturaleza de la roca. La denostada teoría del geosinclinal establecía que el desequilibrio provocado por el movimiento de masa hasta la cuenca sedimentaria activaba el proceso orogénico. Si bien hoy día se considera que son los empujes entre placas tectónicas los que levantan las montañas, algo de cierto debe haber en la “activación” provocada por el relleno de una cuenca porque, con contadas excepciones, las montañas más altas de todos los continentes fueron alguna vez sedimento marino.

Rocas ígneas

Son rocas formadas por materiales procedentes del interior de la Tierra que estuvieron previamente fundidos. Entran, por lo tanto, en la categoría de rocas originadas por procesos internos. Se clasifican de acuerdo con la manera en la que el magma se ha abierto camino hasta el exterior, y posteriormente según los silicatos que integran su composición.

El Etna (Sicilia), imponente volcán.

Si el magma ha salido fluido hasta la superficie de la tierra, las rocas se dicen volcánicas (aunque no todos los volcanes tienen un aspecto similar). El basalto es una de las rocas volcánicas más típicas, pero también están las andesitas, dacitas, jumillitas… y la conocida semipreciosa obsidiana. Los volcanes también emiten cenizas que se acumulan de manera similar a los estratos sedimentarios.

Cuando la intrusión de magma no aflora, ésta se enfría lentamente por lo que se produce una mejor diferenciación y cristalización de los minerales que la componen, dando lugar a las rocas plutónicas de las que el granito es la más representativa. El material inicial para formar las primeras rocas sedimentarias proviene de la meteorización del granito que componía la primitiva corteza terrestre.

Paisaje de metagranitos en Lubrín (Almería), lo más parecido al granito que podemos disfrutar cerca de Murcia.

Una situación intermedia consiste en un magma, con parte de los minerales formados, pero aun fluido que “escapa” a través de fisuras rellenándolas. Esto da lugar a las rocas llamadas  filonianas. Como el proceso conlleva cierta “destilación” del magma, esta rocas pueden ocasionalmente concentrar minerales raros, como las pegmatitas.

Rocas metamórficas

Se trata de rocas preexistentes transformadas por la presión (orogenia) y/o la temperatura (proximidad de un magma). Normalmente se trata de rocas originalmente sedimentarias, por lo que se puede decir que tiene su origen en procesos externos e internos a la vez.

Materiales metamórficos erosionados en la playa de As Catedrais (Lugo), a pesar de la aparente «marabunta humana», el acceso está rigurosamente controlado.

Los compuestos que integran la roca original pueden ser transformados en otros, dependiendo de cuanto se haya «cocinado» la roca. A esto se le llama grado de metamorfismo. Por ejemplo, un sedimento arcilloso muy compactado da lugar a una pizarra. La pizarra actualmente se considera sedimentaria porque puede contener fósiles, mientras que, en una genuina roca metamórfica, los fósiles son destruidos en la transformación.

Fragmento de pizarra con «bicho» (trilobite). Por este motivo la pizarra, inicialmente metamórfica, pasó a considerarse una roca sedimentaria.

Esta misma pizarra, si recibe calor y presión en grado moderado, se convierte en un esquisto. Si el “horneado” es más intenso, pasa a gneis y migmatita, que es lo último que puede ser antes de fundirse y transformarse en granito. Una arenisca da lugar por metamorfismo a cuarcita. La caliza, por su parte, se transforma en mármol, manifestándose el grado de metamorfismo en el tamaño de los cristales y los minerales accesorios.

Mármol de alto grado de metamorfismo, de Estepona (Málaga).

Ocasionalmente, una roca ígnea puede sufrir metamorfismo. Las metabasitas consisten en intrusiones ofíticas en terreno originalmente sedimentario que, junto con él, han sufrido un proceso metamórfico.

Conclusión

A pesar de las sencillas ideas que hay detrás de la clasificación de las rocas, ésta no es siempre tan sencilla. La diferenciación por porcentajes de minerales en la composición no es fácil de establecer en el campo. Igualmente, decidir si las transformaciones sufridas por un sedimento durante su consolidación (diagénesis) que implican la formación de nuevos minerales (dolomita, haciendo que una caliza pase a dolomía, por ejemplo) no traspasan los límites del metamorfismo tienen cierta carga de arbitrariedad.

Para disfrutar de la Geología en Murcia…

Matemáticas y matemáticos

Durante mucho tiempo he sentido cierta aversión a presentarme como matemático ante un grupo de desconocidos. Y si me veo obligado a mencionar mi profesión, digo simplemente que soy profesor evitando mencionar la especialidad. No se trata de vergüenza. Es por el hastío que me produce tener que explicar desde cero una cierta cantidad de conceptos que para ser comprendidos necesitan varios años de estudios reglados, y unos cuantos más para ser dominados. Quizás es que no tengo vocación de divulgador. También podría ser que hacer creer a la gente que en poco menos de una hora puedes exponer ideas que llevan años entender tampoco deba de ser el objetivo de la divulgación… Ahí van unas reflexiones sobre Matemáticas y matemáticos.

Un clásico de la divulgación, por R. Courant y H. Robbins

Hay varios grados de conocimiento o, mejor dicho, ignorancia sobre las Matemáticas y los que nos dedicamos a ellas. El primer escalón y más básico es pensar que las matemáticas tienen que ver con cuentas complicadas, pero en el sentido más aritmético de la palabra. Se espera de nosotros una habilidad sobrenatural para el cálculo, particularmente el mental. ¿Quién no ha estado en una cena y, llegado el momento de fraccionar la dolorosa, las miradas se han dirigido al matemático del grupo? Puede ser mucho peor. Una empresa agrícola descubrió que una parcela necesaria para ampliar su explotación estaba registrada a nombre de mi difunto abuelo. Se convoca a los herederos (un buen puñado de tías maternas y primos) a una reunión para negociar la compra. A la hora de fijar el precio sale a colación una venta reciente de un número centenario de tahúllas de calidad similar por una cantidad millonaria de pesetas, que puede servir de referencia para fijar el precio de la parcela. Por supuesto, los números estaban muy lejos de ser redondos “¿Quién va a hacer la división?” Pregunta alguien ante la ausencia de calculadora (recuerda, el precio estaba en “pesetas”). “Mi hijo, que es doctor en Matemáticas” – dice mi madre con voz fuerte y segura, mientras yo deseo que me trague la tierra. Un poco más tarde, alrededor de veinte personas me miraban, mientras hacía la división con lápiz y papel, con más atención que si estuviera desactivando una bomba. Hay que decir que me salió demasiado bien para llevar veinte años sin practicar el algoritmo…

Las Matemáticas: modo de empleo, por G. Godefroy.

A pesar de la anécdota que acabo de contar, opino que aprender a realizar operaciones aritméticas a mano debe formar parte de la educación de cualquier persona. En la historia de las Matemáticas, la adopción del sistema de numeración actual (expresión de cualquier número como una combinación de potencias de la misma base, digamos 10) fue un catalizador para el avance. Sólo perdiendo el miedo a la Aritmética fue posible el Álgebra, es decir operar con cantidades desconocidas representadas con letras. Esto nos lleva al segundo escalón de mitología o desconocimiento sobre los matemáticos: nos dedicamos a escribir fórmulas que nadie comprende. Imaginad, la clásica imagen de Einstein ante las ecuaciones tensoriales de la Relatividad General, o lo que escriben los personajes de The Big Bang Theory en sus pizarras. Fórmulas misteriosas con las que se puede calcular “matemáticamente” cualquier cosa imaginable: el día más triste del año, enriquecerse en los casinos, averiguar la fecha de tu muerte… Y esto no es exagerado, en absoluto. Laplace dijo que las leyes de la Mecánica determinan completamente la evolución del universo con todo su contenido y lo único que nos impide aplicarlas al conocimiento del futuro es no disponer de la capacidad de cálculo ni los datos exactos de posición y velocidad de todas las partículas en un momento dado. Afortunadamente, la Termodinámica, la Mecánica Cuántica y la Teoría del Caos, más o menos en ese orden, nos restituyeron el libre albedrío… y nos trajeron más fórmulas. Hay algo fascinante en la manera de escribir las Matemáticas, y aún sigo consultando mis libros con la misma reverencia que un nigromante su grimorio. Ciertamente, las fórmulas juegan un papel importante en Matemáticas, pero no todos los teoremas contienen fórmulas, ni todas las fórmulas son ecuaciones. 

Uno de mis «grimorios» favoritos: el Whittaker-Watson

El tercer y más avanzado grado en el (des)conocimiento de los matemáticos y su actividad consiste en pensar que somos unos estafadores. Esto puede ocurrir por distintos motivos. Hasta cierto momento en la historia de la Ciencia, las Matemáticas eran “descubiertas”, la mayor parte de las veces con motivos prácticos. Incluso la Geometría de Euclides, prototipo de teoría matemática en lo abstracto y riguroso, simplemente expresaba propiedades inherentes e inmutables del espacio que habitamos. En los últimos cien años ha cambiado la manera de hacer matemáticas y cada vez se rinden menos cuentas a las aplicaciones inmediatas. Las Matemáticas hoy día son el estudio de ciertas estructuras abstractas, algunas realmente extrañas y artificiosas. Tratar de explicar lo que haces a alguien ajeno al oficio se parece mucho al momento preciso en el que un estafador es descubierto tras enredarse en sus propias mentiras. También ocurre a veces que alguien que busca la ayuda de un matemático termina pensando que ha sido una pérdida de tiempo. Como el chiste del hombre que, yendo en un globo aerostático a la deriva, le pregunta a gritos a alguien en tierra firme que dónde está. El señor desde el suelo le dice que se encuentra en un globo y exactamente sobre su vertical. “Usted debe de ser matemático ¿no?” – dice el aeronauta. “¡Cierto! ¿Cómo lo ha sabido?” – dice la voz desde tierra. El hombre del globo se lo explica: “me has dado una respuesta tan cierta y precisa como inútil”.

El primer capítulo del libro de J. Dieudonné es el mejor resumen posible sobre los matemáticos.

Dejando atrás las confundidas creencias de gente ajena a la Ciencia sobre los matemáticos, entre los científicos también existen opiniones que no suscribo. Unos dicen que las Matemáticas son una herramienta, lo que nos convierte a los matemáticos en meros técnicos, esperando a que nos llamen. Sobre este misbelieving no suele tener ningún efecto apelar a la enorme extensión y autonomía de la Matemática no Aplicada, es decir, la Matemática Pura. Otros dicen que las Matemáticas son el leguaje de la Ciencia, versión actualizada del aforismo de Galileo, lo que nos convierte ahora en lingüistas o traductores. Lo peor, sin embargo, es cuando dicen que las Matemáticas no son una Ciencia. Esta tesis sostiene que las ciencias “verdaderas” se enriquecen por razonamiento inductivo, es decir, el fenómeno particular sugiere un principio general, mientras que las Matemáticas usan el razonamiento deductivo, que viene a ser la obtención de conclusiones a partir de principios muy generales. Obviamente, quien dice esto (suponemos que un filósofo) ve las Matemáticas tal y como se exponen en los Elementos de Euclides o en cualquier libro de una teoría consolidada. Si bien, esa es la manera de escribir las Matemáticas, no es así como se crean. Los teoremas se originan a partir de conjeturas basadas en ejemplos particulares, y en este sentido un matemático es como cualquier otro científico experimental: mucho ensayo-error y no poca frustración hasta que das con una buena idea. La demostración acabada de un teorema, aunque escrita con todo lujo de detalles, no contiene, sin embargo, ni una pista sobre lo más excitante del trabajo de un matemático.

El título lo dice todo…

Hasta ahora hemos estado diciendo cosas que no hacen los matemáticos, que es intentar definir una categoría por lo que no es. Pero, ¿qué es realmente un matemático? Según Dieudonné, un matemático es alguien que ha publicado alguna vez la demostración de un teorema no trivial. Aunque me puedo identificar en esa definición, resulta algo estrecha. De acuerdo con Feynman, el matemático es un especialista en la búsqueda de patrones. Esto se puede entender como una particular manera de mirar al mundo: con los ojos de un matemático. Prometo ejemplos de esto en futuros posts.

Editado 20/05/2022. Nuestro título «Matemáticas y matemáticos», en cuya ambigüedad está incluida la innecesaria duplicación de género impuesta por la corrección política actual, resulta ser también el título de un libro editado por José Ferreiros y Antonio Durán, cosa que desconocía en el momento de escribir este post.

La ciencia del… desempañado del coche

Al parecer los blogs de Ciencia tienen su público y algunos blogueros se hacen famosos. Dado que el objetivo principal de mi web es el autobombo, hoy inauguro la etiqueta ciencia y comenzaré a producir posts de divulgación para que también mi blog milite en tan exitosa categoría. Lo primero es fijarse en qué hacen los mejores, en qué se basa su éxito. Tenemos la suerte de contar en la Universidad de Murcia con una superestrella de la divulgación científica, José Manuel López Nicolás, creador del blog de divulgación Scientia y autor de Un científico en el supermercado, libro que trata de la ciencia de las pequeñas cosas, de lo cotidiano. Y puesto a buscar un tema “cotidiano”, esta fría mañana (todo lo fría que puede ser en Murcia) de diciembre que salgo en coche hacia la universidad se me prendió el bombillo, que dicen por allá, al ver empañarse el parabrisas de mi Subaru. Hablaré, pues, de la ciencia del… desempañado del coche (nota: López Nicolás titula con frecuencia “La ciencia del X”, siendo X un plato de cocina castiza o un deporte de masas).

Coche empañado, escena de una célebre película de James Cameron.

Pero no todavía… El desempañado del coche no fue mi primera opción. Realmente, de lo que quería era hablar de la ciencia del asiático. Otro José Manuel, pero de apellido Ortega, más conocido como “el Chache” y barista en El Sordo de Ricote prepara unos asiáticos extraordinarios, de los mejores que he probado, y he visto. Porque el aspecto visual es igualmente importante. Seguro que algún purista me dirá que tengo que ir al bar Pedrín del Albujón o a no sé que sitio de Cartagena… Pues vale: ya he ido. Ahora, Sr. Purista, haga el favor de ir a Ricote y tómese un asiático sin prejuicios. Las cosas caen por su propio peso. El hecho de que el submarino Peral fuera el primero no lo hace superior a un clase Akula

Asiático preparado por el Chache, no es tan grande como parece.

Volviendo a Ricote, el Chache prepara los asiáticos con mucho cuidado para que queden las capas de distintos compuestos líquidos bien diferenciadas. Densidad y temperatura juegan un papel muy importante. Antes de servirlos, el chache les imprime un movimiento de vaivén cuya inercia es apreciable durante varios segundos después de que se deja la copa en la mesa, especialmente en la capa límite entre el combinado de licor y el café. Todo esto es muy interesante y merecería ser explicado. Pero en Ciencia, tras tener una buena idea, lo normal es comprobar si otro no la ha tenido antes. En el caso del asiático, López Nicolás nos ha prometido hace relativamente poco que hablaría de su ciencia. 

José Manuel Ortega “el Chache” durante la preparación de uno de sus combinados de café.

Así que, en lugar de hablar del asiático y los fluidos que lo componen, hablaré de los fundamentos del desempañado de coches. No es que el tema no haya sido tratado antes, sino que creo que no se ha hecho de la forma adecuada, es decir, científica. Buscar información sobre el desempañado en internet es como ir a preguntar sobre política internacional a un bar: todo el mundo tiene una opinión, y ni una sola explicación razonada. Así que voy a dejar plasmada aquí la explicación, negro sobre blanco, para las generaciones venideras.

La explicación del desempañado del coche

El aire contiene una cantidad variable de vapor de agua, y su capacidad para contener vapor aumenta con la temperatura. Este es el principio en el que se basa todo. Entrar en el mecanismo íntimo de este fenómeno es mucho más complicado, pero para nuestros propósitos divulgativos simplemente recordaremos que, de manera análoga (pero no igual), el agua caliente tiene más capacidad para disolver sal que la fría. Observemos que, ahora en invierno, en las mañanas o las noches gélidas, vemos vaho salir de nuestra boca o de la gente que nos habla. El vaho es una manifestación del contenido en agua del aire que exhalamos, pero no es vapor, sino cristalitos de hielo microscópicos, que es en lo que se transforma el (exceso de) vapor en contacto con el frío aire de la mañana invernal. Gracias a eso lo vemos, porque el vapor es tan invisible como el oxígeno. Pero con los cristalitos de hielo flotando, el aire se parece al humo, que es ceniza y hollín en suspensión.

Torres de refrigeración de la central nuclear de Cofrentes, lo que se ve salir ya no es vapor de agua, pero lo fue.

Entramos en el coche. Nuestra presencia empieza a calentar el aire en el interior y, particularmente, nuestra respiración hace que aumente el contenido en vapor. Este efecto se magnifica si nuestra ropa está húmeda (llueve fuera) y la calefacción está en marcha. El vapor se mantiene en esa atmósfera casi sin problema, excepto en la proximidad de superficies frías, como son los vidrios de las ventanas y parabrisas. La repentina caída de temperatura en el contacto con el vidrio hace que se deposite en él el exceso de agua que el aire ya no puede transportar. Gotitas de agua, o incluso cristalitos de hielo, producen el empañamiento del parabrisas, que se mantiene frío por estar su superficie exterior en contacto permanente con el aire helado de la calle. Seguro que todos recordamos cierta escena de Titanic

Foto hecha a través del parabrisas sin empañar de un viejo Toyota en un día frío y lluvioso ¿Cómo es esto posible? Por favor, siga leyendo.

Ya tenemos el parabrisas empañado ¿Qué hacemos? Con el mando de distribución de aire dirigimos el chorro al parabrisas con la calefacción puesta. Podríamos pensar que va a pasar lo mismo que cuando dirigimos un secador de pelo al espejo del baño, que está empañado tras la ducha. El secador desempaña en poco tiempo y el chorro de aire caliente dirigido al parabrisas no ¿Por qué? Porque el aire del secador está considerablemente más caliente y tiene una capacidad mucho mayor para llevarse el agua en forma de vapor. Además, calienta el espejo, impidiendo que pueda condensarse de nuevo el vapor sobre él. A falta de más temperatura, podríamos probar con aire más seco. El aire que produce el sistema de aire acondicionado (AA) es muy seco. En efecto, el súbito enfriamiento le quita el exceso de vapor que ya no puede transportar. Esta agua de condensación es conducida al exterior y gotea bajo el coche, como todos hemos observado en verano. El aire frío del AA dirigido al parabrisas es, en efecto, más seco, pero eso no es suficiente, en determinadas circunstancias, para desempañar porque es incapaz de “excitar” el agua líquida o sólida para que pase a vapor. Podría ser incluso peor. El AA puede enfriar el parabrisas por debajo de la temperatura ambiente y provocar el empañamiento exterior.

¿Combinación absurda? Y sin embargo, efectiva.

Lo mejor es usar ambos recursos a la vez, es decir, calefacción con AA. Teóricamente, lo óptimo sería que el aire fuera calentado tras pasar por el sistema de AA, pero lo que hace realmente el dispositivo es mezclar el aire de calefacción con el de AA (dos circuitos diferentes). La mezcla produce un aire más seco, ávido de portar vapor, pero también más energético para provocar el cambio de fase del agua. Y, simplemente, funciona. La gente, que suele ver la combinación de calefacción y AA absurda, opta por una de las dos según su grado de desinformación y supersticiones. Como un colega, que consiguió formar escarcha en el exterior del parabrisas, conmigo de consternado copiloto, y todo por no darle a la rula de la calefacción. Muy posiblemente los ingenieros hayan automatizado el desempañado del parabrisas, incluido como uno de los modos del climatizador en los coches actuales, a causa del desconocimiento por parte de los usuarios del simple principio que acabamos de explicar.

¡Felices Fiestas!

Editado 9/01/2022. Tras la publicación del post he recibido varias preguntas relacionadas con el tema se pueden aclarar con los mismos principios ya expuestos. Así que prefiero añadir las respuestas a éste en lugar de publicar uno nuevo.

  • El desempañado de la ventana trasera del coche se realiza normalmente con un sistema de calefacción eléctrico (resistencia). El calentamiento provocado evapora el agua condensada e impide la condensación posterior.
  • A veces, al poner en marcha la ventilación del parabrisas, éste se empaña rápidamente. Eso se debe a que el aire estancado en el sistema de ventilación, o el que entra del exterior, está más húmedo que el del habitáculo. En este caso, lo más eficaz es usar el AA para secar el aire entrante.
  • En verano, puede ocurrir un fenómeno curioso. Tras haber parado el AA durante unos minutos, cuando se vuelve a poner en marcha se observa, con cierta sorpresa, la salida de vaho (aire blanco) por las rejillas de ventilación. La explicación es la siguiente. No toda la humedad que el AA le quitó al aire entrante durante el primer intervalo de funcionamiento ha salido al exterior. El condensador está empapado de agua y al subir la temperatura, parte de esa humedad pasa a vapor que queda estancado en el sistema. Cuando se vuelve a poner en marcha el AA, el aire frío empuja al aire con vapor, o lo arrastra gracias al efecto Venturi, hacia afuera. Al mismo tiempo, la bajada de temperatura hace que el vapor pase a hielo, haciéndolo visible como vaho.

Editado 19/03/2022. José Manuel López Nicolás ha publicado hoy su esperado artículo La ciencia del asiático, a punto de declararse este combinado bien de interés cultural de la Región de Murcia.