Categoría: Ciencia popular

Si un acrónimo no es una buena manera de captar la atención, desarrollar lo que significa EDPSF seguro que no es mucho mejor: Ecuaciones en Derivadas Parciales y Series de Fourier, la asignatura del Grado en Matemáticas que he estado impartiendo durante los últimos tres cursos y que abandono para abordar nuevos proyectos docentes. Puede deducirse de lo que digo, que en mi departamento, los profesores no nos eternizamos en las asignaturas y que, cada cierto tiempo, tenemos la oportunidad de impartir y aprender cosas nuevas. En el caso de EDPSF, desde mis tiempos de estudiante, allá por el siglo pasado, no había vuelto a tratar con esta materia. Por eso, me apetecía dejar aquí al lector no matemático un poco de lo que he aprendido (o recordado) en estos tres años.

Ecuaciones en Derivadas Parciales

Es evidente que el título se compone de dos tópicos diferenciados, pero suficientemente próximos para que tenga sentido mezclarlos en una misma asignatura. Las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) son Ecuaciones Diferenciales donde la incógnita es una función de varias variables, conteniendo derivadas respecto a varias de ellas (derivadas parciales). Este tipo de objeto matemático aparece, principalmente, en problemas de Física, pero no únicamente. En general, cualquier proceso en el tiempo que tenga una componente espacial es susceptible de ser modelizado por una EDP. Por ejemplo, la interacción entre dos especies o el crecimiento de un tumor pueden describirse con EDPs. Hay que advertir que una misma EDP tiene, en general, infinitas soluciones y muy diferentes, por lo que es de la máxima importancia establecer condiciones adicionales que limiten a una única función la solución del problema.

Al igual que con las ecuaciones algebraicas, las EDPs más sencillas son las de primer orden. Para ellas hay desde finales del siglo XVIII una teoría bastante satisfactoria con fuerte sabor geométrico, desarrollada por Joseph-Louis Lagrange y Gaspard Monge, entre otros. Lamentablemente, el estudio de las EDPs de primer orden no es de mucha ayuda en las EDPs de orden superior, particularmente, las de segundo orden que aparecen ligadas a problemas físicos. En los próximos epígrafes hablaremos de las siguientes: la ecuación de ondas, la ecuación de Laplace y la ecuación del calor. No por la relevancia de los problemas que describen o su importancia histórica, que es mucha, sino por que son las que se estudian habitualmente por su sencillez matemática y por ser representante de tres grandes grupos de EDPs.

La ecuación de ondas

La llamada ecuación de la cuerda vibrante (de violín, por ejemplo), versión sencilla (dimensión 1) de la ecuación de ondas, fue propuesta en el año 1746 por Jean le Rond d’Alembert que, además, proporcionó de manera ingeniosa su solución general. La ecuación de ondas se presenta en muchas situaciones en las que se describe la propagación de una perturbación en un medio elástico o un campo, tal como el electromagnético. Esto último es muy importante para la Ciencia, ya que cuando James C. Maxwell descubrió en 1867 que las ecuaciones del campo electromagnético implicaban la propagación de perturbaciones de acuerdo con la ecuación de ondas, calculó su velocidad (expresable en términos de las constantes para las atracciones eléctrica y magnética), encontrando que coincidía con la de la luz. Esto permitió reconocer la luz como una manifestación del campo electromagnético, dando lugar a un desarrollo tecnológico cuyo pistoletazo de salida podemos situar en 1887 con los experimentos de Heinrich R. Hertz.

Es un hecho notable que los Pitagóricos descubrieran experimentalmente una relación entre Matemáticas y Música (bendecida por el Quadrivium) que más de 2000 años después se justificó rigurosamente con el estudio de la EDP de la cuerda vibrante. El sonido también se transmite por el aire y lo hace de acuerdo con la ecuación de ondas en 3 dimensiones, en la que el factor de elasticidad del medio gaseoso debe tener en cuenta consideraciones termodinámicas. La solución de Gustav Kirchhoff permite deducir una característica del sonido que tenemos tan interiorizada que no reparamos en ella: los sonidos los escuchamos una sola vez, salvo que reboten (eco). En dimensión 2 esto mismo no ocurre, como muestra la solución de Jacques Hadamard, y el sonido se repite después de ocurrido disipándose lentamente, como con la piedra que se arroja al estanque: aunque una onda circular se propague aumentando su radio, en el lugar donde se arrojó la piedra el agua sigue temblando.

La ecuación de Laplace

De la figura de Pierre-Simon Laplace dimos una pincelada anecdótica en nuestro post Ecuaciones diferenciales. Además, la ecuación de Laplace ya la hemos tratado en Circunferencias y esferas, aunque allí no la mencionamos con ese nombre, sino con el de ecuación de Poisson, que es más general, y el llamado Problema de Dirichlet, que es más particular. Ahora nos ocuparemos de ciertas variaciones. En efecto, la ecuación de ondas nos remite a una ecuación emparentada con la de Laplace cuando se investiga el problema de la membrana vibrante, o sea, el tambor. Si la cuerda de un violín puede producir determinadas frecuencias, la membrana de un tambor de contorno arbitrario puede hacer lo mismo. Pero con dos salvedades: las frecuencias en general no guardan las relaciones «armoniosas» que los Pitagóricos reconocieron, y además dependen fuertemente de la geometría de la membrana. «¿Se puede oír la forma de un tambor?» preguntaba Mark Kac en 1966 y la respuesta, negativa, llegó en 1992.

La ecuación emparentada con la de Laplace a la que nos referíamos es la de valores propios del operador laplaciano. Sin entrar es detalles y desde un punto de vista formal, dicha ecuación guarda muchas similitudes con el problema de diagonalizar una matriz simétrica, o equivalentemente, llevar una forma cuadrática a su expresión canónica, que no es otra cosa que describir, por ejemplo, una elipse según unas coordenadas paralelas a sus ejes. Así, la intuición geométrica se convierte en la guía que permite resolver una EDP como si fuera un problema de Álgebra Lineal, y ese desarrollo formal se lleva a cabo en el marco del espacio de Hilbert con algunos ingredientes que aún no introduciremos. Es inevitable no mencionar que espacio de Hilbert proporciona también soporte a la Mecánica Cuántica y la resolución de la ecuación de Schrödinger se reduce, en muchos casos, a la búsqueda de valores propios del operador hamiltoniano (una complicación del laplaciano, matemáticamente hablando).

La ecuación de calor

La ecuación que modeliza la difusión del calor y evolución de la temperatura en un cuerpo fue propuesta por Joseph Fourier en 1822 en una famosa memoria que a la Académie de Sciencies de Francia le costó mucho digerir. De hecho, Fourier vio publicada su obra gracias a que se convirtió en secretario de la institución científica. El motivo de tanta dificultad fue una audaz afirmación sobre la posibilidad de desarrollo de una función «arbitraria» en serie trigonométrica. En efecto, los mejores matemáticos de la época no entendían como una superposición de funciones tan regulares como seno y coseno podía producir gráficas con picos o, peor aún, discontinuidades. El resultado de la «bomba» que lanzó Fourier fue una profunda revisión de los fundamentos del Análisis Matemático: qué son las funciones, qué son los límites, qué son realmente los números. Ese proceso se completaría 80 años después con la introducción de la integral de Lebesgue.

No hemos dicho nada todavía de la ecuación del calor, que se llama también de difusión porque rige la distribución de probabilidad de una partícula que sufre perturbaciones aleatorias de su posición en el tiempo. La solución de la ecuación nos dice, por medio de la integración, la probabilidad de encontrar la partícula en una determinada región en el instante t>0, si para t=0 se encontraba en el origen. Naturalmente, una partícula en el instante t se encuentra en un único sitio, pero al ser las perturbaciones aleatorias, cada vez que se repite el experimento, el resultado es distinto y lo único que puede establecerse con precisión es la probabilidad. Lo más curioso es que este proceso puede observarse en la naturaleza: Robert Brown se dio cuenta de lo errático de las trayectorias de los granos de polen en suspensión en una gota de agua. En un famoso trabajo, Albert Einstein dio una explicación: en la escala de tamaño del grano de polen, se percibe la discretitud del intercambio de energía cinética con las moléculas de agua. El propio Einstein derivó la ecuación de difusión y demostró como la naturaleza atómica de la materia se manifiesta visiblemente a nuestros ojos.

Series de Fourier

Antes hemos dicho que Joseph Fourier afirmó la posibilidad de desarrollar una función arbitraria en serie trigonométrica y que esto desencadenó un proceso de revisión de los fundamentos del Análisis Matemático. En su honor, dichas expresiones en serie se conocen como series de Fourier, aunque la teoría fue desarrollada por otros autores, notablemente Dirichlet y Riemann. A finales del siglo XIX, un joven matemático realizaba su tesis doctoral sobre la unicidad de la expresión trigonométrica para una función dada. Sus investigaciones le llevaron al desarrollo de las nociones básicas de topología conjuntista (Topología General) y las bases de la Teoría de Conjuntos, lo que incluía la diferenciación entre distintos tamaños de infinitud y la teoría de números ordinales transfinitos, casi nada. Se llamaba Georg Cantor, y ahora toda la Matemática se fundamenta en la su Teoría de Conjuntos, el paraíso que Cantor ha creado para nosotros según David Hilbert, que como acabamos de ver es un spin-off de las series de Fourier.

La teoría de las series de Fourier queda englobada dentro del llamado Análisis Armónico, que investiga la expresión general de una función como superposición de componentes periódicas. Esto es particularmente interesante en aplicaciones tecnológicas, como el análisis de señales, procesado y compresión de sonidos (mp3) o imágenes (jpg), o los más sofisticados métodos de imagen médica, utilizan las matemáticas del Análisis Armónico. Naturalmente, la implementación de estas técnicas se hace con algoritmos que optimizan el volumen de cálculos y proporcionan el resultado en un tiempo razonablemente breve. Uno de los más famosos, la transformada rápida de Fourier (FFT) fue usado por Carl Friedrich Gauss, antes incluso de la aparición es escena de Joseph Fourier, para descubrir periodicidades ocultas en los datos sobre el planetoide Ceres proporcionados por las observaciones astronómicas, ver nuestro post El Sistema Solar para más detalles.

Una nueva visión de la realidad

Volviendo a las EDPs, la investigación de la existencia de soluciones puede llevar por caminos extraños. Ocurre que los métodos de Análisis Funcional, consistentes en considerar una EDP como un problema de Álgebra Lineal (esto no es así para EDPs no lineales) requieren la completitud del espacio de funciones que sirve de marco teórico. Pero la completitud de los espacios de funciones integrables suele conllevar la presencia de elementos altamente discontinuos, lo que está reñido con la derivabilidad inherente a las soluciones de EDPs. Esto se traduce en la necesidad de darle significado al concepto de solución no diferenciable. Pero esto es como abrir la caja de Pandora, porque muy pronto tendremos que considerar soluciones de EDPs que no son siquiera funciones 😕 ¿Cómo se come esto? Para el lector con cultura matemática, estamos hablando de las funciones generalizadas o distribuciones de Sergéi Sóbolev y Laurent Schwartz.

Al igual que la Teoría de la Relatividad o la Mecánica Cuántica nos obligan a alterar nuestra percepción de la realidad (la separación entre tiempo y espacio depende del observador, o que partícula y onda son dos caras de la misma moneda), las soluciones distribucionales de una EDP nos invitan a reflexionar sobre si las funciones «clásicas» son el mejor modelo para algunos problemas. Por ejemplo, en el planteamiento de la ecuación del calor se habla de la temperatura en un punto de un cuerpo, pero la temperatura realmente se mide con un termómetro que no se sitúa exactamente sobre un punto sino sobre una región limitada alrededor del punto. Podríamos decir que esto es problema del aparato de medida, pero el hecho es que la temperatura es un resultado de tipo estadístico sobre el estado de agitación molecular de cuerpo. Así la temperatura modelizada por la EDP no es una función que toma un valor en cada punto, sino una función definida sobre un conjunto de termómetros con distintos tamaños y posiciones con los que se puede examinar el cuerpo. Ésta es la idea esencial de las distribuciones, sólo que en lugar de termómetros hay funciones test.

Farewell PDEs!

Como decía el gran Paco Umbral, yo he venido a hablar aquí de mi libro de EDPSF. Aunque las EDPs y las series de Fourier son teorías muy asentadas y con muchos grandes textos escritos por matemáticos de primer orden, es siempre difícil encontrar un libro que refleje exactamente el punto de vista que uno desea darle y tenga en cuenta los conocimientos previos de los estudiantes. Por eso decidí redactar unos apuntes que doy por acabados justo al final de estos tres años, cuando ya no me harán falta para dar clase. El motivo por el que están en inglés así como otras consideraciones didácticas lo explico en los enlaces de mi web corporativa.

Con esto me despido de la Ecuaciones en Derivadas Parciales y las Series de Fourier, de momento… y de las Matemáticas, hasta el nuevo curso 🙂

El propósito de este post es dar una idea de esta importante herramienta matemática, lo qué significa y sus aplicaciones. Desde un punto de vista técnico-didáctico, tratar de explicar las ecuaciones diferenciales a un público general es meterse en un jardín del que difícilmente se podrá salir airoso. Pido a mis lectores que, llegado el momento, sean capaces de desligar la divulgación del entretenimiento en lo que sigue. Parafraseando a Euclides, no hay un camino fácil en Matemáticas.

Los ingredientes

Antes de explicar en qué consiste una ecuación diferencial es necesario especificar las nociones matemáticas involucradas. Realmente lo que voy a hacer aquí es recordar a mis lectores cosas que ya saben porque forman parte del curriculum obligatorio de matemáticas.

Ecuación

Ecuación significa igualdad entre cantidades resultantes de diferentes operaciones, simplemente. Lo que ocurre es que, normalmente, se reserva el nombre ecuación cuando la igualdad contiene algún término desconocido: la incógnita, representada habitualmente con una letra. Cuando esto ocurre, el objetivo es resolver la ecuación, es decir, calcular los valores que puede tomar la incógnita de manera que la ecuación sea cierta, si es que existe alguno. Por ejemplo, la ecuación x²+5=6x es cierta únicamente cuando x toma los valores 1 o 5. Podemos considerar ecuaciones con más variables, pero si queremos llegar a una solución determinada, como regla general se necesita el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Para ilustrar esto, planteamos un sencillo problema: en un corral hay conejos y gallinas, habiendo en total 10 animales y 28 patas ¿Cuántos animales hay de cada?

Función

Si los problemas matemáticos se redujeran simplemente a averiguar valores numéricos, como resolver ecuaciones del tipo descrito en el apartado anterior, no tendría sentido mi profesión. Por fortuna, especialmente para mí, las matemáticas operan con nociones más complejas. La relación entre cantidades numéricas variables (de ahora en adelante, simplemente variables) se describe por medio de una función. Por ejemplo, la variación de temperatura en Murcia a lo largo del día (o año) es una función, siendo las variables temperatura y tiempo. Más aún, podemos introducir otras variables, como la posición (a través de coordenadas, geográficas o geométricas), y examinar como varía la temperatura cuando nos movemos a otro lugar. De esta manera podemos ver la temperatura como una función del tiempo y la posición. Con frecuencia, se identifica una función f con su gráfica y=f(x).

Cálculo diferencial

Para el estudio de las funciones se han desarrollado herramientas específicas. Una de ellas es la derivación, que es un procedimiento por el cual a una función se le asigna otra función, llamada su derivada. Si la función es f su derivada es denotada f’, aunque por abuso de lenguaje escribimos y’. La derivada de una función proporciona información sobre la variación de ésta. Una interpretación intuitiva de la derivada es que expresa la velocidad con la que la función crece o decrece, según sea positiva o negativa. Por ese motivo, cuando la función alcanza un máximo o un mínimo, la derivada se anula en él. En efecto, máximo o mínimo representan la transición entre crecimiento y decrecimiento para la función, así como el cero la frontera entre los números positivos y negativos. Los lectores con conocimientos más avanzados podrían discutirme lo dicho hasta ahora, pero las matemáticas tienen recursos para extender la validez de las afirmaciones hasta extremos insospechados.

¿Qué es una ecuación diferencial?

Una función podría ser la incógnita en una ecuación. Por ejemplo, si queremos saber qué forma adopta una cadena suspendida por sus extremos, esta forma puede ser descrita con una función. La ecuación diferencial, que no intentaremos calcular aquí, resulta de aplicar las leyes del equilibrio estático a la cadena. En principio, una ecuación cuya incógnita es una función se llama ecuación funcional. Si la ecuación puede ser escrita en términos de una relación entre la función desconocida y su derivada (o derivadas de órdenes superiores) se llama ecuación diferencial. Por ejemplo, y’ = F(x, y), donde y es la función incógnita, x la variable independiente, y F una fórmula que contiene a ambas . El problema de la cadena colgante involucra en su planteamiento una integral de la función desconocida, pero una sencilla manipulación lo reduce a una ecuación diferencial de segundo orden, es decir, una relación entre la función incógnita y sus derivadas primera y segunda.

Al igual que existen métodos para resolver ecuaciones algebraicas sencillas, hay procedimientos para resolver ecuaciones diferenciales suficientemente sencillas. Podría decirse que los casos para los que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se resuelve explícitamente se cuentan con los dedos de la mano. Por este motivo, las aplicaciones, más o menos relacionadas con la realidad, se suelen repetir de unos libros a otros y algunos problemas son incluso famosos, como el de la máquina quitanieves: Una mañana comienza a nevar, de manera uniforme y continuada. A las 12 del mediodía una máquina quitanieves sale a limpiar la carretera. Si la máquina recorre durante la primera hora de trabajo dos kilómetros y solamente un kilómetro durante la segunda hora ¿a qué hora comenzó a nevar? (ver la solución en el libro de mi antiguo profesor Manuel López Rodríguez, Problemas resueltos de ecuaciones diferenciales, Thomson 2006).

Un ejemplo

Llega un momento en el que hay que mojarse: no se puede escribir un post sobre ecuaciones diferenciales sin mostrar una de ellas. Elegiremos una muy sencilla: y’ = k y, donde k es una constante. Es decir, buscamos una función f(x) positiva cuya derivada satisface f’(x) = k f(x). Notemos que no hemos especificado si la constante k es positiva o negativa, pues de ello dependerá que la solución sea creciente o decreciente. Sin embargo, ello no altera el aspecto formal de las soluciones. Quien conozca la teoría elemental de derivadas observará que la función f(x)=a^x satisface la ecuación si k=ln(a) (logaritmo natural o neperiano). Más aún, dicha función multiplicada por una constante sigue satisfaciendo la ecuación diferencial, es decir, cualquier función de la forma f(x)= c a^x, siendo c un número real (y positivo, para satisfacer nuestro requerimiento inicial). Notemos que con esto podemos encontrar una solución de la ecuación que satisfaga una condición del tipo y(x₀)= y₀.

Aunque sencilla, la ecuación anterior es muy interesante porque sirve para resolver varios problemas. Por ejemplo, describir el crecimiento de un cultivo celular o la desintegración de un material radiactivo. En efecto, en ambos casos la tasa de crecimiento (o decrecimiento) es proporcional a la cantidad de sustancia presente (número células o masa del material radiactivo) que es lo que expresa, simplemente, la ecuación y’ = k y. Otra interpretación de la misma ecuación viene del problema siguiente: ¿Qué forma debe tener la concha de un animal para que siempre mantenga la misma forma mientras crece por un extremo? Obviamente, pensamos en los moluscos (el crecimiento de la concha de las tortugas no satisface la hipótesis). Este problema, interpretado en coordenadas polares, conduce a la misma ecuación r’ = k r, que geométricamente significa la constancia del ángulo entre la curva y las rectas radiales que parten del origen. La representación de la función exponencial en coordenadas polares es la llamada espiral logarítmica descubierta por Jakob Bernoulli y que mandó grabar en su tumba con el epitafio eadem mutata resurgo.

Los teoremas

¿Qué ocurre cuando una ecuación diferencial no puede resolverse de manera explícita? Según lo dicho antes, nos encontramos en el escenario más probable. Quizás no nos interese saber la solución con todo detalle, sino conocer algunos aspectos de ella. Para ello, lo primero es estar seguros de que la solución, aunque «incalculable», existe. Después, saber si, fijadas las condiciones a satisfacer por la función incógnita, la solución es única (por ejemplo, para y’ = F(x, y) podemos tomar y(x₀) = y₀). De lo contrario, poco sentido tendría hacer previsiones sobre su comportamiento. Esta incertidumbre queda resuelta gracias a los llamados teoremas de existencia y/o unicidad que nos garantizan el poder trabajar con la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de tenerla explícitamente.

Demostrar que un problema tiene solución sin resolverlo es una de las características de las Matemáticas superiores que más sorprenden a los legos. Pondré un ejemplo sencillo para ilustrar esto. Consideremos la afirmación “existe un número real positivo x cuyo cuadrado es 3”, en otras palabras, existe la raíz cuadrada de 3. Tal número x , si existe, debería de estar entre 1 y 2, ya que sus cuadrados 1 y 4 comprenden al 3. Por el mismo motivo, x debería estar comprendido entre 1.7 y 1.8, pues sus cuadrados son, respectivamente 2.89 y 3.34. Siguiendo de esta manera, obtendríamos una sucesión de cifras decimales tras el 1 inicial: 1.7320508075… Con la propiedad de que cortada a cualquier altura y sumando 1 al último dígito del número resultante, define dos números racionales entre cuyos cuadrados se encuentra el al 3. Omitiendo alguna sutileza matemática, resulta que la sucesión de cifras anterior 1.7320508075… define un número irracional cuyo cuadrado es 3, el deseado x. Pues bien, las demostraciones de existencia para ecuaciones diferenciales son similares: se obtiene como límite de una sucesión de «soluciones aproximadas».

¿Qué entendemos por solución aproximada de una ecuación diferencial? Hay varias formas de proceder, pero quizás la más intuitiva sea la «discretización» que consiste en lo siguiente (aplicado a una ecuación de primer orden). La variable independiente tomará una cantidad finita de valores x₀, x₁, x₂… espaciados por una distancia h (es decir, h= x₁ – x₀ = x₂ -x₁ …). Los valores correspondientes de la función a determinar serán y₀, y₁, y₂… (sólo y₀ es conocido por ser condición inicial). La derivada en un punto x_n será sustituida por la expresión (y_n+1 – y_n)/(x_n+1 – x_n) = (y_n+1 – y_n)/h, que de acuerdo con la ecuación diferencial se puede expresar en términos de x_n e y_n. En consecuencia, y_n+1 puede ser calculado a partir de y_n, ya que x_{n =} x₀ + nh no tiene inconveniente. Partiendo de y₀ se calcularán sucesivamente y₁, y₂, y₃… Lo que puede verse como una línea quebrada con nodos en los puntos (x_n, y_n), que aproxima a la solución verdadera, mejor cuanto más pequeño sea h.

Sistemas dinámicos

Al final de la sección anterior hemos alcanzado el zenit de dificultad técnica del post. A partir de aquí seremos más cualitativos. Una ecuación diferencial, sea del orden que sea, puede reducirse a una ecuación de primer orden haciendo que la función incógnita tome valores vectoriales (tradicionalmente llamado sistema de ecuaciones diferenciales). Aunque esto puede parecer una enorme complicación práctica, desde el punto del vista teórico se gana en simplicidad. Más simple resultará si, además, la variable independiente no aparece explícitamente. De esta manera, la evolución de una solución dependerá solamente de por dónde pasa y no de cuándo lo hace (es habitual identificar la variable independiente con el tiempo en la discusión de sistemas de ecuaciones). A este tipo de ecuaciones vectoriales que no contienen la variable independiente «t» se les llama sistemas dinámicos (o autónomos): si la variable independiente se identifica con tiempo, la variable vectorial incógnita representa movimiento: de ahí el nombre. Una forma muy adecuada de pensar en un sistema dinámico es el mapa de vientos de la predicción meteorológica: según donde te encuentres, se te empuja en una cierta dirección y con una determinada velocidad.

Naturalmente, las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico (masas unidas por palancas, bisagras, muelles… o fuerzas a distancia) pueden ser escritas en forma de sistema dinámico. Sin embargo, al ser la segunda ley de Newton, de hecho, una ecuación diferencial de segundo orden, la reducción a un sistema de primer orden implica duplicar el número de variables espaciales (grados de libertad). La manera más sencilla de hacerlo es considerar las velocidades junto con las posiciones, dando lugar al llamado espacio de fases. En el espacio de fases usado en Mecánica Analítica están representadas variables de posición, no necesariamente cartesianas, y sus variables conjugadas, que no siempre se corresponden con velocidades. Este punto de vista arroja resultados sorprendentes, como el siguiente descubierto por Henri Poincaré: un sistema confinado en el espacio y que no pierde energía, volverá, con precisión arbitraria, a su posición inicial infinitas veces.

¿Determinismo?

A lo largo de la Historia han aparecido religiones y doctrinas filosóficas que afirman que el futuro está completamente determinado y, por lo tanto, niegan el libre albedrío. Curiosamente, el libre albedrío estuvo también en cuestión por parte de la Ciencia y, en ello, las ecuaciones diferenciales jugaron un papel relevante. Las Leyes de la Mecánica reducen el problema del movimiento de un sistema de masas interactuantes a ecuaciones diferenciales mostrando que la evolución del sistema está determinada a partir de las posiciones y velocidades iniciales. El universo entero es un sistema de masas en interacción, por fuerzas gravitatorias y electromágneticas, gobernado por la Mecánica newtoniana; la Química se reduce a la mecánica de las moléculas animadas por fuerzas electromagnéticas; la Biología se reduce al estudio de la Química Orgánica; finalmente, el pensamiento son impulsos electroquímicos en una estructura, el cerebro, que, aunque compleja, se reduce a una cantidad finita, aunque enorme, de átomos. Somos pura química: la ingesta de ciertas substancias puede cambiar nuestro estado de ánimo, por no decir más cosas.

El hecho de que el que la evolución del universo con todo su contenido pueda reducirse a unas pocas leyes tuvo consecuencias importantes en nuestra visión del mundo. Cuando Laplace presentó su gran obra sobre Mecánica Celeste a Napoleón, el emperador le hizo una observación: «Me cuentan que en esta gran obra sobre el universo no menciona al Creador en ninguna parte.» El matemático le replicó: «Sire, no he necesitado de esa hipótesis.» Si Dios ya no era necesario para gobernar el universo ¿seguiría siendo necesario para crearlo? Aparentemente, lo único que nos impide hacer una predicción certera sobre el futuro son dos detalles nimios: (1) conocer la posición y velocidad de cada partícula del universo en un instante dado; (2) resolver un sistema de 2n ecuaciones diferenciales, siendo n el número de partículas del universo. Sin embargo, aunque todo esto sea irrealizable en la práctica, no excluye la validez del teorema de existencia y unicidad que nos dice que sólo hay un resultado posible: el libre albedrío no existe… ¿o sí?

Sensibilidad, caos y desorden

El que hayas leído mi post hasta aquí es una decisión tuya, personal y consciente, que no tiene absolutamente nada que ver con la posición de las partículas del universo hace un par de horas. Podemos señalar varios errores en los argumentos de la sección anterior. El primero es que el modelo matemático es una idealización de la realidad tanto o más como Las señoritas de Avignon representa un grupo de mujeres. En segundo lugar, es sabido que la solución de una ecuación diferencial, en general, depende continuamente de las condiciones iniciales. Esto quiere decir que con valores iniciales parecidos se tendrán una soluciones próximas sobre intervalos prefijados de la variable. Sin embargo, si no se mantiene la variable confinada en un intervalo, podría observarse una tremenda divergencia entre dos soluciones por próximas que comiencen (sensibilidad respecto a las condiciones iniciales). Gracias a eso, el resultado de lanzar una moneda al aire se puede considerar un suceso aleatorio.

No obstante, en sistemas en una o dos dimensiones el comportamiento cualitativo de las soluciones no cambiará. Por ejemplo, un péndulo sencillo siempre oscila periódicamente, aunque cambie la frecuencia de dichas oscilaciones. Pero a partir de tres dimensiones pueden aparecer diferencias substanciales que afectan a la predicibilidad del sistema y que reciben el nombre caos, también conocido como efecto mariposa (una descripción poética puede escucharse en este enlace). Por ejemplo, un péndulo doble goza de dos grados de libertad, así que su espacio de fases tiene cuatro dimensiones… el caos está garantizado. Además de eso, en los sistemas con un gran número de partículas hay una componente estadística que debe ser adecuadamente tratada. Esto es el objeto de la Mecánica Estadística, donde los sistemas no evolucionan por la inercia, sino hacia estados con mayor probabilidad. Una baraja de cartas está bien ordenada de una sola manera, pero desordenada puede estarlo de tantas formas que se requiere un número de 60 cifras para expresarlo. El desorden es la esencia de nuestro libre albedrío, en la Física Clásica… no hablemos ya de principios de incertidumbre y gatos zombies.

EDPs

Hasta ahora hemos considerado ecuaciones diferenciales donde la incógnita depende de una única variable, respecto a la que realiza la derivación. Esto es algo bastante evidente cuando la ecuación diferencial describe un proceso que depende únicamente del tiempo, tal como sucede en los sistemas dinámicos. Este tipo de ecuaciones diferenciales con una sola variable independiente se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Naturalmente, el mundo es mucho más complejo. Por ejemplo, un proceso que dependa del tiempo y el espacio requerirá una ecuación con varias variables independientes respecto a las que se realizan derivaciones, necesariamente parciales. Por este motivo son llamadas ecuaciones en derivadas parciales (EDPs). Es una materia que aprecio bastante, ya que he estado impartiendo sus contenidos en una asignatura del Grado de Matemáticas (los apuntes son accesibles aquí). También hemos aludido a una cierta EDP en nuestro post Circunferencias y esferas.

Un aspecto interesante de las EDPs es, que a pesar de representar procesos continuos (por no decir derivables), son capaces de explicar fenómenos discretos o cuantificados. Las notas musicales se explican con ayuda de la ecuación de la cuerda vibrante. El hecho de que las variaciones de energía en un átomo estén cuantizadas se explica, por motivos análogos, a partir de la ecuación de Schrödinger, que rige la Mecánica Cuántica. Los llamados procesos de reacción-difusión encierran la clave de la aparición de patrones en Biología como las manchas de leopardos, cebras y jirafas. Esta compleja teoría de la Morfogénesis fue iniciada por Alan Turing, matemático conocido principalmente por su papel en el descifrado del código Enigma durante la Segunda Guerra Mundial, y que también sentó las bases de la Teoría de la Computación

Para acabar

Las ecuaciones diferenciales permiten, entre muchas aplicaciones, modelizar y estudiar la evolución sistemas y procesos que dependen continuamente del tiempo y, eventualmente, también del espacio. Lamentablemente, no se puede profundizar mucho más en este tema si no es a costa de un mayor despliegue matemático. Espero que la selección de temas que he presentado en este post despierte la curiosidad de los lectores.

El propósito de este post es destacar ciertos aspectos del Sistema Solar que, como matemático, me resultan interesantes y con la esperanza de alguno resulte novedoso para mis queridos lectores. Esto último no va a ser sencillo… La observación del cielo es tan antigua como la Historia, así como la curiosidad por saber lo que hay ahí arriba (o afuera) es tan inmensa como el Universo. La Astronomía, desde que se diferenció de la Astrología, es una disciplina bien desarrollada y su divulgación una de las populares. También, algunos de los divulgadores de la astronomía alcanzaron una gran fama en vida: Camille Flammarion en el siglo XIX, Carl Sagan en el XX, y más recientemente, Neil deGrasse Tyson. Por este motivo, no es fácil contar algo realmente sorprendente sobre el Sistema Solar.

El cielo desde un zigurat

En la antigua Babilonia, los sacerdotes escrutaban los cambios que se producían en el firmamento y lo anotaban todo, de manera que, tras siglos de observaciones, habían descubierto la periodicidad de numerosos fenómenos, incluidos los eclipses. La aplicación más básica era el dominio del calendario, que administraban como un saber hermético, pues el conocimiento del momento preciso de las siembras era fundamental para la economía del estado. Además del sol, la luna y las estrellas, había unos objetos cuya posición y ritmos no seguían las mismas pautas: los planetas. De manera tácita se asumió que sus ciclos debían tener alguna repercusión en lo que ocurría en el suelo y a la búsqueda de esa influencia se la llamó Astrología. Esta conexión resultaba tan “evidente”, que la Astrología no sólo fue tolerada por la Iglesia medieval, sino que también se llegó a enseñar en las universidades.

Algunos planteamientos de la Astrología pueden parecernos ahora ridículos desde la ciencia moderna, pero estimularon la observación cuidadosa y cuantitativa del cielo, dando lugar a una disciplina matemática: la Trigonometría. En particular, la llamada Trigonometría Esférica tiene que ver con las relaciones entre las distintas magnitudes de un triángulo esférico, cuyos lados son segmentos de circunferencia máxima. Resulta curioso que los lados de un triángulo esférico se midan como ángulos, pero es lo más adecuado porque esa es la única referencia que podemos tener entre los astros que observamos desde la Tierra. El área de un triángulo esférico es también una medida angular, es decir, relativa, pero recibe el nombre de ángulo sólido. Al igual que la longitud de la circunferencia de radio unitario, 2pi, señala el ángulo lineal máximo, el área de la esfera de radio unidad, 4pi, es el valor del ángulo sólido máximo.

Quizás el hecho más fascinante (al menos para mí) de los triángulos esféricos es que su área se obtiene simplemente sumando sus ángulos y restando pi al resultado. Esta misma operación daría cero en un triángulo plano (véase mi post Circunferencias y esferas), pero no en un esférico. En un globo terráqueo es fácil trazar un triángulo con un vértice en el Polo Norte y los otros dos en el ecuador, de manera que sus tres ángulos son rectos. La fórmula del área arroja un valor de pi/2, que es una octava parte de la esfera (y de 4pi, obviamente). Curiosamente, la fórmula del área de los triángulos esféricos se puede deducir sin apenas conocimientos geométricos usando una fórmula combinatoria que expresa la medida de la unión de tres conjuntos: súmense todas las áreas, réstense las áreas de las intersecciones dos a dos y, finalmente, súmese el área de la intersección de los tres conjuntos.

Dice con bastante ironía Jean Dieudonné, uno de los miembros del influyente grupo matemático Bourbaki, que la Trigonometría actualmente sólo interesa a tres colectivos: a los astrónomos, a los agrimensores y a los autores de libros de Trigonometría. No obstante, la Trigonometría Esférica proporciona un modelo fácilmente comprensible de una Geometría no euclidiana en la que los triángulos de pequeñas dimensiones son muy parecidos a los triángulos planos, pero a medida que aumenta la escala también aumentan las diferencias. ¿No pasará lo mismo en el Universo? En efecto, a nuestra escala (o la de nuestros instrumentos de medida) nos parece euclidiano, pero podría no serlo globalmente… Albert Einstein nos abrió ese melón.

La cuarta ley de Kepler

Si pensamos en las leyes de Kepler, recordaremos al menos tres de ellas: la primera describe la forma de las órbitas de los planetas alrededor del sol; la segunda explica las variaciones de velocidad de un planeta a lo largo de su órbita; finalmente la tercera relaciona los tamaños de las órbitas de dos planetas con la duración de su revolución alrededor del sol. Pongamos un ejemplo de esta última, si un planeta tiene una órbita cuyas dimensiones duplican las de, por ejemplo, la Tierra, su año será 2.83 veces mayor que el nuestro (1033 días terrestres). Ya comentamos en nuestro post Elipse que Isaac Newton dio la demostración matemática de las leyes de Kepler a partir de su ley de Gravitación Universal.

¿Qué es lo que falta en el conjunto de las tres leyes de Kepler? La respuesta más obvia, quizá, es que no proporcionan ninguna información sobre la disposición relativa de los planetas. En aquel momento, sólo se conocían seis: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. A falta de una hipótesis mejor, Kepler relacionó los planetas con los sólidos platónicos, es decir, los cinco poliedros regulares (convexos, hay que especificar), que inscritos y/o circunscritos en cierto orden en seis esferas producen unos radios cuyas proporciones, dentro de cierto margen de error, coincidían con las de las órbitas planetarias. Desde el punto de vista moderno, el modelo Kepleriano puede parecernos algo carente de fundamento, pero en realidad está haciendo algo que los matemáticos seguimos haciendo todavía: buscar patrones.

Encontrar un buen patrón depende mucho del conocimiento acumulado. La hipótesis de la elipse, por ejemplo, funcionó y pudo justificarse a posteriori, pero la distancia relativa entre planetas del Sistema Solar necesitaba una aproximación menos mística. El astrónomo alemán Johann E. Titius propuso que las distancias relativas al Sol estaban en progresión (esencialmente) geométrica, salvo por dos detalles: una corrección particular para Mercurio; y una “laguna” entre Marte y Júpiter. Otro alemán, Johann D. Bode que da también su nombre a esta ley, propuso que el hueco entre Marte y Júpiter correspondía a un planeta que aún no había sido observado. Hay que decir que en ese momento no se había descubierto aún Neptuno, planeta para que la ley de Titius-Bode falla estrepitosamente. Un grupo de 24 astrónomos, en su mayoría alemanes, se lanzó a la búsqueda del supuesto planeta intermedio entre Marte y Júpiter. En la Nochevieja de 1800 a 1801 apareció, por fin, un diminuto planeta: Ceres.

El descubridor de Ceres fue el italiano Giuseppe Piazzi que pudo seguir al planetoide durante un mes aproximadamente, hasta que cayó enfermo. Después, la pista de Ceres se perdió y nadie fue capaz de encontrarlo… Hasta que llegó Carl Friedrich Gauss, el más grande matemático del siglo XIX (por no decir de todos los tiempos, estas comparaciones son delicadas), y con las observaciones de Piazzi, que representaban un 1% de la órbita de Ceres, realizó complejos cálculos con un método de su propia invención y dijo a los astrónomos hacia dónde debían enfocar sus telescopios en diciembre de ese mismo año. El planeta apareció exactamente donde dijo Gauss que aparecería… bueno, con medio grado de error 😕

El misterioso método de Gauss incluía el ajuste con mínimos cuadrados, que hoy día es una técnica estándar para hacer predicciones a partir de cierto número de medidas experimentales. Sabemos también que Gauss en su estudio de las órbitas planetarias usó un algoritmo llamado transformada rápida de Fourier (FFT), años antes de que Joseph Fourier en persona definiera su transformada (sin la etiqueta “rápida”) y con más de un siglo de anticipación sobre Cooley y Tucker, los “inventores oficiales” de la FFT: así era Gauss. Para cerrar esta sección, después de Ceres, se descubrió en órbitas cercanas otros pequeños planetas: Palas, Juno, Vesta… la cuenta va por miles, pero cada vez más diminutos y ya nada redondos. Es esas circunstancias, la noción de planeta debía definirse de manera precisa por lo que Ceres quedó fuera de la lista y nos referimos en su lugar al cinturón de asteroides. Por cierto, el mismo criterio provocó la expulsión de Plutón en 2006 de la lista oficial de planetas del Sistema Solar. Plutón resulta ser parte de un cinturón de asteroides exterior llamado de Kuiper.

El problema de los tres cuerpos

Nos ocuparemos ahora de una cuestión de Mecánica Celeste. Notemos primero que, realmente, las elipses son soluciones exactas para las ecuaciones Newtonianas del movimiento cuando se considera un sistema de dos cuerpos (el Sol y un planeta). Matemáticamente, el problema se reduce al de una sola masa en un campo gravitatorio central y puede resolverse dando la posición exacta del planeta en cada momento. Cuando hay tres cuerpos interactuando mútuamente entre sí, la dificultad del problema aumenta considerablemente y no es posible dar una solución explícita de las órbitas… y no digamos ya cuando se tiene un número mayor de cuerpos como el propio Sistema Solar.

El llamado problema de los tres cuerpos se puede abordar con distintas simplificaciones. Una de ellas es suponer que dos de los cuerpos no son demasiado masivos para despreciar su interacción mutua. Evidentemente, cada uno de los cuerpos pequeños seguirá el modelo elíptico, si es que permanecen confinados en sus órbitas, pero es posible que nos interese saber como se moverá uno respecto al otro. Si las órbitas de estos dos cuerpos son suficientemente próximas, podemos considerar una como perturbación de la otra. Esto permite deducir resultados aparentemente sorprendentes como el siguiente: imaginemos que un astronauta da un salto desde la Estación Espacial Internacional (ISS) de manera que se aleja de ella flotando en el vacío. No pasa nada, en alrededor de 45 minutos volverá a la ISS. En efecto, la trayectoria del astronauta (alrededor de la Tierra) es una elipse de dimensiones similares a la que traza la ISS y, por lo tanto, con el mismo periodo.

Consideremos ahora un sistema compuesto de dos objetos masivos y un tercero mucho menor. En este caso, el problema de los tres cuerpos admite unas soluciones curiosas: existen dos puntos relativos a la posición de las masas mayores (moviéndose con ellas) donde una tercera masa quedaría en una posición estable. Estos son los llamados puntos de Lagrange estables (hay otros puntos estacionarios, pero son inestables), que actúan como receptáculos de pequeñas masas a la deriva, los llamados asteroides troyanos. Desde la predicción hecha por el matemático ítalo-francés Joseph-Louis Lagrange, se tardó casi un siglo en poder observarlos. En el Sistema Solar, Júpiter acapara casi todos los troyanos. Obviamente, es el segundo cuerpo más masivo después del Sol, y junto con él forma un potente atractor de troyanos.

Kolmogorov, Arnold y Moser

Lo cierto es que los planetas del Sistema Solar se influyen unos a otros, quizás no tanto como para marcar la vida de un recién nacido, pero sí como para inquietar a los astrónomos sobre un cataclismo en el futuro. Por ejemplo, el descubrimiento de Neptuno fue posible gracias a las perturbaciones que provocaba en la órbita de Urano. A su vez, el planetoide Plutón fue descubierto por las perturbaciones que provocaba sobre Neptuno. Las elipses que describirían teóricamente los planetas alrededor del sol según el modelo de dos cuerpos, están “abolladas” consecuencia de esta mutua interacción.

Si bien el efecto de la interacción entre dos planetas dados puede parecer pequeño puntualmente, su efecto prolongado a lo largo del tiempo podría acumularse. A medida que los dos planetas orbitan alrededor del sol se producen alternativamente situaciones de máximo acercamiento y máximo distanciamiento. La atracción gravitatoria entre ellos, mayor durante la máxima proximidad, se convierte en una fuerza pulsante. Hay situaciones en las que una pequeña fuerza ejercida periódicamente causa un gran efecto a largo plazo: imaginemos un columpio al que se le da un pequeñísimo impulso cada vez que comienza a alejarse. Al cabo de un rato, el columpio ejecuta grandes oscilaciones. Este fenómeno se conoce como resonancia y ocurre cuando la frecuencia de la fuerza coincide o está muy próxima a la frecuencia natural del sistema al que se aplica.

Andrei Kolmogorov, uno de los matemáticos rusos más importantes del siglo XX, comenzó el estudio de la posible resonancia en sistemas dinámicos como el constituido por el Sistema Solar. Este estudio fue continuado por su discípulo Vladimir Arnold y el alemán Jürgen Moser. El teorema KAM (por las iniciales de los matemáticos mencionados) dice, aplicado a los planetas, que las órbitas serán estables cuando el cociente de sus frecuencias es muy irracional en un sentido tan preciso como técnico para ser expuesto aquí. A mis colegas matemáticos puedo decirles que la condición KAM recuerda ligeramente la definición de los números transcendentes de Liouville. En lo que respecta al Sistema Solar, la mayor parte de los cataclismos por resonancia ocurrieron en una etapa inicial, y los cocientes de las frecuencias de los planetas actuales están lejos de ser conmensurables. No hace mucho, la matemática italiana Gabriella Pinzari realizó una mejora substancial del teorema KAM.

Concluyendo

Recuerdo como si fuera ayer aquella noche de invierno de 1976 cuando vi por primera vez la ilustración* con la que he comenzado este post. Todavía me dura el abrumador sentimiento de pequeñez y vacío que me provocó. Por eso no puedo evitar tener cierto apuro cuando miro la noche estrellada reconociendo constelaciones y buscando luceros. A pesar de que cada vez es más difícil disfrutar del cielo nocturno, que se le ha declarado la guerra a la oscuridad, la noche estrellada está ahí, envolviéndonos, para que mientras miramos al infinito, sigamos haciéndonos las preguntas más fundamentales de nuestra existencia.

(*) El libro es «Geografía Universal» (Antonio M. Zubia, Ed. S.M. 1967) de 2º de bachillerato, un libro de texto que usó mi hermana.