La divulgación de ayer

La sección de ciencia en las librerías de los centros comerciales suele estar dedicada, principalmente, a libros de divulgación. Siempre que tengo ocasión me entretengo en ver las novedades y me alegro de comprobar que el sector goza de buena salud, a pesar de que los libros no estén de moda. En efecto, ¿para qué leer un libro si lo que quieres saber te lo puede explicar un fulano en su canal de TikTok? Mi respuesta es que si el fulano tiene algo interesante que contar, probablemente lo haya leído antes en un libro. Pero no voy hoy a hablar de los libros de divulgación contemporáneos, sino de algunos, más bien obsoletos, que habitan en mis estanterías, ejemplos de la divulgación de ayer, donde «ayer» se encuentra a caballo entre los siglos XIX y XX.

Posiblemente el mejor libro de divulgación científica del siglo XXI: destaca la cantidad de disciplinas que cubre, el sentido del humor y la calidad de su prosa, en versión original, of course… Sí, ya sé que este libro no va con el tema de hoy. Por favor, sigan a la siguiente imagen.

He seleccionado 10 libros para este post… o, más bien, ellos me han seleccionado a mí, pues son el resultado aleatorio de visitar librerías de viejo, mercadillos y ferias. Algunos de estos libros están claramente orientados a un público joven, en una época en la que regalar un libro producía más ilusión que un móvil hoy día. De hecho, al menos tres de estos libros son ediciones especiales para servir como premio a alumnos en los colegios donde estudiaban. Otros, destinados a un público adulto eran la única forma de estar al corriente de la ciencia, salvo que se tuviera cerca un ateneo con un buen programa de conferencias. Como viene siendo costumbre en el blog, el idioma no será una barrera.

Éstos sí son los libros de los que voy a hablar.

Viajes y Naturaleza

En el siglo XIX aún quedaba mundo por descubrir y los libros de viajes excitaban la imaginación de los niños y, quizás, las ansias por conocer otras formas de vida y culturas. Sin embargo, no es necesario viajar a los confines del mundo para ver cosas nuevas. A veces, basta con fijarse mejor en lo que tenemos cerca, como, por ejemplo, la esquiva vida de algunos animales del campo.

Au pays des nègres – V. Tissot y C. Améro – 1888

Este libro destinado a los jóvenes describe aspectos geográficos y culturales de África (aquí pays habría que traducirlo por territorio). Victor Tissot escribió fundamentalmente sobre viajes, alcanzando la fama con un libro sobre Prusia. Mi ejemplar de Au pays des nègres lleva estampado en la cubierta Collège de Perpignan, lo que indica que posiblemente fuera un premio ofrecido a un estudiante excelente, si bien no hay otra evidencia ni firma.

Aunque el punto de vista de los autores es bastante discutible, incluso para su época, el primer capítulo se dedica a la lacra que supone el comercio de esclavos. En 1888, la esclavitud ya había sido abolida oficialmente en las potencias coloniales europeas y en USA. Sin embargo, se siguió «cazando esclavos» en África con destino hacia el Mar Rojo y el Océano Índico.

Caza de esclavos.

El libro contiene 93 ilustraciones, muchas de ellas a página completa, de gran calidad y dramatismo. Se me hace muy difícil elegir… paisajes y poblados, son mis favoritas porque al sumergirme en los grabados me proporcionan una sensación mística de viaje. También, porque, salvando las distancias, paisajes similares pueden encontrarse todavía en África (ver mis posts Burkina Faso y Out of Africa).

Capital de Uganda… debe de haber cambiado mucho en el último siglo.
Paisaje con palmeras..

No obstante, reconozco que los grabados con tipos y costumbres pueden ser más significativos. Me gusta mucho, por ejemplo, la mirada del guerrero nubio en el último grabado.

Cent récits d’Histoire Naturelle – Ch. Delon – 1879

Destaca la magnífica edición de Hachette en un formato poco habitual. A diferencia de un libro de historia natural sistemático, éste hace una selección de cien animales, o tipos de ellos, describiéndolos a doble página con grabados de gran calidad y apretadísima letra. Suponemos que los jóvenes, a los que estaba destinada esta obra tenían buena vista.

En el libro se tratan indistintamente animales domésticos como salvajes, de los bosques europeos como de exóticos lugares. Principalmente vertebrados terrestres, pero también peces, insectos… incluso corales y foraminíferos tienen su lugar. De manera significativa, el primer capítulo se dedica a los grandes simios, mientras que el último a los animales fósiles.

Cerdos pastando, conducidos por un pastor y su perro.
Capítulo dedicado a las tortugas.
Vida microscópica, dedicado a Tere 🙂

Ciencia y tecnología

Si bien los libros de de viajes e historia natural resultan muy atractivos a un público joven, en un momento en el que los descubrimientos científicos están cambiando rápidamente el mundo, cobra una importancia máxima la divulgación de la Física, Química o las tecnologías a las que dan lugar.

Simple science – E. N. C. Andrade y J. Huxley – 1936

El único libro en inglés de esta selección es un recuerdo de mi estancia en Reino Unido hace muchos años. Mi ejemplar lleva impreso el escudo del Marlborough College, un lugar parecido al Hogwarts donde estudiaba Harry Potter y a sólo dos horas de coche de Londres. Fue entregado como premio a un estudiante en verano de 1941, en plena Guerra Mundial. Los autores fueron científicos reconocidos, particularmente Julian Huxley, hermano del autor de Un mundo feliz y creador de varios neologismos, entre ellos transhumanismo, por lo que Yuval Noah Harari le estará siempre en deuda.

El libro se dedica a algunos temas de Física, Química y Biología, entremezclados de una manera peculiar que pretende acentuar la interacción entre estas disciplinas. He seleccionado dos ilustraciones. La primera tiene que ver con la falta de semejanza en la variación del tamaño de los vertebrados, algo que normalmente no se tiene en cuenta en la películas de ciencia-ficción. La otra, un par de experimentos caseros sobre el equilibrio que da una idea del carácter lúdico del libro.

El grosor de las patas de los mamíferos no aumenta en la misma proporción que su tamaño.
Experimentos con objetos cotidianos, hasta cierto punto, sobre el centro de gravedad y el equilibrio.

Les grandes inventions – L. Figuier – 1870

Louis Figuier fue un prolífico autor de obras de divulgación, muchas de ellas en varios volúmenes y gran formato, cuya reunión es motivo de frustración para el coleccionista. Por eso he elegido uno de los pocos libros que publicó en un solo volumen. Mi ejemplar lleva grabado el escudo del Lycée Impérial de Napoléonville (nombre eventual de Pontivy), por el mismo motivo que en los casos anteriores: el premio por un excelente aprovechamiento del curso escolar.

La imprenta, la litografía, la pólvora, la brújula, el reloj… por decir sólo algunos de los primeros grandes inventos tratados en este libro. Se dedica bastantes páginas a la electricidad y sus aplicaciones, y eso que todavía no se había inventado la bombilla.

Experimento de conmoción eléctrica en grupo… antecedente del TASER.
Instalación del cable submarino para telégrafo entre Francia e Inglaterra.

Tú y el motor – E. P. A. Heinze – 1942

Publicado por la editorial Labor en España, la edición alemana (original, Du und der Motor… no puedo evitar recordar a Rammstein) de este libro se publicó en 1939, en el zénit de la producción industrial bélica germana justo antes del estallido de la Segunda Guerra Mundial. La divulgación se hacía eco de los avances en los motores de combustión interna, que en esa década recibieron muchas innovaciones. Por ejemplo, cuatro años antes de la publicación del libro comenzó a usarse el motor diesel en turismos gracias a una substancial reducción del sistema de inyección.

Pocos libros he visto que hablen con más entusiasmo sobre los motores de explosión. En sus páginas se examinan aspectos conceptuales y constructivos, con abundante ejemplos, no sólo de motores orientados al transporte terrestre, sino también de aviación, a la que el autor era bastante aficionado.

Fabricación de motores de aviación, que se usarían en bombarderos alemanes durante la Segunda Guerra Mundial.

El último capítulo está destinado al Volkswagen Escarabajo. Sobre un proyecto de Ferdinand Porche y promovido por Hitler en persona, se presentó con el nombre «Kraft durch Freude» que se traduciría como «la fuerza por la alegría». De ahí las siglas KdF, y el pánico que yo siento cada vez que los políticos acuñan expresiones con palabras que apelan a sentimientos.

Comienzo del capítulo dedicado al Volkswagen Escarabajo, con la República de Weimar implícita.
Motor del Volkswagen Escarabajo: cuatro cilindros en disposición boxer, refrigerado por aire.

State of the art

En algunas obras de divulgación científica se pone énfasis en los más recientes descubrimientos de cada disciplina. Esto suele nombrarse con el feo anglicismo «estado del arte». Para esta sección he reservado dos tesoros… ojo, hablo desde desde mi valoración personal, no la que dan las webs de reventa de libros viejos.

La ciencia moderna – J. Broutá – 1897

Lo primero que llama la atención en este libro, magníficamente editado por Montaner y Simón, es su portada Art Nouveau. Cuando lo abrimos vemos que, entre temas más habituales de Física, Química o Biología, dedica algunas páginas a la Prehistoria y un capítulo a la Antropología del crimen. Del autor, Julio Broutá, no podemos decir mucho, salvo que tuvo una polémica con doña Emilia Pardo Bazán, acerca de unas naranjas, de la que da cuenta en el libro.

He seleccionado como ilustraciones una extraída de la parte de Prehistoria, otra relativa a la tecnología de los dirigibles y, para acabar, una sobre la mencionada Antropología criminal donde el autor se desmarca de las teorías de Lombroso.

Ilustración con artefactos prehistóricos.
Producción de hidrógeno, algo que se ha vuelto a poner de moda un siglo más tarde.
Ilustración que hace referencia a la Frenología, teoría enviada al cajón del olvido.

Ciencia popular – J. Echegaray – 1905

Se trata de una colección de artículos sobre Ciencia aparecidos en prensa (El Imparcial, El Liberal) y recopilados en este volumen como homenaje a su autor con motivo de la concesión del Premio Nobel de Literatura. Aunque la mayor parte de los artículos se hacen eco de descubrimientos o tecnologías novedosas en el momento de la publicación, también hay algunos de tipo biográfico, como un homenaje a un Pasteur recientemente fallecido.

Entre las muchas cosas de las que escribe el polifacético José Echegaray y que fueron novedad en su época están los rayos X, la telegrafía inalámbrica, la transmisión de imágenes por cable, la radiactividad natural… el último artículo de esta recopilación se titula «El espacio de muchas dimensiones», pero no incluye referencias a Hilbert 😕

Parte del índice, que muestra la diversidad temática.
Artículo alusivo al reciente descubrimiento de los Curie, sin mencionarlos.

Los padres jesuitas

En un momento dado, empecé a ser consciente de la proliferación de autores cuyos nombres van seguidos de las siglas S. J. entre mis libros. Incluso, alguno de Matemáticas, como unas «Ecuaciones Diferenciales Ordinarias» va firmado por Alberto Dou, S. J. Esas siglas indican que el autor pertenece a la Compañía de Jesús, posiblemente la orden religiosa cristiana más comprometida con la Ciencia, como puede verse aquí. Contrariamente a lo que pudiera parecer, no es frecuente el proselitismo religioso en las obras científicas de jesuitas.

El firmamento – L. Rodés – 1939

Luis Rodés fue un astrónomo de primer nivel que se formó y desarrolló parte de su actividad en USA. La obra de la que hablamos aquí, aunque es de divulgación, contiene una gran cantidad de detalles técnicos que envidiaría un libro de estudio universitario.

De sus 690 páginas, no es hasta el la parte final del último capítulo donde se menciona al Creador. Y esto solamente lo hace en relación con la estabilidad y evolución del universo.

Ilustración de lo que conocemos normalmente como velocidad de escape.
Observaciones de Sirio que mostrando que realmente se trata de un sistema estelar doble.

Cosmologia – J. Donat – 1944

Este no es un libro de divulgación en su concepción, aunque sí en su temática, pues abarca todas las ciencias como manera de entender la creación. El libro está publicado en Barcelona y redactado en latín, lengua vehicular en los seminarios católicos. Cuenta también con el nihil obstat del obispo de Barcelona. Todo esto es muy curioso, habida cuenta de que Josef Donat era alemán.

Asoma parte de la firma del anterior propietario, que según he averiguado, fue canónigo en la Catedral de Murcia.

Hace mucho tiempo que la Iglesia Católica no busca la explicación de las cosas terrenales en La Biblia. Por eso he seleccionado dos páginas bastante elocuentes a este respecto. Frente al mito de que el mundo hizo en seis días, ofrezco unos cortes geológicos que debían estudiar los futuros sacerdotes. En cuanto a Adán y Eva, la página del libro donde se menciona a Darwin no contenía dibujos, así que en su lugar pongo la de un gráfico explicando las leyes de Mendel.

Cortes geológicos, explicados en latín.
Hibridación de dos plantas de distintos colores y repartición de las características en las siguientes generaciones.

A Dios por la Ciencia – J. Simón – 1954

Si bien he dicho que no es frecuente el proselitismo religioso en las obras de Ciencia escritas por jesuitas, no significa que éste no exista. Este libro, de llamativa sobrecubierta y destinado a un público juvenil, busca a Dios en los complejos detalles técnicos del universo y la vida. A pesar de sus años, esta obra sigue teniendo mucho predicamento en internet.

No entraré en detalles sobre el tipo de argumentos que expone el padre Jesús Simón. Dejaré que sea él mismo el nos proporcione un resumen. Nótese que en lo relativo a la Biología, hay una reminiscencia del llamado “Diseño Inteligente”.

Como ilustraciones he elegido, en primer lugar, una alegoría del papel de la boca en el ser humano. En segundo lugar, y por alusiones, una relativa a un problema de Matemáticas resuelto por las abejas. Otro día, en otro post, hablaremos de libros de divulgación matemática.

Trate el lector de identificar aquí los elementos de una cara humana.
Optimización de material en la construcción de una colmena.

Epílogo

Si tengo que señalar una fecha para el comienzo de esta afición bibliófila científica, he de remontarme al otoño de 1996 cuando llegué a Burdeos. En el Cours de l’Argonne, la calle que salía del centro de la ciudad (Place de la Victoire, para más precisión) hacia el campus universitario de Talence había una pequeña bouquinerie, atestada de libros viejos, como es de esperar por el significado del término francés. Destacaba al entrar, una pequeña urna rectangular de cristal con unos siniestros objetos colgados de hilos que parecían ser fetos de animales cubiertos de cera blanca y rosa. En aquella tienda encontré este librito, que considero el primero, conscientemente, de la colección.

Les plantes qui guérissent et les plantes qui tuent – Olivier de Rawton – 1884

Su título era muy sugerente: Las plantas que curan y las plantas que matan. La calidad de sus grabados y el acabado en pan de oro de su encuadernación me fascinaban tanto como lo que podría aprender en él. Su precio, 120 francos, era más que excesivo para el presupuesto de un estudiante. Durante varios meses estuve pasando de vez en cuando por allí, curioseando sin comprar nada, hasta que un día, el viejo librero ya no estaba. La persona en su lugar me dice que el patron había muerto y estaban liquidando la mercancía. Aproveché la luctuosa oportunidad para comprar el libro, considerablemente rebajado de precio. No sé que pasaría al final con los fetos encerados colgantes.

Una planta que cura… y también puede matar.

Amianto

Amianto serpentínico (crisotilo) superficialmente deshilachado procedente de Alhaurín (Málaga).

En mi post La Fiebre del Plomo, acabé mencionando algunos despropósitos hacia el final. Uno de ellos consistía en un jardín municipal decorado con rocas conteniendo amianto. Algunas personas que reconocieron el lugar lo pusieron en conocimiento de las autoridades. Yo, por mi parte, tuve una reunión con representantes de varias asociaciones cívicas de la población, cuyo nombre tampoco diré ahora. El caso es que me siento responsable del revuelo causado. Con este post espero informar un poco más sobre el amianto y reubicar el epicentro de la polémica en otro lugar.

Parte de los Viajes de Marco Polo (edición en inglés de 1968) donde explica la manufactura del amianto, dejando especialmente claro que no procede de la piel de salamandra.

Recordemos brevemente que la cualidad más significativa del amianto es que sus fibras se pueden tejer, resultando un material flexible e ignífugo. Esta propiedad es conocida desde la antigüedad remota. Al parecer, Carlomagno tenía un mantel de amianto con el que impresionaba a sus invitados. Marco Polo, en su relato de viajes por Asia, nos habla de unas prendas que se limpiaban y quedaban blancas echándolas al fuego. La idea de añadir amianto al cemento para darle más resistencia (fibrocemento, popularizado en España por la empresa Uralita, rebautizada Coemac desde 2015, para hacer borrón y cuenta nueva) tampoco es demasiado moderna, ya que se ha encontrado cerámica prehistórica que lo incorpora.

Minerales de amianto

Por amianto o asbesto se designan ciertos silicatos cristalizados en fibras que gozan de flexibilidad cuando son separadas. Hay básicamente dos grupos mineralógicamente hablando: el serpentínico, por su composición química similar a las serpentinas y frecuente las rocas a las que dan lugar, siendo el crisotilo el amianto más representativo del grupo; y el anfibolítico, englobado por su estructura entre los anfíboles, siendo la tremolita el asbesto más significativo en esta clase. Hay más minerales entre los amiantos, pero afinar en la clasificación más allá de los dos grupos descritos es difícil.

Crisotilo en fibras compactas, Alhaurín (Málaga).

Las rocas serpentínicas se forman por alteración de materiales procedentes del manto de la Tierra, como las peridotitas y ofiolitas. Su típico color verde está presente en las fachadas de muchos edificios. Cerca de Lubrín (Almería) hay una cantera abandonada de serpentina y cantos rodados de esta roca procedentes de Sierra Nevada llegan hasta a la cuenca de Orce (Granada). Esto lo digo como simple curiosidad, ya que raramente contienen amiantos. Es en Málaga donde está la mayor concentración de serpentina del país, producida por una gran masa de peridotitas en grado variable de alteración. Por allá, entre Alhaurín de la Torre y Alhaurín el Grande, en un corte de la carretera encontré un filón de crisotilo blanco de donde proceden las muestras de mi colección.

Tremolita, con las fibras deshilachadas en el extremo izquierdo, Carrascoy (Murcia).

En cuanto al amianto anfibolítico, lo he encontrado asociado a las metabasitas de Carrascoy. Las metabasitas son rocas intrusivas que han sufrido metamorfismo posterior. En la Región de Murcia aparecen ligadas a materiales béticos de edad triásica. A pesar de su color verde, no hay que confundir las metabasitas con las ofitas, también de edad triásica y composición mineralógica similar, que aparecen en el prebético pero sin metamorfizar. En las metabasitas de la Región se encuentran filoncillos de epidota y tremolita, esta última en fibras de color gris. Adjunto un artículo firmado por Rafael Arana, entre otros, mencionando la serie actinolita-tremolita en un afloramiento de metabasitas de la sierra de Carrascoy.

Riesgos del amianto

El amianto es nocivo por inhalación de su polvo. Las fibras del mineral quedan en los pulmones, provocando inflamación en primer lugar, produciendo tejido cicatrizado que reduce la capacidad respiratoria (asbestosis) y llegando, en casos de exposición persistente, a cáncer de pulmón y mesotelioma. Por este motivo el uso y comercialización del amianto están prohibidos en España y gran parte de los países civilizados. No obstante, la legislación fue muy progresiva: prohibición del amianto azul (crocidolita, el más nocivo de los amiantos) 1984, la del amianto marrón (amosita) 1993, la del amianto blanco (crisotilo) 2001, finalmente, la prohibición de todo tipo de amianto en 2006 (fuente Gestión Del Amianto). Entre la gente famosa cuya muerte es achacable al amianto destaca el actor Steve McQueen.

Cubierta de fibrocemento en una antigua instalación industrial.

Una vez establecida la peligrosidad del amianto, hay que insistir en que su toxicidad se limita a la vía respiratoria. No se trata de una substancia radiactiva o difusible químicamente. Y sin embargo, se trata como tal a la hora de eliminarlo… si es que se hace legalmente, claro. La mayor parte del amianto a retirar procede de cubiertas, canalones, tuberías, depósitos y similares fabricados con fibrocemento. También lo hay en forma de aislamiento para edificios, pero ese uso nunca ha sido muy popular por estos lares, así como en algunos componentes de automoción por su estabilidad a altas temperaturas.

Canteras con amianto en la Región de Murcia

Mientras las autoridades centran su política anti-amianto en el desmantelamiento de cubiertas de edificios, parecen olvidar que el amianto es un mineral que puede aparecer de manera natural entre las rocas de uso industrial. Este es el caso de las canteras de metabasitas, comercializadas como pórfidos, en distintos grados de trituración: balasto para carreteras o ferrocarriles, rocas para cimentaciones y mampostería, incluso ornamentales.

Cantera FULSAN «Pórfidos Internacionales de Alhama», en un extremo de la Sierra de Carrascoy. Los acopios de metabasita se pueden distinguir a la derecha por el color grisáceo. A la izquierda, materiales carbonatados con gran impacto visual.

La cantera FULSAN de Alhama de Murcia ha sido una de las principales fuentes de difusión de amianto de la Región de Murcia. Supongo que esto es justificable desde la ignorancia, al igual que la brutal ampliación de la cantera acometida en 2013 (ver el comunicado de ANSE) lo es desde la prepotencia. Desconozco la situación actual de la explotación. Al parecer, la empresa entró en concurso de acreedores en 2019, pero su balasto con amianto gris (tremolita) puede verse todavía en las vías de tren de la Región (ver la foto abajo tomada hace unos días). Una metabasita parecida se explota en canteras de la Sierra de Enmedio, no muy lejos de Puerto Lumbreras.

Vetilla de tremolita en fragmento de metabasita procedente del balasto de una vía de tren de la Región de Murcia. En ese mismo tramo de vía recuerdo haber visto masas mayores de tremolina deshilachada.

Actualmente, según me informan, en las canteras realizan un seguimiento periódico de los productos extraídos que incluye un estudio mineralógico donde se puede detectar las substancias peligrosas. Esto se lleva a cabo incluso en las canteras de caliza, a priori, más inofensivas. Ignoro si la tremolita está repartida más o menos regularmente en la masa de metabasitas explotables, pero una supervisión es necesaria para descartar el material o darle un uso adecuado.

Despropósitos finales

Mi intención con este post no es alimentar el pánico ni la paranoia sobre el amianto. Tampoco quiero contribuir al buen balance económico de las empresas descontaminadoras nacidas al abrigo de la normativa anti-asbestos. No obstante, aún podemos encontrarnos situaciones como la mostrada en la última foto: una enorme acumulación de balasto de metabasita, posiblemente procedente del desmantelamiento de vías de tren, removida por la maquinaria en las inmediaciones de una población murciana.

Acumulación de balasto de metabasita en las inmediaciones de una población murciana.

En general, el uso que se le da a las metabasitas con posible contenido en amianto no implica ningún riesgo para la mayor parte de la población. Sólo los trabajadores, ya sea en las canteras o en la manipulación, son los que tienen mayor riesgo de exposición al tóxico polvo. No obstante, en caso de tener que retirar metabasitas sospechosas de asbesto, no hay mejor sitio para una roca que volver al suelo de donde salió. Rociar abundante agua para evitar el polvo durante la manipulación, con algún aglomerante cuyo efecto dure tras la evaporación: sulfato o carbonato cálcicos, que precipiten sobre las fibras, o engrudo de almidón diluido, dependiendo de la situación.

Minerales y Matemáticas

Con motivo de la declaración de marzo como mes de las Matemáticas disfrutamos en el vestíbulo de nuestra Facultad una exposición fotográfica titulada «Geometría Natural», cuyo comisario es el Prof. Ángel Ferrández. Entre la selección no había imágenes de minerales. Desconozco si es por que ésta se ha limitado a organismos vivientes, o quizás porque las fotos de cristales imitando poliedros es un recurso demasiado manido… A mí no me cabe la menor duda de que los minerales son tan naturales como la tela de una araña. Para remediar la situación, decidí seleccionar algunas fotos de mis minerales con connotaciones matemáticas y añadirlas de extranjis, como Banksy en sus buenos tiempos, antes de cotizar en Sotheby’s. Esas fotos aparecen aquí, junto con unas cuantas más, para ilustrar la relación entre Minerales y Matemáticas.

Minerales: ¿únicamente poliedros?

Hay que decir que los poliedros que aparecen como cristales no son poliedros arbitrarios, sino que siguen ciertos patrones estudiados por la Cristalografía. Las formas aparecen como consecuencia del empaquetamiento regular de las moléculas condicionando la disposición de los planos que limitan las caras y los elementos de simetría. Pero además de cristales, hay agregados de estos que muestran otro tipo de patrones que evocan igualmente nociones matemáticas como la de fractal. Animo al lector que visite la galería por si descubre más motivos matemáticos entre las fotos de mi colección.

El icosaedro de pirita de casi 4 cm de diámetro recogido en Puebla de Lillo (León), una de las piezas más icónicas de mi colección. En este artículo describo matemáticamente la disposición de sus veinte caras.
Piritoedros (rombo-dodecaedros) de pirita en matriz, Caravaca (Murcia). Los piritoedros de Caravaca (Rambla del Piscalejo) son para mí los más bellos de la mineralogía española.
Octaedro de magnetita en matriz, Torre Pacheco (Murcia). Las piezas masivas de magnetita del Cabezo Gordo están consisten frecuentemente en agregados de octaedros milimétricos.
Curioso cristal cúbico compuesto de agregados octaédricos, Ricote (Murcia). La formación de esta pieza debió ocurrir en condiciones físico-químicas inestables oscilando alrededor de la frontera entre las dos formas..
Cristal de pirita, forma combinada de cubo y octaedro, Navajún (La Rioja). En este caso, las condiciones de formación fueron más estables, pero también en la frontera entre ambas formas.
Macla de cristales cúbicos de pirita, con leve pátina de óxido, Navajún (La Rioja). A veces el criterio para seleccionar ejemplares es más bien de tipo artístico y en este caso me he dejado llevar por el parecido con algunas obras de Chillida.
Pseudo-tetraedro de calcopirita, dentro de una geoda de siderita en romboedros, procedente de la Sierra de Filabres (Almería). Con el tetraedro, completamos la aproximación mineral a los cinco sólidos platónicos.
Granate almandino, en forma de trapezoedro de 24 caras, Níjar (Almería). La Luz transmitida permite apreciar su extraordinario color, pero hace difícil ver las aristas del poliedro.
Cristal de cuarzo hialino rematado en pirámide hexagonal, Albatera (Alicante). Lo bonito de esta pieza es que el cristal sólo se ve a gracias al reflejo de sus caras.
Agregados esferoidales de prehnita (Cehegín, Murcia). Las esferas aparecen como resultado del crecimiento radial de los cristales de este silicato.
Aragonito en prisma pseudo-hexagonal, Minglanilla (Cuenca). Si se miran bien sus caras laterales descubriremos por qué nos referimos como pseudo-hexagonal. En efecto, estos cristales son el resultado del agregado de tres primas rómbicos.
Yeso, cristal totalmente desarrollado, Utrillas (Teruel). El yeso cristaliza en el sistema monoclínico, que no tiene demasiados elementos de simetría, si bien da para varios pares de caras paralelas y un “centro”.
Cuarzo, prisma hexagonal rematado por sendas pirámides en matriz de yeso, Ricote (Murcia). Aunque el primas es hexagonal en una buena aproximación geométrica, realmente su simetría es ternaria.
Nódulo elipsoidal de barita iluminado con luz UV mostrando una trama fractal, Caravaca (Murcia). Es posible (me quedo con la hipótesis en lugar de partir el nódulo) que la trama sea consecuencia de un agrietado por retracción, como el de los nódulos septarios.
Granate melanito, cristal rombo-dodecaédrico, Cehegín (Murcia). Como se puede ver, la palabra dodecaedro en mineralogía resulta confusa si no se especifica la forma de las caras.
Cubo deformado de pirita, Navajún (La Rioja). Es innegable la estética de este tipo de piezas.
El cristal de la izquierda es un octaedro tallado de fluorita, mineral que en la naturaleza se presenta generalmente en cubos, pero se exfolia siguiendo planos paralelos al octaedro. El cristal de la derecha no es tallado, sino natural y se trata de magnetita de Brasil. Ambas piezas proceden del comercio.
Crecimiento fractal de psilomelana, observado en una fachada de Bolnuevo (Mazarrón). Las dendritas de óxido de manganeso, mal llamadas «de pirolusita» en muchos textos, se desarrollan en planos de diaclasado como fractal que imita motivos vegetales.
Fragmento de un nódulo esférico de marcasita alterado en limonita, Picos de Europa (Cantabria). Queda el vestigio de los cristales radiales que convergen en un único punto.
Ágata, Iguazú (Brasil). A pesar de la exótica procedencia, la recogí yo mismo. La roca volcánica alrededor de las famosas cataratas estaba repleta de ágata, pero no pude recoger un trozo mayor. Las líneas recuerdan las curvas de nivel de una función de dos variables.
Quiastolita, una variedad de andalucita que presenta un dibujo cruciforme en sección (pulida), Boal (Asturias). La aparición de la cruz se debe a la variación en «contaminantes» durante el crecimiento del cristal.
Cristales de barita, Mazarrón (Murcia). Los cristales tabulares rómbicos se han replicado en una especie de macla repetitiva, produciendo un borde aserrado.
Cristal de casiterita de localidad desconocida procedente de una colección antigua. Consiste en un prima cuadrangular rematado en pirámide, forma propia del sistema tetragonal.
Cubos de fluorita violeta, Berbes (Asturias). El biselado que se aprecia en las aristas del cubo se debe a una leve combinación con el rombo-dodecaedro.
Romboedro de exfoliación de espato de Islandia, purísima variedad de calcita, procedente del comercio. Por la parte de la izquierda incide la luz solar, que es descompuesta en colores elementales a la derecha.
Rinconcito de los minerales en le exposición fotográfica de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Murcia.

El Sistema Solar

Imagen toda de un viejo libro de texto, explicación al final.

El propósito de este post es destacar ciertos aspectos del Sistema Solar que, como matemático, me resultan interesantes y con la esperanza de alguno resulte novedoso para mis queridos lectores. Esto último no va a ser sencillo… La observación del cielo es tan antigua como la Historia, así como la curiosidad por saber lo que hay ahí arriba (o afuera) es tan inmensa como el Universo. La Astronomía, desde que se diferenció de la Astrología, es una disciplina bien desarrollada y su divulgación una de las populares. También, algunos de los divulgadores de la astronomía alcanzaron una gran fama en vida: Camille Flammarion en el siglo XIX, Carl Sagan en el XX, y más recientemente, Neil deGrasse Tyson. Por este motivo, no es fácil contar algo realmente sorprendente sobre el Sistema Solar.

Uno de los libros con el que aprendí mucha Astronomía en mi juventud… y que ahora apenas recuerdo.

El cielo desde un zigurat

En la antigua Babilonia, los sacerdotes escrutaban los cambios que se producían en el firmamento y lo anotaban todo, de manera que, tras siglos de observaciones, habían descubierto la periodicidad de numerosos fenómenos, incluidos los eclipses. La aplicación más básica era el dominio del calendario, que administraban como un saber hermético, pues el conocimiento del momento preciso de las siembras era fundamental para la economía del estado. Además del sol, la luna y las estrellas, había unos objetos cuya posición y ritmos no seguían las mismas pautas: los planetas. De manera tácita se asumió que sus ciclos debían tener alguna repercusión en lo que ocurría en el suelo y a la búsqueda de esa influencia se la llamó Astrología. Esta conexión resultaba tan “evidente”, que la Astrología no sólo fue tolerada por la Iglesia medieval, sino que también se llegó a enseñar en la universidades.

Maqueta de un zigurat (foto de Wikipedia).

Algunos planteamientos de la Astrología pueden parecernos ahora ridículos desde la ciencia moderna, pero estimularon la observación cuidadosa y cuantitativa del cielo, dando lugar a una disciplina matemática: la Trigonometría. En particular, la llamada Trigonometría Esférica tiene que ver con las relaciones entre las distintas magnitudes de un triángulo esférico, cuyos lados son segmentos de circunferencia máxima. Resulta curioso que los lados de un triángulo esférico se midan como ángulos, pero es lo más adecuado porque esa es la única referencia que podemos tener entre los astros que observamos desde la Tierra. El área de un triángulo esférico es también una medida angular, es decir, relativa, pero recibe el nombre de ángulo sólido. Al igual que la longitud de la circunferencia de radio unitario, 2pi, señala el ángulo lineal máximo, el área de la esfera de radio unidad, 4pi, es el valor del ángulo sólido máximo.

Triángulo esférico, dibujo tomado de Wikipedia.

Quizás el hecho más fascinante (al menos para mí) de los triángulos esféricos es que su área se obtiene simplemente sumando sus ángulos y restando pi al resultado. Esta misma operación daría cero en un triángulo plano (véase mi post Circunferencias y esferas), pero no en un esférico. En un globo terráqueo es fácil trazar un triángulo con un vértice en el Polo Norte y los otros dos en el ecuador, de manera que sus tres ángulos son rectos. La fórmula del área arroja un valor de pi/2, que es una octava parte de la esfera (y de 4pi, obviamente). Curiosamente, la fórmula del área de los triángulos esféricos se puede deducir sin apenas conocimientos geométricos usando una fórmula combinatoria que expresa la medida de la unión de tres conjuntos: súmense todas las áreas, réstense las áreas de las intersecciones dos a dos y, finalmente, súmese el área de la intersección de los tres conjuntos.

Demostración de la fórmula del área de un triángulo esférico.

Dice con bastante ironía Jean Dieudonné, uno de los miembros del influyente grupo matemático Bourbaki, que la Trigonometría actualmente sólo interesa a tres colectivos: a los astrónomos, a los agrimensores y a los autores de libros de Trigonometría. No obstante, la Trigonometría Esférica proporciona un modelo fácilmente comprensible de una Geometría no euclidiana en la que los triángulos de pequeñas dimensiones son muy parecidos a los triángulos planos, pero a medida que aumenta la escala también aumentan las diferencias. ¿No pasará lo mismo en el Universo? En efecto, a nuestra escala (o la de nuestros instrumentos de medida) nos parece euclidiano, pero podría no serlo globalmente… Albert Einstein nos abrió ese melón.

La cuarta ley de Kepler

Si pensamos en las leyes de Kepler, recordaremos al menos tres de ellas: la primera describe la forma de las órbitas de los planetas alrededor del sol; la segunda explica las variaciones de velocidad de un planeta a lo largo de su órbita; finalmente la tercera relaciona los tamaños de las órbitas de dos planetas con la duración de su revolución alrededor del sol. Pongamos un ejemplo de esta última, si un planeta tiene una órbita cuyas dimensiones duplican las de, por ejemplo, la Tierra, su año será 2.83 veces mayor que el nuestro (1033 días terrestres). Ya comentamos en nuestro post Elipse que Isaac Newton dio la demostración matemática de las leyes de Kepler a partir de su ley de Gravitación Universal.

Ilustración del Mysterium Cosmographicum de Kepler (foto de Wikipedia).

¿Qué es lo que falta en el conjunto de las tres leyes de Kepler? La respuesta más obvia, quizá, es que no proporcionan ninguna información sobre la disposición relativa de los planetas. En aquel momento, sólo se conocían seis: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. A falta de una hipótesis mejor, Kepler relacionó los planetas con los sólidos platónicos, es decir, los cinco poliedros regulares (convexos, hay que especificar), que inscritos y/o circunscritos en cierto orden en seis esferas producen unos radios cuyas proporciones, dentro de cierto margen de error, coincidían con las de las órbitas planetarias. Desde el punto de vista moderno, el modelo Kepleriano puede parecernos algo carente de fundamento, pero en realidad está haciendo algo que los matemáticos seguimos haciendo todavía: buscar patrones.

Tabla comparando las distancias predichas por la ley de Titius-Bode con las reales, tomada de J. Febrer Carbó y E. Cabal Dalby «Lecciones de Astronomía Elemental», Reverté Barcelona (1948).

Encontrar un buen patrón depende mucho del conocimiento acumulado. La hipótesis de la elipse, por ejemplo, funcionó y pudo justificarse a posteriori, pero la distancia relativa entre planetas del Sistema Solar necesitaba una aproximación menos mística. El astrónomo alemán Johann E. Titius propuso que las distancias relativas al Sol estaban en progresión (esencialmente) geométrica, salvo por dos detalles: una corrección particular para Mercurio; y una “laguna” entre Marte y Júpiter. Otro alemán, Johann D. Bode que da también su nombre a esta ley, propuso que el hueco entre Marte y Júpiter correspondía a un planeta que aún no había sido observado. Hay que decir que en ese momento no se había descubierto aún Neptuno, planeta para que la ley de Titius-Bode falla estrepitosamente. Un grupo de 24 astrónomos, en su mayoría alemanes, se lanzó a la búsqueda del supuesto planeta intermedio entre Marte y Júpiter. En la Nochevieja de 1800 a 1801 apareció, por fin, un diminuto planeta: Ceres.

Ceres, más pequeño que nuestra luna, no tiene atmósfera ni actividad geológica, por lo que su superficie está cubierta de cráteres producidos por el impacto de meteoritos (foto de Wikipedia, como no).

El descubridor de Ceres fue el italiano Giuseppe Piazzi que pudo seguir al planetoide durante un mes aproximadamente, hasta que cayó enfermo. Después, la pista de Ceres se perdió y nadie fue capaz de encontrarlo… Hasta que llegó Carl Friedrich Gauss, el más grande matemático del siglo XIX (por no decir de todos los tiempos, estas comparaciones son delicadas), y con las observaciones de Piazzi, que representaban un 1% de la órbita de Ceres, realizó complejos cálculos con un método de su propia invención y dijo a los astrónomos hacia dónde debían enfocar sus telescopios en diciembre de ese mismo año. El planeta apareció exactamente donde dijo Gauss que aparecería… bueno, con medio grado de error 😕

Carl Friedrich Gauss

El misterioso método de Gauss incluía el ajuste con mínimos cuadrados, que hoy día es una técnica estándar para hacer predicciones a partir de cierto número de medidas experimentales. Sabemos también que Gauss en su estudio de las órbitas planetarias usó un algoritmo llamado transformada rápida de Fourier (FFT), años antes de que Joseph Fourier en persona definiera su transformada (sin la etiqueta “rápida”) y con más de un siglo de anticipación sobre Cooley y Tucker, los “inventores oficiales” de la FFT: así era Gauss. Para cerrar esta sección, después de Ceres, se descubrió en órbitas cercanas otros pequeños planetas: Palas, Juno, Vesta… la cuenta va por miles, pero cada vez más diminutos y ya nada redondos. Es esas circunstancias, la noción de planeta debía definirse de manera precisa por lo que Ceres quedó fuera de la lista y nos referimos en su lugar al cinturón de asteroides. Por cierto, el mismo criterio provocó la expulsión de Plutón en 2006 de la lista oficial de planetas del Sistema Solar. Plutón resulta ser parte de un cinturón de asteroides exterior llamado de Kuiper.

El problema de los tres cuerpos

Nos ocuparemos ahora de una cuestión de Mecánica Celeste. Notemos primero que, realmente, las elipses son soluciones exactas para las ecuaciones Newtonianas del movimiento cuando se considera un sistema de dos cuerpos (el Sol y un planeta). Matemáticamente, el problema se reduce al de una sola masa en un campo gravitatorio central y puede resolverse dando la posición exacta del planeta en cada momento. Cuando hay tres cuerpos interactuando mútuamente entre sí, la dificultad del problema aumenta considerablemente y no es posible dar una solución explícita de las órbitas… y no digamos ya cuando se tiene un número mayor de cuerpos como el propio Sistema Solar.

ISS, foto tomada de Wikipedia.

El llamado problema de los tres cuerpos se puede abordar con distintas simplificaciones. Una de ellas es suponer que dos de los cuerpos no son demasiado masivos para despreciar su interacción mutua. Evidentemente, cada uno de los cuerpos pequeños seguirá el modelo elíptico, si es que permanecen confinados en sus órbitas, pero es posible que nos interese saber como se moverá uno respecto al otro. Si las órbitas de estos dos cuerpos son suficientemente próximas, podemos considerar una como perturbación de la otra. Esto permite deducir resultados aparentemente sorprendentes como el siguiente: imaginemos que un astronauta da un salto desde la Estación Espacial Internacional (ISS) de manera que se aleja de ella flotando en el vacío. No pasa nada, en alrededor de 45 minutos volverá a la ISS. En efecto, la trayectoria del astronauta (alrededor de la Tierra) es una elipse de dimensiones similares a la que traza la ISS y, por lo tanto, con el mismo periodo.

Situación de los puntos de Lagrange, los estables son L4 y L5 (tomado de Wikipedia).

Consideremos ahora un sistema compuesto de dos objetos masivos y un tercero mucho menor. En este caso, el problema de los tres cuerpos admite unas soluciones curiosas: existen dos puntos relativos a la posición de las masas mayores (moviéndose con ellas) donde una tercera masa quedaría en una posición estable. Estos son los llamados puntos de Lagrange estables (hay otros puntos estacionarios, pero son inestables), que actúan como receptáculos de pequeñas masas a la deriva, los llamados asteroides troyanos. Desde la predicción hecha por el matemático ítalo-francés Joseph-Louis Lagrange, se tardó casi un siglo en poder observarlos. En el Sistema Solar, Júpiter acapara casi todos los troyanos. Obviamente, es el segundo cuerpo más masivo después del Sol, y junto con él forma un potente atractor de troyanos.

Kolmogorov, Arnold y Moser

Lo cierto es que los planetas del Sistema Solar se influyen unos a otros, quizás no tanto como para marcar la vida de un recién nacido, pero sí como para inquietar a los astrónomos sobre un cataclismo en el futuro. Por ejemplo, el descubrimiento de Neptuno fue posible gracias a las perturbaciones que provocaba en la órbita de Urano. A su vez, el planetoide Plutón fue descubierto por las perturbaciones que provocaba sobre Neptuno. Las elipses que describirían teóricamente los planetas alrededor del sol según el modelo de dos cuerpos, están “abolladas” consecuencia de esta mutua interacción.

Neptuno, fotografiado por el Voyager (foto de Wikipedia)

Si bien el efecto de la interacción entre dos planetas dados puede parecer pequeño puntualmente, su efecto prolongado a lo largo del tiempo podría acumularse. A medida que los dos planetas orbitan alrededor del sol se producen alternativamente situaciones de máximo acercamiento y máximo distanciamiento. La atracción gravitatoria entre ellos, mayor durante la máxima proximidad, se convierte en una fuerza pulsante. Hay situaciones en las que una pequeña fuerza ejercida periódicamente causa un gran efecto a largo plazo: imaginemos un columpio al que se le da un pequeñísimo impulso cada vez que comienza a alejarse. Al cabo de un rato, el columpio ejecuta grandes oscilaciones. Este fenómeno se conoce como resonancia y ocurre cuando la frecuencia de la fuerza coincide o está muy próxima a la frecuencia natural del sistema al que se aplica.

Uno de los párrafos del libro de V. I. Arnold «Mecánica Clásica» (Paraninfo, Madrid, 1983) del apéndice donde explica la teoría KAM. La dificultad del tema, unida a una peculiar traducción, produce un cierto desánimo…

Andrei Kolmogorov, uno de los matemáticos rusos más importantes del siglo XX, comenzó el estudio de la posible resonancia en sistemas dinámicos como el constituido por el Sistema Solar. Este estudio fue continuado por su discípulo Vladimir Arnold y el alemán Jürgen Moser. El teorema KAM (por las iniciales de los matemáticos mencionados) dice, aplicado a los planetas, que las órbitas serán estables cuando el cociente de sus frecuencias es muy irracional en un sentido tan preciso como técnico para ser expuesto aquí. A mis colegas matemáticos puedo decirles que la condición KAM recuerda ligeramente la definición de los números transcendentes de Liouville. En lo que respecta al Sistema Solar, la mayor parte de los cataclismos por resonancia ocurrieron en una etapa inicial, y los cocientes de las frecuencias de los planetas actuales están lejos de ser conmensurables. No hace mucho, la matemática italiana Gabriella Pinzari realizó una mejora substancial del teorema KAM.

Concluyendo

Recuerdo como si fuera ayer aquella noche de invierno de 1976 cuando vi por primera vez la ilustración* con la que he comenzado este post. Todavía me dura el abrumador sentimiento de pequeñez y vacío que me provocó. Por eso no puedo evitar tener cierto apuro cuando miro la noche estrellada reconociendo constelaciones y buscando luceros. A pesar de que cada vez es más difícil disfrutar del cielo nocturno, que se le ha declarado la guerra a la oscuridad, la noche estrellada está ahí, envolviéndonos, para que mientras miramos al infinito, sigamos haciéndonos las preguntas más fundamentales de nuestra existencia.

La noche estrellada de Van Gogh.

(*) El libro es «Geografía Universal» (Antonio M. Zubia, Ed. S.M. 1967) de 2º de bachillerato, un libro de texto que usó mi hermana.

Área

Hubo un tiempo en el que el referente en divulgación matemática era Martin Gardner. Es difícil encontrar a alguien que haya hecho más por hacer llegar las curiosidades y paradojas de las Matemáticas, clásicas o contemporáneas, al público en general. Lo más curioso, es que Martin Gardner no tenía estudios reglados de Matemáticas más allá de la high school. Ahora la divulgación matemática se ha erigido en disciplina y los divulgadores profesionales son básicamente monologuistas temáticos. No sé hasta que punto los divulgadores especializados más conocidos de nuestro país (Claudi Alsina, Clara Grima, Eduardo Sáenz de Cabezón, Marta Macho, Santi García Cremades…) están contribuyendo a las vocaciones matemáticas. En este sentido, yo sólo puedo hablar del tipo de cosas con las que a mí me «engancharían» si fuera un joven indeciso. Este post es un ejemplo: hablemos del área.

Portada de uno de los libros más populares de Martin Gardner, «Paradojas», Labor (1989).

Matemáticas en la barra de un bar

En mi post Matemáticas y matemáticos di una versión excesivamente pesimista de qué significa ser matemático entre gente que no lo es. Lo cierto es que muchas veces disfrutamos tanto con nuestro oficio que podemos llegar a hacer apostolado de nuestra ciencia en los bares y entre cervezas. Mucha gente recuerda el Teorema de Pitágoras de los triángulos rectángulos con detalle suficiente como para enunciarlo en términos de catetos e hipotenusa. Pero nadie recuerda el motivo por el cual el teorema es cierto, en muchos casos, porque nunca le han enseñado una demostración. Es decir, como se deduciría el Teorema de Pitágoras a partir de hechos más elementales.

Esto es una prueba del teorema de Pitágoras basada en la noción de área. El dibujo es algo cutre, tal como quedaría tras dos cervezas o más…

En ese momento se saca el bolígrafo y sobre una servilleta se hacen los dos dibujos representados arriba con la idea de demostrar que el triángulo rectángulo de lados a, b, c satisface el Teorema de Pitágoras. Los dos cuadrados grandes, de lado a+b, tienen igual área porque son iguales. Si de cada cuadrado se retiran los cuatro triángulos, todos ellos iguales al triángulo rectángulo de lados a, b, c original, lo que quede tras la sustracción deberá tener igual área: a la izquierda quedan dos cuadrados de lados a y b; a la derecha queda un cuadrado de lado c. Por lo tanto ab2 = c2 ¿No es sorprendentemente sencillo?

Demostración del Teorema de Pitágoras basada en semejanza de triángulos, tomada de Coxeter «Fundamentos de Geometría», LIMUSA-WHILEY (1971).

Sin embargo, el «principio de conservación del área» al que hemos apelado parece más sencillo que el Teorema de Pitágoras porque es una extrapolación de nuestra experiencia cotidiana: si un kilo de harina se separa en tres porciones y se pesan cada una de ellas con la mayor precisión posible que puede proporcionar una báscula digital de cocina podemos asegurar que los tres números sumaran 1000 gramos, y si el resultado es inferior (999 ó 998) será culpa del redondeo o de algo de polvo de harina que se ha derramado. La Ley de Conservación de la Materia en el contexto químico fue formulada por Lavoisier y Lomonosov, independientemente en el siglo XVIII, y corregida por Einstein añadiendo el balance energético por medio de la fórmula de conversión E=mc2.

Unas cervezas después…

Queremos convencer a nuestro interlocutor de que la noción de área en Matemáticas posiblemente no se comporte con la misma fiabilidad que la materia en el mundo real. Le preguntamos por el área del triángulo y responde casi sin pensar «la mitad de la base por altura»… Pero eso dependerá de como esté apoyado el triángulo ¿no? – podríamos argumentarle. Aprovechamos el breve momento de desconcierto para tomar una nueva servilleta de papel y lanzar un nuevo ataque en forma del siguiente dibujo.

Cuadrado de lado 13 descompuesto en triángulos y trapecios.

Partimos de un cuadrado de lado 13 y se descompone en piezas tal como se muestra arriba. Si se tuviera una regla y unas tijeras, se podría llevar a la práctica la reorganización de los trozos de papel que ilustra el siguiente dibujo.

Reorganización de los trozos de la descomposición del cuadrado de lado 13.

¿Qué tiene esto de particular? El cuadrado original de lado 13 tiene área 169 mientras que el rectángulo de dimensiones 21×8 tiene área 168… algo no cuadra. Tenemos tanta confianza en la conservación del área que seguro que hay truco. En efecto, la aparente diagonal del rectángulo no es una línea, sino que tiene área positiva, ya que los triángulos y los trapecios no están perfectamente alineados. Sin embargo, la diferencia es tan sutil que queda encubierta por la tinta del bolígrafo, o por la imperfección del corte del papel si se ha llevado a la práctica. Por cierto, este ejemplo lo aprendí en el libro de Martin Gardner que menciono al principio.

Otro «truco» de recomposición de rectángulos en el libro de Martin Gardner, en este caso, para hacer desaparecer una quemadura de un alfombra.

El área de los polígonos

A nuestros colegas del bar hay que dejarles claro que si bien el área satisface un cierto principio de conservación, se trata de una cuestión delicada y que es preferible remitir la prueba del teorema de Pitágoras a argumentos más simples como la semejanza de triángulos. En cuanto a las magnitudes, es decir, longitudes, ángulos, áreas, volúmenes…, lo que se hace es atribuir un número, llamado su medida, que dependerá de la unidad que se establezca y de la complejidad del objeto a medir. Para no desviarnos mucho del asunto, seguiremos con la fundamentación rigurosa de la noción de área.

Comienzo del capítulo dedicado al área en el «Curso de Geometría Métrica» de Pedro Puig Adam.

En un nivel elemental, puede demostrarse que a los polígonos del plano se les puede asignar una medida de área que cumple la «ley de conservación» siguiente: si un polígono se descompone como unión de una cantidad finita de polígonos que no se solapan, entonces la suma de sus áreas es la del polígono inicial. Esto es un teorema, como el de Pitágoras, que debe ser demostrado en el marco de las Matemáticas, es decir, sin pretender que los polígonos puedan ser recortados en chapa de acero, por ejemplo, y apelar a la Ley de Conservación de la Materia.

Página de «Figuras equivalentes y equicompuestas» de V. G. Boltianski, Ed. MIR (1981).

Naturalmente, si dos polígonos pueden descomponerse en los mismos trozos no solapados deben tener igual área. El recíproco resulta ser también cierto, es decir, si dos polígonos tienen igual área, entonces es posible descomponer uno de ellos en trozos de manera que, reorganizados convenientemente, se obtiene el otro polígono. Este es el llamado teorema de Bolyai-Gerwien. Notemos que «reorganizado convenientemente» significa que los trozos son trasladados y rotados, como haríamos con las piezas de un puzzle. Un refinamiento debido a Hadwiger y Glur establece que bastan traslaciones y rotaciones de 180 grados. Los matemáticos son bastante dados a los “refinamientos”, en este caso no referimos a buscar las hipótesis más débiles a partir de las cuales se puede obtener una misma conclusión.

Los problemas de Hilbert

Durante el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 en París, el insigne matemático alemán David Hilbert formuló 23 problemas que él consideraba interesantes como “propósitos de siglo nuevo”. Y, en cierto modo, alguno de esos problemas fue fundamental como guía o inspiración de las Matemáticas del siglo XX. Sin embargo, el problema número 3 fue resuelto ese mismo año por, Max Dehn, un alumno del propio Hilbert. El problema consistía en saber si un cubo se podía descomponer el poliedros de manera que reorganizándolos se pudiera obtener un tetraedro, obviamente del mismo volumen.

Descomposición de un cubo en varios poliedros, tomado del libro de Boltianski citado arriba.

La solución de dada por Dehn fue negativa, es decir, cubo y tetraedro del mismo volumen no son equidescomponibles. Las pruebas de imposibilidad son, por lo general, mucho más sutiles que las de posibilidad. De manera similar, las desigualdades en Matemáticas suelen ser más profundas que las igualdades (hablo de fórmulas). El resultado de Dehn muestra que no puede haber una «teoría elemental» del volumen de poliedros análoga a la del área de polígonos del plano. Para relacionar el volumen de una pirámide con el de un prisma de igual base y altura hay que cruzar un abismo conceptual parecido al que separa un círculo de un polígono regular de igual área. Hay que hacerse a la idea de que los polígonos o los poliedros no llegan demasiado lejos… Pero ¿qué objetos geométricos son susceptibles de ser medidos?

La Teoría de Conjuntos

Los polígonos y otros objetos geométricos del plano son conjuntos de puntos. Esto puede parecer una obviedad, pero adoptar el punto de vista conjuntista fue uno de los mayores avances en las Matemáticas. A partir de conjuntos dados, se pueden formar otros usando operaciones como la unión o la intersección, resultando conjuntos cada vez más complejos. La Teoría de Conjuntos creada por George Cantor a finales del siglo XIX tuvo un profundo efecto en la fundamentación de las teorías matemáticas en el siglo XX, que alcanzó incluso a las matemáticas escolares.

G. Pappy «Matemática Moderna», EUDEBA (1972), libro de Matemáticas para las escuelas con una notable insistencia en el leguaje de la Teoría de Conjuntos.

Podemos plantearnos si el área de un conjunto tiene relación con la cantidad de puntos que contiene, ya que, aparentemente, un conjunto mayor tiene más puntos que uno más pequeño, a pesar de que ambos pueden tener infinitos puntos. Aunque este no es el sitio para reproducir las discusiones de los antiguos filósofos griegos sobre la noción de infinito, la infinitud de los números o los puntos de una recta nos resulta obvia. Uno de los descubrimientos de Cantor fue que había infinitos de distintos tamaños. De hecho, demostrar que hay más puntos en un segmento de recta que números naturales (1, 2, 3…), o que un cuadrado y un segmento tienen la misma cantidad de puntos, se puede hacer en la barra de un bar sobre una servilleta…

El «Hotel del Infinito», historieta inventada por David Hilbert para ilustrar la noción de infinitud, tal como se encuentra expuesta en el libro de Martin Gardner.

Las paradojas a las que da lugar el infinito son muy interesantes (véanse las Paradojas de Zenón o el Hotel del Infinito de Hilbert, ilustración de arriba), pero no quiero desviarme demasiado del tema. El área, realmente, no tiene mucho que ver con la cantidad de puntos (como se pudo mostrar sobre una servilleta), pero entre los diferentes infinitos usaremos el más pequeño, esto es, el de los números naturales (insisto, los números de contar: 1,2,3…). Diremos que un conjunto es numerable si sus elementos se pueden etiquetar usando los números naturales. Notemos que esta definición incluye los conjuntos finitos, pero no insistiremos mucho en la diferencia, ça va de soi.

Viñeta, «politicamente incorrecta» hoy día, tomada de George Gamow «One, two, three… infinity», Dover (1974).

La Teoría de la Medida

Un círculo puede expresarse como una unión numerable de triángulos: primero un triángulo equilátero inscrito; después se añaden tres triángulos isósceles cuyas bases sean los del primero y sus vértices tocan la circunferencia; después, seis triángulos más ocupando cada una de las lúnulas no cubiertas por el hexágono resultante… El proceso de rellenado por triángulos del círculo puede verse en la siguiente ilustración. La numerabilidad es consecuencia de que en cada paso se añade una cantidad finita de triángulos.

Cómo rellenar un círculo con triángulos (imagen tomada de Scielo http://ve.scielo.org/scielo.php)

Aunque es un ejemplo particular, el mismo argumento se puede emplear para rellenar con polígonos cualquier figura limitada por curvas. Esto nos induce a pensar que si el área fuera «numerablemente aditiva» se simplificaría, por lo menos a nivel teórico, las relaciones entre las áreas de conjuntos del plano, a costa de sustituir las sumas finitas por series. Es decir, si un conjunto se expresa como una unión numerable de partes disjuntas, el área del total se expresará como la suma finita o infinita (serie) de las áreas de las partes. No es razonable tratar de ir más lejos, a la hora de tomar uniones, del infinito numerable. En efecto, cualquier polígono es una unión de puntos, cada uno con área cero, y no hay forma de conseguir un número positivo a base de sumar ceros 😕

Ejemplos de series (sumas infinitas) tomado de Brohshtein y Semendiaev «Manual de Matemáticas para ingenieros y estudiantes», MIR (1973).

A la vez que se admiten uniones numerables, la complejidad de los conjuntos aumenta y la noción de «área» se vuelve menos intuitiva. No obstante, Henri Lebesgue demostró en 1904 que hay una forma coherente de asignar medida a familias de conjuntos de la recta, del plano o el espacio, sin restricción por operaciones conjuntistas (uniones, intersecciones, diferencias) en cantidad numerable. La Teoría de la Medida de Lebesgue se continúa y complementa con la integral que lleva su nombre, que es una de las principales herramientas en Análisis Funcional.

El milagro de los panes, los peces y las esferas

El procedimiento que empleó Lebesgue para definir una medida de área aplicable a un gran número de conjuntos del plano era esencialmente constructivo. Si se admite cierta regla no constructiva para la formación de conjuntos, es posible encontrar (realmente, «fabricar») un conjunto no medible. Las regla no constructiva a la que nos referimos es el llamado «Axioma de Elección» de la Teoría de Conjuntos, al que pondremos en contexto en la próxima sección. A pesar de la existencia de conjuntos no medibles en el plano, es todavía posible asignar una medida finitamente aditiva (renunciamos a las uniones numerables y a las series) a los conjuntos del plano de manera que se comporta como el área. Esto fue demostrado en 1923 por Stefan Banach, padre de los espacios que llevan su nombre, haciendo uso del Axioma de Elección.

Ilustración de la Paradoja de Banach-Tarski tomada de Wikipedia.

Pero si nos situamos en el espacio tridimensional, la cosa cambia drásticamente. Banach y Tarski demostraron que una esfera puede descomponerse en una cantidad finita de trozos (10, sin ir más lejos) de tal manera que, convenientemente trasladados y rotados, componen dos esferas, exactamente iguales a la original. Este resultado conocido como la «Paradoja de Banach-Tarski» es el equivalente matemático del célebre milagro de los panes y los peces recogido en los evangelios. Insistimos en que esto es un resultado puramente matemático y no viola la Ley de Conservación de la Materia. La Paradoja de Banach-Tarski implica la imposibilidad de una medida de volumen definida para todos los conjuntos del espacio: asunto cerrado. Por cierto, dije más arriba que las demostraciones de no existencia eran en general más sutiles que las de existencia… me retracto 😉

Y dijo Gödel…

La Teoría de Conjuntos que fundó Cantor se conoce como la «Teoría Ingenua de Conjuntos» (Naive Set Theory, por el libro de Halmos) en la que los conjuntos se manejan como objetos compuestos de elementos previamente existentes y con propiedades nítidas. El carácter sumamente elemental de la noción de conjunto, a partir de la cual se pueden definir las relaciones, los números, las funciones… motivó tomar la Teoría de Conjuntos como «piedra fundacional» de las Matemáticas. Para ello, sería necesario definirla axiomáticamente. La dificultad de la tarea fue puesta de manifiesto por la Paradoja de Russell, que no es más que la versión conjuntista de la más popular «Paradoja del Barbero» (ver ilustración).

La Paradoja del Barbero, según Martin Gardner.

La versión de la Teoría de Conjuntos más aceptada se debe a Zermelo y Fraenkel, siendo el último de los axiomas el de Elección. Por motivos que no voy a desentrañar aquí, el Axioma de Elección se considera como algo opcional por lo que su uso se hace explícito denotando la Teoría de Conjuntos como ZFC (Zermelo-Fraenkel + Choice). Sin embargo, ZFC no es un cimiento de las Matemáticas tan firme como sería deseable. Kurt Gödel en su breve tesis doctoral (1930) demostró que cualquier teoría axiomática que incluya a la Aritmética (dese ZFC por aludida) contiene «proposiciones indecidibles», es decir, afirmaciones cuya veracidad o falsedad no puede ser establecida dentro de los límites de la teoría.

Kurt Gödel con Albert Einstein, en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (Science Photo Library).

El así llamado Teorema de Incompletitud de Gödel abre la puerta a seguir añadiendo axiomas a ZFC, aunque la teoría seguirá siendo incompleta. Tampoco parece algo necesario, porque estas sutilezas afectan únicamente a la Teoría de Conjuntos y no perjudican a las «Matemáticas normales» ni al «mundo real»… ¿O quizás sí? En 2016 tres matemáticos, entre ellos nuestro apreciado David Pérez García (UCM-ICMAT), publicaron un artículo en Nature en el que demuestran que cierto problema de la Mecánica Cuántica (la teoría Física que rige los fenómenos a nivel atómico) es indecidible. Esto fue nada menos que un shock: el principio de Gödel interviene también en las leyes que rigen el Mundo. Sin embargo, que las leyes de los Hombres serán siempre incompletas, es algo que ya tenía más que asumido.

Epílogo

Martin Gardner fue una gran influencia para mí antes de comenzar a estudiar la carrera de Matemáticas. Podría atribuirle parte de responsabilidad en esta decisión, incluso. Ahora yo intento hacer divulgación a mi manera, pero sin olvidar a mis maestros. Sobre el tema de este post, reconozco que por la razonable limitación de espacio, la longitud de los párrafos y la prudencia a la hora de introducir nuevos conceptos, me he dejado innumerables (esta vez la palabra en el sentido de la RAE) detalles, anécdotas, conexiones con otros temas… sin tratar. Si quieren saber más, ¡llévenme a un bar!

También se pueden leer libros… el de la derecha contiene la prueba de la Paradoja de Banach-Tarski.

La Fiebre del Plomo

Página de La Verdad (31/01/21) haciendo alusión a una noticia antigua (artículo de Antonio Botías).

Todo el mundo ha oído hablar de «La Fiebre del Oro» californiana del siglo XIX, en parte, gracias a los muchos westerns hollywoodienses ambientados en ese momento. Pero casi nadie conoce «La Fiebre del Plomo» de Murcia y Almería, un episodio coetáneo y no menos apasionante. No busquen la película porque no la han hecho todavía y dudo que alguna vez la hagan… Este post está basado en lo que le cuento a mis amigos sobre los orígenes y la importancia de la minería del plomo con motivo de alguna visita a las minas de La Unión o Mazarrón.

Plomo y galena

Antes de contar el episodio de la Fiebre del Plomo, sería conveniente dar unas cuantas informaciones previas sobre nuestro metal protagonista. El plomo es un metal gris, blando y pesado (densidad superior a 11 kg/dm3). Se conoce desde la antigüedad, aunque no fue empleado de forma extensiva hasta el advenimiento de la era industrial. Durante mucho tiempo se había usado exclusivamente por su densidad para lastre y proyectiles, con excepciones notables como las láminas de plomo con inscripciones ibéricas. Los romanos arrojaban glandes de plomo con sus hondas, y más modernamente los proyectiles de plomo se han impulsado con pólvora. Gracias a la maleabilidad y cualidades mecánicas del plomo lo encontramos también en cubiertas impermeabilizantes y juntas para amortiguar elementos arquitectónicos. Por ejemplo, en todas las columnas de la Alhambra de Granada hay discos de plomo en los extremos. Sin duda han jugado un papel en la pervivencia del edificio en una zona tan inestable sísmicamente.

Objetos de plomo: pesa de pescador y dos proyectiles antiguos.

El plomo forma parte de la aleación para fabricar los tipos móviles de imprenta, así que es, en parte, responsable de la difusión del saber y la cultura. En el siglo XIX el plomo comenzó a utilizarse extensivamente en la elaboración cañerías, por lo que también fue responsable, en cierta medida, del grado de comodidad alcanzado en las viviendas y el desarrollo de las ciudades. El plomo ya no se usa en tuberías y es sustituido en las instalaciones antiguas cuando hay ocasión. Por motivos similares que comentaremos al final del post, tampoco se usa ya en la munición de caza, ni en forma de ciertos compuestos, como el minio y el albayalde, componentes de pinturas. A pesar de eso, el plomo sigue todavía muy presente en nuestras vidas aunque no lo veamos: cada vehículo con motor de explosión lleva varios kilos de plomo en su batería (acumulador).

Galena en cristales cúbicos, con calcopirita, algún otro sulfuro y cuarzo, de Bulgaria.

El principal mineral de plomo es la galena, de la que ya hemos hablado en Minerales de Mazarrón y Minerales del Valle de Ricote. La galena es un mineral fácilmente reconocible y muy frecuente en las paragénesis de origen hidrotermal, ya sea directamente en filones o yacimientos de sustitución. En el sureste español, la galena responde casi siempre a filones provocados por el vulcanismo neógeno, o a bolsadas y masas estratiformes en dolomías béticas. Mención especial merecen los filones de Linares que arman en granitos. En la Región de Murcia se encuentra galena en todas las minas de las sierras costeras, desde Cabo Palos hasta Águilas. La encontramos también en pedanías del interior de Lorca (Zarcilla, La Paca, Coy), Sierras de Pedro Ponce, Espuña (cerca de Totana), Carrascoy (Algezares, La Murta) y de Ricote, por citar sólo los sitios que conozco de primera mano.

Jarrón de cristal de Bohemia con un 24 % de PbO. En mis primeros viajes a Praga estaba fascinado con este material y siempre regresaba con algún objeto de cristal. El de la foto lo tiene mi madre.

La galena en polvo se usó en la antigüedad para el vidriado de la cerámica, recibiendo el nombre de alcohol de alfareros. De hecho, el óxido de plomo añadido al vidrio aumenta notablemente su índice de refracción, dando el producto conocido popularmente como cristal (especialmente si es de Bohemia o Swarovski). En los contenedores de reciclaje de vidrio se advierte sobre no arrojar cristal por motivo de su contenido en plomo. Acabamos esta sección con un uso peculiar que tuvo la galena en tiempos mas recientes. Un cristal cúbico de galena (ahora «cristal» es en sentido mineralógico) es un semiconductor eléctrico natural, es decir, entre dos caras del cristal, los electrones circulan preferiblemente según uno de los sentidos pero no el opuesto. Gracias a los diodos de galena se construyeron los primeros receptores de radio que, por cierto, no necesitaban suministro eléctrico para funcionar, algo que hoy día vendría muy bien.

Liberalización de la minería

En el primer cuarto del siglo XIX la minería en España estaba todavía en manos de la Corona, bien directamente o por los abusivos impuestos. Esto se traducía en que sólo se explotaban, con medios rudimentarios, unas pocas minas, pero extraordinariamente productivas: Almadén, Rio Tinto, Linares o Guadalcanal, entre otras. Por esos mismos años, los Territorios de Ultramar, o sea, América, se estaban emancipando, también de la Corona. A partir de ahora, las materias primas habría que buscarlas de esta parte del Atlántico, y entre ellas, los metales, esenciales para la incipiente industrialización y modernización del país. En 1825 se produjo la primera de una serie de reformas legislativas que permitirían a los particulares sacar provecho de la búsqueda y explotación de yacimientos mineros.

Fragmento de torta (copela) de litargirio de un escorial en Ramonete (Lorca).

El efecto de la ley no fue inmediato por falta conocimiento y experiencia (el know-how tan cacareado últimamente). Pero, sobre todo, faltaban medios. No era fácil para cualquier emprendedor de la época, con su pequeña cuadrilla familiar de obreros, retomar las explotaciones en el punto donde las dejaron los romanos, que podían emplear en un pozo a cientos de esclavos sin tener que pagar sueldos. En lo que respecta a la Sierra Minera de Cartagena, la rápida decepción de los buscadores de plomo, provocó que en lugar de horadar la montaña se dedicaran beneficiar las escorias romanas y explotar placeres en ramblas. Hay que decir que las llamadas «escorias romanas» eran básicamente tortas de litargirio, óxido de plomo, subproducto de la obtención de plata a partir de la galena argentífera por el método de copelación.

Acceso al Barranco del Jaroso, desde Los Lobos (Almería).

En 1839 se descubre el filón de El Jaroso, en Sierra Almagrera, una masa impresionante de galena argentífera que se le había pasado por alto a los romanos. La noticia corrió como la pólvora y fue un revulsivo para la estancada minería murciana. Los filones estaban bajo tierra a la espera de ser descubiertos, pero no era tarea para aventureros solitarios. Era necesario acometer proyectos de mayor envergadura, bien dirigidos y con los medios adecuados. Naturalmente, eso implicaba una fuerte inversión, y así es como comenzaron a surgir a partir de 1840, como las setas en otoño, las compañías mineras en la provincia de Murcia para atraer capital con la promesa de buenos dividendos en pocos años. Según datos recogidos por Mariano C. Guillén, ese año se registraron 19 compañías en Cartagena, 30 en Mazarrón y, ojo al dato, 146 entre Lorca y Águilas (emancipado de Lorca sólo 6 años antes, Puerto Lumbreras lo hizo en el siglo XX). Así es como comenzó La Fiebre del Plomo.

Alteración del paisaje tras siglos de minería en el coto San Cristóbal – Los Perules de Mazarrón.

Llama la atención que el reparto de compañías por municipios siga un orden opuesto a lo que nos dicta la intuición en términos de patrimonio industrial minero “aparente” (el exceso de denuncias mineras en Lorca hay que achacarlo a la proximidad con Almería). Pues aún queda un dato sorprendente: en el municipio de Murcia se registraron 45 compañías mineras. Si bien es cierto que existen pequeños yacimientos de plomo, hierro y cobre en su territorio, estos palidecen comparados con los situados en la costa. La explicación haya que buscarla, quizás, en la picaresca. En la ciudad de Murcia del siglo XIX debía de ser fácil atraer inversores entre los adinerados huertanos y sericultores, convencerlos de algún indicio metálico en las montañas cercanas y «sangrarles» la billetera durante los años de trabajos que se supone llevará alcanzar el filón prometido.

Recibo emitido por la compañía que explotaba una mina de plomo en la Sierra de Ricote (cortesía de Manuel Morales). En la parte de la izquierda se especifica la cantidad de acciones (40) de la sociedad.

Debió de ser, sin duda, muy curioso ver a estos estafadores en acción. Por ejemplo, convenciendo a medio centenar de labradores de Beniaján de la conveniencia de poner en marcha una mina en El Garruchal. No descarto que algún caso de denuncia minera inverosímil fuera producto de una mezcla de buena fe y desconocimiento de la geología. La primera foto de este post con la frase «Murcia será la California de Europa» hace alusión a un hecho ocurrido mucho después, en 1880, cuando Antonete Gálvez, personaje fundamental de la historia murciana y de arrebatadora personalidad, comenzó a horadar el cerro Miravete, frente a Torreagüera, en busca de oro. La galería, de grandes dimensiones, sigue allí para asombro de visitantes. Antonete tampoco iba tan descaminado: en Santomera a poco más de 12 km desde Torreagüera, sí que se ha encontrado oro, aunque no mucho.

Consolidación de la minería

Muchas de esas empresas mineras fracasaron. El Diccionario Geográfico-Estadístico-Histórico de Madoz publicado entre 1845 y 1850 se mostraba muy escéptico con los trabajos en la Sierra de Cartagena. Literalmente decía «ningún criadero metálico de alguna consideración se ha descubierto todavía, y creemos que aun dado el caso que se hallase, todo induce a opinar que nunca sería de una importancia estraordinaria, ni por su abundancia ni por su riqueza» . Gran metedura de pata de don Pascual: en 1848 los trabajos mineros alcanzan el llamado “Manto de los Azules”, una masa estratiforme rica en sulfuros polimetálicos (plomo, zinc, hierro y cobre). Aunque el Manto de los Azules tiene una ley más baja que los filones, su potencia y extensión desmesurada permitió que la minería en La Unión continuara de manera ininterrumpida hasta principio de los años 90 del siglo XX, cesando únicamente por motivos medioambientales.

Muestra de mineral del Manto de los Azules. La mayor parte consiste en un silicato de hierro (greenalita) con galena y blenda dispersas.

Acometer la explotación del Manto de los Azules obligó a una sinergia entre las distintas compañías mineras de la Sierra de Cartagena, pero es con la llegada de capital extranjero cuando arranca verdaderamente la modernización de la minería en La Unión. Con los inversores e ingenieros ingleses llegarían también el ferrocarril y el fútbol. En 1871 el descubrimiento del «Filón Prodigio» en Mazarrón, cuyo nombre no necesita mayor explicación, supondría un punto de inflexión análogo en esta localidad. Después de varias décadas de aventureros, jugadores y pícaros, los criaderos metálicos realmente productivos ya habían sido localizados. A su alrededor crecían los poblados mineros con trabajadores venidos de otras partes de España, y se enriquecían las ciudades cercanas, en las que ha quedado una marca evidente del estilo imperante a caballo entre los siglos XIX y XX: el Modernismo.

Ayuntamiento de Cartagena, ejemplo de edificio modernista (foto tomada de Wikipedia).

En La Unión hay un «barrio» llamado El Garbanzal. Si se le pregunta dónde vive a algún vecino del Garbanzal, particularmente si ha nacido allí, nunca responderá que en La Unión. Hay un porqué detrás de esa muestra de “orgullo”. Cuando las minas del entorno fueron ganando importancia, las pedanías del Garbanzal, Las Herrerías, Roche y Portman (el Portus Magnus de los romanos) decidieron emanciparse de Cartagena. El nombre inicial para el nuevo municipio fue Villa del Garbanzal, en claro detrimento de las otras pedanías. Las desavenencias existentes entre vecinos fueron resueltas en una breve visita del General Prim en 1868 que rebautizó salomónicamente el municipio como La Unión.

Selección de libros para este post.

La minería continuó en el siglo XX con otros avatares, pero nosotros acabamos aquí nuestro relato. Para más detalles sobre La Fiebre del Plomo y la historia de la minería en la Región de Murcia, recomiendo la consulta de estos cuatro libros: Los orígenes del siglo minero en Murcia de Mariano C. Guillén (2004), que contiene, entre otras cosas, una estupenda colección de fotografías antiguas; La minería murciana contemporánea (1840-1930) de Juan Bta. Vilar y Pedro Mª Egea (1990), que proporciona abundantes datos sobre la producción minera y metalúrgica; el monográfico de la revista Bocamina dedicado al Patrimonio minero de la Región de Murcia (2005) compuesto de numerosos artículos de distintos autores abarcando la minería desde la Prehistoria; finalmente, Minerales de La Unión de Ginés López (2015), que aunque trata fundamentalmente de Mineralogía, proporciona detalles sobre la minería contemporánea en esta localidad.

El plomo es malo… ¿y qué no?

En unas pocas décadas el plomo a pasado a ser un metal proscrito, no muy lejos del mercurio y el uranio. Hoy día es impensable regalar un soldadito de plomo a un niño… ¿Qué ha pasado? Se sabe desde hace mucho que el plomo es tóxico y el síndrome que provoca tiene incluso un nombre añejo: saturnismo. No obstante, el plomo debe llegar antes al organismo de algún modo y aquí es donde podemos discutir la eficacia o pertinencia de las medidas preventivas. Para empezar, todos los que tenemos una cierta edad hemos estado respirando compuestos de plomo a nuestro pesar. En efecto, la gasolina incorporaba hasta 1989 tetraetilo de plomo como antidetonante. Pero había en aquellos años otras formas de exposición al plomo totalmente inocentes, como el gesto de sujetar el perdigón con los labios mientras se preparaba la escopeta de aire comprimido.

Recorte de una tubería de plomo (desagüe fregadero) tras una reparación efectuada por el autor en casa de su madre. El edificio, con su instalación, fue construido a principios de los años 80.

Se entiende perfectamente la sustitución del plomo en algunas aplicaciones cuando es posible utilizar otros materiales menos tóxicos. No obstante, la peligrosidad del plomo es comparable a la de un cuchillo: depende de quién y cómo lo use. El miedo irracional nunca debería sustituir a la Ciencia a la hora de adoptar medidas. En este caso es la Química la que establece los mecanismos plausibles por medio de los cuales las substancias tóxicas pueden llegar a nuestro organismo. Un ejemplo, la fontanería de plomo para agua corriente fría es inocua, ya que la capa de carbonato de plomo que se forma en el interior por efecto de la cal del agua, presente siempre en cierta medida, es insoluble y evita la ulterior difusión del plomo. No obstante, si por la misma tubería circula agua muy caliente o con algún compuesto químico capaz de movilizar el plomo (tratamiento con cloramina, por ejemplo) sí que tenemos un problema.

Pieza de 1500 gramos de galena-blenda de la mina del Cerrillar, en pleno Parque Regional de Carrascoy – El Valle, el «pulmón verde» de la ciudad de Murcia.

De manera análoga hay que tratar otros escenarios de posible exposición a substancias tóxicas. Muchas de nuestras montañas contienen plomo en forma de minerales ¿Significa esto que la Administración debería adoptar medidas especiales? En absoluto. Los compuestos de plomo naturales están en formas tan estables que difícilmente podrían entrar en la cadena trófica. La minería y metalurgia del plomo, evidentemente, movilizaron el tóxico en su día, pero tras muchos años cesada la actividad, los compuestos de plomo se han estabilizado. Las actuaciones de cualquier tipo con la excusa de la salud en antiguas minas y restos del procesado del mineral podrían ser más contraproducentes que dejarlas tal como están. Y si se visitan estos lugares especialmente ricos en plomo, siempre debe hacerse desde el conocimiento y con las debidas precauciones.

Roca usada en la pavimentación de caminos mostrando un filoncillo de galena (gris oscuro), pero las manchas de color marrón también se deben a un compuesto de plomo.

Doy a entender entre líneas que abogo más por el conocimiento y el sentido común que por el exceso normativo típico de nuestro país. Por eso acabaré con un par de ejemplos que ilustran las consecuencias de la ignorancia. No diré el nombre de los lugares, pero barrabasadas similares puede haberlas en cualquier parte. En primer lugar, en una zona de costa han pavimentado caminos rústicos con una riolita salpicada de filoncillos de galena. En otras palabras, una cantera ha estado esparciendo el tóxico metal con el beneplácito de la Administración. Aunque, como hemos dicho antes, ese plomo difícilmente nos haría daño, esto no exculpa a los responsables. El segundo ejemplo es incluso peor: la zahorra ornamental usada en un talud ajardinado es una metabasita con un gran contenido en amianto, otra substancia altamente tóxica. En este caso, la peor parte se la llevaron los obreros que manipulaban el material al exponerse al polvo cancerígeno.

Rocas con amianto decorando un jardín.

Epílogo

El plomo es considerado hoy un metal maldito, hasta tal punto que la sección de historia en su entrada en Wikipedia está escrita desde la perspectiva de un toxicólogo, no la de un químico o un ingeniero industrial. Sin embargo, el plomo ha sido un material fundamental en el desarrollo de la industria y del estándar de comodidad tal como lo conocemos en Occidente. Por eso, el pesado metal fue un codiciado objeto de deseo en el siglo XIX, dando lugar así a La Fiebre del Plomo y el posterior desarrollo de la minería moderna en la Región de Murcia.

Neandertales

Neandertales, ilustración de Z. Burian tomada de «Encyclopédie illustrée de l’homme préhistorique» de Jan Jelínek, Gründ (1989).

Tenía pensado escribir sobre los neandertales en algún momento, pero esperaba antes ponerme al día sobre los más recientes descubrimientos y hacer un post algo más presentable. Evidentemente, por mucho interés que pueda tener en los neandertales, no me dedico profesionalmente al tema. Sin embargo, una serie de “señales” me ha indicado que el momento es ahora. Acaba de fallarse el premio Nobel de Fisiología/Medicina a favor del sueco Svante Pääbo por sus investigaciones sobre ADN de homínidos extintos, en particular, por haber secuenciado el genoma neandertal.

Michael Walker, Ignacio Martín Lerma y Luis de Miquel, en un momento del homenaje al primero realizado en el Museo Arqueológico de Murcia.

Además, hoy mismo recibe un homenaje Michael Walker, profesor jubilado de la Universidad de Murcia y director durante muchos años de las excavaciones en la Sima de las Palomas (Torre Pacheco), uno de los principales yacimientos neandertales de la Península Ibérica. En fin, yo veo señales claras para escribir este post, timing perfecto… otros podrían ver oportunismo. El caso es que las informaciones sobre los neandertales son últimamente tan frecuentes que lo más difícil, a estas alturas, es ser original.

¿De qué hablamos?

Homo neanderthalensis (más tarde nos ocuparemos de la hache) es una especie extinta de seres humanos que vivió entre 300.000 BP y 30.000 BP, redondeando un poco, en lo que actualmente es Europa y una buena parte de Asia incluyendo Oriente Medio. Nota: BP indica años before present, es decir, «antes del presente», pero presente aquí es el año 1950 por convenio, lo que viene a ser cambiar la referencia de la fecha de nacimiento de Nuestro Señor por la de los baby boomers cuando se indican acontecimientos pasados. En relación con los Homo sapiens, es decir, los humanos modernos o nosotros, los neandertales eran en general más robustos y estaban mejor adaptados al clima frío, ya que prosperaron durante la última glaciación.

Clásico libro de Obermaier en su edición de Ed. Istmo (1985). El libro original es de 1925, por lo que es fácil encontrar diferencias respecto al tratamiento actual de los neandertales.

Viene ahora el momento de poner los puntos sobre las íes. Una especie, en el sentido biológico de la palabra, puede presentar una gran variabilidad geográfica y temporal (más de 250 Ka), no digamos ya entre individuos, por lo que la definición de neandertal es delicada, como la de cualquier otro organismo extinto. Más aún, afirmar que los neandertales son (eran) otra especie puede resultar algo excesivo porque hay constancia de hibridación fértil con H. sapiens: nosotros mismos, los europeos, somos neandertales en una pequeña proporción de nuestros genes. Finalmente, mientras que el límite superior del intervalo temporal es discutido en relación con la definición de neandertal, el límite inferior va reduciéndose a medida que se hacen nuevos hallazgos. Actualmente se han datado restos neandertales en 28.000 BP. Al parecer, la Península Ibérica es el último reducto de H. neanderthalensis.

Árbol filogenético de la estirpe humana, tal como se concebía hace algunos años. Tomado del libro «Los neandertales» de Antonio Rosas, CSIC (2010).

Tradicionalmente se ha pensado que los neandertales evolucionan de las primeras poblaciones que migraron a Europa desde África llevando consigo la tecnología del bifaz. Al parecer, en primer lugar llegaron a Europa homínidos sin esta tecnología, como el hombre de Orce o el grupo de Dmanisi, y en una segunda oleada llegaron los H. heilderbergensis con sus flamantes bifaces. Sin embargo, ahora hay algunos investigadores que quieren situar el origen de los neandertales en una migración post-Achelense, lo que a mí me deja particularmente descolocado… No entraré en ese tema, por lo menos hasta que lea los argumentos a favor de dicha teoría.

Arqueología de los neandertales

Industria lítica típica musteriense, tomado de «Outils préhistoriques» por Jean-Luc Piel-Desruisseaux, Ed. Dunod (2002).

En lo que respecta a Europa (y parte de Asia) hay una identificación entre neandertales (especie humana), Paleolítico medio (periodo de la prehistoria) y musteriense (tecnología lítica). Los neandertales desarrollaron también una forma particular de talla llamada Levallois consistente en la preparación de facetas de la futura herramienta antes de separarla del núcleo. Espero que el siguiente dibujo ayude a entender mejor la explicación.

La pieza representada abajo (vista superior e inferior) es la que se ha extraído arriba, pero ligeramente ampliada. Ilustración de «Encyclopédie illustrée de l’homme préhistorique» citado arriba.

Mientras que los fósiles humanos proceden principalmente de cuevas y rellenos de simas (con las condiciones adecuadas para la conservación de nuestros frágiles huesos), las piezas musterienses, en sílex o cuarcita, pueden encontrarse mucho más repartidas: laderas de montes con covachas, lugares de paso como las ramblas, antiguos manantiales (hoy desecados) donde acudían a beber… En particular, en la Región de Murcia ese tipo de hallazgos no son extraños: los neandertales se pasearon por todas partes tallando y abandonando sus útiles de piedra. Una pieza musteriense aislada que podamos encontrar en el campo no constituye un yacimiento, al igual que una golondrina no hace verano, pero es muy recomendable contactar con un experto para que realice una valoración.

Una mirada escalofriante desde el pasado: rostro neandertal embutido en toba procedente de la Sima de las Palomas (Torre Pacheco).

Desde hace poco más de una década, la posibilidad de recuperar ADN de los restos neandertales preservados en ciertas condiciones de humedad y temperatura, hace que haya que extremar las precauciones para no contaminar las muestras. Muchos arqueólogos acuden a sus excavaciones vestidos como los médicos que tratan a un enfermo ébola. Otra línea de investigación muy interesante es la de establecer y documentar la convivencia entre especies, neandertales y sapiens. Para ello se excava en cuevas y abrigos con presencia de útiles musterienses y del Paleolítico superior, en principio, causados por ocupaciones sucesivas, pero prestando especial atención al momento de transición. Ejemplos de esta doble ocupación son los abrigos de Rambla Perea (Mula) excavados por el equipo de Joao Zilhao, o la Cueva del Arco (Cieza) cuyas campañas dirige mi querido amigo Ignacio Martin Lerma, aunque aún no se ha establecido la cohabitación entre especies en dichos yacimientos.

La evolución de un paradigma

Charles Darwin publicó su «El origen de las especies» en 1859. Desde ese momento, los científicos estuvieron especialmente receptivos a cualquier fósil que pudiera servir como eslabón perdido entre el simio y el hombre. El primer resto óseo en desempeñar ese papel fue una peculiar bóveda craneal encontrada tres años antes en una cantera cerca de Düsseldorf (Alemania) que inicialmente se había interpretado como una malformación en un humano moderno. Después se sumaron otros hallazgos, como el cráneo Forbes encontrado en Gibraltar por la misma época.

Bóveda craneal encontrada en la cantera de Feldhofer, en Neanderthal, cerca de Düsseldorf. Éste fue el primer fósil adscrito a un antepasado del hombre moderno.

El nombre neandertal se toma de Neanderthal, literalmente “valle de Neander” en alemán, en donde estaba la cantera en la que aparecieron los restos. A su vez dicho topónimo es en honor al músico y religioso Joachim Neander, cuyo apellido familiar original era Neumann, literalmente “hombre nuevo”. El cambio estético del apellido no altera el significado, sólo que ahora debemos acudir al diccionario de griego. Señalemos que el nombre equivalente Neandro existe en castellano. Finalmente, la h se pierde en la reforma ortográfica del alemán a principios del siglo XX, siendo actualmente valle “das Tal”.

Así que, etimológicamente resumiendo, neandertal es el valle del hombre nuevo, una denominación sumamente oportuna. No mucho tiempo después y también en Alemania, Friedrich Nietzsche anunciaría la muerte de Dios y el advenimiento del superhombre… creo que me estoy desviando del tema. Volviendo a los restos humanos, señalemos que el cráneo Forbes es recuperado por el teniente Edmund Flint, siendo “flint” la palabra inglesa para sílex, el material favorito de los neandertales ¿Casualidad o conspiración? Lo dejo ahí, esperando haber arrancado alguna sonrisa 🙂

Lámina del libro de Ciencias Naturales de 3º de Bachillerato de la editorial ECIR (1965), por R. Verdú Payá y E. López Mezquida. La idea está bastante clara…

Las primeras representaciones de los neandertales, llamados en aquel tiempo hombres de las cavernas, son simiescas. La causa de esto la encontramos en la incorrecta interpretación de los huesos de individuos ancianos junto con no pocos prejuicios. Una de las imágenes cinematográficas de los neandertales que ha dejado más huella es, sin duda, La guerre du feu, con la memorable interpretación de Ron Perlman (dicen las malas lenguas que iba sin maquillar). En las últimas décadas, las reconstrucciones físicas basadas en evidencias anatómicas han avanzado mucho. Si se añade, además, la interpretación del genoma en términos de características físicas y los descubrimientos arqueológicos en lo que respecta a estética y adornos de los individuos, la imagen de los neandertales cambia radicalmente.

Recreación de una chica neandertal en un lecho de pieles, por Tom Björklund. Después de contemplarla, a algunos de mis amigos la hibridación entre especies ya no les parece una idea tan descabellada.

Otro de los vuelcos de paradigma ocurridos en la última década es el reconocimiento de pensamiento simbólico y arte parietal en los neandertales. Hasta hace relativamente poco se les negaba algunas de las características que los sapiens solemos decir que nos hacen más humanos. Todo empezó con el descubrimiento de objetos puramente ornamentales y pigmentos, en Cueva Antón (Mula) y la Cueva de los Aviones (Cartagena). Después se han descubierto círculos realizados con espeleotemas en lo más profundo de una gruta francesa (Bruniquel) y se ha datado en fechas del Paleolítico medio unas pinturas esquemáticas realizadas en la Cueva de Ardales (Málaga). Por si fuera poco, en algunos enterramientos neandertales se han descubierto pólenes (el polen es extraordinariamente resistente en contexto arqueológico) de plantas cuya explicación más plausible es la realización de ofrendas florales a los difuntos. ¿A qué ya no nos parecen tan brutos los hombres de las cavernas?

Cuéntame un cuento

Se han propuesto muchas explicaciones para la extinción de los neandertales: cambios climáticos, enfermedades, exterminados por H. sapiens (o sea, nosotros)… Otro motivo que si bien no sería una causa en sí mismo sino que añadido a los anteriores dejaría a H. neanderthalensis en una situación más desfavorable respecto a H. sapiens es una de las tesis expuestas en el libro «Sapiens» del pensador israelí Yuval Noah Harari.

Portada del million seller de Harari.

La idea principal posiblemente sea anterior a Harari, pero no he podido rastrearla. Básicamente sostiene que los grupos de H. sapiens están más cohesionados que los de H. neanderthalensis porque tienen la capacidad de contar historias, de crear mitos, de fabricar dioses. Mirando al pasado reciente podemos poner ejemplos de muchedumbres de personas capaces de acometer grandes proyectos, para bien o para mal, porque siguen una idea materializada en un libro: La Biblia, El Corán, Mein Kampf… De la misma manera, en el pasado remoto los grupos de sapiens se organizaron alrededor de unos mitos y creencias. Eso les permitió superar las situaciones en las que los neandertales sucumbieron.

Pero la capacidad de contar historias, o fabricar mitos, tiene que ver con las características del lenguaje en el que se realiza la comunicación. Éste debe ser recursivo en el sentido definido por Noam Chomsky, es decir, el lenguaje debe admitir “estructuras anidadas” exactamente como hacen los narradores en una novela para contar lo que dicen los personajes, o el diccionario para poner ejemplos de la palabra que acaba de definir. Un idioma más sencillo, plano por así decirlo, puede servir para organizar una cacería en grupo o decir dónde hay agua o fruta, pero no permitiría planificar a medio o largo plazo.

Grupo de arqueólogos del Paleolítico medio, no ellos sino su objeto de estudio… Joao Zilhao con sombrero, e Ignacio Martín Lerma a la derecha (realmente, tendría que haber puesto la foto un par de secciones más arriba…). La escena es en Ricote (Murcia) y yo no salgo porque alguien tenía que echar la foto.

La teoría es atractiva, sin duda, pero no la comparto. Yo creo que los neandertales tenían un mundo simbólico profundo y eso es difícil de llevar sin un lenguaje complejo y recursivo. Además de las evidencias aportadas en la sección anterior, mi particular interpretación de algunos útiles líticos me permite afirmar que, incluso, Homo heidelbergensis hacía juguetes para sus niños y tenía sentido del humor. Bueno, esto lo digo yo que no soy un profesional de la Antropología… pero tampoco estoy limitado por los paradigmas imperantes. Espero que en algún momento no muy lejano, llegue a estas mismas conclusiones la ciencia oficial (o mainstream scholars, como diría Giorgio A. Tsoukalos, uno de mis magufos favoritos).

Algo de lectura

He mencionado unos cuantos libros, pero en un tema como éste se quedan obsoletos en cuatro días, con la excepción de los que tratan de industria lítica (aquí no suele haber sorpresas).

En primer lugar, «Los neandertales» de Antonio Rosas, investigador del CSIC y del Museo Nacional de Ciencias Naturales. Conocí a Antonio Rosas durante el breve tiempo que estuvo vinculado al yacimiento paleontológico de Quibas (Abanilla). Su librito da un panorama muy resumido de lo que se sabía, o se pensaba, alrededor de 2010. Mucho más reciente y extenso es el best seller de Rebecca Wragg Sykes «Neandertales» . Estoy seguro de que con él resolveré un buen puñado de mis lagunas sobre los descubrimientos más recientes en materia de neandertales, pero voy leyendo muy despacio (son más de 400 páginas).

Tres libros amenos sobre los neandertales, cada uno en su estilo.

Una de mis recomendaciones para el verano fue el libro «La prehistoria en la mochila» de Ignacio Martín Lerma publicado este mismo año por Aguilar. Como ya lo he leído, haré una breve reseña.

En forma de una vuelta a la Península Ibérica, un joven neandertal llamado Sepik visita distintos lugares que hoy día son destacados yacimientos arqueológicos buscando una nueva zona en el que poder establecerse con su clan. Sin embargo, en todos los lugares por donde pasa las comunidades están igual de mal o peor. Cuando regresa a Cieza en compañía de Omati, una cromagnona de la que se ha enamorado, no puede ofrecerle a su clan un nuevo hogar, pero sí que puede enseñarles formas alternativas de explotar los recursos a su alrededor gracias a todo lo que ha aprendido durante su viaje.

Pala para mayonesa” del Abric Romaní, reconstrucción basada en el molde que dejó la pieza original de madera.

Con alguna licencia literaria, como el uso de leguaje recursivo por parte de los personajes, Martín Lerma logra integrar en su relato todas las peculiaridades de cada uno de los yacimientos visitados, incluida la “pala para mayonesa” del Abric Romaní, el dramático canibalismo en El Sidrón, o la bellísima interpretación de las manos de Maltravieso. Ojo, otro spoiler: los malos del libro son los neandertales del Boquete de la Zafarraya. Espero que esto último no les siente demasiado mal a mis amigos de la Axarquía, Amalia y Juan.

Epílogo

Hemos visto que, al final, los neandertales no eran muy distintos de nosotros. El mestizaje entre neandertales y sapiens, establecido por el análisis de los genomas, ha permitido que podamos verlos incluso como nuestros antepasados. Puede que la especie, o estirpe, neandertal haya desaparecido, estrictamente hablando, pero una parte de ellos sigue viviendo en nosotros.

Mi YO hipster-neandertal. Imagen generada por un software en el Museo de Historia Natural de Viena, en 2020.

Madera fósil

Sección pulida de tronco petrificado procedente de Madagascar que me regaló mi querido amigo Fernando Cánovas. Pueden apreciarse claramente los anillos de crecimiento.

Acabadas las vacaciones de verano y, supuestamente, «recargadas las pilas», quisiera retomar con fuerza la actividad divulgativa. En esta ocasión le toca a la Paleontología y hablaré de algo que durante muchos años ha sido un misterio para mí, la madera fósil, o más en general, los fósiles de vegetales. Digo bien, un misterio: cómo han podido preservarse árboles muertos hace millones de años, sabiendo que la madera se pudre y descompone, ya sea a la intemperie o enterrada. Por contra, que una concha o un hueso puedan fosilizarse no resulta tan extraño… En este post trataremos de arrojar alguna luz sobre la transformación de la madera en «piedra» teniendo en cuenta los procesos de fosilización, así como las circunstancias que han concurrido en la preservación de muestras de distintas eras.

Petrified Forest National Park en Arizona (USA), santuario de la madera fósil que no tengo la fortuna de haber visitado… todavía (foto tomada de Wikipedia).

Diferentes tipos de fosilización

Los fósiles son los vestigios de vida de eras pasadas. En ocasiones, los organismos contienen partes inorgánicas, lo cual puede resultar chocante, y por ello resistentes a la descomposición tras la muerte del organismo. Por ejemplo, carbonato cálcico (conchas de moluscos), fosfato cálcico (huesos, dientes) y sílice (diatomeas, espículas de algunas esponjas).

En el caso de los vegetales, la presencia de materia inorgánica es casi irrelevante, por lo que los procesos de fosilización, cuando son posibles, implican la transformación total de los restos. La parte de la Paleontología que estudia la formación de fósiles se llama Tafonomía. A continuación describiré algunos de los procesos que permiten la conservación de plantas de tiempos remotos.

Improntas

Improntas de hojas en una toba calcárea, inmediaciones del río Guadalentín cerca de El Cañarico (Murcia). Los tubitos huecos que también se observan corresponden a tallos ausentes.

Si el vegetal queda cubierto por alguna substancia es posible que se preserve el aspecto externo de mismo mucho tiempo después de descomponerse. Esto es lo que ocurre con la toba calcárea que depositan algunos ríos y fuentes alrededor de los vegetales que mojan. También pueden producirse improntas vegetales en ciertos sedimentos como areniscas de grano fino o calizas lacustres.

Carbonización

Fragmento de carbón procedente de una mina de la cuenca hullera de León.

En determinadas condiciones la materia orgánica acumulada en un pantano no se descompone, sino que es progresivamente enriquecida en carbono, al eliminarse el hidrógeno y otros elementos, por la acción de bacterias anaerobias. La materia orgánica va compactando al tiempo que se transforma en carbón, reduciéndose el volumen hasta una décima parte del original. Esto hace difícil que se conserven las estructuras vegetales. Sin embargo, si se producen intercalaciones de limos, o precipitaciones calcáreas, entre la materia orgánica hay más oportunidades de poder recuperar fósiles de un yacimiento de carbón. También, incidentalmente, la madera puede carbonizarse en un incendio y preservarse después en sedimento.

Óxido de hierro

Pequeños cilindros de óxido de hierro en marga miocena que se corresponden con raíces de plantas que crecían en ambiente fangoso, Lorquí (Murcia).

Alrededor de la materia orgánica sumergida en ambiente pobre en oxígeno (anaerobio) actúan bacterias que obtienen su energía de las reacciones químicas más insólitas. A partir del azufre orgánico y el hierro, siempre abundante, producen sulfuro de hierro (pirita o marcasita) que rellena el hueco ocupado por el organismo, a veces preservando estructuras. Este proceso se llama piritización. En lo que respecta a vegetales, distintas bacterias anaerobias puede intervenir a la vez: he visto fósiles mixtos en carbón y pirita en el escombro de una mina. Si bien la substancia inicial es el sulfuro de hierro, lo normal es que en condiciones cercanas a las de la intemperie éste se transforme en limonita (hidróxido de hierro de aspecto enrobinado), que es la forma más habitual de encontrar estos fósiles. También hay bacterias que obtienen su energía directamente de la oxidación del hierro, que podrían tener un papel en la formación de ciertos fósiles vegetales en limonita.

Sílice

Madera silificada de Campos del Río (Murcia), encuadre de 5 cm de anchura.

La más perfecta «petrificación» de la madera ocurre por medio de la sílice (óxido de silicio). La materia vegetal conserva la forma después de muerta por la rigidez de las paredes celulares hechas de lignina y celulosa, entre otros componentes. El interior de la célula queda vacío. En determinadas condiciones, la materia vegetal sumergida es penetrada por las substancias disueltas en el medio, en particular la sílice. Este material comienza a rellenar los huecos dejados por las células en una primera fase. En una segunda fase la sílice sustituye también el material de las paredes celulares. El resultado final puede ser cuarzo criptocristalino (calcedonia) o sílice hidratada (ópalo). La diferencia entre ambas versiones quizás pueda deberse a si la sílice va simplemente disuelta o en estado coloidal. Debido a que la substitución se hace célula a célula, se preservan las estructuras vegetales perfectamente.

Falsos fósiles

Dendritas de óxido de manganeso (psilomelano) con aspecto de impronta vegetal (foto tomada en una fachada de Bolnuevo, Murcia).

Del mismo modo que los vegetales pueden transformarse en substancia mineral, algunos minerales pueden recordar estructuras vegetales. Los crecimientos paralelos de cristales, o las direcciones preferentes en ciertas rocas metamórficas como los esquistos, pueden recordar las fibras de la madera; los espelotemas (formaciones calcáreas) pueden imitar troncos y ramas; los cristales que ramifican desde un punto pueden parecerse a un haz de hojas aciculares… Pero los crecimientos de tipo fractal llamados dendritas, como los de psilomelano (un óxido de manganeso), sí que causan mucha confusión, especialmente porque las plantas también manifiestan patrones fractales.

La madera fósil a lo largo de las eras

A continuación haré un repaso de la madera fósil a lo largo del tiempo geológico, ilustrándolo con ejemplares de yacimientos españoles.

Carbonífero

Fragmento de tronco de calamites en óxido de hierro, mina Emma, Puertollano (Ciudad Real).

El Carbonífero es un periodo de la era Paleozoica que va desde 359 Ma a 299 Ma. Su nombre hace alusión a los grandes depósitos de carbón incluidos en él y que se originaron en ambientes lacustres. En esta época todavía no habían aparecido las plantas con flores, y la vegetación no era tan diversa como en la actualidad. Entre los fósiles destacan los helechos arborescentes, similares a los que siguen existiendo en algunas selvas y los calamites, un tipo extinto de equisetos gigantes.

Impronta carbonosa de hojas de helecho, mina Emma, Puertollano (Ciudad Real).

Se pueden recuperar restos de esta época en las escombreras de algunas minas de carbón, como las de la cuenca de León-Asturias. Sin embargo, las muestras que tengo provienen de la mina Emma de Puertollano (Ciudad Real) que tuve la oportunidad de visitar con un permiso. El origen de este yacimiento es curioso porque fue sellado por las cenizas de una erupción volcánica y por eso también se le conoce como la «Pompeya paleobotánica» o la «Pompeya del Paleozoico».

Triásico

Fragmento de rama fosilizada en sílice, Ulea (Murcia).

El Triásico es el primer periodo de la era Mesozoica y abarca de los 251 Ma a los 201 Ma. Parte de los sedimentos de este periodo (Keuper) se originaron en lagunas o mares interiores con algo grado de salinidad, lo que favorece la silificación de la madera. El exceso de sílice también provoca la formación de cristales de cuarzo alrededor del fósil, lo que lo hace menos evidentes.

Madera fosilizada en sílice de Ulea (Murcia). La fibra puede observarse levemente en dirección horizontal, mientras que el veteado aparece en vertical. Encuadre de 3 cm de anchura.

En el Triásico ya existen los bosques de coníferas y los restos recuperados en el Keuper de Ulea (Murcia) parecen adscribirse a ese taxón. La importante concentración de estos restos fue comunicada a las autoridades responsables de Patrimonio de la Región de Murcia tal y como cuento en mi reseña biográfica. La calidad de la fosilización en sílice oscura permite observar las fibras y veteado de la madera, mientras que otros restos conservan estructuras externas.

Cretácico

Sección de tronco fosilizado en sílice de El Bonillo (Albacete).

El Cretácico es el último periodo de la era Mesozoica, que va entre 145 Ma y 65 Ma. Aunque existen facies lacustres cretácicas al norte de la Región de Murcia y que se continúan por Albacete, éstas son más adecuadas para buscar restos de dinosaurios que de madera fósil. Por otra parte, los fragmentos de madera silificada procedentes de terrenos cretácicos de Albacete diría que se han fosilizado en ambientes marinos muy cercanos a la costa.

Fragmento de madera fósil mostrando los anillos de crecimiento (aproximadamente horizontal) procedente de Tobarra (Albacete).

Se pueden recuperar trozos de tamaño variable, correspondiendo algunos a fragmentos de tronco. En otros, que serían esquirlas, es más fácil observar las estructuras internas como fibras o anillos de crecimiento.

Resto vegetal fosilizado en sílice de Cervera del Río Alhama (La Rioja). La trama de fibras se corresponde con la de una planta no leñosa, como una palmera o similar.

Aunque he descartado el origen lacustre para los restos descritos de Albacete, en otros lugares no es así. En Cervera del Río Alhama (La Rioja) en la zona donde aparecen los cuarzos hialinos que corresponden a facies lacustres continentales se puede encontrar restos vegetales fosilizados en sílice negra.

Neógeno

Fragmento de madera fosilizada en sílice del Messiniense de Campos del Río (Murcia) con aspecto de tablón carcomido.

El Neógeno es un periodo de la era Cenozoica que comienza hace 23 Ma y llega hasta hace 2,5 Ma, justo antes del Cuaternario, aunque este límite fue modificado en tiempos recientes. Durante el Mioceno (subdivisión del Neógeno), más particularmente en el Messiniense (subdivisión aún más fina del Neógeno), el mar Mediterráneo quedó aislado del océano Atlántico convirtiéndose así en una «balsa de salmuera» fosilizante.

Fragmento de madera fosilizada en sílice de Archena (Murcia) en el que se puede apreciar la rugosidad de la corteza y un nudo.

Los restos de madera fósil de este periodo son relativamente abundantes en la Región de Murcia. Destaca un «tablón» fosilizado conservado con los rastros de carcoma de Campos del Río. En ese mismo yacimiento he visto algunos restos de madera parcialmente carbonizados y silificados. He podido observar también algunos restos curiosos pero aislados en Archena . En Molina de Segura y Fortuna han aparecido fosilizados troncos de palmera.

Fragmento de palmera fosilizada en sílice de Fortuna (Murcia) en el que se aprecia la estructura interna.

Del Neógeno pero más reciente, lo que correspondería al Plioceno, mencionaré una pieza muy curiosa encontrada en los sedimentos de una playa de Estepona (Málaga). Se trata de una piña de conífera fosilizada en carbón, que apareció junto a restos de moluscos como dentalium, posiblemente arrastrada hasta el mar por las lluvias. La pieza está protegida por un endurecimiento concéntrico de la arenisca debido a la presencia de óxido de hierro del sedimento, cuyo origen más probable sea la alteración de una parte de sulfuro de hierro que acompañaba al fósil inicialmente.

Piña de conífera fosilizada en carbón y rodeada de un enriquecimiento en óxido de hierro de la arenisca, Estepona (Málaga).

Turismo de árboles petrificados

Los árboles petrificados, como cualquier otro fósil, se pueden encontrar en los museos de Paleontología. A veces no hace falta ni entrar al museo para verlos porque debido a sus grandes dimensiones y calidad de la roca en la que están fosilizados pueden exponerse en el exterior. Así ocurre en el Museo Nacional de Ciencias Naturales (Madrid) o el London Natural History Museum (Londres).

Más interesante es para mí cuando estos fósiles se pueden ver en el lugar donde aparecieron, ya que el contexto puede aportar una información extra. Además de eso, la visita a los yacimientos paleontológicos puede ser uno más de lo mucho que puede ofrecer la comarca donde se encuentran. He seleccionado tres visitas que conozco personalmente, aunque me he visto obligado a usar fotos de internet para ilustrarlos. Los lugares son de España, porque el Petrified Forest National Park me pilla un poco lejos…

Maestrazgo

Arbol fosilizado en Castellote (Teruel), foto tomada de https://venerablesarboles.blogspot.com/

El Maestrazgo es una comarca histórica a caballo entre Aragón y la Comunidad Valenciana, muy interesante desde los puntos de vista paisajístico, etnográfico, arqueológico y, por supuesto, paleontológico. Añadiré que algunos de los pueblos de esta comarca figuran entre los más bonitos de España, pero dejo al lector que haga las indagaciones oportunas, porque aquí hemos venido a hablar de árboles. En Castellote, en la zona del Barranquillo, han aparecido varios troncos fósiles de notables dimensiones que han sido acondicionados para su visita in situ (la calidad de la fosilización no hace aconsejable su traslado).

Señorío de Molina

Tocón mostrando algunas raíces. Foto tomada de http://www.rillo-de-gallo.com/geoparque.htm

La comarca conocida como Señorío de Molina tiene por capital la notable villa de Molina de Aragón, que se ubica en la provincia de Guadalajara (la división administrativa actual a veces no coincide con la medieval). De Molina de Aragón toma su nombre el mineral llamado aragonito y por el interés geológico de la comarca se ha creado el Geoparque Molina – Alto Tajo. Uno de los hitos del parque son los árboles fosilizados en posición de vida de Rillo de Gallo. Cierto es que los árboles solo exhiben el tocón (parte baja del tronco con las raíces), pero esto lo convierte en un yacimiento singular.

Sierra de la Demanda

Arbol fósil parcialmente «recosntruido» en Hacinas (Burgos), foto tomada de https://www.terranostrum.es/

La Sierra de la Demanda se ubica entre La Rioja y las provincias de Burgos y Soria. Los yacimientos de huellas de dinosaurios de La Rioja son los más conocidos, así como las famosas piritas de Navajún y Ambasaguas, en la misma comunidad. No obstante, al sur de la Demanda hay también mucho que ver. A un cuarto de hora de coche desde el Monasterio de Silos está el pueblo de Hacinas (Burgos), donde se pueden ver algunos troncos fosilizados que han aparecido en los alrededores.

Circunferencias y esferas

Ilustración de Lecciones de Geometría de Cirodde, Madrid 1905.

Hoy voy a hacer “divulgación matemática”. En particular, hablaré de circunferencias y esferas, en el sentido más euclídeo de la palabra. El detonante de esta ocurrencia ha sido el vídeo que me envió mi querido amigo Luis Arrufat por WhatsApp, que podréis ver a continuación (el vídeo está incrustado en la página, en caso de problemas para visualizarlo podéis verlo también en YouTube). Sólo una advertencia, las hipnóticas imágenes enganchan.

Si habéis visto con detenimiento el vídeo, cada bola blanca («pelota» en la lamentable traducción) se mueve en una línea recta, pero conjuntamente se «perciben» como rodando dentro del círculo rojo. Yo trataría de discernir aquí si el problema es realmente la percepción o lo que se entiende normalmente por rodar. Por ejemplo, considerad la rueda de una bicicleta que se desplaza por un camino recto y llano. Pues bien, ni uno sólo de sus puntos describe una trayectoria circular: el buje se mueve en línea recta, mientras que un punto en el neumático describe una trayectoria con forma de cicloide. Sin embargo, nadie discute si la rueda da vueltas o si está rodando ¿no?

Curva cicloide producida por la rueda de una bicicleta (imagen tomada de https://robadabambini.blogspot.com)

Una discusión tan similar como infructuosa es la de si la luna gira sobre sí misma, o no lo hace, ya que en su recorrido mensual alrededor de la tierra siempre presenta a un observador terrestre la misma cara. Como esto no va de Psicología ni Filosofía o Astronomía, sino de Matemáticas, lo primero que haré será aclarar por qué si una circunferencia rueda dentro de un círculo con el doble de diámetro todos sus puntos describen trayectorias rectilíneas.

Una explicación sencilla

En la escuela se enseña que los tres ángulos (internos) de un triángulo suman un ángulo llano (180 grados sexagesimales). Otra cosa bien diferente es si alguna vez nos han dado una explicación razonada, o razonable, de este aserto. En Geometría, como en cualquier otra teoría matemática hay que partir de unos principios que se dan por ciertos (postulados o axiomas). El hecho de que la suma de ángulos de un triángulo arroja siempre el mismo valor emana directamente del llamado «Postulado de las Paralelas» (también conocido como El Quinto Postulado) que afirma que, en el plano, dados una recta y un punto fuera de ella, sólo se puede trazar una paralela a la recta dada pasando por dicho punto. El dibujo a continuación ilustra como se relaciona la suma de ángulos con el Postulado de las Paralelas.

Tras trazar una paralela a un lado del triángulo por el vértice opuesto, resulta que los ángulos rojos (alfa) son iguales, y lo mismo ocurre con los azules (beta), por lo que se pueden transportar a la parte superior del dibujo y sumados al ángulo negro dan como resultado un ángulo llano.

No voy a engañar al lector: estoy ocultando algunas dificultades de manera deliberada. Por ejemplo, lo que se entiende por «ángulo» en Matemáticas. No entraré en ese jardín porque todo el mundo entiende de manera intuitiva el ángulo como cierto tipo de magnitud geométrica expresable en una escala numérica (de hecho, en la práctica se mide con un goniómetro o un transportador de ángulos). Ahora mostraré una curiosa propiedad de los ángulos en una circunferencia.

El ángulo rojo «beta» es exactamente el doble del ángulo negro «alfa».

El dibujo arriba ilustra la siguiente propiedad: cada vez que se da una circunferencia de centro X, un diámetro de ella con uno de sus extremos llamado O y un punto A en la circunferencia, el ángulo que forma el segmento XA con el diámetro por la parte opuesta a O es exactamente el doble del ángulo que forma el segmento OA con el diámetro en O. La prueba es muy sencilla, pero el limitado editor de texto de la web no me permite usar símbolos, así que daré el esquema argumental insertando una nota manuscrita, como si estuviera en clase usando una pizarra.

Argumento de mi puño y letra… lo siento, no soy calígrafo.

He apelado a otro resultado que en la práctica parece evidente, pero no lo es tanto su demostración: si un triángulo tiene dos lados iguales (llamado en tal caso isósceles), los ángulos opuestos a ellos son iguales entre sí. El propio Euclides dio una demostración bastante aparatosa que incluía como «bonus track» una construcción geométrica que lejanamente puede parecer un puente. Pons asinorum (el puente de los burros) se ha llamado popularmente, porque había que pasar por él para «desasnarse» y aprender la Geometría. Ya estamos en condiciones de explicar lo que pasa en el vídeo con el que comenzábamos el post de hoy.

Los arcos coloreados tienen la misma longitud por que el de la circunferencia cuyo diámetro es la mitad corresponde a un ángulo que es el doble.

El dibujo muestra dos círculos siendo el diámetro del grande el doble del pequeño. Los dos ángulos marcados están también en relación de ser uno el doble del otro, sólo que el ángulo mayor está en la circunferencia pequeña. Eso hace que los dos arcos coloreados tengan la misma longitud, los que puede interpretarse de la manera siguiente: si el circulo pequeño rueda hacia abajo, el punto B irá a parar directamente al O, y de hecho se situará siempre sobre el diámetro vertical porque el razonamiento se puede hacer con cualquier ángulo o posición de partida.

Ángulos inscritos y fútbol

El resultado sobre ángulos que ha sido clave en la sección anterior, tiene más consecuencias. Si dada una circunferencia con uno de sus diámetros, hacemos la construcción anterior del ángulo y su doble a cada lado obtenemos sumándolos un ángulo con un vértice en la circunferencia y otro que mide exactamente el doble con su vértice en el centro. Esta construcción es reversible en el sentido que si partimos de un ángulo con un vértice sobre la circunferencia y que engloba al centro de ésta podemos deducir que el ángulo con vértice en el centro de la circunferencia y que abarca el mismo arco de ésta debe ser el doble. A los ángulos con un vértice en una circunferencia nos referiremos como inscritos en ella.

A cada lado del diámetro se aplica la regla anterior: el ángulo inscrito que tiene un diámetro por lado es la mitad del ángulo centrado. La suma sigue guardando la misma proporción, pero también la diferencia.

La restricción de que el centro de la circunferencia esté comprendido en el ángulo inscrito puede evitarse. En efecto, igual que se argumenta con la suma se puede hacer también con la diferencia. Así cualquier ángulo inscrito es exactamente la mitad del ángulo centrado en la circunferencia que abarca el mismo arco. Consecuentemente, todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales entre sí (suele llamarse capaz a este arco). El dibujo explica muy bien este hecho.

Todos los ángulos que abarcan el mismo arco de circunferencia (el que va entre A y B) miden lo mismo (alfa).

Este bonito principio geométrico tiene una inesperada aplicación al fútbol… OMG! 😕 Empiezo a parecerme a José Manuel López Nicolás (espero que para bien). Un jugador corre con el balón por una línea paralela a la banda ¿en qué momento verá la portería rival con un ángulo máximo? El problema tiene una solución trivial si la línea entra en la portería: una vez que está dentro. En otro caso, nuestras consideraciones sobre ángulos inscritos en circunferencias permiten resolver el problema de forma muy elegante.

El jugador (punto rojo) avanza por la línea negra horizontal hacia la portería (azul). La verá bajo un ángulo máximo cuando se sitúe en el punto de tangencia de la circunferencia que pasa por los postes de la portería y es tangente al recorrido del jugador.

El motivo por el que el punto de tangencia da la solución al problema del jugador es el siguiente: cualquier otro punto antes o después de éste corresponderá a un ángulo inscrito en una circunferencia de radio mayor. El correspondiente arco capaz tiene la misma cuerda (la anchura de la portería) pero al ser más grande la circunferencia el ángulo es menor.

Newton y la atracción de las esferas

Estamos lejos de haber sacado todo el pringue a los ángulos inscritos y a los arcos capaces. Observemos la construcción dada el el siguiente esquema: dos cuerdas de una circunferencia se cortan en un punto y las completamos con sendos segmentos para formar dos triángulos: A y B. Resulta que los triángulos son semejantes, es decir, tienen iguales sus tres ángulos. En efecto, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Pero también los otros pues pueden verse como ángulos inscritos con el mismo arco capaz.

Los triángulos A y B son semejantes. Es decir, serían semejantes si el dibujo estuviera bien hecho.

Newton andaba tratando de resolver el problema de la atracción gravitoria entre los astros, sabiendo que las masas puntuales satisfacen la ley del inverso del cuadrado de la distancia. Los planetas y las estrellas son asimilables a bolas sólidas que pueden considerarse compuestas de capas esféricas al igual que una cebolla. El genio inglés sabía que le bastaba resolver el problema para una esfera hueca cuya masa está repartida homogéneamente en su superficie. El caso más sencillo de tratar es la evaluación de la fuerza atractiva cuando la masa está dentro de la esfera, que no responde a una situación astronómica.

El arco azul azul atraería al punto P con la misma fuerza, pero opuesta, que el arco rojo si la intensidad fuera inversamente proporcional a la distancia.

La solución del problema viene dada por una lectura adecuada de la semejanza de los triángulos enfrentados con la que hemos comenzado la sección. Si el ángulo que forman las cuerdas entre sí es pequeño, podemos cambiar los sendos lados de los triángulos por arcos de circunferencia. Si cada arco (A, B) atrajera al punto P con una fuerza inversamente proporcional a la distancia a la que se encuentra, ambas fuerzas se compensarían por la semejanza de los triángulos anteriormente descrita. Como la circunferencia se puede descomponer completamente en pares de arcos similares, la fuerza neta sobre el punto P es nula. Ahora bien ¿no era la Ley de Gravitación proporcional al cuadrado del inverso de la distancia? Si abandonamos en contexto plano para ir al espacial, en lugar de arcos de circunferencia tendremos casquetes de esfera. Las áreas son proporcionales al cuadrado de las longitudes, por lo que la compensación se producirá si la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Ahora todo cuadra.

Página de la edición en español de los Principia de Newton donde discute la atracción dentro de una esfera homogénea (Tecnos 2011).

Insistamos en que la diferencia entre los triángulos rectilíneos y los que usan arcos de circunferencia es que los primeros son realmente semejantes, mientras que los segundos sólo lo son de manera aproximada. Esta aproximación es mejor cuanto más estrecho es el ángulo, lo que viene a ser como sustituir el arco de circunferencia por su cuerda en el razonamiento. Esto es un argumento de tipo infinitesimal como los que ya empleaba Arquímedes en el cálculo de áreas, volúmenes y centros de masa. Después de Newton, los métodos infinitesimales se sistematizaron dando lugar a la rama de las Matemáticas llamada Análisis.

En el estudio del efecto gravitatorio de las esfera homogénea sobre un punto exterior es útil notar que se vuelve a producir una semejanza de triángulos, tal como indica el dibujo. Se puede deducir de ello que el arco más lejano atrae con la misma fuerza que el más cercano. Sin embargo, aún quedaría algo de trabajo por hacer hasta poder deducir, como hizo Newton, que la atracción neta de la esfera homogénea sobre un punto exterior es equivalente a la que produciría toda la masa de la esfera así estuviera concentrada en su centro.

Página de la edición en español de los Principia de Newton donde discute la atracción dentro de una esfera homogénea (Tecnos 2011).

El universo confinado en un círculo

Al comienzo de este post hemos mencionado, y apelado, al Postulado de la Paralelas, uno de los axiomas sobre los que se fundamenta la Geometría plana clásica. Una característica común de los sistemas axiomáticos en Matemáticas es tratar de ser lo más escuetos posible: si algo puede deducirse de principios más básicos, no debe estar en la lista de axiomas. Durante mucho tiempo se pensó que el Postulado de la Paralelas era demasiado complicado para ser un principio fundamental y debía de ser consecuencia de los otros axiomas. Sin embargo, en el siglo XIX varios matemáticos llegaron a la conclusión de que era indispensable porque existen «geometrías planas» diferentes de la euclídea que cumplen todos los axiomas menos el Postulado de las Paralelas. ¿Cómo es posible tener otras geometrías planas? Realmente, lo que llamamos geometría plana no son los dibujos con los que ilustramos los resultados, sino dos conjuntos de objetos, «puntos» y «rectas», que satisfacen unas ciertas relaciones de incidencia descritas por los axiomas. En principio, los «puntos» no tienen por qué parecer puntos, ni las «rectas» parecer rectas.

Libro fundamental, nunca mejor dicho, para la Geometría y el Método Axiomático en Matemáticas, edición en español del CSIC 1991.

Un descubrimiento notable del siglo XVII, la llamada Geometría Proyectiva, que encuentra sus raíces en el estudio renacentista de la perspectiva en dibujo y pintura. En Geometría Proyectiva plana no existen las paralelas: dos rectas diferentes siempre se cortan en un único punto, al igual que por dos puntos diferentes pasa una única recta. Los axiomas de la Geometría Proyectiva son simétricos respecto al papel que juegan puntos y rectas, de tal manera, que si uno demuestra un resultado y después cambia en su enunciado puntos por rectas y rectas por puntos, el enunciado resultante será automáticamente cierto. En otras palabras, si tratando de interpretar un teorema de Geometría Proyectiva de un libro escrito en sueco, confundimos puntos con rectas y viceversa en el texto, no lo notaremos. Sin embargo, no es la Geometría Proyectiva nuestro objetivo, ya que en ella no hay ni métrica ni ángulos, ni mucho menos, paralelismo.

Ejemplo de resultados duales en Geometría Proyectiva plana (F. Enriques, Lecciones de Geometría Proyectiva, EEE Madrid 1946). Quien desee saber como sigue el enunciado (y la prueba) puede verlo aquí.

Carl F. Gauss, Janos Bolyai y Nikolai Lobachevski descubrieron de manera independiente la Geometría Hiperbólica, Gauss antes que los otros dos, aunque no lo publicó. En la Geometría Hiperbólica hay distancias y ángulos, pero no se cumple el Postulado de las Paralelas. Una forma relativamente sencilla de construir un modelo del plano hiperbólico es la siguiente: tomemos un círculo al que llamaremos «disco», los puntos interiores del disco serán los puntos del plano hiperbólico y los arcos de circunferencia contenidos en el disco y perpendiculares a su frontera serán las «rectas» del plano hiperbólico. Hay otras construcciones, pero la que acabamos de describir es la que más ha inspirado al artista neerlandés M. C. Escher.

Ángeles y Demonios, no de Dan Brown, sino de Escher, teselando el plano hiperbólico.

El siguiente dibujo (abajo) muestra una «triangulación» del plano hiperbólico. Realmente cada supuesto triángulo está delimitado por tres rectas y todas las rectas que aparecen son mutuamente paralelas: en efecto, son arcos de circunferencia perpendiculares a la frontera del disco y que no se cortan en el interior. A pesar de ser el disco un objeto limitado para nuestra intuición euclídea, cada triángulo es infinito (desde el punto de vista hiperbólico) y se requiere, además, un número infinito de triángulos para rellenarlo. Se oye entre mis lectores una voz que dice: – ¡Normal! Si cada vez son más pequeños…-. Pero, insisto, eso vuelve a ser nuestra intuición euclídea tratando de orientarse en un universo que no es el suyo.

«Triangulación» del plano hiperbólico representado como un disco.

De hecho, todos esos triángulos tienen las mismas dimensiones y son simétricos unos de otros desde el punto de vista de la Geometría Hiperbólica. Esta simetría hiperbólica se puede llevar a cabo mediante una operación euclídea llamada “inversión”. Dada una circunferencia de radio r, el inverso respecto a ella de un punto P distinto del centro O, es otro punto P* situado en el mismo radio (O, P, P* están alineados y O no está entre los otros dos) tal que el producto de OP por OP* es r2. Como el inverso de P* es, a su vez, P decimos que P y P* son simétricos entre sí respecto a la circunferencia. En el caso que nos ocupa del disco hiperbólico, cada par de triángulos contiguos puede ser llevado el uno en el otro mediante una inversión respecto a la circunferencia cuyo arco comparten como lado. Asombrosamente, el disco se aplica en sí mismo por la inversión. La clave de esto está en un dibujo, que apareció hace rato, completado con otra circunferencia.

Respecto a la circunferencia mayor, los puntos A y B’ son simétricos. También los puntos B y A’, y todos los puntos de la circunferencia menor agrupados convenientemente por pares. El motivo es la constancia del producto de distancias a O que se deduce de la semejanza de los triángulos AOB y A’OB’.

La triangulación mostrada en el dibujo del disco hiperbólico tiene una peculiaridad. Imaginemos que en cada lado separando dos triángulos se abre una puerta que permite ir de un triángulo al otro. Ahora, supongamos que partiendo de cierto triángulo, hemos hecho un viaje cruzando un buen número de puertas sin volver atrás. Pues bien, si queremos volver al punto de partida la única forma de hacerlo es desandar el recorrido realizado. Debido a que la inversión, ligeramente modificada, es una función compleja holomorfa (no quiero dar definiciones excesivamente técnicas), la triangulación hiperbólica es la clave de un profundo teorema de É. Picard: una función holomorfa no constante definida en el plano complejo toma todos los valores, excepto posiblemente uno. La idea de esta prueba consiste en suponer que deja de tomar dos valores, lo que permitiría, sabiendo algo más de Análisis Complejo, almacenar convenientemente todos sus valores en los triángulos del plano hiperbólico para convertirla, momentáneamente, en una función inyectiva. Hay otras pruebas del teorema de Picard, pero carecen de la belleza caleidoscópica del plano hiperbólico.

La frontera metálica de Mr. Green

La fuerza entre cargas eléctricas, al igual que la gravedad, también responde a la ley del inverso del cuadrado de la distancia. Sin embargo, hay varias diferencias. Una de ellas es que la fuerza puede ser repulsiva o atractiva dependiendo del signo de las cargas. Una determinada distribución de cargas eléctricas se manifiesta en cualquier punto del espacio como un efecto (fuerza) sobre una carga test que se sitúe sobre dicho punto. Este noción recibe el nombre de campo eléctrico y se puede abordar matemáticamente por medio de una función llamada potencial. Dada una distribución de cargas, se puede hallar el potencial que genera usando una integral de volumen. Y, a su vez, dado el potencial se puede recuperar la densidad de carga por medio de la llamada ecuación de Poisson.

La ecuación de Poisson al estilo matemático contiene el signo menos y 4pi, pero no contiene la constante de permitividad del vacío (que alegremente suponemos igual a 1). Los físicos suelen evitar las dos primeras en la propia definición del potencial.

Pero otra de las diferencias que el campo eléctrico tiene respecto al gravitatorio es la existencia de los llamados “conductores”. Se trata de materiales por los que las cargas se pueden mover libremente, de manera que el potencial en ellos es siempre constante al poco de situarlos en un campo eléctrico estático. Esto se traduce en que las cargas se sitúan en la superficie del conductor: la ecuación de Poisson arroja valor cero para la densidad de carga en el interior. Es más interesante conocer la función potencial en el espacio libre de conductores y cargas al que llamaremos dominio. Tratar de conocer el potencial a partir de la ecuación diferencial que satisface y el valor que toma en la frontera de su dominio, se conoce como Problema de Dirichlet.

Efecto del campo eléctrico sobre cuerpos conductores, ilustración de G. Bruhat – Électricité, Masson, Paris 1956. Las líneas de campo son perpendiculares a los conductores por su superficie tiene potencial constante.

Del Problema de Dirichlet se sabe que tiene solución única, cuando la tiene. Pero no se sabe si tiene solución en general, si bien los matemáticos no han cesado en su empeño de resolverlo. George Green propuso una fórmula que solamente requería determinar una función dependiente del dominio (llamada función de Green en su honor) con ciertas propiedades especiales. Para construirla, era preciso demostrar que el campo producido por una carga en el interior del dominio coincide en la frontera del dominio con otro campo producido por cargas fuera del dominio. Green tuvo la siguiente idea: supongamos que la frontera del dominio es un conductor, en cuyo caso las cargas se moverán por la frontera para compensar el campo producido por la carga puntual. Así, el campo sobre la frontera será constante, y si se conecta a una toma de tierra, se puede hacer la constante igual a cero. De esta manera, «galvanizando» el conjunto y con ayuda de cables, estableció Green la resolubilidad del problema de Dirichlet.

Enunciado del Problema de Dirichlet en el espacio.

Naturalmente, el rigor de las Matemáticas tal como las entendemos ahora no admite el razonamiento de Green: no se puede probar un teorema de Geometría basándose en que los triángulos están hechos de madera, por ejemplo. El propio Dirichlet erró en sus razonamientos al apelar a la intuición física. Dirichlet formuló el problema en términos equivalentes a la minimización de cierta cantidad interpretable como una energía, el así llamado Principio de Dirichlet. Si bien la Naturaleza es un ejemplo de sostenibilidad porque se rige por principios de mínima energía, el razonamiento tampoco es admisible como Karl Weierstrass señaló, afeándole la conducta al mismísimo Bernhard Riemann. Los métodos desarrollados por los matemáticos de finales del siglo XIX para eliminar la heurística física de las pruebas de existencia de soluciones dieron lugar al Análisis Funcional.

Las línea desde cada punto de la circunferencia a B (azul) miden el doble que la correspondiente línea hacia A (roja).

Para acabar este post volveremos a la Geometría elemental con la que comenzamos viendo como se puede utilizar para resolver el problema de Dirichlet para el círculo, o la esfera, dependiendo de las dimensiones. No escribiremos la fórmula de Green, que no viene al caso, sino que veremos como evitar el «razonamiento eléctrico». Asumamos que el efecto de la carga es inversamente proporcional a la distancia (no es el caso de la fuerza, pero sí el del potencial en tres dimensiones). Si dos puntos A y B son simétricos respecto a una circunferencia, ocurre una curiosa propiedad: desde cada punto de la circunferencia las distancias a A y B guardan una misma relación constante. En el dibujo, el cociente de distancias a B entre las distancias a A es 2. Eso implica, en particular, que si en A hubiera una carga eléctrica, su efecto sobre los puntos de la circunferencia sería el mismo que si situamos el doble de carga sobre B.

No daré la prueba del último argumento empleado… pero quien quiera detalles podrá encontrarla en este excelente libro, ya clásico, de Pedro Puig Adam

Conclusión

Con este post he querido mostrar la unidad de las Matemáticas y su continuidad en el tiempo. Resultados relativamente modernos como el Teorema de Picard o la solución del Problema de Dirichlet para el círculo entroncan directamente con las propiedades métricas de las circunferencias que estudiaba Euclides dos milenios antes. Circunferencias y esferas siguen estando en el centro de las Matemáticas. No en vano, las últimas palabras de Arquímedes antes de que un soldado romano le quitara la vida (para disgusto de Marcelo, todo hay que decirlo) fueron: Noli turbare circulos meos! (¡No toquéis mis círculos!).

Elipse

¡Qué no cunda el pánico! No voy a dar una lección sobre la elipse partiendo de cero. Para eso ya está la Wikipedia e innumerables blogs didácticos. Este post será sólo una reflexión sobre esta curva clásica, en el que contaré algunas curiosidades. Una cosa… si esto fuera una conferencia con un público con el que pudiera interactuar (en tiempo real), añadiría detalles que aquí he omitido de manera deliberada. Espero que estas ausencias no sean un problema para el lector que sepa leer entre líneas.

Enciclopedia de Grado Medio de la editorial Dalmau Carles Pla (Gerona 1950) en la que estudió mi padre. El dibujo de la izquierda ilustra la definición métrica de la elipse.

La elipse y yo

Es un hecho comúnmente aceptado que los libros de texto escolares van reduciendo su contenido (y aumentando su precio) año tras año. Esto ya debía de ser cierto hace por lo menos cuatro décadas porque los libros de mis hermanos, que son mayores que yo, o incluso los de mi padre, parecían más interesantes que los míos (hablaremos algún día de esta manía de privar de información a los niños en el cénit de su curiosidad). Con esos libros abandonados por sus usuarios que recuperé del trastero monté mi «primera biblioteca» en El Cañarico, en la que pasaba largas horas hojeándolos. En esos libros supe por primera vez de la elipse.

Aprendí que la elipse, junto con la parábola, la hipérbola y la circunferencia (realmente un caso particular de la elipse), son las llamadas curvas cónicas porque se obtienen como secciones de un cono (de revolución). Esto lo sabía Apolonio de Perga en el s. III de nuestra era, pero a mí me resultaba muy extraño… ¿Cómo es posible que un corte oblicuo del cono sea una curva con dos líneas de simetría (una de ellas es evidente) en lugar de una figura ovoide? Sólo había una forma de comprobarlo… cortar un cono.

Exin Castillos, foto tomada de Wikipedia.

Y así hice. Corté con un serrucho uno de los tejados cónicos que cubren las almenas de un popular juego de construcción de castillos en los años 70. Aparte de destrozar una pieza que ahora sería bastante valiosa entre los coleccionistas frikis, el experimento no me convenció mucho. Podría haber «seccionado» más cómodamente el cono proyectando oblicuamente el haz de luz de una linterna en sobre una pared. Años después aprendí como hacer eso mismo con Geometría Analítica, que reduce los objetos geométricos elementales a ecuaciones algebraicas.

Esquema del argumento de Dandelin, tomado de Courant-Robins ¿Qué es la Matemática? (Aguilar 1979)

Si pudiera viajar al pasado, le contaría a mi joven yo el argumento de Dandelin, la elegante demostración con Geometría elemental de que la sección oblicua (pero no más oblicua que la generatriz) de un cono de revolución satisface la definición métrica de la elipse. Los focos resultan ser los puntos donde dos esferas adecuadas tocan el plano (mejor dicho, son tangentes) que realiza la sección. Todo lo que hay que saber es que si desde un punto se traza una recta tangente a una esfera, la distancia al punto de tangencia no depende la recta escogida. El argumento se puede adaptar igualmente a la hipérbola y la parábola, por lo que Germinal P. Dandelin alcanzó la gloria redemostrando hechos conocidos durante más de 1500 años.

Ilustración del libro «Algebra lineal y algunas de sus aplicaciones» de L.I. Golovina (MIR 1983) que muestra los efectos de una transformación afín consistente en un acortamiento horizontal (x 1/3) y un alargamiento vertical (x 2). Así podemos convertir un cocodrilo en un monstruo de Dungeons and Dragons.

Después de haber estudiado matemáticas tantos años me sigo sorprendiendo con algunas cosas. Por ejemplo, el hecho elemental de que aplicando a la circunferencia una transformación afín siempre se obtenga una elipse. ¿Qué tiene esto de sorprendente? Me explico. Una transformación afín deforma el plano según dos direcciones no necesariamente perpendiculares, estropeando distancias y ángulos (un cuadrado puede transformarse en cualquier paralelogramo). Sin embargo, aplicada la transformación afín a una circunferencia, el resultado es siempre una elipse, con sus dos ejes perpendiculares y sus notables propiedad métricas. Más aún, esto que acabo de decir es sólo un caso particular de que cualquier forma cuadrática puede expresarse canónicamente (únicamente combinaciones lineales de cuadrados de las variables) mediante una transformación ortogonal en cualquier dimensión.

El mecánico celeste

El paso del sistema geocéntrico de Ptolomeo al heliocéntrico de Copérnico no sólo simplificó la comprensión de la dinámica planetaria, sino que también marcó el momento en el que Ciencia y Religión debían tomar caminos diferentes (es bien sabido que el «divorcio» se llevó unos años: eppur si muove). En el sistema de Copérnico los planetas giraban alrededor del sol el órbitas circulares. Johannes Kepler estudió los datos recopilados minuciosamente por Tycho Brahe y llegó a la conclusión de que las órbitas de los planetas realmente son elípticas y el sol ocupa uno de los focos. Esta es la primera ley de Kepler. La segunda ley describe la variación de la velocidad para un planeta en su órbita elíptica, y la tercera relaciona la duración del «año» para dos planetas diferentes en función del tamaño de la órbita.

Posiblemente el libro más importante de la historia de la Ciencia (edición en español, Tecnos 2011)… puesto disputado con «El origen de las especies» de Darwin.

Isaac Newton inventó el Cálculo Infinitesimal (derivadas, integrales, series de potencias, ecuaciones diferenciales…), descubrió las Leyes de la Mecánica, descubrió la Ley de Gravitación Universal explicando el funcionamiento del sistema solar, descompuso la luz explicando así los colores y la formación del arco iris, construyó el telescopio reflector tal como se usa hoy día en los grandes observatorios y en el Hubble… Nunca se ha contribuido más a la Ciencia (ni a la Humanidad) trabajando en solitario entre cuatro paredes. Aún así, de vez en cuando aparece algún «iluminado» de la autoayuda diciendo que todos podemos ser genios, que tenemos el mismo potencial y que desarrollarlo es cuestión de motivación… bullshit!

Parte de Los Principios Matemáticos de Filosofía Natural donde Newton trata la relación entre la ley del inverso del cuadrado de la distancia y las órbitas según curvas cónicas.

Un día de agosto de 1684, Edmund Halley (el dude del cometa) le preguntó a Newton cómo serían las trayectorias de los planetas si estos fueran atraídos por el sol con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Newton le dio la solución al instante: elipses. Asombrado, Halley le preguntó la razón para ello. Newton le dijo simplemente «lo he calculado». Newton sabía todo eso, y más, desde 1666. Hoy conocemos que uno de los motivos por los que Newton fue tan prudente, por así decirlo, es que estaba intentando resolver el problema de la atracción gravitatoria entre esferas sólidas (y no masas puntuales) que es lo que son, aproximadamente, los grandes astros. Halley insistió a Newton para que publicara sus descubrimientos y llegó a financiar de su bolsillo la edición de los «Philosophiæ naturalis principia mathematica« (el latín era la lengua científica, como hoy día lo es el inglés).

Lápida bajo la que reposan los resto de Newton, en la Abadía de Westminster. Cerca de Newton están otros físicos como Lord Kelvin, James C. Maxwell, Paul Dirac y Stephen Hawking. A poca distancia está también Charles Darwin, que debe aburrirse mucho con sus vecinos.

La imaginería popular representa a Newton bajo un manzano contemplando la caída de la fruta o, peor aún, siendo golpeado por ella. La grandeza de Newton consiste en haberse dado cuenta que la fuerza que hace caer la manzana es la misma que mantiene «atada» la Luna alrededor de la Tierra; que la Luna traza una órbita cerrada alrededor de la Tierra porque está «continuamente cayendo» sobre ella; que lo mismo ocurre con la Tierra y los otros planetas que giran alrededor del sol; y que la gravedad es la fuerza que mueve la máquinaria del universo, más allá de donde puede llegar a mirar con su telescopio reflector.

La lección perdida de Feynman

Hacia el final de La Novena Puerta, adaptación cinematográfica del Club Dumas de Arturo Pérez Reverte, el protagonista, interpretado por Johnny Depp, regresa al establecimiento de los hermanos Ceniza en Toledo. Allí se encuentra con unos obreros que están desmontando el local y, mientras estos mueven un pesado armario, una lámina vuela suavemente desde lo alto del mueble hasta sus pies: se trata de la página (con un grabado) que completa el libro por el que Boris Balkan (el villano de la historia) ha estado matando a lo largo de la película (spoiler, sorry).

Portada de mi ejemplar de «Feynman’s lost lecture», por D.L. Goodstein y J.R. Goodstein.

Más o menos, así podría haber ocurrido, cuando Judith R. Goodstein entró en el despacho de Robert B. Leighton, profesor retirado de Caltech, mientras estaban desalojando sus cosas para reutilizar el espacio: apareció una carpeta polvorienta que contenía la lección perdida de Feynman. Leighton, junto con Matthew Sands, había sido el encargado de transcribir las lecciones de Física que Richard Feynman impartió en Caltech entre 1961 y 1963, y que dieron lugar a una aclamada obra muy usada en primeros cursos universitarios. Esa lección extraviada de Feynman, que no había sido incluida en el libro, trataba sobre las órbitas de los planetas.

Edición conmemorativa de «The Feynman Lectures on Physics», o la manera de conciliar el amor a la Ciencia con la bibliofilia.

La manera moderna de resolver el problema de las órbitas planetarias consiste en escribir las ecuaciones del movimiento en coordenadas polares (las leyes de conservación ayudan en esta tarea), cambiar la variable r (distancia al origen de la fuerza) por 1/r y observar como la ecuación, salvo una constante es la del oscilador armónico. La Geometría Analítica nos permite identificar ahí la elipse en términos de las coordenadas polares. El problema real, con dos masas, es más complicado porque ambas se mueven, pero puede ser reducido con un truco matemático a una sola masa atraída desde un punto inmóvil. Sin embargo, la introducción de una tercera masa complica infinitamente el sistema (problema de los tres cuerpos).

Uno de los dibujos del libro «Feynman’s lost lecture».

Curiosamente, Feynman aborda el problema de las órbitas de los planetas siguiendo los pasos de Newton, con Geometría a la antigua usanza. Pero Feynman, al igual que Newton, era un genio y aportó su original visión a la demostración de la primera ley de Kepler. En lugar de estudiar únicamente la trayectoria del planeta (elipse), trazó el diagrama vectorial de las velocidades demostrando que estas se sitúan sobre una circunferencia, pero parten de un punto entre el centro y el borde de ésta. La trayectoria del planeta se recupera como la envolvente de una familia de rectas que ilustran la propiedad de que cualquier tangente a la elipse forma ángulos iguales con los dos segmentos que parten del punto de tangencia a los focos. No es mi intención entrar en detalles aquí, pero se puede decir que hay, en cómo argumenta aquí Feynman, una cierta reminiscencia de las ideas con las ideas que él mismo expone (o trata de exponer) de manera elemental la Electrodinámica Cuántica, teoría por la que obtuvo el Nobel en 1965.

En ocasiones veo elipses

La relación geométrica entre la circunferencia y la elipse empleada por Feynman puede ser usada para obtener elipses como experimento casero. Tome un disco circular de papel, marque un punto que no sea el centro ni esté en el borde y doble el papel de manera que el borde del disco se sitúe sobre el punto marcado. Esto se puede hacer de infinitas maneras, pero bastan unos cuantos dobleces bien repartidos para que la elipse comience a aparecer como envolvente de estos. El centro de la circunferencia y el punto marcado serán los focos de la elipse así obtenida.

Experimento casero para obtener un elipse como envolvente de líneas dadas por dobleces en el papel. Están marcados el centro de la circunferencia y el punto elegido. Tiempo de realización (incluyendo cortar el disco) 5 minutos.

Pero aunque no las busque en libros o las fabrique en papel, no puedo evitar seguir viendo elipses cuando salgo a la calle. Las veo incluso en la charcutería: los salchichones de grandes dimensiones son aproximadamente cilíndricos, y cortados al bies producen sabrosas elipses. El argumento de Dandelin es mucho más sencillo de seguir para una sección cilíndrica (animo al lector a que lo haga) mientras disfruta un buen bocadillo de salchichón ibérico.

Sección elíptica producida en un salchichón ibérico (foto de Internet).

También, en un día soleado (o con una fuente de luz puntual), sobre una chapa de acero inoxidable arañada aleatoriamente o el capó de un coche con la pintura gastada por el tiempo, los arañazos iluminados forman patrones elípticos. La explicación es sencilla conociendo algunos conceptos: los arañazos que se iluminan son los que están contenidos en planos que son tangentes a algún elipsoide cuyos focos son la fuente luminosa y nuestro ojo. Las elipses formadas como envolventes de arañazos iluminados resultan ser la intersección de la superficie (arañada) con la familia de elipsoides confocales mencionada (prometo escribir en algún momento las cuentas para mis colegas de profesión).

Reflejo con arañazos en una chapa de acero inoxidable (foto de Internet hasta que pueda hacer una suficientemente buena del capó de mi coche).

La propiedad de reflexión de la elipse, o el elipsoide, respecto a los focos no solamente ocurre para la luz, sino también para el sonido. Existen varios lugares en el mundo donde se puede experimentar un curioso fenómeno: dos personas en lugares opuestos de una espaciosa sala llena de gente relativamente ruidosa pueden conversar entre ellos en susurros hablando y escuchando a la pared. Uno de esos lugares es la Sala de los Secretos de la Alhambra de Granada, pero hay más como puede consultar aquí. La bóveda elipsoidal, no sólo permite la adecuada reflexión del sonido, sino que además los diferentes trayectos de las ondas tienen la misma longitud. Esto contribuye a que el sonido no se distorsione. El paraboloide de revolución es esencialmente un elipsoide con un foco infinitamente alejado, por lo que goza de propiedades similares para: la luz (espejos cóncavos, faros halógenos), otras ondas electromagnéticas (antenas parabólicas) y ondas sonoras (micrófonos de escucha a larga distancia de los espías).

Para acabar, haré una pequeña mención a la Geometría de los espacios de Banach, mi tema de investigación en Matemáticas. Un cubo (hexaedro) cortado de manera conveniente, produce un hexágono regular. Todos podemos estar de acuerdo en que un hexágono regular está más cerca de ser «redondo» que un cubo. Si «cortáramos» con un plano un cubo en cuatro o más dimensiones (esto es difícil de imaginar, lo reconozco) podríamos obtener un poliedro regular con más lados que aproxima mejor a la circunferencia. El matemático israelí A. Dvoretzky demostró en 1961 que un cuerpo convexo simétrico en espacio n-dimensional al ser cortado aleatoriamente por un plano que pase por su centro producirá con una probabilidad alta elipses aproximadas, siendo más aproximadas y la probabilidad más alta a medida que la dimensión n crece.