Área

Hubo un tiempo en el que el referente en divulgación matemática era Martin Gardner. Es difícil encontrar a alguien que haya hecho más por hacer llegar las curiosidades y paradojas de las Matemáticas, clásicas o contemporáneas, al público en general. Lo más curioso, es que Martin Gardner no tenía estudios reglados de Matemáticas más allá de la high school. Ahora la divulgación matemática se ha erigido en disciplina y los divulgadores profesionales son básicamente monologuistas temáticos. No sé hasta que punto los divulgadores especializados más conocidos de nuestro país (Claudi Alsina, Clara Grima, Eduardo Sáenz de Cabezón, Marta Macho, Santi García Cremades…) están contribuyendo a las vocaciones matemáticas. En este sentido, yo sólo puedo hablar del tipo de cosas con las que a mí me «engancharían» si fuera un joven indeciso. Este post es un ejemplo: hablemos del área.

Portada de uno de los libros más populares de Martin Gardner, «Paradojas», Labor (1989).

Matemáticas en la barra de un bar

En mi post Matemáticas y matemáticos di una versión excesivamente pesimista de qué significa ser matemático entre gente que no lo es. Lo cierto es que muchas veces disfrutamos tanto con nuestro oficio que podemos llegar a hacer apostolado de nuestra ciencia en los bares y entre cervezas. Mucha gente recuerda el Teorema de Pitágoras de los triángulos rectángulos con detalle suficiente como para enunciarlo en términos de catetos e hipotenusa. Pero nadie recuerda el motivo por el cual el teorema es cierto, en muchos casos, porque nunca le han enseñado una demostración. Es decir, como se deduciría el Teorema de Pitágoras a partir de hechos más elementales.

Esto es una prueba del teorema de Pitágoras basada en la noción de área. El dibujo es algo cutre, tal como quedaría tras dos cervezas o más…

En ese momento se saca el bolígrafo y sobre una servilleta se hacen los dos dibujos representados arriba con la idea de demostrar que el triángulo rectángulo de lados a, b, c satisface el Teorema de Pitágoras. Los dos cuadrados grandes, de lado a+b, tienen igual área porque son iguales. Si de cada cuadrado se retiran los cuatro triángulos, todos ellos iguales al triángulo rectángulo de lados a, b, c original, lo que quede tras la sustracción deberá tener igual área: a la izquierda quedan dos cuadrados de lados a y b; a la derecha queda un cuadrado de lado c. Por lo tanto ab2 = c2 ¿No es sorprendentemente sencillo?

Demostración del Teorema de Pitágoras basada en semejanza de triángulos, tomada de Coxeter «Fundamentos de Geometría», LIMUSA-WHILEY (1971).

Sin embargo, el «principio de conservación del área» al que hemos apelado parece más sencillo que el Teorema de Pitágoras porque es una extrapolación de nuestra experiencia cotidiana: si un kilo de harina se separa en tres porciones y se pesan cada una de ellas con la mayor precisión posible que puede proporcionar una báscula digital de cocina podemos asegurar que los tres números sumaran 1000 gramos, y si el resultado es inferior (999 ó 998) será culpa del redondeo o de algo de polvo de harina que se ha derramado. La Ley de Conservación de la Materia en el contexto químico fue formulada por Lavoisier y Lomonosov, independientemente en el siglo XVIII, y corregida por Einstein añadiendo el balance energético por medio de la fórmula de conversión E=mc2.

Unas cervezas después…

Queremos convencer a nuestro interlocutor de que la noción de área en Matemáticas posiblemente no se comporte con la misma fiabilidad que la materia en el mundo real. Le preguntamos por el área del triángulo y responde casi sin pensar «la mitad de la base por altura»… Pero eso dependerá de como esté apoyado el triángulo ¿no? – podríamos argumentarle. Aprovechamos el breve momento de desconcierto para tomar una nueva servilleta de papel y lanzar un nuevo ataque en forma del siguiente dibujo.

Cuadrado de lado 13 descompuesto en triángulos y trapecios.

Partimos de un cuadrado de lado 13 y se descompone en piezas tal como se muestra arriba. Si se tuviera una regla y unas tijeras, se podría llevar a la práctica la reorganización de los trozos de papel que ilustra el siguiente dibujo.

Reorganización de los trozos de la descomposición del cuadrado de lado 13.

¿Qué tiene esto de particular? El cuadrado original de lado 13 tiene área 169 mientras que el rectángulo de dimensiones 21×8 tiene área 168… algo no cuadra. Tenemos tanta confianza en la conservación del área que seguro que hay truco. En efecto, la aparente diagonal del rectángulo no es una línea, sino que tiene área positiva, ya que los triángulos y los trapecios no están perfectamente alineados. Sin embargo, la diferencia es tan sutil que queda encubierta por la tinta del bolígrafo, o por la imperfección del corte del papel si se ha llevado a la práctica. Por cierto, este ejemplo lo aprendí en el libro de Martin Gardner que menciono al principio.

Otro «truco» de recomposición de rectángulos en el libro de Martin Gardner, en este caso, para hacer desaparecer una quemadura de un alfombra.

El área de los polígonos

A nuestros colegas del bar hay que dejarles claro que si bien el área satisface un cierto principio de conservación, se trata de una cuestión delicada y que es preferible remitir la prueba del teorema de Pitágoras a argumentos más simples como la semejanza de triángulos. En cuanto a las magnitudes, es decir, longitudes, ángulos, áreas, volúmenes…, lo que se hace es atribuir un número, llamado su medida, que dependerá de la unidad que se establezca y de la complejidad del objeto a medir. Para no desviarnos mucho del asunto, seguiremos con la fundamentación rigurosa de la noción de área.

Comienzo del capítulo dedicado al área en el «Curso de Geometría Métrica» de Pedro Puig Adam.

En un nivel elemental, puede demostrarse que a los polígonos del plano se les puede asignar una medida de área que cumple la «ley de conservación» siguiente: si un polígono se descompone como unión de una cantidad finita de polígonos que no se solapan, entonces la suma de sus áreas es la del polígono inicial. Esto es un teorema, como el de Pitágoras, que debe ser demostrado en el marco de las Matemáticas, es decir, sin pretender que los polígonos puedan ser recortados en chapa de acero, por ejemplo, y apelar a la Ley de Conservación de la Materia.

Página de «Figuras equivalentes y equicompuestas» de V. G. Boltianski, Ed. MIR (1981).

Naturalmente, si dos polígonos pueden descomponerse en los mismos trozos no solapados deben tener igual área. El recíproco resulta ser también cierto, es decir, si dos polígonos tienen igual área, entonces es posible descomponer uno de ellos en trozos de manera que, reorganizados convenientemente, se obtiene el otro polígono. Este es el llamado teorema de Bolyai-Gerwien. Notemos que «reorganizado convenientemente» significa que los trozos son trasladados y rotados, como haríamos con las piezas de un puzzle. Un refinamiento debido a Hadwiger y Glur establece que bastan traslaciones y rotaciones de 180 grados. Los matemáticos son bastante dados a los “refinamientos”, en este caso no referimos a buscar las hipótesis más débiles a partir de las cuales se puede obtener una misma conclusión.

Los problemas de Hilbert

Durante el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 en París, el insigne matemático alemán David Hilbert formuló 23 problemas que él consideraba interesantes como “propósitos de siglo nuevo”. Y, en cierto modo, alguno de esos problemas fue fundamental como guía o inspiración de las Matemáticas del siglo XX. Sin embargo, el problema número 3 fue resuelto ese mismo año por, Max Dehn, un alumno del propio Hilbert. El problema consistía en saber si un cubo se podía descomponer el poliedros de manera que reorganizándolos se pudiera obtener un tetraedro, obviamente del mismo volumen.

Descomposición de un cubo en varios poliedros, tomado del libro de Boltianski citado arriba.

La solución de dada por Dehn fue negativa, es decir, cubo y tetraedro del mismo volumen no son equidescomponibles. Las pruebas de imposibilidad son, por lo general, mucho más sutiles que las de posibilidad. De manera similar, las desigualdades en Matemáticas suelen ser más profundas que las igualdades (hablo de fórmulas). El resultado de Dehn muestra que no puede haber una «teoría elemental» del volumen de poliedros análoga a la del área de polígonos del plano. Para relacionar el volumen de una pirámide con el de un prisma de igual base y altura hay que cruzar un abismo conceptual parecido al que separa un círculo de un polígono regular de igual área. Hay que hacerse a la idea de que los polígonos o los poliedros no llegan demasiado lejos… Pero ¿qué objetos geométricos son susceptibles de ser medidos?

La Teoría de Conjuntos

Los polígonos y otros objetos geométricos del plano son conjuntos de puntos. Esto puede parecer una obviedad, pero adoptar el punto de vista conjuntista fue uno de los mayores avances en las Matemáticas. A partir de conjuntos dados, se pueden formar otros usando operaciones como la unión o la intersección, resultando conjuntos cada vez más complejos. La Teoría de Conjuntos creada por George Cantor a finales del siglo XIX tuvo un profundo efecto en la fundamentación de las teorías matemáticas en el siglo XX, que alcanzó incluso a las matemáticas escolares.

G. Pappy «Matemática Moderna», EUDEBA (1972), libro de Matemáticas para las escuelas con una notable insistencia en el leguaje de la Teoría de Conjuntos.

Podemos plantearnos si el área de un conjunto tiene relación con la cantidad de puntos que contiene, ya que, aparentemente, un conjunto mayor tiene más puntos que uno más pequeño, a pesar de que ambos pueden tener infinitos puntos. Aunque este no es el sitio para reproducir las discusiones de los antiguos filósofos griegos sobre la noción de infinito, la infinitud de los números o los puntos de una recta nos resulta obvia. Uno de los descubrimientos de Cantor fue que había infinitos de distintos tamaños. De hecho, demostrar que hay más puntos en un segmento de recta que números naturales (1, 2, 3…), o que un cuadrado y un segmento tienen la misma cantidad de puntos, se puede hacer en la barra de un bar sobre una servilleta…

El «Hotel del Infinito», historieta inventada por David Hilbert para ilustrar la noción de infinitud, tal como se encuentra expuesta en el libro de Martin Gardner.

Las paradojas a las que da lugar el infinito son muy interesantes (véanse las Paradojas de Zenón o el Hotel del Infinito de Hilbert, ilustración de arriba), pero no quiero desviarme demasiado del tema. El área, realmente, no tiene mucho que ver con la cantidad de puntos (como se pudo mostrar sobre una servilleta), pero entre los diferentes infinitos usaremos el más pequeño, esto es, el de los números naturales (insisto, los números de contar: 1,2,3…). Diremos que un conjunto es numerable si sus elementos se pueden etiquetar usando los números naturales. Notemos que esta definición incluye los conjuntos finitos, pero no insistiremos mucho en la diferencia, ça va de soi.

Viñeta, «politicamente incorrecta» hoy día, tomada de George Gamow «One, two, three… infinity», Dover (1974).

La Teoría de la Medida

Un círculo puede expresarse como una unión numerable de triángulos: primero un triángulo equilátero inscrito; después se añaden tres triángulos isósceles cuyas bases sean los del primero y sus vértices tocan la circunferencia; después, seis triángulos más ocupando cada una de las lúnulas no cubiertas por el hexágono resultante… El proceso de rellenado por triángulos del círculo puede verse en la siguiente ilustración. La numerabilidad es consecuencia de que en cada paso se añade una cantidad finita de triángulos.

Cómo rellenar un círculo con triángulos (imagen tomada de Scielo http://ve.scielo.org/scielo.php)

Aunque es un ejemplo particular, el mismo argumento se puede emplear para rellenar con polígonos cualquier figura limitada por curvas. Esto nos induce a pensar que si el área fuera «numerablemente aditiva» se simplificaría, por lo menos a nivel teórico, las relaciones entre las áreas de conjuntos del plano, a costa de sustituir las sumas finitas por series. Es decir, si un conjunto se expresa como una unión numerable de partes disjuntas, el área del total se expresará como la suma finita o infinita (serie) de las áreas de las partes. No es razonable tratar de ir más lejos, a la hora de tomar uniones, del infinito numerable. En efecto, cualquier polígono es una unión de puntos, cada uno con área cero, y no hay forma de conseguir un número positivo a base de sumar ceros 😕

Ejemplos de series (sumas infinitas) tomado de Brohshtein y Semendiaev «Manual de Matemáticas para ingenieros y estudiantes», MIR (1973).

A la vez que se admiten uniones numerables, la complejidad de los conjuntos aumenta y la noción de «área» se vuelve menos intuitiva. No obstante, Henri Lebesgue demostró en 1904 que hay una forma coherente de asignar medida a familias de conjuntos de la recta, del plano o el espacio, sin restricción por operaciones conjuntistas (uniones, intersecciones, diferencias) en cantidad numerable. La Teoría de la Medida de Lebesgue se continúa y complementa con la integral que lleva su nombre, que es una de las principales herramientas en Análisis Funcional.

El milagro de los panes, los peces y las esferas

El procedimiento que empleó Lebesgue para definir una medida de área aplicable a un gran número de conjuntos del plano era esencialmente constructivo. Si se admite cierta regla no constructiva para la formación de conjuntos, es posible encontrar (realmente, «fabricar») un conjunto no medible. Las regla no constructiva a la que nos referimos es el llamado «Axioma de Elección» de la Teoría de Conjuntos, al que pondremos en contexto en la próxima sección. A pesar de la existencia de conjuntos no medibles en el plano, es todavía posible asignar una medida finitamente aditiva (renunciamos a las uniones numerables y a las series) a los conjuntos del plano de manera que se comporta como el área. Esto fue demostrado en 1923 por Stefan Banach, padre de los espacios que llevan su nombre, haciendo uso del Axioma de Elección.

Ilustración de la Paradoja de Banach-Tarski tomada de Wikipedia.

Pero si nos situamos en el espacio tridimensional, la cosa cambia drásticamente. Banach y Tarski demostraron que una esfera puede descomponerse en una cantidad finita de trozos (10, sin ir más lejos) de tal manera que, convenientemente trasladados y rotados, componen dos esferas, exactamente iguales a la original. Este resultado conocido como la «Paradoja de Banach-Tarski» es el equivalente matemático del célebre milagro de los panes y los peces recogido en los evangelios. Insistimos en que esto es un resultado puramente matemático y no viola la Ley de Conservación de la Materia. La Paradoja de Banach-Tarski implica la imposibilidad de una medida de volumen definida para todos los conjuntos del espacio: asunto cerrado. Por cierto, dije más arriba que las demostraciones de no existencia eran en general más sutiles que las de existencia… me retracto 😉

Y dijo Gödel…

La Teoría de Conjuntos que fundó Cantor se conoce como la «Teoría Ingenua de Conjuntos» (Naive Set Theory, por el libro de Halmos) en la que los conjuntos se manejan como objetos compuestos de elementos previamente existentes y con propiedades nítidas. El carácter sumamente elemental de la noción de conjunto, a partir de la cual se pueden definir las relaciones, los números, las funciones… motivó tomar la Teoría de Conjuntos como «piedra fundacional» de las Matemáticas. Para ello, sería necesario definirla axiomáticamente. La dificultad de la tarea fue puesta de manifiesto por la Paradoja de Russell, que no es más que la versión conjuntista de la más popular «Paradoja del Barbero» (ver ilustración).

La Paradoja del Barbero, según Martin Gardner.

La versión de la Teoría de Conjuntos más aceptada se debe a Zermelo y Fraenkel, siendo el último de los axiomas el de Elección. Por motivos que no voy a desentrañar aquí, el Axioma de Elección se considera como algo opcional por lo que su uso se hace explícito denotando la Teoría de Conjuntos como ZFC (Zermelo-Fraenkel + Choice). Sin embargo, ZFC no es un cimiento de las Matemáticas tan firme como sería deseable. Kurt Gödel en su breve tesis doctoral (1930) demostró que cualquier teoría axiomática que incluya a la Aritmética (dese ZFC por aludida) contiene «proposiciones indecidibles», es decir, afirmaciones cuya veracidad o falsedad no puede ser establecida dentro de los límites de la teoría.

Kurt Gödel con Albert Einstein, en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (Science Photo Library).

El así llamado Teorema de Incompletitud de Gödel abre la puerta a seguir añadiendo axiomas a ZFC, aunque la teoría seguirá siendo incompleta. Tampoco parece algo necesario, porque estas sutilezas afectan únicamente a la Teoría de Conjuntos y no perjudican a las «Matemáticas normales» ni al «mundo real»… ¿O quizás sí? En 2016 tres matemáticos, entre ellos nuestro apreciado David Pérez García (UCM-ICMAT), publicaron un artículo en Nature en el que demuestran que cierto problema de la Mecánica Cuántica (la teoría Física que rige los fenómenos a nivel atómico) es indecidible. Esto fue nada menos que un shock: el principio de Gödel interviene también en las leyes que rigen el Mundo. Sin embargo, que las leyes de los Hombres serán siempre incompletas, es algo que ya tenía más que asumido.

Epílogo

Martin Gardner fue una gran influencia para mí antes de comenzar a estudiar la carrera de Matemáticas. Podría atribuirle parte de responsabilidad en esta decisión, incluso. Ahora yo intento hacer divulgación a mi manera, pero sin olvidar a mis maestros. Sobre el tema de este post, reconozco que por la razonable limitación de espacio, la longitud de los párrafos y la prudencia a la hora de introducir nuevos conceptos, me he dejado innumerables (esta vez la palabra en el sentido de la RAE) detalles, anécdotas, conexiones con otros temas… sin tratar. Si quieren saber más, ¡llévenme a un bar!

También se pueden leer libros… el de la derecha contiene la prueba de la Paradoja de Banach-Tarski.

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