Estudiar Matemáticas

Hace poco leí el libro de Stephen Krantz titulado A Mathematician’s Survival Guide, publicado por la AMS. Esta obra describe los estudios de Matemáticas en USA dando mucha información y consejos para quienes deseen desarrollar una carrera profesional en dicha disciplina. Aunque una gran parte de las observaciones que hace Krantz son extrapolables a cualquier lugar, los detalles técnicos son demasiado locales. Además, la decisión de estudiar Matemáticas creo que puede trazarse, en muchos casos, bastante antes de entrar en la universidad.

Aquí hablaré de mi experiencia, que, aunque muy personal, creo que tiene muchos elementos comunes con la de mis colegas de profesión. Normalmente, la habilidad para las Matemáticas aparece pronto, pero el que desemboque en los estudios universitarios depende mucho del recibir la orientación adecuada en los momentos precisos. Posteriormente, que la carrera pueda encaminarse hacia la investigación con un doctorado en Matemáticas se puede prever en ciertos indicios, pero también es conveniente un buen asesoramiento.

En la escuela

La predisposición para las Matemáticas aparece pronto

La infancia es una época de curiosidad efervescente, o solía serlo antes de la epidemia de déficit de atención provocado por la instantaneidad de tanta touch screen que nos rodea. A mí me gustaban las piedras, obviamente, pero también observar la naturaleza, los “bichos” en particular. Había reunido en un pequeño mueble destartalado los libros de texto de mis hermanos junto con un par de enciclopedias escolares de mi padre, hasta entonces arrumbados en el trastero. En ellos aprendí algunas cosillas de Matemáticas que a mí no me contaban en la escuela: yo fui una víctima de la llamada Matemática Moderna, y cada curso se dedicaba un tiempo a los conjuntos y correspondencias en detrimento de la Aritmética y la Geometría.

Siempre he sido muy olvidadizo. Como delegado de clase en 6º de EGB tenía que contar los estudiantes de mi curso que se quedaban a comer en la escuela y rara vez tenía el dato a tiempo. En una de las numerosas ocasiones en las que se me olvidó hacer los deberes de Matemáticas, el profesor me pidió que resolviera una de las tareas en el estrado para todos. Yo agarré mi libreta y me puse a resolver el ejercicio en la pizarra haciendo como que miraba las cuentas en el papel cuando realmente estaba improvisando lo que escribía. La jugada me salió bien y creo que fui consciente por primera vez de que se me podían dar bien las Matemáticas. Después de aquello, nunca he podido escribir razonablemente en la pizarra mirando a la vez un papel, y así es como todavía imparto mis clases.

El instituto

La importancia de contar con un mentor

Felizmente acabada la escuela, continué el BUP en el instituto. A pesar de ser la decisión natural en un estudiante de mi perfil, la Formación Profesional era una opción bastante más atractiva en aquella época que en la década posterior. Por azares de la vida, el segundo año lo cursé en Alhama y el resto (incluido COU) en Archena. Las matemáticas de 2º de BUP parecían ir bien mientras se tratase de Geometría Analítica y Trigonometría. Pero aquel año me expuse a una noción nueva, “límites”, que por motivo de ser algo totalmente nuevo (con la letra épsilon y los cuantificadores para todo y existe) se me atascó durante algún tiempo. Sin embargo, una vez superado esto, usaba ciertos límites y un conjunto de fórmulas para reproducir con mi rudimentaria calculadora aritmética operaciones propias de una calculadora científica (logaritmos, funciones trigonométricas…).

El profesor, don Pedro Parra, tomó especial interés en mí y solicitó hablar con mis padres, que acudieron bastante preocupados a la cita por si eran malas noticias. Les vino a decir que me veía muy cualificado para las matemáticas y que debía complementar mi formación con algunos libros. Desde ese momento, don Pedro se convirtió en mi mentor y seguí visitando periódicamente, aunque yo ya no estaba en el instituto de Alhama, hasta que acabé la carrera. En cada ocasión me recomendaba libros y gracias a él, alguna de las cosas más extrañas que se encuentran los estudiantes el primer año, como las estructuras algebraicas (grupos, anillos…) no me pillaron por sorpresa.

Una decisión fundamental

No basta que se te den bien las Matemáticas… ¿Estás dispuesto a dedicarte a ellas el resto de tu vida?

A pesar de haber recibido un estímulo adicional en Matemáticas, seguía sintiendo inclinación hacia las otras ciencias. Incluso cuando renuncié a la Biología en favor de Matemáticas, Física, Química y Geología, seguía acudiendo a las prácticas de laboratorio para observar tejidos en unos microscopios casi de los tiempos de Ramón y Cajal. En mi santoral particular estaban Einstein, Schrödinger y Feynman, pero también seguía loco por los minerales. Cuando tuve que rellenar la encuesta sobre futuribles estudios universitarios puse: Matemáticas, Física e Ingeniería de Minas, en ese orden. No era sólo una cuestión de deseos. Por ejemplo, el examen de Fisica de la Selectividad fue preparado por José Antonio Ibáñez Mengual (quien lo haya conocido sabrá lo relevante del dato a continuación) siendo yo el único del Instituto Vicente Medina de Archena que lo aprobó. Es una pena que estas cosas no cuenten para un CV…

Pero lo que me empujó de manera definitiva hacia los estudios de Matemáticas fue la participación en la primera fase (regional) de la Olimpiada Matemática. En aquel tiempo, era la única actividad de ese tipo que existía, organizada por la RSME y estaba destinada a estudiantes de COU. Me animaron a participar y la profesora, doña María Vigueras, me proporcionó unos folletos de Lecciones Populares de Matemáticas (Editorial MIR) para que abordase problemas de Teoría de Números y Geometría Clásica, que quedaban fuera del currículo oficial. A pesar de no haber podido resolver muchos de los problemas planteados, quedé primer clasificado en la Región de Murcia. El premio consistía en una beca para estudiar Matemáticas, renovable cada año siempre que fuera aprobando por curso. No participé en la fase nacional por problemas con el correo: no me llegó la carta a tiempo, como tampoco nunca llegó el periodista que entrevistó al ganador del año anterior y posteriores 😕

Intermedio: los matemáticos

No todos los profesores de Matemáticas que has conocido hasta ahora son matemáticos… pronto notarás la diferencia.

Acabada la segunda sesión de la Olimpiada Matemática, que se celebraba en el Campus de la Merced, me acerqué a la mesa donde estaban los profesores que supervisaban el evento. Se trataba de dos señores mayores y con poco pelo. Uno de ellos llevaba traje con chaleco y un reloj de bolsillo. El otro, una chaqueta de lana y gafas oscuras. Les pregunté por un problema que no me había salido y el profesor del traje, que después supe que se llamaba Procopio Zoroa, esbozó un esquema con la astuta idea que yo no había podido encontrar. Estando allí aproveché para preguntarles por un misterio que me “atormentaba”: la fórmula de Stirling ¿Cómo era posible expresar el factorial de manera tan precisa con una fórmula involucrando los números pi y e? Don Procopio me dijo que encontraría la respuesta en un libro escrito por su colega de gafas oscuras, José Antonio Fernández Viña, y me dio la referencia.

A los profesores Fernández Viña y Zoroa me los volví a encontrar en el estrado de clase en segundo y tercer curso respectivamente, así que los dejaré de momento. El hecho que quería destacar es la explicación que recibí de don Procopio y cómo le brillaban los ojos mientras me contaba la idea para ese problema: era la primera vez que fui consciente de estar con un matemático, en el sentido preciso del término. En este oficio uno tiene la oportunidad de tratar con muchas personas realmente inteligentes y, más aún, unos cuantos matemáticos son, además, dignos de admiración en otros aspectos. Ver a estas personas explicando, trabajando o discutir con ellos es el mejor estímulo para dedicarse a las Matemáticas.

La licenciatura (o grado)

Estudiando, haciendo exámenes, sin dinero… y aún así, los mejores años de tu vida.

La dinámica en la universidad, como estudiante, puede recordar a la del instituto de bachillerato, pero hay muchas diferencias, como la variedad de procedencias de mis nuevos compañeros, más acentuada en aquellos años en los que la Universidad de Murcia era un polo atractor para las provincias limítrofes. Nuestro primer curso estaba además muy masificado, así que en cuestión de días constituimos un grupo de cinco para turnarnos diariamente en la reserva de una fila de las más avanzadas para, simplemente, poder oír a los profesores. Eso ya no fue necesario el segundo año porque la enorme cantidad de “bajas” que solía haber en dicha transición (ahora la tendencia es otra: un número alto de suspensos haría saltar las alarmas). Realmente, mi único interés era escuchar a los profesores, no tomar apuntes, salvo que se tratara de algo que no pudiera encontrar en libros.

Lo principal en Matemáticas en comprender las ideas fundamentales. Dicho esto, también es necesario asimilar una cierta cantidad de información dedicando un tiempo al estudio. En mi caso, aprendí bastante porque, al poco de entrar en la universidad y por razones que desconozco, mis compañeros me preguntaban sus dudas y yo no quería defraudarles. Resultó algo decepcionante descubrir que no siempre había reciprocidad. En cuanto a la relación con los compañeros de curso, siempre he dicho (ver el post Montemáticas) lo condicionante que resultaba que rara vez hubiese actividad por las tardes: por lo que, si quería, podía comer todos los días en casa. A pesar de todo, no faltó tiempo para el amor y otras muchas “tentaciones” que te pueden distraer de los estudios… en resumen, los mejores años de la vida, perdón, de la juventud.

El apoyo de la familia

Pasará algún tiempo hasta que los estudios comiencen a dar sus frutos

Siempre tuve mucha afición a los libros, pero en la universidad se volvió pasión. Me di cuenta de lo fundamental que podía resultar estudiar en un libro u otro para comprender ideas o aprender procedimientos. Dejé el instituto pensando que no tendría que volver a enfrentarme a las lenguas extrajeras y la primera Navidad estaba tomado prestados de la biblioteca sendos libros en inglés y francés. Una cosa no ha cambiado aún en Matemáticas: el español no es su lengua, haciendo mío el aforismo de Echegaray. A falta de los recursos actuales (formatos electrónicos), los libros había que tenerlos en papel, y hasta las fotocopias cuestan dinero. Cuando no se tiene dinero propio, hay que confiar en la familia para el gasto extra que supone la adquisición de buenos libros, a pesar que ellos nunca entenderán lo que estudias ni para lo que sirve (salvo que sean científicos, claro).

Contaré el ejemplo más emotivo de crowdfunding que viví. El primer año, el curso se realizaba en el Campus de la Merced. En los días que llegaba una hora antes para reservar la fila, solía tomarme un chocolate con churros en La Aduana y pasar bastante tiempo en la librería González Palencia. Allí, una mañana revisando unos tomos algo vetustos, me doy cuenta de la cantidad de información (casi sabiduría) que encerraban sus páginas. Se trataba del Análisis Matemático de Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo, en tres volúmenes. Cada libro costaba entre 6000 y 8000 pesetas, que, teniendo en cuenta la subida del coste de la vida desde el año 1990, sería como unos 100 euros por volumen. Convencí a mis padres y mi hermana de lo esencial que era para mí tener esos libros, con el resultado de que cada uno de ellos haría la aportación para la compra. Cuando regresé con los libros, les pedí una dedicatoria en el volumen correspondiente (con boli verde). El segundo año comencé a impartir clases particulares en Archena, con lo que pude autofinanciarme la bibliofilia.

La importancia de un buen expediente

Si te conformas con simples aprobados, algún día podrías arrepentirte

En el primer examen (parcial) que realicé en la universidad obtuve un 10. Nunca había alcanzado una nota tan alta en el instituto. Rápidamente me acostumbré a los buenos resultados, aunque no me consideraba a mí mismo en una competición. Tenía curiosidad por todo lo que aprendía y así se reflejaba después en los exámenes. A pesar de eso, tuve un par de contratiempos precisamente con los profesores que conocí durante la Olimpiada Matemática. Don Procopio solía poner un cuestionario eliminatorio que debía responderse contra reloj (de bolsillo) para poder acceder al resto del examen. Acostumbrado a las preguntas de desarrollo, abandoné el examen tras el cuestionario lamentando mi torpeza. Pero cuando llegó el examen final, podía recitar el libro de don Procopio como si fuese el catecismo de la 1ª comunión (además, había completado temas con el Feller y el Loève). Nunca había estudiado de esa manera antes, pero así era el precio a pagar para mantener el expediente en lo más alto.

No siempre se puede ganar. Cuando José Antonio Fernández Viña me dio el Análisis Matemático de 2º, su estilo bourbakista no me resultaba tan atractivo como el carpetovetónico de Rey Pastor. Desgraciadamente, en un examen parcial fui incapaz de dar una prueba decente del teorema de las funciones implícitas. Sabiendo que podía hacerlo bastante mejor, le pedí al profesor Fernández Viña poder presentarme al examen final. El me respondió «Usted ya está calificado, señor Raja» y así me quedé con el único “Aprobado” de mi expediente. Esa nota tuvo consecuencias bastantes años después, aunque no le guardé rencor a Fernández Viña. De hecho, al acabar la carrera fui a hablar con él para pedirle consejo. Mientras se liaba un diminuto cigarro, me hablaba así: «Usted, señor Raja, tiene chispa. Por eso no tendrá problema para hacer la tesis doctoral. Pero debe marcharse al extranjero, Francia, por ejemplo. Y también debería salir con chicas, llevarlas al cine y todas esas cosas.» El viejo profesor desconocía los avatares de mi vida en esos momentos, pero reconozco el sentido y valor de su consejo.

Transición al posgrado

La orientación para adoptar esta nueva etapa es fundamental

Durante la licenciatura entablé una relación especial con un profesor de Análisis, Gabriel Vera, a raíz de que me diera clase durante el primer curso. No es un secreto que el estilo del profesor Vera no era el más popular en opinión de los estudiantes, entre otras cosas, por la enorme cantidad de información no relevante para examen que explicaba. Sin embargo, eso era precisamente lo que me fascinaba. A Gabriel le di mucho la tabarra, presentándome en su despacho cada vez que tenía ocasión para contarle mis estrafalarias teorías. Su influencia fue determinante para que me inclinara por el Análisis Matemático y realizara la tesina (un trabajo de iniciación a la investigación en el sistema universitario de la época) bajo su dirección.

Otra influencia fundamental en esta etapa fue la del profesor Bernardo Cascales, también de Análisis. Bernardo tenía la habilidad de presentar las ideas de una manera muy ordenada y todo lo que contaba resultaba tremendamente atractivo. La primera vez que me explicó los problemas en los que él estaba trabajando en una pequeña cartulina, la rompió al acabar. Yo recogí los pedazos y reconstruí la tarjeta. Son este tipo de detalles los que te hacen decantarte por una especialidad u otra más que el contenido matemático en sí. Por ejemplo, a mí me gusta mucho la Teoría de Números, por la claridad de sus enunciados y la profundidad de sus demostraciones, pero nunca tuve su correspondiente “pentecostés”. Volviendo a Gabriel, debo decir que la tesina se me atragantó más tiempo del deseable (dos años), porque estaba muy distraído con otros asuntos y porque no sentía que estuviera aportando nada original sobre la línea de trabajo propuesta.

La tesis doctoral

Vivirás casi todo el tiempo en un mundo paralelo que sólo tú puedes ver

En mi época existían los cursos de doctorado: un año más de asignaturas de introducción a la investigación. Actualmente son reemplazados por los másteres, aunque no son exactamente los mismo, ya que un máster está dirigido a un perfil más amplio de estudiantes, no necesariamente interesados en la investigación. En mi caso, el año de los cursos de doctorado estaba también trabajando en la tesina, que además servía para definir un contexto de trabajo en el que se realizará la tesis doctoral. Supuestamente, una tesis en Matemáticas debe contener resultados nuevos (teoremas originales) y resolver uno o varios problemas propuestos por matemáticos relevantes. Dicho así, parece un trabajo de envergadura, y ciertamente lo es… No obstante, si has llegado hasta aquí, aún puedes llegar más lejos, pero tendrás que sumergirte como nunca en las Matemáticas.

Contado de manera sencilla, hay tres formas de hacer una tesis en Matemáticas. En primer lugar: si eres un genio, trabajas de manera autónoma, resuelves un problema muy importante y el director figura como comparsa por el sencillo motivo de que toda tesis debe tener uno. La segunda opción: si eres avispado, eventualmente puedes encontrar una idea (entre las lecturas recomendadas por tu director) que, aplicada con ciertas variaciones o mejoras, sirva para resolver uno de los problemas en los que trabajas. La tercera modalidad, si eres trabajador y obediente: tu director intuye que cierto resultado es verdad, sabría cómo demostrarlo, pero nunca se ha tomado la molestia de completar los detalles. Así que te lo propone y te da las indicaciones oportunas para que lo hagas por ti mismo. En todos los casos, la medida de la tesis doctoral vendrá dada por el número de artículos emanados de ella y la categoría de las revistas que los publiquen.

El extranjero

Tendrás que salir para aprender cosas nuevas

Es posible que el tema que te interese para investigar no esté incluido en las líneas ofertadas por tu universidad. Pero siendo incluso tu universidad de las más punteras en el tema de tu elección, es muy conveniente realizar una estancia en otro centro, preferiblemente extranjero (actualmente es casi norma obligada pues se prefiere el doctorado internacional). Es una experiencia enriquecedora tanto desde el punto de vista científico como personal. Además, ayuda a poner las cosas en perspectiva. Si pensabas que el tema que trabajas es muy interesante, o importante, y tus profesores unas eminencias, en el extranjero descubrirás que las cosas pueden ser muy diferentes: puede que no sepan nada del tema en el que trabajas o, simplemente, les importe un comino. Es el momento de insistir que al extranjero no vas a hacer las mismas cosas que estabas haciendo en tu alma mater.

No he dicho en el apartado anterior en qué categoría se clasificaba mi tesis. Digamos que ni soy un genio, ni tampoco soy muy obediente… Llegado a un punto de estancamiento, cuya señal más evidente era el tiempo que me llevó la tesina, se me ofreció la oportunidad de irme fuera y la aproveché (los contactos del grupo de investigación y el servicio de internacionalización de la universidad facilitan esta tarea). Pasé un curso en Burdeos bajo la dirección de Robert Deville con la idea de trabajar en nuevos temas. Casi con frecuencia semanal, Robert me pasaba un preprint recién salido para que lo leyera e intentara aportar algo, cosa que rara vez ocurría. Hasta que un día de invierno, observé que algunas de esas ideas que estaba estudiando combinaba bien con una noción que había acuñado para mi tesina. A partir de ahí, todo fue sobre ruedas. La técnica que desarrollé se aplicaba en distintas situaciones, despertando el interés de los especialistas en el tema, que, a su vez, me ayudaron mucho a desarrollar los resultados finales.

Vivir de las Matemáticas como estudiante

¿Cómo se paga todo esto?

Es lamentable que muchos buenos estudiantes no aborden los estudios superiores por la incertidumbre de la financiación durante los años de doctorado y el futuro al que da acceso. Esto es particularmente sangrante en el caso de las chicas que, por cuestiones que no voy a intentar analizar aquí, tras el grado suelen apostar por carreras profesionales más seguras. Este es el punto exacto dónde empieza la “brecha de género” en los departamentos de Matemáticas universitarios, ya que el doctorado es condición necesaria. Cierto es que las Matemáticas pueden salir rentables desde que descubres que se te dan bien, porque no es lo habitual: se puede hacer bastante dinero con las clases particulares destinadas a universitarios a la vez que te ayudan a mantener un buen nivel. Con las clases para secundaria no se puede decir lo mismo, though.

Las becas de estudios alivian el esfuerzo familiar. En el último año, se puede tener acceso a la llamada beca de colaboración, que podría decirse que es un premio a la excelencia. Pero el doctorado requiere un alto grado de emancipación, por lo que su dotación debería ser equiparable a un sueldo. Las llamadas becas o contratos predoctorales cumplen ese objetivo. Dependiendo de qué organismo las conceda pueden ser de formación de personal universitario (FPU) o de investigadores (FPI). Las hay vinculadas a proyectos, lo que condiciona el tema de trabajo, quedando muchas de ellas desiertas cada año. Para el acceso a las becas es fundamental el expediente. En mi caso, el aprobado de Fernández Viña me situó en la lista de suplentes de la beca ofertada por la CARM (actualmente Fundación Séneca). Sólo diré que pasé unos meses angustiosos hasta que corrió la lista y conseguí la beca.

Y después ¿qué?

Ya hemos cumplido nuestro objetivo, ahora el resto de la vida…

Es frecuente en la presentación de un joven investigador mencionar variadas estancias posdoctorales en centros de diferentes países. Lo cierto es que en la coyuntura actual, no puede ser de otra manera. Debido a la escasa oferta de empleo en la universidad española, los jóvenes doctores se ven obligados a una diáspora en la que enlazan contratos posdoctorales, en general de no más de dos años, ofertados por centros bien financiados. Mientras tanto, engrosan el currículum y, eventualmente, pueden acceder a un contrato Ramón y Cajal o similar, que les permita regresar a España, con suerte cerca de su familia (nosotros somos mediterráneos, para lo bueno y lo malo). Si no se tiene ese apego al terruño, hay países que pagan bastante mejor a un doctor en Matemáticas activo en su línea de investigación.

Ciertamente, el propósito del doctorado en Matemáticas es formar un investigador que pueda seguir contribuyendo a la Ciencia durante el resto de su vida académica. Pero los parámetros de contratación en la universidad española (salvo casos realmente raros) se basan en las necesidades docentes. Sin embargo, la sobrecarga de estudiantes en la universidad pública (en detrimento de otras actividades profesionales muy dignas y bien remuneradas) no tiene un efecto directo en la oferta de plazas para nuevos profesores (si bien se proclama continuamente la excelencia como objetivo de la educación superior). Dicho esto, una carrera investigadora en Matemáticas en España está indisolublemente ligada a la docente, así que nuestra salida natural es regresar a la universidad como profesores. En mi caso, antes de defender la tesis, pude ocupar una plaza generada por la jubilación de Fernández Viña, precisamente. No obstante, existen otras opciones profesionales al margen de la docencia, por ejemplo, si se te dan bien los lenguajes de programación.

Para acabar

Ha sido un largo camino desde que supe que me gustaban las Matemáticas hasta acabar como profesor de esta disciplina en la Universidad de Murcia. Espero que estas pinceladas de cada uno de los momentos cruciales puedan servir de orientación a quienes aún tienen que andar su camino. Como profesor, de vez en cuando me encuentro estudiantes con los que conecto y otros que me detestan. A estos últimos sólo me gustaría recordarles que yo también fui estudiante, y si bien la mayor parte de mis profesores no son nombrados aquí por no convertir esto en una biografía, nunca les perdí el respeto y valoro el trabajo que hicieron. Algunos de ellos ya no están y su recuerdo forma parte de mi vida. Por eso, cada vez que me cruzo por el pasillo con alguno de esos estudiantes post-millennials que, después de varios meses de clase conmigo, hace como que no me conoce, no puedo evitar pensar que yo soy ya una parte de su vida… Pero como se suele decir en Matematicas, el recíproco no es cierto en general.