Si un acrónimo no es una buena manera de captar la atención, desarrollar lo que significa EDPSF seguro que no es mucho mejor: Ecuaciones en Derivadas Parciales y Series de Fourier, la asignatura del Grado en Matemáticas que he estado impartiendo durante los últimos tres cursos y que abandono para abordar nuevos proyectos docentes. Puede deducirse de lo que digo, que en mi departamento, los profesores no nos eternizamos en las asignaturas y que, cada cierto tiempo, tenemos la oportunidad de impartir y aprender cosas nuevas. En el caso de EDPSF, desde mis tiempos de estudiante, allá por el siglo pasado, no había vuelto a tratar con esta materia. Por eso, me apetecía dejar aquí al lector no matemático un poco de lo que he aprendido (o recordado) en estos tres años.
Ecuaciones en Derivadas Parciales
Es evidente que el título se compone de dos tópicos diferenciados, pero suficientemente próximos para que tenga sentido mezclarlos en una misma asignatura. Las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) son Ecuaciones Diferenciales donde la incógnita es una función de varias variables, conteniendo derivadas respecto a varias de ellas (derivadas parciales). Este tipo de objeto matemático aparece, principalmente, en problemas de Física, pero no únicamente. En general, cualquier proceso en el tiempo que tenga una componente espacial es susceptible de ser modelizado por una EDP. Por ejemplo, la interacción entre dos especies o el crecimiento de un tumor pueden describirse con EDPs. Hay que advertir que una misma EDP tiene, en general, infinitas soluciones y muy diferentes, por lo que es de la máxima importancia establecer condiciones adicionales que limiten a una única función la solución del problema.
Al igual que con las ecuaciones algebraicas, las EDPs más sencillas son las de primer orden. Para ellas hay desde finales del siglo XVIII una teoría bastante satisfactoria con fuerte sabor geométrico, desarrollada por Joseph-Louis Lagrange y Gaspard Monge, entre otros. Lamentablemente, el estudio de las EDPs de primer orden no es de mucha ayuda en las EDPs de orden superior, particularmente, las de segundo orden que aparecen ligadas a problemas físicos. En los próximos epígrafes hablaremos de las siguientes: la ecuación de ondas, la ecuación de Laplace y la ecuación del calor. No por la relevancia de los problemas que describen o su importancia histórica, que es mucha, sino por que son las que se estudian habitualmente por su sencillez matemática y por ser representante de tres grandes grupos de EDPs.
La ecuación de ondas
La llamada ecuación de la cuerda vibrante (de violín, por ejemplo), versión sencilla (dimensión 1) de la ecuación de ondas, fue propuesta en el año 1746 por Jean le Rond d’Alembert que, además, proporcionó de manera ingeniosa su solución general. La ecuación de ondas se presenta en muchas situaciones en las que se describe la propagación de una perturbación en un medio elástico o un campo, tal como el electromagnético. Esto último es muy importante para la Ciencia, ya que cuando James C. Maxwell descubrió en 1867 que las ecuaciones del campo electromagnético implicaban la propagación de perturbaciones de acuerdo con la ecuación de ondas, calculó su velocidad (expresable en términos de las constantes para las atracciones eléctrica y magnética), encontrando que coincidía con la de la luz. Esto permitió reconocer la luz como una manifestación del campo electromagnético, dando lugar a un desarrollo tecnológico cuyo pistoletazo de salida podemos situar en 1887 con los experimentos de Heinrich R. Hertz.
Es un hecho notable que los Pitagóricos descubrieran experimentalmente una relación entre Matemáticas y Música (bendecida por el Quadrivium) que más de 2000 años después se justificó rigurosamente con el estudio de la EDP de la cuerda vibrante. El sonido también se transmite por el aire y lo hace de acuerdo con la ecuación de ondas en 3 dimensiones, en la que el factor de elasticidad del medio gaseoso debe tener en cuenta consideraciones termodinámicas. La solución de Gustav Kirchhoff permite deducir una característica del sonido que tenemos tan interiorizada que no reparamos en ella: los sonidos los escuchamos una sola vez, salvo que reboten (eco). En dimensión 2 esto mismo no ocurre, como muestra la solución de Jacques Hadamard, y el sonido se repite después de ocurrido disipándose lentamente, como con la piedra que se arroja al estanque: aunque una onda circular se propague aumentando su radio, en el lugar donde se arrojó la piedra el agua sigue temblando.
La ecuación de Laplace
De la figura de Pierre-Simon Laplace dimos una pincelada anecdótica en nuestro post Ecuaciones diferenciales. Además, la ecuación de Laplace ya la hemos tratado en Circunferencias y esferas, aunque allí no la mencionamos con ese nombre, sino con el de ecuación de Poisson, que es más general, y el llamado Problema de Dirichlet, que es más particular. Ahora nos ocuparemos de ciertas variaciones. En efecto, la ecuación de ondas nos remite a una ecuación emparentada con la de Laplace cuando se investiga el problema de la membrana vibrante, o sea, el tambor. Si la cuerda de un violín puede producir determinadas frecuencias, la membrana de un tambor de contorno arbitrario puede hacer lo mismo. Pero con dos salvedades: las frecuencias en general no guardan las relaciones «armoniosas» que los Pitagóricos reconocieron, y además dependen fuertemente de la geometría de la membrana. «¿Se puede oír la forma de un tambor?» preguntaba Mark Kac en 1966 y la respuesta, negativa, llegó en 1992.
La ecuación emparentada con la de Laplace a la que nos referíamos es la de valores propios del operador laplaciano. Sin entrar es detalles y desde un punto de vista formal, dicha ecuación guarda muchas similitudes con el problema de diagonalizar una matriz simétrica, o equivalentemente, llevar una forma cuadrática a su expresión canónica, que no es otra cosa que describir, por ejemplo, una elipse según unas coordenadas paralelas a sus ejes. Así, la intuición geométrica se convierte en la guía que permite resolver una EDP como si fuera un problema de Álgebra Lineal, y ese desarrollo formal se lleva a cabo en el marco del espacio de Hilbert con algunos ingredientes que aún no introduciremos. Es inevitable no mencionar que espacio de Hilbert proporciona también soporte a la Mecánica Cuántica y la resolución de la ecuación de Schrödinger se reduce, en muchos casos, a la búsqueda de valores propios del operador hamiltoniano (una complicación del laplaciano, matemáticamente hablando).
La ecuación de calor
La ecuación que modeliza la difusión del calor y evolución de la temperatura en un cuerpo fue propuesta por Joseph Fourier en 1822 en una famosa memoria que a la Académie de Sciencies de Francia le costó mucho digerir. De hecho, Fourier vio publicada su obra gracias a que se convirtió en secretario de la institución científica. El motivo de tanta dificultad fue una audaz afirmación sobre la posibilidad de desarrollo de una función «arbitraria» en serie trigonométrica. En efecto, los mejores matemáticos de la época no entendían como una superposición de funciones tan regulares como seno y coseno podía producir gráficas con picos o, peor aún, discontinuidades. El resultado de la «bomba» que lanzó Fourier fue una profunda revisión de los fundamentos del Análisis Matemático: qué son las funciones, qué son los límites, qué son realmente los números. Ese proceso se completaría 80 años después con la introducción de la integral de Lebesgue.
No hemos dicho nada todavía de la ecuación del calor, que se llama también de difusión porque rige la distribución de probabilidad de una partícula que sufre perturbaciones aleatorias de su posición en el tiempo. La solución de la ecuación nos dice, por medio de la integración, la probabilidad de encontrar la partícula en una determinada región en el instante t>0, si para t=0 se encontraba en el origen. Naturalmente, una partícula en el instante t se encuentra en un único sitio, pero al ser las perturbaciones aleatorias, cada vez que se repite el experimento, el resultado es distinto y lo único que puede establecerse con precisión es la probabilidad. Lo más curioso es que este proceso puede observarse en la naturaleza: Robert Brown se dio cuenta de lo errático de las trayectorias de los granos de polen en suspensión en una gota de agua. En un famoso trabajo, Albert Einstein dio una explicación: en la escala de tamaño del grano de polen, se percibe la discretitud del intercambio de energía cinética con las moléculas de agua. El propio Einstein derivó la ecuación de difusión y demostró como la naturaleza atómica de la materia se manifiesta visiblemente a nuestros ojos.
Series de Fourier
Antes hemos dicho que Joseph Fourier afirmó la posibilidad de desarrollar una función arbitraria en serie trigonométrica y que esto desencadenó un proceso de revisión de los fundamentos del Análisis Matemático. En su honor, dichas expresiones en serie se conocen como series de Fourier, aunque la teoría fue desarrollada por otros autores, notablemente Dirichlet y Riemann. A finales del siglo XIX, un joven matemático realizaba su tesis doctoral sobre la unicidad de la expresión trigonométrica para una función dada. Sus investigaciones le llevaron al desarrollo de las nociones básicas de topología conjuntista (Topología General) y las bases de la Teoría de Conjuntos, lo que incluía la diferenciación entre distintos tamaños de infinitud y la teoría de números ordinales transfinitos, casi nada. Se llamaba Georg Cantor, y ahora toda la Matemática se fundamenta en la su Teoría de Conjuntos, el paraíso que Cantor ha creado para nosotros según David Hilbert, que como acabamos de ver es un spin-off de las series de Fourier.
La teoría de las series de Fourier queda englobada dentro del llamado Análisis Armónico, que investiga la expresión general de una función como superposición de componentes periódicas. Esto es particularmente interesante en aplicaciones tecnológicas, como el análisis de señales, procesado y compresión de sonidos (mp3) o imágenes (jpg), o los más sofisticados métodos de imagen médica, utilizan las matemáticas del Análisis Armónico. Naturalmente, la implementación de estas técnicas se hace con algoritmos que optimizan el volumen de cálculos y proporcionan el resultado en un tiempo razonablemente breve. Uno de los más famosos, la transformada rápida de Fourier (FFT) fue usado por Carl Friedrich Gauss, antes incluso de la aparición es escena de Joseph Fourier, para descubrir periodicidades ocultas en los datos sobre el planetoide Ceres proporcionados por las observaciones astronómicas, ver nuestro post El Sistema Solar para más detalles.
Una nueva visión de la realidad
Volviendo a las EDPs, la investigación de la existencia de soluciones puede llevar por caminos extraños. Ocurre que los métodos de Análisis Funcional, consistentes en considerar una EDP como un problema de Álgebra Lineal (esto no es así para EDPs no lineales) requieren la completitud del espacio de funciones que sirve de marco teórico. Pero la completitud de los espacios de funciones integrables suele conllevar la presencia de elementos altamente discontinuos, lo que está reñido con la derivabilidad inherente a las soluciones de EDPs. Esto se traduce en la necesidad de darle significado al concepto de solución no diferenciable. Pero esto es como abrir la caja de Pandora, porque muy pronto tendremos que considerar soluciones de EDPs que no son siquiera funciones 😕 ¿Cómo se come esto? Para el lector con cultura matemática, estamos hablando de las funciones generalizadas o distribuciones de Sergéi Sóbolev y Laurent Schwartz.
Al igual que la Teoría de la Relatividad o la Mecánica Cuántica nos obligan a alterar nuestra percepción de la realidad (la separación entre tiempo y espacio depende del observador, o que partícula y onda son dos caras de la misma moneda), las soluciones distribucionales de una EDP nos invitan a reflexionar sobre si las funciones «clásicas» son el mejor modelo para algunos problemas. Por ejemplo, en el planteamiento de la ecuación del calor se habla de la temperatura en un punto de un cuerpo, pero la temperatura realmente se mide con un termómetro que no se sitúa exactamente sobre un punto sino sobre una región limitada alrededor del punto. Podríamos decir que esto es problema del aparato de medida, pero el hecho es que la temperatura es un resultado de tipo estadístico sobre el estado de agitación molecular de cuerpo. Así la temperatura modelizada por la EDP no es una función que toma un valor en cada punto, sino una función definida sobre un conjunto de termómetros con distintos tamaños y posiciones con los que se puede examinar el cuerpo. Ésta es la idea esencial de las distribuciones, sólo que en lugar de termómetros hay funciones test.
Farewell PDEs!
Como decía el gran Paco Umbral, yo he venido a hablar aquí de mi libro de EDPSF. Aunque las EDPs y las series de Fourier son teorías muy asentadas y con muchos grandes textos escritos por matemáticos de primer orden, es siempre difícil encontrar un libro que refleje exactamente el punto de vista que uno desea darle y tenga en cuenta los conocimientos previos de los estudiantes. Por eso decidí redactar unos apuntes que doy por acabados justo al final de estos tres años, cuando ya no me harán falta para dar clase. El motivo por el que están en inglés así como otras consideraciones didácticas lo explico en los enlaces de mi web corporativa.
Con esto me despido de la Ecuaciones en Derivadas Parciales y las Series de Fourier, de momento… y de las Matemáticas, hasta el nuevo curso 🙂