Mes: noviembre 2023

El propósito de este post es dar una idea de esta importante herramienta matemática, lo qué significa y sus aplicaciones. Desde un punto de vista técnico-didáctico, tratar de explicar las ecuaciones diferenciales a un público general es meterse en un jardín del que difícilmente se podrá salir airoso. Pido a mis lectores que, llegado el momento, sean capaces de desligar la divulgación del entretenimiento en lo que sigue. Parafraseando a Euclides, no hay un camino fácil en Matemáticas.

Los ingredientes

Antes de explicar en qué consiste una ecuación diferencial es necesario especificar las nociones matemáticas involucradas. Realmente lo que voy a hacer aquí es recordar a mis lectores cosas que ya saben porque forman parte del curriculum obligatorio de matemáticas.

Ecuación

Ecuación significa igualdad entre cantidades resultantes de diferentes operaciones, simplemente. Lo que ocurre es que, normalmente, se reserva el nombre ecuación cuando la igualdad contiene algún término desconocido: la incógnita, representada habitualmente con una letra. Cuando esto ocurre, el objetivo es resolver la ecuación, es decir, calcular los valores que puede tomar la incógnita de manera que la ecuación sea cierta, si es que existe alguno. Por ejemplo, la ecuación x²+5=6x es cierta únicamente cuando x toma los valores 1 o 5. Podemos considerar ecuaciones con más variables, pero si queremos llegar a una solución determinada, como regla general se necesita el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Para ilustrar esto, planteamos un sencillo problema: en un corral hay conejos y gallinas, habiendo en total 10 animales y 28 patas ¿Cuántos animales hay de cada?

Función

Si los problemas matemáticos se redujeran simplemente a averiguar valores numéricos, como resolver ecuaciones del tipo descrito en el apartado anterior, no tendría sentido mi profesión. Por fortuna, especialmente para mí, las matemáticas operan con nociones más complejas. La relación entre cantidades numéricas variables (de ahora en adelante, simplemente variables) se describe por medio de una función. Por ejemplo, la variación de temperatura en Murcia a lo largo del día (o año) es una función, siendo las variables temperatura y tiempo. Más aún, podemos introducir otras variables, como la posición (a través de coordenadas, geográficas o geométricas), y examinar como varía la temperatura cuando nos movemos a otro lugar. De esta manera podemos ver la temperatura como una función del tiempo y la posición. Con frecuencia, se identifica una función f con su gráfica y=f(x).

Cálculo diferencial

Para el estudio de las funciones se han desarrollado herramientas específicas. Una de ellas es la derivación, que es un procedimiento por el cual a una función se le asigna otra función, llamada su derivada. Si la función es f su derivada es denotada f’, aunque por abuso de lenguaje escribimos y’. La derivada de una función proporciona información sobre la variación de ésta. Una interpretación intuitiva de la derivada es que expresa la velocidad con la que la función crece o decrece, según sea positiva o negativa. Por ese motivo, cuando la función alcanza un máximo o un mínimo, la derivada se anula en él. En efecto, máximo o mínimo representan la transición entre crecimiento y decrecimiento para la función, así como el cero la frontera entre los números positivos y negativos. Los lectores con conocimientos más avanzados podrían discutirme lo dicho hasta ahora, pero las matemáticas tienen recursos para extender la validez de las afirmaciones hasta extremos insospechados.

¿Qué es una ecuación diferencial?

Una función podría ser la incógnita en una ecuación. Por ejemplo, si queremos saber qué forma adopta una cadena suspendida por sus extremos, esta forma puede ser descrita con una función. La ecuación diferencial, que no intentaremos calcular aquí, resulta de aplicar las leyes del equilibrio estático a la cadena. En principio, una ecuación cuya incógnita es una función se llama ecuación funcional. Si la ecuación puede ser escrita en términos de una relación entre la función desconocida y su derivada (o derivadas de órdenes superiores) se llama ecuación diferencial. Por ejemplo, y’ = F(x, y), donde y es la función incógnita, x la variable independiente, y F una fórmula que contiene a ambas . El problema de la cadena colgante involucra en su planteamiento una integral de la función desconocida, pero una sencilla manipulación lo reduce a una ecuación diferencial de segundo orden, es decir, una relación entre la función incógnita y sus derivadas primera y segunda.

Al igual que existen métodos para resolver ecuaciones algebraicas sencillas, hay procedimientos para resolver ecuaciones diferenciales suficientemente sencillas. Podría decirse que los casos para los que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se resuelve explícitamente se cuentan con los dedos de la mano. Por este motivo, las aplicaciones, más o menos relacionadas con la realidad, se suelen repetir de unos libros a otros y algunos problemas son incluso famosos, como el de la máquina quitanieves: Una mañana comienza a nevar, de manera uniforme y continuada. A las 12 del mediodía una máquina quitanieves sale a limpiar la carretera. Si la máquina recorre durante la primera hora de trabajo dos kilómetros y solamente un kilómetro durante la segunda hora ¿a qué hora comenzó a nevar? (ver la solución en el libro de mi antiguo profesor Manuel López Rodríguez, Problemas resueltos de ecuaciones diferenciales, Thomson 2006).

Un ejemplo

Llega un momento en el que hay que mojarse: no se puede escribir un post sobre ecuaciones diferenciales sin mostrar una de ellas. Elegiremos una muy sencilla: y’ = k y, donde k es una constante. Es decir, buscamos una función f(x) positiva cuya derivada satisface f’(x) = k f(x). Notemos que no hemos especificado si la constante k es positiva o negativa, pues de ello dependerá que la solución sea creciente o decreciente. Sin embargo, ello no altera el aspecto formal de las soluciones. Quien conozca la teoría elemental de derivadas observará que la función f(x)=a^x satisface la ecuación si k=ln(a) (logaritmo natural o neperiano). Más aún, dicha función multiplicada por una constante sigue satisfaciendo la ecuación diferencial, es decir, cualquier función de la forma f(x)= c a^x, siendo c un número real (y positivo, para satisfacer nuestro requerimiento inicial). Notemos que con esto podemos encontrar una solución de la ecuación que satisfaga una condición del tipo y(x₀)= y₀.

Aunque sencilla, la ecuación anterior es muy interesante porque sirve para resolver varios problemas. Por ejemplo, describir el crecimiento de un cultivo celular o la desintegración de un material radiactivo. En efecto, en ambos casos la tasa de crecimiento (o decrecimiento) es proporcional a la cantidad de sustancia presente (número células o masa del material radiactivo) que es lo que expresa, simplemente, la ecuación y’ = k y. Otra interpretación de la misma ecuación viene del problema siguiente: ¿Qué forma debe tener la concha de un animal para que siempre mantenga la misma forma mientras crece por un extremo? Obviamente, pensamos en los moluscos (el crecimiento de la concha de las tortugas no satisface la hipótesis). Este problema, interpretado en coordenadas polares, conduce a la misma ecuación r’ = k r, que geométricamente significa la constancia del ángulo entre la curva y las rectas radiales que parten del origen. La representación de la función exponencial en coordenadas polares es la llamada espiral logarítmica descubierta por Jakob Bernoulli y que mandó grabar en su tumba con el epitafio eadem mutata resurgo.

Los teoremas

¿Qué ocurre cuando una ecuación diferencial no puede resolverse de manera explícita? Según lo dicho antes, nos encontramos en el escenario más probable. Quizás no nos interese saber la solución con todo detalle, sino conocer algunos aspectos de ella. Para ello, lo primero es estar seguros de que la solución, aunque «incalculable», existe. Después, saber si, fijadas las condiciones a satisfacer por la función incógnita, la solución es única (por ejemplo, para y’ = F(x, y) podemos tomar y(x₀) = y₀). De lo contrario, poco sentido tendría hacer previsiones sobre su comportamiento. Esta incertidumbre queda resuelta gracias a los llamados teoremas de existencia y/o unicidad que nos garantizan el poder trabajar con la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de tenerla explícitamente.

Demostrar que un problema tiene solución sin resolverlo es una de las características de las Matemáticas superiores que más sorprenden a los legos. Pondré un ejemplo sencillo para ilustrar esto. Consideremos la afirmación “existe un número real positivo x cuyo cuadrado es 3”, en otras palabras, existe la raíz cuadrada de 3. Tal número x , si existe, debería de estar entre 1 y 2, ya que sus cuadrados 1 y 4 comprenden al 3. Por el mismo motivo, x debería estar comprendido entre 1.7 y 1.8, pues sus cuadrados son, respectivamente 2.89 y 3.34. Siguiendo de esta manera, obtendríamos una sucesión de cifras decimales tras el 1 inicial: 1.7320508075… Con la propiedad de que cortada a cualquier altura y sumando 1 al último dígito del número resultante, define dos números racionales entre cuyos cuadrados se encuentra el al 3. Omitiendo alguna sutileza matemática, resulta que la sucesión de cifras anterior 1.7320508075… define un número irracional cuyo cuadrado es 3, el deseado x. Pues bien, las demostraciones de existencia para ecuaciones diferenciales son similares: se obtiene como límite de una sucesión de «soluciones aproximadas».

¿Qué entendemos por solución aproximada de una ecuación diferencial? Hay varias formas de proceder, pero quizás la más intuitiva sea la «discretización» que consiste en lo siguiente (aplicado a una ecuación de primer orden). La variable independiente tomará una cantidad finita de valores x₀, x₁, x₂… espaciados por una distancia h (es decir, h= x₁ – x₀ = x₂ -x₁ …). Los valores correspondientes de la función a determinar serán y₀, y₁, y₂… (sólo y₀ es conocido por ser condición inicial). La derivada en un punto x_n será sustituida por la expresión (y_n+1 – y_n)/(x_n+1 – x_n) = (y_n+1 – y_n)/h, que de acuerdo con la ecuación diferencial se puede expresar en términos de x_n e y_n. En consecuencia, y_n+1 puede ser calculado a partir de y_n, ya que x_{n =} x₀ + nh no tiene inconveniente. Partiendo de y₀ se calcularán sucesivamente y₁, y₂, y₃… Lo que puede verse como una línea quebrada con nodos en los puntos (x_n, y_n), que aproxima a la solución verdadera, mejor cuanto más pequeño sea h.

Sistemas dinámicos

Al final de la sección anterior hemos alcanzado el zenit de dificultad técnica del post. A partir de aquí seremos más cualitativos. Una ecuación diferencial, sea del orden que sea, puede reducirse a una ecuación de primer orden haciendo que la función incógnita tome valores vectoriales (tradicionalmente llamado sistema de ecuaciones diferenciales). Aunque esto puede parecer una enorme complicación práctica, desde el punto del vista teórico se gana en simplicidad. Más simple resultará si, además, la variable independiente no aparece explícitamente. De esta manera, la evolución de una solución dependerá solamente de por dónde pasa y no de cuándo lo hace (es habitual identificar la variable independiente con el tiempo en la discusión de sistemas de ecuaciones). A este tipo de ecuaciones vectoriales que no contienen la variable independiente «t» se les llama sistemas dinámicos (o autónomos): si la variable independiente se identifica con tiempo, la variable vectorial incógnita representa movimiento: de ahí el nombre. Una forma muy adecuada de pensar en un sistema dinámico es el mapa de vientos de la predicción meteorológica: según donde te encuentres, se te empuja en una cierta dirección y con una determinada velocidad.

Naturalmente, las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico (masas unidas por palancas, bisagras, muelles… o fuerzas a distancia) pueden ser escritas en forma de sistema dinámico. Sin embargo, al ser la segunda ley de Newton, de hecho, una ecuación diferencial de segundo orden, la reducción a un sistema de primer orden implica duplicar el número de variables espaciales (grados de libertad). La manera más sencilla de hacerlo es considerar las velocidades junto con las posiciones, dando lugar al llamado espacio de fases. En el espacio de fases usado en Mecánica Analítica están representadas variables de posición, no necesariamente cartesianas, y sus variables conjugadas, que no siempre se corresponden con velocidades. Este punto de vista arroja resultados sorprendentes, como el siguiente descubierto por Henri Poincaré: un sistema confinado en el espacio y que no pierde energía, volverá, con precisión arbitraria, a su posición inicial infinitas veces.

¿Determinismo?

A lo largo de la Historia han aparecido religiones y doctrinas filosóficas que afirman que el futuro está completamente determinado y, por lo tanto, niegan el libre albedrío. Curiosamente, el libre albedrío estuvo también en cuestión por parte de la Ciencia y, en ello, las ecuaciones diferenciales jugaron un papel relevante. Las Leyes de la Mecánica reducen el problema del movimiento de un sistema de masas interactuantes a ecuaciones diferenciales mostrando que la evolución del sistema está determinada a partir de las posiciones y velocidades iniciales. El universo entero es un sistema de masas en interacción, por fuerzas gravitatorias y electromágneticas, gobernado por la Mecánica newtoniana; la Química se reduce a la mecánica de las moléculas animadas por fuerzas electromagnéticas; la Biología se reduce al estudio de la Química Orgánica; finalmente, el pensamiento son impulsos electroquímicos en una estructura, el cerebro, que, aunque compleja, se reduce a una cantidad finita, aunque enorme, de átomos. Somos pura química: la ingesta de ciertas substancias puede cambiar nuestro estado de ánimo, por no decir más cosas.

El hecho de que el que la evolución del universo con todo su contenido pueda reducirse a unas pocas leyes tuvo consecuencias importantes en nuestra visión del mundo. Cuando Laplace presentó su gran obra sobre Mecánica Celeste a Napoleón, el emperador le hizo una observación: «Me cuentan que en esta gran obra sobre el universo no menciona al Creador en ninguna parte.» El matemático le replicó: «Sire, no he necesitado de esa hipótesis.» Si Dios ya no era necesario para gobernar el universo ¿seguiría siendo necesario para crearlo? Aparentemente, lo único que nos impide hacer una predicción certera sobre el futuro son dos detalles nimios: (1) conocer la posición y velocidad de cada partícula del universo en un instante dado; (2) resolver un sistema de 2n ecuaciones diferenciales, siendo n el número de partículas del universo. Sin embargo, aunque todo esto sea irrealizable en la práctica, no excluye la validez del teorema de existencia y unicidad que nos dice que sólo hay un resultado posible: el libre albedrío no existe… ¿o sí?

Sensibilidad, caos y desorden

El que hayas leído mi post hasta aquí es una decisión tuya, personal y consciente, que no tiene absolutamente nada que ver con la posición de las partículas del universo hace un par de horas. Podemos señalar varios errores en los argumentos de la sección anterior. El primero es que el modelo matemático es una idealización de la realidad tanto o más como Las señoritas de Avignon representa un grupo de mujeres. En segundo lugar, es sabido que la solución de una ecuación diferencial, en general, depende continuamente de las condiciones iniciales. Esto quiere decir que con valores iniciales parecidos se tendrán una soluciones próximas sobre intervalos prefijados de la variable. Sin embargo, si no se mantiene la variable confinada en un intervalo, podría observarse una tremenda divergencia entre dos soluciones por próximas que comiencen (sensibilidad respecto a las condiciones iniciales). Gracias a eso, el resultado de lanzar una moneda al aire se puede considerar un suceso aleatorio.

No obstante, en sistemas en una o dos dimensiones el comportamiento cualitativo de las soluciones no cambiará. Por ejemplo, un péndulo sencillo siempre oscila periódicamente, aunque cambie la frecuencia de dichas oscilaciones. Pero a partir de tres dimensiones pueden aparecer diferencias substanciales que afectan a la predicibilidad del sistema y que reciben el nombre caos, también conocido como efecto mariposa (una descripción poética puede escucharse en este enlace). Por ejemplo, un péndulo doble goza de dos grados de libertad, así que su espacio de fases tiene cuatro dimensiones… el caos está garantizado. Además de eso, en los sistemas con un gran número de partículas hay una componente estadística que debe ser adecuadamente tratada. Esto es el objeto de la Mecánica Estadística, donde los sistemas no evolucionan por la inercia, sino hacia estados con mayor probabilidad. Una baraja de cartas está bien ordenada de una sola manera, pero desordenada puede estarlo de tantas formas que se requiere un número de 60 cifras para expresarlo. El desorden es la esencia de nuestro libre albedrío, en la Física Clásica… no hablemos ya de principios de incertidumbre y gatos zombies.

EDPs

Hasta ahora hemos considerado ecuaciones diferenciales donde la incógnita depende de una única variable, respecto a la que realiza la derivación. Esto es algo bastante evidente cuando la ecuación diferencial describe un proceso que depende únicamente del tiempo, tal como sucede en los sistemas dinámicos. Este tipo de ecuaciones diferenciales con una sola variable independiente se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Naturalmente, el mundo es mucho más complejo. Por ejemplo, un proceso que dependa del tiempo y el espacio requerirá una ecuación con varias variables independientes respecto a las que se realizan derivaciones, necesariamente parciales. Por este motivo son llamadas ecuaciones en derivadas parciales (EDPs). Es una materia que aprecio bastante, ya que he estado impartiendo sus contenidos en una asignatura del Grado de Matemáticas (los apuntes son accesibles aquí). También hemos aludido a una cierta EDP en nuestro post Circunferencias y esferas.

Un aspecto interesante de las EDPs es, que a pesar de representar procesos continuos (por no decir derivables), son capaces de explicar fenómenos discretos o cuantificados. Las notas musicales se explican con ayuda de la ecuación de la cuerda vibrante. El hecho de que las variaciones de energía en un átomo estén cuantizadas se explica, por motivos análogos, a partir de la ecuación de Schrödinger, que rige la Mecánica Cuántica. Los llamados procesos de reacción-difusión encierran la clave de la aparición de patrones en Biología como las manchas de leopardos, cebras y jirafas. Esta compleja teoría de la Morfogénesis fue iniciada por Alan Turing, matemático conocido principalmente por su papel en el descifrado del código Enigma durante la Segunda Guerra Mundial, y que también sentó las bases de la Teoría de la Computación.

Editado 24/12/2024. He dedicado un post específico a las EDPs con motivo de haber dejado de impartir la asignatura correspondiente en el Grado de Matemáticas de la UMU.

Para acabar

Las ecuaciones diferenciales permiten, entre muchas aplicaciones, modelizar y estudiar la evolución sistemas y procesos que dependen continuamente del tiempo y, eventualmente, también del espacio. Lamentablemente, no se puede profundizar mucho más en este tema si no es a costa de un mayor despliegue matemático. Espero que la selección de temas que he presentado en este post despierte la curiosidad de los lectores.