Para el post de hoy he querido reunir unas cuantas anécdotas sobre los sitios remotos (desde mi punto de vista) de la geografía española donde he llegado buscando minerales. Después de más de un millón de kilómetros entre varios coches, mi memoria retiene muchos lugares, bien sea por la presencia de un determinado mineral, o bien por ser un lugar donde he parado a comer o dormir. Así que cuando me presentan a alguien de fuera de Murcia, inmediatamente le pregunto por su pueblo y con bastante acierto le hablo de alguna mina cercana a su casa, que no conoce, o de alguna especialidad culinaria de su tierra. En estos años he disfrutado visitando muchos sitios que ahora forman parte de lo que se llama la «España vaciada», donde la gente mira con extrañeza y curiosidad a un forastero. Porque donde te lleven las piedras, difícilmente te llevará una guía turística.
Durante muchos años, y muchos kilómetros, estos dos libros han ido sobre el asiento del copiloto en mi Renault Clío.
Este post tiene un poco de «batallitas del abuelo», porque parte del encanto de llegar a un sitio remoto tiene que ver con la preparación del viaje con ayuda de mapas. Antes del advenimiento de internet y el GPS, seleccionaba sitios con «el Mirete» (Introducción a los Minerales de España, de Emilio Galán y Salvador Mirete) ya mencionado en alguna otra entrada. Después, con un buen mapa de carreteras localizaba las poblaciones y trazaba la ruta. Una vez llegado el momento podía tener suerte o no, pero al cabo de los años mi vitrina ha reunido muchos nombres de lugares remotos: Palazuelo de las Cuevas (variscita), Puebla de Lillo (pirita), Ojén (cromita), La Fregeneda (casiterita), Áliva (blenda), San Pedro de Rozados (cuarzo), Almuradiel (estibina), Cervera del Río Alhama (cuarzo)…
Mi primera vez en Cantabria
Antes de tener coche aprovechaba cualquier oportunidad que me acercara a los minerales. El primer viaje que hice con mis amigos de Biología (ver Montemáticas) consistió en una semana en Cantabria, con sede en Cabezón de la Sal. Dos objetivos me había marcado: blenda acaramelada en Picos de Europa y minas de Reocín. El primero no era posible por estar todo cubierto de nieve, así que uno de los días dejé a mis compañeros y me fui en autobús a Reocín, previo paso por Torrelavega. La mina estaba en plena explotación, así que llegué hasta la recepción de las oficinas para pedir permiso.
Espectacular pieza de calcita, cubriendo una masa de sulfuros, Reocín (Cantabria).
Me presenté como estudiante de la Universidad de Murcia que debía recoger unas muestras con interés científico, omitiendo el detalle irrelevante de que, realmente, lo que estudiaba eran Matemáticas. Como no podían darme permiso para acceder a las explotaciones, me sacaron unas cuantas piezas que tenían por allí, algunas con calidad de museo. Una de las que me traje era una marcasita espectacular que perdí por la alteración del sulfuro tras unos años de infructuosos intentos por detener la reacción. La pieza más grande que todavía conservo consiste en una masa de sulfuro polimetálico (blenda y galena mayormente) de varios kilos cubierta de cristales escalenoédricos de calcita, por todas partes, menos una que está cubierta de dolomita.
La misma pieza de la foto anterior puesta del revés muestra un revestimiento de dolomita, Reocín (Cantabria).
A pesar de todo, yo quería coger minerales directamente de la mina, que era una gran corta a cielo abierto. Me las arreglé para colarme y esquivar la parte por donde circulaban los dumpers. Hacia las 2 de la tarde cesó la actividad, hecho que atribuí a la parada para la comida, con lo que seguí buscando minerales con algo más de tranquilidad. Craso error. Habían parado la actividad para hacer unas voladuras, que afortunadamente fueron en el otro extremo de la corta. Tras el susto inicial, el resto fue un espectáculo impresionante, que mucho tiempo después volví a ver en Puertollano. De la mina obtuve una pieza de pirita botroidal, que al final «murió» de lo mismo que la marcasita tras disfrutarla unos cuantos años en mi pequeña vitrina.
Minglanilla de los aragonitos
La la foto de la portada (de la sobrecubierta) del libro Minerales de España mencionado más arriba es de un aragonito de Minglanilla. Si bien el aragonito, como mineral, fue citado por primera vez en Molina de Aragón (Guadalajara, though) y de ahí su nombre, es en la localidad conquense de Minglanilla donde se encuentran los prismas pseudohexagonales más famosos de la mineralogía. El aragonito se encuentra con tal variación de proporciones, color y agregados que es imposible aburrirse en los barrancos de Minglanilla aunque no se sea aficionado a los minerales.
Cristal de aragonito de Minglanilla mostrando algo de color violáceo en su interior.
La primera vez que fui a Minglanilla comencé buscando en el sitio incorrecto. Tras un rato infructuoso fui a tomar café al pueblo, donde me dieron informaciones más precisas. A pesar de eso, no es fácil moverse por terreno que si no es casi vertical, está cubierto de matorral espeso. Tratando de abrirme paso por un barranco, observo un grupo de perros salvajes que pasan a través de la maleza sin problema. Pensando que yo también podría hacerlo, me decido a seguirlos. El supuesto paso era entre zarzas, y tratando de salvar un obstáculo en el suelo di un pequeño salto y… ¡dolor! Creo que quedé suspendido en el aire, enganchado en cientos de espinas, muchas de ellas en mi piel. La escena hubiera sido propia de Hellraiser de no ser porque pasó a plena luz del día. Después de liberarme y esquivar las zarzas comencé a recoger los primeros aragonitos.
Composición de varios aragonitos en matriz de yeso, Minglanilla (Cuenca).
Un par de anécdotas ocurridas en visitas posteriores. Tras dos noches durmiendo en el Clío, a mi pesar mientras cruzaba la península, la necesidad de higiene me impulsó a ducharme en los barrancos de Minglanilla con una botella de litro y medio de Font Vella. La piel queda muy suave, pero para beber prefiero otras marcas. Siguiendo con el agua, un día de verano, después de haber gastado toda la provisión, caminaba pesadamente hacia el coche con ayuda de un palo y la camiseta a modo de turbante. Entonces vi una extraña aparición que pensé que era un efecto de la insolación: subía por el camino un tractor que arrastraba un remolque lleno de gente hablando y riendo. Al llegar a mi altura me invitaron a subir y así hice, por si no fuera una alucinación. Resultó ser el medio de transporte que el ayuntamiento de Minglanilla puso a disposición de sus vecinos para disfrute de las piscinas de salmuera en el fondo del barranco.
Salamanca taurina
Me encanta la ciudad de Salamanca, por lo que suelo pernoctar allí cuando visito algunos de los lugares de interés mineralógico que se encuentran hacia el oeste, es decir, hacia Portugal. Acostumbrado al paisaje bético, me cuesta asumir que en lugares llanos haya minas: de repente un castillete junto al pueblo o un socavón encharcado en los granitos, que la gente incívica ha convertido en basurero y muladar. Por ejemplo, de Barruecopardo tengo un poco de arsenopirita masiva y un recuerdo de cadáveres de reses con enormes cuernos en distintos grados de descomposición alrededor de las minas. Pero no todo es llano. Cerca de Portugal la orografía se vuelve algo más complicada, y en la red de barrancos que van a parar al Duero sólo se puede sintonizar Antena Dois.
Casiterita mostrando un par de caras de cristal, de Lumbrales (Salamanca)
Muchas de mis incursiones en la provincia de Salamanca han sido infructuosas, o casi. Hablemos de esmeraldas… Siguiendo unas indicaciones cuyo origen no recuerdo, había una cantera donde han aparecido unos berilos con un buen color verde. Dejo el coche y comienzo a caminar por un camino que suponía el correcto para ir a la cantera porque en la gravilla del suelo habían pequeños trozos de berilo. Tuve que pasar un par de cancelas, siempre pendiente del suelo por si aparecía algún trozo mayor. En un momento dado levanto la vista del suelo y me veo rodeado por algunos toros bravos. Los animales me miran con atención y alguno se acerca con curiosidad. Sin hacer movimientos bruscos, comienzo a dar pasos para atrás. Cuando llego a la cancela respiro con alivio y entiendo que el berilo que he recogido en el camino será todo el que me lleve a Murcia.
Fragmento de cristal hexagonal de berilo recogido entre reses bravas en la provincia de Salamanca.
Sangüesa‘s red room
Después de coger piritas en Navajún y explorar un poco otros lugares de La Rioja, mi colega y yo nos encaminamos hacia los Pirineos. Se hacía tarde y las posibilidades de poder dormir en un sitio razonable se iban desvaneciendo. Tras varios intentos fallidos terminamos preguntando en Sangüesa. La primera recomendación que nos dieron sabíamos que no era viable porque ya habíamos pasado por el lugar, un hotel cerrado. La otra información consistía en preguntar en cierto «bar» donde podían tener alojamiento. En efecto, en la azotea del edificio había añadido unas habitaciones de madera para «uso eventual» que estaban libres. “¿Cuál se quedan?” – preguntó el dueño del local. “La que tiene pestillo” – respondí yo tras haber comprobado las puertas. Así es como llegamos a la habitación roja.
Simpática foto tomada por mi colega a la llegada a nuestra habitación en Sangüesa (Navarra).
Después de volver con el equipaje necesario del coche, busqué en una pila de revistas del bar un poco de lectura para antes de dormir. No fue fácil. Casi todas eran del tipo que no necesita texto. Mi colega se trajo el saco del dormir. Yo no lo hice y terminó siendo un error. Al poco de cubrirme con la colcha, su olor rancio se hizo insoportable. En un arrebato tiré de ella, la hice un ovillo y la arrojé al otro lado de la habitación. Dormí mucho mejor sin ella. A la mañana siguiente fui consciente de un problema: la habitación no tenía baño y para ello había que bajar una planta, pero en ningún sitio había toallas. Desde la ventana, veo unas toallas colgadas en el tendedero de la terraza, por lo que supuse que estaban limpias. Salí por la ventana, cogí una de ellas y me fui al baño. Tras la ducha, repetí la operación para volver a colgar la toalla en su sitio, como si nunca hubiera pasado nada…
Xàtiva, Keuper y cruising
Cada vez que pasaba con el coche por la cuesta en la autovía A-7 cerca de Xàtiva, yendo a, o volviendo de, Valencia, el corte en materiales del Keuper me daba muy «buenas vibraciones». Un día de verano que tenía algo más de tiempo, cambié la autovía por un tramo obsoleto de la antigua carretera nacional. En un una recta desde la que podría acceder a los terrenos, los pinos proyectaban una sombra estupenda sobre el arcén. Aparqué allí, pero algo extrañado porque había más coches en la misma situación. No creo que toda esta gente esté buscando jacintos de Compostela – me dije. Mientras cerraba el coche se acerca un señor con la camisa abierta y un llamativo colgante de cristal de Murano en el pecho 😕
Agregado masivo de jacintos de Compostela, Chella (Valencia).
Me cuenta que está allí esperando a unos amigos para ir a una fiesta a un chalet, que yo también estoy invitado si me apetece, que hay una piscina y que lo pasaremos bien… Declino amablemente la invitación diciéndole que sólo estaré un rato allí y no puedo demorar mucho mi regreso. Empiezo a caminar por allí y observo que me sigue otra persona. Sin tratar de sentirme aludido, comienzo a subir por una ladera y cuando creo que he subido lo suficiente miro hacia atrás y veo al que me seguía mirándome con pena desde abajo. Pensé en ese momento «donde te lleven las piedras…». Ahora en lugar de parar allí, voy a los barrancos de Chella, a muy poca distancia de Xàtiva. Muy recomendable también por allí para visitar la Albufera de Anna.
San Juan de Plan
Acabo con algo más reciente, de junio de este año. Llevaba mucho tiempo queriendo visitar la famosa mina de cobalto de los Pirineos, en el Valle de Gistaín. Así que aproveché la oportunidad que me daba regresar de un congreso en Lille al que había ido en coche. Como había bastantes horas de luz, tras dejar el equipaje en la habitación del hostal, comencé la búsqueda de la mina. Las indicaciones que me habían dado en el hostal se contradecía con el track de una excursión por las minas disponible en internet. Sin embargo, ninguna de las dos opciones me conducía a la mina. Al final, después de muchas vueltas me encontré con un personaje local, cuyo aspecto evidenciaba que se había criado en aquellos bosques y prados. Gracias a él accedí a la zona de las minas.
Una de las bocaminas, casi oculta por la maleza en San Juan de Plan (Huesca).
Una dura subida por un sendero casi desaparecido mientras me comían las moscas y tábanos. Entre la espesura del bosque se podían reconocer las ruinas de las casas de los mineros y varias galerías colapsadas. Frente a las bocaminas había montones de piedras oxidadas que interpreté como restos de acopios de los mineros. Partí muchas de ellas sin encontrar evidencias de metal, pero la densidad me desconcertaba. Tras examinar unas cuantas fracturas con la lupa, supuse que el mineral iba diseminado en el carbonato, y que el aspecto oxidado se debía a la descomposición de una parte de pirita. Recogí un puñado de esas piedras para examinarlas tranquilamente en casa y al día siguiente seguí con mi regreso a Murcia.
Acopio de ¿mineral? en San Juan de Plan (Huesca).
Según información consultada después, el estrato mineralizado consiste básicamente en ankerita (carbonato de calcio y hierro), que es el principal motivo de la alta densidad y lo que provoca el color oxidado en la roca al cabo del tiempo. En cuanto al mineral de cobalto (cobaltita) que salió de esta mina, según dicen, fue considerado en su época el mejor de Europa. Así que seguramente casi todo lo que recogí en San Juan de Plan es morralla, y tendré que volver por allí a mirar un poco mejor. No me importa mucho, es un pueblecito encantador de casas de piedra y poco turismo, que no hubiera conocido si no fuera por la búsqueda de minerales: las piedras me llevaron hasta allí.
Epílogo
Este verano tengo muchos planes para buscar minerales. No es por el hecho de aumentar la colección, que ya no tengo sitio donde meterla, sino por el puro placer de la búsqueda: trepo laderas, cruzo barrancos, me meto en agujeros, sigo las pistas que me da el terreno, hablo con los lugareños… Y, sobre todo, me mantiene en forma, a falta de una actividad física reglada. Para mí no hay nada mejor para la salud del cuerpo y del alma que dejarme arrastrar, de vez en cuando, a donde me lleven las piedras.
Cuando llegan las vacaciones de verano (mejor dicho, de agosto), entre los muchos propósitos que tengo, el más factible es el de disfrutar de buena lectura. Y si debo preparar el equipaje para pasar algunos días en la playa o de viaje, siempre echo unos cuantos libros a la antigua usanza, es decir, en papel (también me llevo el libro electrónico, pero lo reservo principalmente para lecturas obligatorias que no vale la pena tener impresas). Pensando en lo que me llevaría, en lo que estoy leyendo y en lo que aún tengo pendiente, he preparado este post con mis recomendaciones de libros para el verano.
Versión original
Desde hace muchos años me autoimpongo la lectura de libros en inglés o francés como forma de mantener y ampliar el conocimiento de esas lenguas. Los libros de los que voy a hablar en esta sección están en inglés, pero se pueden encontrar también en español, no siendo por ello menos recomendables.
El clásico de Edward Gibbon, The History of the Decline and Fall of the Roman Empire (Historia de la decadencia y caída del Imperio Romano), es considerado como una de las mejores muestras de prosa inglesa. Mi ejemplar es, en realidad, una edición abreviada, a pesar de lo cual nunca he conseguido acabarlo… por eso es mi eterno libro de verano y me acompaña siempre en vacaciones. Una pregunta fundamental ¿qué interés puedo yo tener el los romanos? Al igual que no hace falta estar interesado en la literatura para que te enganche un análisis literario de Jesús G. Maestro por YouTube, la manera en la que Gibbon escribe despierta la curiosidad sobre hechos tan remotos en el tiempo. Pero hay algo más, que resulta inquietante… quizás esas páginas escritas hace más de dos siglos contengan las claves de la decadencia y el fin de Occidente.
Un relato corto de Lovecraft puede leerse en un solo día de vacaciones, en un rato incluso, si no es de los más largos. Eso hace de este volumen de más de 800 páginas titulado Necronomicon (nombre de un grimorio atribuido a Lovecraft) una buena compañía para las vacaciones. El particular universo de Lovecraft, los sucesos extraños que ocurren siempre alrededor de Arkham, los expertos de la Miskatonic University que acuden a estudiarlos… Contiene algunas ilustraciones, siendo la de la portada el inimaginable Cthulhu. Una pega debo poner al criterio de los editores de esta recopilación de relatos: no incluye mi favorito Polaris. Quizás es que no es suficientemente weird.
El autor de la famosa Una breve historia de casi todoBill Bryson escribió este librito de viajes por Europa donde entrelaza sus recuerdos de mochilero con una revisión casi 20 años después de los lugares visitados. El título Neither here nor there se traduciría por «Ni aquí ni allí». Sus páginas están llenas de anécdotas, pero sobre todo, de ironía… Sí, me temo que ya lo he leído, pero volvería a hacerlo con gusto este agosto. El libro en sí mismo no es una guía de viaje, pero contiene informaciones interesantes que pondré en práctica cuando visite (o regrese) a los lugares descritos.
Para los que tenemos mala cabeza y al cabo del tiempo terminamos confundiendo a los hunos con los hotros, una lectura entretenida y liviana sobre la historia de la humanidad puede devolver algo de orden a nuestra memoria. Ernst H. Gombrich es el autor de una famosa Historia del Arte. El libro que estoy leyendo, A little History of the World (Una pequeña Historia del Mundo), fue escrito pensando en un público joven, por no decir infantil. Por eso se centra en un limitado número de acontecimientos, además de estar escrito en un inglés muy sencillo (la edición original fue publicada en alemán).
Conocer mejor la Región de Murcia
Si tengo que estar en la Región de Murcia en verano prefiero que sea cerca del mar. Afortunadamente nuestra costa mediterránea tiene muchos rincones casi vírgenes que sólo pueden ser accedidos a pie. La parte del GR 92 (sendero de Gran Recorrido) que atraviesa la Región es especialmente indicada para recorrer la costa, y resulta conveniente tener una guía en papel cuando los móviles pierden la cobertura. El Camino del Mar Mediterráneo, escrito por el incombustible Lázaro Giménez y tres colaboradores, es el libro que no faltará en mi mochila de playa.
Joaquín Abenza Moreno es muy conocido en Murcia por su programa radiofónico El Último Peldaño (Onda Regional de Murcia) dedicado a los misterios y lo inexplicable… de momento. Este librito titulado 50 Lugares Mágicos de la Región de Murcia, reúne un buen puñado de lugares misteriosos repartidos por nuestra región, bastantes de los cuales no conocía. Entre los que sí conozco, agradezco mucho que estén incluidos algunos del Valle de Ricote, como la casa Eiffel de Ulea, el Salto de la Novia y la leyenda de la cruz del Ope.
Los libros de mis amigos
Este año varios amigos han publicado libros. Me consta que este book boomer se debe a la pandemia de COVID… Yo mismo escribí un libro sobre mi asignatura de matemáticas «aprovechando» el confinamiento, disponible libremente en pdf (si tienes muchísima curiosidad está aquí). Pero mis amigos escriben mucho mejor y para un público más amplio. La Prehistoria en la Mochila, de Ignacio Martín Lerma cuenta las andanzas de Sepik, un joven neandertal que hace un viaje alrededor de la Península Ibérica, parando en los yacimientos más destacados de nuestros, no tan lejanos, «primos». El relato incorpora todo lo se sabe (o se sospecha) de los neandertales hasta la fecha, pero no puedo decir mucho más hasta que lo lea.
Un Calamar disfrazado de Caracol es la primera entrega de las aventuras de John Cánovas O’Malley, hijo estadounidense de padre murciano y madre americano-irlandesa, paleontólogo de formación y espía por coyuntura durante la Segunda Guerra Mundial. Marcial de la Cruz Martín, creador del personaje, es compañero de la Asociación Cultural Paleontológica Murciana, así que lector avezado reconocerá belemnite y ammonite en el título del libro, por si el diseño de la portada no fuera suficiente.
Como estoy hablando de mi verano, no podía faltar aquí Introduction aux méthodes de Baire, el último libro de Gilles Godefroy, que pienso disfrutar al igual que los otros. El teorema de Baire es una potente herramienta en Matemáticas que permite demostrar la existencia de ciertos objetos sin necesidad de construirlos explícitamente… y hasta aquí puedo leer, que decían en un famoso programa de la tele. Los profesores seguimos estudiando toda nuestra vida, pero si se hace en libros bien escritos, como éste, mucho mejor.
Una promesa…
Después del verano incorporaré una nueva línea al blog donde hablaré de libros que que me gustan o son relevantes para el conocimiento de los temas que trato.
¡Qué aproveche la lectura!
PD: No tengo ningún beneficio económico por las recomendaciones hechas en este post.
Jacinto de Compostela, de típico color rojo y pequeños «retoños» en sus caras laterales. El cuarzo rojo es el primer mineral que me fascinó en la infancia. Este ejemplar de 25 mm procede de Jumilla.
Se dice que el cuarzo es el mineral más abundante en la corteza terrestre, pero encontrarlo bellamente cristalizado es bastante más difícil. Depende, por supuesto, de donde se busque. Hay terrenos con más predisposición a la formación de buenos cristales de cuarzo, pero en otros es una rareza. Las diferentes circunstancias en las que puede cristalizar la sílice (óxido de silicio) condicionan el aspecto de los cristales de cuarzo, que pueden llegar a presentar grandes diferencias entre sí, a pesar de ser el mismo mineral.
Cristal de cuarzo terminado en pirámide triangular, Rodalquilar (Almería).
En la forma básica del cuarzo (sistema trigonal), la punta del cristal está formada por una pirámide triangular (puede haber vestigios de otras tres caras). Gracias a una macla de interpenetración de dos cristales con el mismo eje y ligeramente rotados (macla tipo Delfinado) o simétricos (macla tipo Brasil), el cristal de cuarzo adquiere su aspecto más habitual y estéticamente equilibrado: prisma (o pseudo-prisma) hexagonal terminado en sendas pirámides hexagonales (biterminado). El diferente desarrollo de unas caras respecto a otras, así como la manera en la que se agrupan los cristales, constituye lo que se llama el hábito. Estas nociones serán útiles en las siguientes secciones donde haremos un viaje por el cuarzo.
Jacinto de Compostela
El cuarzo fue mi primer mineral. Empecé buscando cuarzos tirado en el suelo durante los recreos en patio del colegio, en 1º de EGB en Archena: diminutos cristales biterminados, rojos y rosados, salían de entre el chinarro. Después aprendí que, aunque estos cuarzos pueden encontrarse en Neógeno y Cuaternario del Valle de Ricote, realmente proceden de los terrenos del Keuper. Pero no están repartidos por igual. Se puede recorrer suelos de Keuper durante bastante tiempo sin encontrar cuarzo de manera significativa. Así que cuando aparece en un determinado lugar no sólo se regresa de manera estacional para dejar obrar a la erosión mientras, sino que se trata de reconocer las características a grandes rasgos que lo diferencian del los restantes afloramientos estériles de Keuper.
Jacinto de compostela de 32 mm procedente de Buñol (Valencia).
El cuarzo del Keuper presenta variaciones en color y hábito (véase mi artículo Los Minerales del Valle de Ricote). Sólo los de color rojo sangre (debido al óxido de hierro) deben ser llamados jacintos de Compostela, nombre que sigue induciendo a error sobre la procedencia de los ejemplares (London Natural History Museum, sin ir más lejos). El tamaño es un handicap: superar los 3 cm de vértice a vértice en un cristal biterminado del Keuper es motivo de celebración. Los he visto mucho mayores, pero no los he encontrado yo, para mi desdicha. Ciertos afloramientos de Villanueva del Río Segura, Ricote, Jumilla y Cehegín me pueden proporcionar una buena mañana de búsqueda, pero si tengo tiempo cuento también con Chella, Domeño y Buñol (Valencia) o Minglanilla (Cuenca) entre mis lugares favoritos.
Cuarzos del Keuper de diferentes lugares de Murcia. El mayor de ellos mide 2 cm.
En cuanto al hábito cristalino, además de las variaciones en el desarrollo de las caras (principalmente), también hay agregados regulares de cristales. Son notables las disposiciones de cristalitos siguiendo una superficie, tipo esfera o similar. Los agregados de este tipo de Chella eran famosos por su tamaño y calibre de cristal. En Jumilla se pueden encontrar algo más pequeños pero muy regulares. Con uno de ellos mandé hacer una joya para mi madre.
Agregado esferoidal de jacintos de Compostela procedente de Jumilla, que hice engarzar para regalo a mi madre.
A pesar de la posibilidad de cristales de excepcional belleza, el cuarzo del Keuper, con los jacintos de Compostela en particular, tiene sus limitaciones. Si se quiere cuarzo de mayor tamaño, tanto de cristales como de pieza, hay que ir a los filones.
Minas de La Unión
El distrito minero de La Unión ha proporcionado gran cantidad de cuarzo con ciertas variaciones de hábito, color y presentación. Particularmente, la llamada popularmente como mina de Los Pajaritos. En sus alrededores, las escombreras permitían recoger buenos ejemplares sin necesidad de tener que bajar al subsuelo. A colación, uno de esos despropósitos en los que se malgasta el dinero público: a alguien se le ocurrió que había que acometer la «restauración del paisaje» y que lo mejor era arrojar mantillo vegetal sobre las escombreras. El tema de qué significa restaurar un paisaje es complejo y le dedicaré tiempo en otro momento. Sólo una reflexión: vamos muy mal que si los que deciden sobre paisajes y restauración son los mismos que que creen que las medianas y glorietas con césped artificial están más bonitas.
Placa de cuarzo de suave tono amatista. Las impurezas superficiales de óxido de hierro como las que lleva suelen ser eliminadas con limpieza química por los tratantes de minerales. Yo he querido mantener el aspecto original de la piedra: agua, cepillo suave y palillo de madera, como mucho.
El mantillo arrojado sobre la escombrera duró poco porque había mucho interés por parte de los aficionados de seguir recogiendo cuarzos en el único sitio de Murcia que está bendecido a la vez por la abundancia y la calidad de este mineral, supuestamente el más repartido sobre la tierra. Allí se recogían drusas, casi siempre desprovistas de la roca encajante. Algunas piezas presentan un tono leve amatista, otras aparecen recubiertas de calcedonia o una capa de recristalización. También ocurre que muchas muestras tienen las caras mates o cubiertas de una capa de suciedad resistente a los ácidos, pero se pueden trabajar para que resulten algo más atractivas a la vista.
Detalle de una drusa de cuarzo de La Unión. Las puntas tienen una base de alrededor de 3 cm. Afea su aspecto una deposición posterior de sílice menos transparente que la del interior.
La mina de Los Pajaritos (cuyo nombre oficial, por cierto, es mina Catón) y sus alrededores han producido piezas excepcionales: placas de casi medio metro con puntas de más 3 cm de diámetro medio. De esa remesa gloriosa tengo una pequeña muestra (la foto arriba).
Cristal biterminado de 35 mm con «retoño» lateral, de las cercanías de la venta del Descargador. Se forman adheridos a una masa de óxidos de hierro y manganeso.
Además de las drusas descritas, el cuarzo aparece en otras versiones. En el gossan frente a la venta El Descargador aparece de una manera menos densa que favorece el desarrollo de cristales algo más independientes. En algunas ocasiones pueden aparecer biterminados y casi flotantes. Si hay que poner una pega, es que de la mina sale uno pringado de negro de manganeso y la ropa queda prácticamente para tirarla a la basura.
Cuarzo prasio, agregado de cristales biterminados.
Finalmente, el cuarzo contaminado por greenalita (un silicato verde de hierro) adopta un tono verdoso (cuarzo prasio, el color verde es uno de los más raros para el cuarzo). Se pueden encontrar piezas visiblemente cristalizadas (en ocasiones el contaminante que colorea el cuarzo dificulta el buen desarrollo de los cristales).
Hondón de los Frailes
El cuarzo de La Unión no agota todas las posibilidades filonianas para este mineral. Los procesos volcánicos, aunque sean de eras remotas, pueden también producir cuarzos. En las ofitas (vulcanismo mesozoico) de la Región de Murcia se pueden encontrar alguna muestra, pero muy cerca del límite regional en Hondón de los Frailes (o mejor dicho, Albatera, ambos en la provincia de Alicante) hay una cantera de ofita que ha dado piezas muy estéticas. Los cristales de cuarzo se disponen sobre un «césped» de verde epidota, en los huecos que dejan los filoncillos de este mineral.
Cuarzo sobre epidota, el cristal mayor tiene 2 cm de longitud expuestos. Llama la atención la aparición «fantasmal» de la punta a la izquierda.
Además de cuarzo y epidota, la paragénesis es muy interesante. Hay además calcopirita, granate almandino, titanita, bisolita, aerinita… incluso he recogido algunas piezas de barita azulada. En el Keuper cercano aparece también la magnesita en grandes cristales prismáticos hexagonales de color café con leche.
Punta de cuarzo sobre epidota, en el borde de una drusa. El reflejo es deliberado, pues de no ser por él sería casi invisible. Delante hay un cristal de calcopirita cubierto de pátina oscura.
Producto de la contaminación por aerinita (un silicato azulado), también se pueden encontrar pequeñas muestras de cuarzo azul. Este cuarzo se ha formado tardíamente, respecto al anterior, porque previamente se requiere la descomposición de la ofita por procesos supergénicos.
Cristalitos de cuarzo azul, sobre ofita de Hondón de los Frailes.
El cuarzo de los granitos
Permitidme otro breve retorno a la niñez. Mi padre, después de nuestra primera etapa en Archena, es destinado a Madrid por cuestiones laborales. Entre 1980 y 1982 vivimos en dos ubicaciones del distrito de Villaverde. Desde la segunda tenía fácil acceso a un descampado donde pasaba buenos ratos mirando al suelo y al balasto de una vía de tren que se metía en el polígono industrial. Allí, en el sedimento cuaternario, encontré la punta de cuarzo rodada que muestro en la foto. Recuerdo también haber recogido un cuarzo más pequeño, pero de mejor calidad en unas obras cercanas a la escuela a la que iba, pero hace 40 años que anda extraviado. Lo que yo no sabía entonces es que aquellos cuarzos procedían de los terrenos graníticos (y metamórficos) que integran la Sierra de Madrid.
Punta de cuarzo visiblemente erosionada recogida en Villaverde (Madrid) en 1981.
Los terrenos graníticos permiten la formación de filones y geodas de cuarzo a mayor presión y temperatura, pero sobre todo más lentamente, lo que redunda en el buen desarrollo de los cristales. Hay muchas localidades clásicas en las que no he tenido suerte, como La Cabrera (Madrid). Aquí dejo una muestra de lo que poco que tengo en mi colección sobre cuarzo con procedencia granítica.
Cristal (punta) de cuarzo separado de una drusa «flotante» (tiene recristalización por la base), recogido en Cerro Muriano (Córdoba). En la superficie de separación se aprecia con claridad las líneas de crecimiento.
Cerro Muriano (Córdoba) ha producido ejemplares espectaculares que hay que mover con grúa o entre varias personas. Yo mismo he sentido en mis carnes la impotencia de no poder separar un ejemplar con cristales como mi puño por carecer de las herramientas adecuadas. Así que he tenido que conformarme con alguna pieza suelta como la de la foto, recogida en las inmediaciones de las antiguas minas y no de la cantera, todavía en explotación. Aparecen también puntas casi flotantes, con la base recristalizada y contacto mínimo con el resto de la drusa.
Agregado de cristales de cuarzo transparente, de una escombrera de la mina de Sn-W de San Pedro de Rozados (Salamanca). Los líquenes por abajo los he dejado a posta como parte de la historia del ejemplar.
En algunas ocasiones que he visitado antiguas minas en la provincia de Salamanca he visto tirados por el suelo cristales de cuarzo blanquecino de varios centímetros, en general rotos y desgastados. Pero en una escombrera de la mina de San Pedro de Rozados me llevé la grata sorpresa de recoger una pieza relativamente grande con varias puntas transparentes. El ejemplar adolecía de «maltrato minero» y de haber pasado tiempo a la intemperie, pero aún así diría que es una pieza espectacular (juzgue el lector por la foto).
Puntas de cuarzo recogidas cerca de Andújar (Jaén).
Acabo la sección con un recuerdo extraño. Tratando de acceder a ciertos rincones de la Sierra de Andújar, lo que es bastante difícil por estar todas las fincas valladas. En algún lugar de la carretera que sube al Santuario de la Virgen de la Cabeza, pude acceder a unas arenas de meteorización de granitos donde recogí varias puntas de cuarzo con aspecto más alpino que de otra cosa. También había allí un pequeño bifaz sobre lasca de cuarcita.
El cuarzo alpino de Almuñécar
En el imaginario del buscador de cuarzo está siempre presente el cuarzo de tipo alpino. Se trata de cristales de prisma notablemente desarrollado, a veces en detrimento de la punta, de gran brillo y transparencia que se han formado en terrenos metamórficos como producto de potentes movimientos orogénicos. Aparecen en filones, formando drusas o geodas. Sólo he tenido una ocasión de buscar el cuarzo alpino propiamente dicho, véase mi postWeekend en los Alpes. No obstante, con la misma génesis se presenta en la Cordillera Bética (Sierra Nevada, Filabres…).
Punta de 6 cm de longitud y 4 cm de anchura. La base está recristalizada.
La Loma del Gato en Almuñécar (Granada). Supe de este lugar gracias a la información que circula por internet, pero no daban indicaciones precisas sobre dónde están los cuarzos. Paseando por allí, si es que se puede llamar así a moverse por ese lugar tan agreste, se puede ver abundante cuarzo masivo blanco en cuyos huecos hay cristales trasparentes, pero mucho más pequeños que lo que esperaba. La información era correcta, no obstante y se pueden encontrar cristales de varios centímetros en torrenteras y márgenes de caminos. Sin embargo, esos cristales vienen de geodas en los esquistos, no en el cuarzo masivo.
Cristales de cuarzo en su matriz. Lo normal es que estén separados de ella.
Cuando una geoda aflora en el suelo lo primero que ocurre es que se llena de tierra. El «truco» es descubrir estas geodas, delatadas por algunos cristales, y vaciarlas cuidadosamente en busca de más. Los cristales de cuarzo están sueltos porque el sustrato esquistoso no los sujeta firmemente. Yo he tenido la suerte de vaciar dos de estas geodas, una de ellas de más de un palmo de profundidad que me ha proporcionado algunas piezas de buen tamaño. La operación la realicé con mis propias manos para no desportillar las piezas, por lo que me llevé algunos cortes en los dedos, pero mereció la pena.
Joya elaborada con una punta de cuarzo de Almuñécar recogida por mí mismo y que Tere luce en su cuello de vez en cuando.
De entre los cristales sacados de esas geodas escogí uno para encargar un colgante. No para mí, sino para Tere. Las particularidades de los cristales de Almuñécar, entre otros cuarzos, incluso los alpinos, hacen esta pieza una joya más exclusiva que si la hubiera comprado en Tiffany’s.
Cervera del Río Alhama
Un día me entero gracias Rafa Lozano que en La Rioja aparecen unos cuarzos completamente hialinos, a veces biterminados, de varios centímetros y brillo adamantino. Entre los aficionados y comerciantes este tipo de cuarzo se llama Herkimer por la localidad tipo en el estado de Nueva York (USA). La sorpresa mayor es cuando además me dice que se han formado en un Cretácico lacustre, junto a restos de dinosaurio y madera petrificada ¿En serio? Así que abandonamos momentáneamente los filones para irnos a las rocas sedimentarias.
Cristal completo de 6 cm. Las caras tienen un desarrollo desigual.
A partir de ese momento comencé a incluir un preceptivo paseo por Cervera del Río Alhama cada vez que anduviera cerca de La Rioja. No es fácil ver estos cuarzos porque son tan transparentes que no sabes que tienes uno delante hasta que una de las caras provoca un destello. A veces, se puede ver un brillo desde decenas de metros, pero luego resulta ser de una muestra menos que centimétrica… pero de vez en cuando aparecen una pieza cuyo tamaño y calidad compensa echar la mañana (o tarde) en ese paraje desolador.
Cuarzo perfectamente hialino, sin inclusiones y limitado por caras de desigual desarrollo.
La pieza de la foto justo arriba de este párrafo estaba semienterrada bajo un tomillo (o similar). Lo que mis ojos interpretaban era un agujero en el suelo como el de un bicho (araña, por ejemplo), pero cuando me movía levemente había una cierta distorsión óptica. Cuando acerco el dedo al agujero resulta que toco algo sólido, et voilà ! Otro cuarzo.
Prisma biterminado de 25 mm.
Además de tamaño o pureza, puede intentar buscarse la perfección cristalográfica, representada por el ejemplar de la foto de arriba. Otro objetivo, puede ser tratar de obtener los cuarzos hialinos en matriz. En este sentido no he encontrado nada que me gustara. Sin embargo, los cuarzos lechosos, que también los hay, en general más grandes sí que se pueden encontrar incrustados en filoncillos de calcita.
Cristal biterminado de cuarzo lechoso. Tengo otra muestra, menos agrietada y de similar tamaño en matriz, pero no se luce mucho.
Las «piñas» de Campos del Río
En terrenos ígneos, metamórficos o sedimentarios, parecía, en cualquier caso, que la formación de buenos cristales de cuarzo requiere condiciones de presión (diagénesis, por lo menos, para las rocas sedimentarias) y tiempo… Pues bien, eso tampoco es cierto. En terrenos del Neógeno con menos de 10 Ma y de los que el mar no ha hecho otras cosa más que retirarse lentamente, también pueden desarrollarse cristales de cuarzo por encima de 1 cm. Insisto, sin presión ni más temperatura que la de los tórridos veranos miocenos. La prueba: en terrenos del Messiniense de Campos del Río (Murcia) aparecen unos agregados radiales tipo «piña» de cristales de cuarzo blanquecino.
Piña de cuarzo messiniense de 4 cm de diámetro.
Se encuentran en la marga, junto con madera fosilizada (en sílice o, parcialmente, en carbón) y calcedonia, la cual constituye la base de estas piezas. Como mineral formado en ambiente con abundante materia orgánica manifiesta una cierta fluorescencia. La mayor pieza que tengo del yacimiento no tiene forma de piña sino de masa retorcida que podría pasar por un trozo de geoda.
Pieza de cuarzo messiniense de 8 cm de longitud.
«Hielo» de Carrascoy
Después de la etapa en Madrid, mi padre entró en una especie de prejubilación y la casa de veraneo de El Cañarico (Alhama de Murcia) sufrió ciertas reformas para convertirse en vivienda habitual durante 5 años, y esporádica unos cuantos más tras iniciar nuestra segunda etapa en Archena. La cima de la Sierra de Carrascoy, señalada por las antenas, se ubica aproximadamente frente al Cañarico. Desde mi casa, cada mañana contemplaba la umbría de Carrascoy, muchas veces con una neblina que desaparecía en cuanto calentaba algo el sol. En muy raras ocasiones he visto esa misma ladera completamente cubierta de nieve… pero el «hielo» del que voy a hablar ahora no tiene nada que ver con el frío.
Cristal de 6 cm entre vértices, con bastantes caras desarrolladas, además de un «retoño» visible a la izquierda, y otro en segundo plano a la derecha.
Hace muchos años visitamos a una pariente lejana de mi madre en Los Almagros (Fuente Álamo). La señora me habló de unas minas de hierro en la solana Carrascoy y mostré tanto interés en el asunto que nos acercamos esa misma tarde. Mi primera impresión fue la de un lugar infestado de moscas, por lo que tardé en volver. Resulta que la masa de óxido de hierro (principalmente hematites) está cortada por filones de cuarzo que han dado lugar a algunas drusas cristalizadas. Una deposición posterior de calcita y brecha ferruginosa ha dejado estas drusas parcialmente ocultas, por lo que el cuarzo resulta menos obvio.
Cristal parcialmente desarrollado que ilustra perfectamente el nombre «hielo de Carrascoy».
Además de drusas, aparecen algunos cristales bastante independientes. Estos cristales superan los varios centímetros entre puntas, cuando las hay (tengo uno que llega a 8 cm), pero tienen muchos defectos de formación. Cuando el cuarzo es blanco suele estar agrietado y muestra tendencia a tener caras curvas y aristas poco definidas. La versión más transparente ofrece una mejor cristalización en general, pero aún así las caras tienen un aspecto disuelto y empañado, que junto con las grietas internas, hacen que estos cuarzos parezcan «cubitos de hielo» irregulares.
Drusa de cristales sobre óxido de hierro con calcita (parte superior a la derecha).
A pesar de las mencionadas irregularidades, la presencia de casi todas las caras en mayor o menor desarrollo, la peculiar trasparencia y el tamaño, hacen de estos cristales un aporte muy interesante a la diversidad del cuarzo en la Región de Murcia. Pero para mí son algo más: un tesoro que la sierra de Carrascoy me ha estado ocultando hasta que yo estuviera preparado para apreciarlo.
Conclusión
Hablar de varios tipos de cuarzo ha sido la excusa. He querido hacer un relato a modo de El Alquimista de Paulo Coelho (aunque la misma moraleja, pero con menos desarrollo, la recoge Borges en su Historia universal de la infamia atribuyéndola a Las 1001 Noches). Un viaje iniciático que comienzo con la búsqueda de cuarzo en terrenos sedimentarios mientras sueño con filones y la riqueza del granito. Tras visitar los terrenos graníticos y metamórficos, resulta que el cuarzo más puro y adamantino no está allí, sino en el Cretácico de La Rioja. Y cuando más convencido estoy de que no hay buenos cuarzos cerca de mi casa, resulta que la montaña de Carrascoy, cuya vista imponente he disfrutado desde que tengo memoria, me desvela su peculiar «hielo»: el tesoro estaba escondido en casa.
Otro cristal de cuarzo de Carrascoy… se parecería más al hielo con luz transmitida.
Yo sólo soy un buscador de cuarzo que de vez en cuando recoge otras piedras. El cuarzo fue mi primer mineral, y en más de una ocasión he pensado que podría ser también el último. No es broma. Los peores accidentes, afortunadamente sin consecuencias, que he tenido en el desarrollo de esta afición me han ocurrido tratando de recolectar cuarzo. Por eso no deja de ser irónico que a veces encuentre buen cuarzo donde no lo espero y no lo busco. Eso me lleva a otro recuerdo de juventud, el último por hoy: la foto con la que cierro este post es cuarzo recogido en El Cañarico. Se trata de una cuarcita con una drusa de cuarzo que ha sobrevivido a la erosión que la depositó en los terrenos cuaternarios, no muy lejos de mi casa.
Drusa de cuarzo desarrollada en un filoncillo en cuarcita alpujárride procedente de Carrascoy, El Cañarico – Alhama de Murcia.
Puede que el cuarzo sea el mineral más abundante, pero también hay que saber verlo… y esto último me ha llevado, sin exagerar, 40 años.
Salir al campo, aunque sea solamente a buscar piedras, implica ver otras muchas cosas: paisajes, ruinas, plantas, animales… A veces no encuentras el mineral que buscas pero puedes tener un encuentro inesperado con algún habitante de esos parajes. En muchas ocasiones, dicho encuentro supone un susto para ambos y lo último que uno piensa es en sacar la cámara. Pero una foto de vez en cuando, pueden ser muchas al cabo de los años. Este post está dedicado a los animales con los que me he tropezado de manera casual.
Me he tomado la libertad de incluir muchos animales domésticos o «antropizados» de algún modo, así como verter una cierta dosis de opinión personal en los comentarios a pie de foto. Este post por su naturaleza, recibirá ampliaciones a medida que haga nuevas fotos o descubra alguna interesante entre los millares que aún tengo sin clasificar.
Reunión de jabalíes en la Fuente del Hilo (Sierra Espuña). Hasta hace unos pocos años, esta escena era frecuente porque los animales se habían acostumbrado a bajar cada día a la hora en la que sacaban la basura orgánica del restaurante. Me cuentan que los animales fueron sacrificados… motivo: los gestores del parque han adoptado esa visión fanática del ecologismo que se empeña en considerar al ser humano como una anomalía.Este zorro en Cazorla (Jaén) también ha perdido el miedo al ser humano y se acerca a nosotros para intentar conseguir algún resto de comida. La foto salió borrosa porque estaba casi oscuro.Salamanquesa, un cazador que también obtiene beneficio del ser humano. Sabe que su comida acude atraída por la luz de las bombillas en las noches de verano. En contrapartida, nosotros tenemos menos mosquitos y menos polillas.Burrito con un arado romano en las proximidades de Lezuza (Albacete). El ideario buenista contemporáneo quiere que veamos aquí un «animal explotado», pero el alimento, los cuidados y, posiblemente, todo el cariño que recibe este animal proceden únicamente de su amo y «explotador».Además de ser la oveja negra de su rebaño, va rezagada… Ya sé que hay ovejas en todas partes, pero justamente por eso no suelo hacerles fotos. Esta escena está tomada cerca Setenil de las Bodegas (Cádiz).Bloqueado por un rebaño… lo que más me gusta de estas situaciones es ver la diligencia con la que actúan los perros pastores.Tere saludando a una cabra que se proteje del calor a la sombra de un taray, cerca de Salobre (Albacete). Estar acostumbrado a condiciones climáticas duras no significa renunciar a las pequeñas alegrías.Cabra montés sorprendida cuando devoraba las hojas de una higuera en un huerto cerca de Cazorla (Jaén).Bucólica escena con vacas en Asturias, camino de Taramundi para visitar sus conocidos talleres de fabricación de navajas.Más vacas, pero ahora en Suiza. No deja de llamarme la atención la gran diferencia que puede llegar a haber entre razas.Toro, en los Pirineos, cerca de Puigcerdá, mientras yo buscaba, con poco éxito, un raro fosfato.Toro de una raza particularmente lanuda, en Métabief (Francia).Para acabar con el ganado vacuno, la versión jorobada africana en Burkina Faso.Una imagen del pasado: colonia de galápagos de florida en el jardín tropical de la Estación de Atocha (Madrid). El estanque fue suprimido hace unos años, galápagos incluidos, en nombre del «bienestar animal».Sapo tratando de escabullirse mientras intento fotografiarlo, en un día lluvioso (que aprovechan para desplazarse y reproducirse) en las inmediaciones de Chella (Valencia). Que el día fuera lluvioso repercutió positivamente en la búsqueda de jacintos de Compostela.Enorme rana refrescándose en un gotero en las inmediaciones de Alhama de Murcia.Tortuga mora, en el campo de Mazarrón. Todavía bastante gente cree que estos animalitos están en el campo para cogerlos y llevarlos a casa… La de la foto muestra cicatrices en la parte delantera de su caparazón, posiblemente un encuentro con los colmillos de un carnívoro.Juvenil de tortuga mora trepando por mi martillo, también en Mazarrón. Esta foto fue tomada en pleno invierno «astronómico», cuando se supone que las tortugas hibernan… obviamente no era el caso y estos animalitos se fían más de la temperatura que del calendario.Libélula captura en casa, momentos antes de su puesta en libertad.Araña, en el centro de su tela en la Sierra de Ricote. No es incompatible la belleza del dibujo de su abdomen con el temor que infunden en muchas personas.Si no ves los hilos te puedes encontrar de repente con esto (Mazarrón).Araña de la misma especie, pero ahora en Librilla. Lo que tiene delante es su víctima, envuelta en tela hasta que llegue el momento del banquete.Bonito «cráter» anunciando la entrada a un hormiguero. Seguramente es el resultado de las reparaciones tras una lluvia reciente.Culebra tomado el sol en la Sierra de Ricote. Normalmente son muy tímidas, pero esta no se sentía demasiado molesta con mi presencia.Pequeña víbora, aletargada por estar hibernando. La encontré al mover una piedra en el campo de Ulea (Murcia), y después de hacer la foto, volví a colocarla cuidadosamente. Esta foto es fue hecha mientras me documentaba para mi postMinerales del Valle de Ricote.Este pequeño saurio conocido como «culebrilla ciega» puede ser fácilmente confundido con una lombriz. La primera vez que encontré uno en El Cañarico me pasé varios días, antes de liberarlo, tratando de convencer a mi familia de que se trataba de un auténtico vertebrado. Cuervo, en un parque londinense.Urraca con problemas de ceguera, entre otros males, adoptada en un taller mecánico de Les Milles, cerca de Aix-en-Provence (Francia).Buitres, sobre el cementerio de un pueblo soriano. Un rato después, ya entrada la noche y recogidos los buitres, salen de paseo las ánimas del purgatorio… Buen sitio para (re)leer las Leyendas de Bécquer. Nidos de cigüeña en un promontorio rocoso coronado por una veleta ¿lo habrán confundido con un campanario? En Autol (La Rioja).Puesta de chotacabras, un ave que no hace nido, por lo que incuba sus huevos directamente en el suelo. Este pájaro se mimetiza muy bien con el terreno y no es visible hasta que se pasa muy cerca de él, momento en el que sale espantado. Es importante no tocar los huevos para que no los rechace una vez que regrese. Esta foto está tomada en el campo de Ulea.Pequeño escorpión retirado de un «bed & breakfast» en una zona rural de Liguria (Italia) para ser liberado después en la calle.Ácaro de llamativo color, en uno de los escasos promontorios rocosos de Burkina Faso.La serenidad de Buda, especialmente si es de cerámica, no se altera por tener un opilión («araña patúa» por estas tierras) paseando por su cara.Murciélaga con sus dos pequeños retoños colgando del techo de una mina. Una de esas agradables sorpresas que te depara el subsuelo aunque uno haya entrado a la galería para buscar minerales.Rata, visiblemente enferma, en el Campus de Espinardo de la Universidad de Murcia. El pobre animal se subió después con bastante dificultad a una papelera.Joven erizo, también en el Campus de Espinardo.Ardilla comiendo, no sé exactamente qué, en un parque cerca de Washington. El animalito permitió que me acercara bastante para echar la foto, a pesar de lo cual no quedó demasiado bien de enfoque.Mariposa monarca, protagonista de una de las mayores migraciones de insectos en Norteamérica. La foto está tomada en Chautauqua, relativamente cerca de las cataratas del Niágara, en el estado de Nueva York.Gaviota en plena batida de alas sobre un lago suizo cerca de Neuchâtel.Holoturia, en una granja experimental del Algarve (Portugal) para la crianza de estos invertebrados marinos. La idea es que en el futuro sustituyan al cerdo ibérico en nuestra alimentación…En una ruta 4×4 por el Sahara son frecuentes escenas como ésta. Mi madre acariciando un burro, en Mazarrón.Me despido con una foto de este pasado invierno, en compañía de mi colega Wieslaw Kubis y un enorme caballo, en Svratka (República Checa).
Momento de descanso con un visitante checo en la subida a La Sagra por el «Embudo» (Fucking Funnel, desde entonces). Solamente repetía la ruta que aprendí en las «Montemáticas»… La foto la tomó Ricardo, un estudiante que tras licenciarse tuvo que elegir entre las Matemáticas y la Montaña (la solución, al final).
Hace unos días se publicó un informe de la Oficina del Dato Único de la Universidad de Murcia titulado El envejecimiento del PDI funcionario. Al margen de lo inquietante que me resulta esa afición de nuestros dirigentes a poner nombres a los organismos dignos del 1984 de Orwell, no es menos inquietante que la plantilla de mi Universidad (y las demás) envejece en media. En particular, uno de los datos del estudio revela que 2020 el grupo de edad (quinquenal) más numeroso entre el profesorado funcionario era el que iba de 55 a 59 años. Peor aún, en 2010 el grupo más numeroso era el 45-49, o sea, los mismos. Apenas hay relevo generacional y en cuestión de 10 años se producirá una situación crítica. A estas alturas, mis apreciados lectores estarán preguntándose qué tiene que ver todo esto con el título del post: Montemáticas.
Gráficos de distribución por edades en distintos grupos de PDI funcionario en la Universidad de Murcia, tomados del informe de la ODU (las siglas TU y CU hacen referencia a profesores titulares y catedráticos de universidad).
Las Montemáticas, propiamente dichas
Hace 20 años éramos prácticamente los mismos en el Departamento de Matemáticas. Por supuesto, ha habido nuevas incorporaciones, alguna baja, últimamente varias jubilaciones y, lamentablemente, también decesos, pero eso son anécdotas comparadas con el grueso de la «pirámide» demográfica del PDI. Así que hace 20 años éramos esencialmente los mismos, pero más jóvenes y con más ganas de hacer cosas, tanto en la Universidad como fuera de ella. En ese contexto, hacia 2004 y por iniciativa de nuestro compañero José Pastor, consumado montañero y autor del blog Montañas del Sur, comenzamos a hacer algunas excursiones a montañas de la Región de Murcia y alrededores que se llamaron Montemáticas (¿copyright?).
José Pastor en la Sierra de María.
Las excursiones Montemáticas se realizaban en un solo día. La cumbre coincidía con el momento del almuerzo/comida para lo que se llevaban bocadillos. Después de esto, la bajada era mucho más relajada. Hubo subidas a La Sagra, Sierra de María, Espuña, Ricote… de las que no queda demasiado testimonio gráfico. Aquí pondré algunas fotos de las que aún quedan en la, muchos años inactiva, página web donde se daba cuenta de estas sesiones.
Ascenso a Sierra Espuña por la Senda del Caracol.Almuerzo en el Morrón de Espuña.Una mañana fresca en La Caleruela.Cima de la Sierra de María. Hacía tanto frío que ni sacamos los bocadillos. La falta de equipamiento adecuado es una constante en mí: soy el que lleva guantes de bricolaje.
¿Matemáticas y montaña?
La Facultad de Matemáticas de la Universidad de Murcia no tiene cantina. Si bien esto puede ser algo meramente coyuntural (volumen del alumnado, oportunidad de negocio…), tradicionalmente las cantinas surgen para proporcionar comida caliente a los alumnos que, tras las lecciones teóricas de las mañanas, deben hacer prácticas por las tardes. No era el caso de Matemáticas, a pesar de que ahora hay más prácticas de ordenador… ni tampoco de Filosofía, otra facultad sin cantina. Ciertamente, no compartir prácticas ni comidas hacía que los estudiantes de Matemáticas no estuviéramos tan «cohesionados» como los de otras carreras científicas.
Nevada en Fuente Dé, para la que iba precariamente equipado (1991).
Ese era el panorama cuando entré como estudiante, y fue también el motivo de que no perdiera la oportunidad de «asociarme» (más bien, fui «adoptado») a una promoción de Biología, sólo un curso mayores que yo, para realizar distintas salidas de campo, algunos viajes por España y, por supuesto, visitar alguna montaña. Un buen número de Licenciados en Biología de esa promoción se incorporó a la Universidad de Murcia, y ahora avanzamos todos juntos en la «joroba» del gráfico de envejecimiento del PDI 😕
Ascensión a uno de los cerros en la Reserva de Saja.
Unos pocos años después, acabando mis estudios, gracias a las Becas del Programa Intercampus E./AL. pude viajar a Sudamérica (Paraguay y Perú). Aunque el motivo de los viajes era la realización de unas prácticas docentes, hubo ocasiones para conocer algo mejor los países de acogida, y los limítrofes, si se terciaba. En particular, en los Andes peruanos disfruté de la experiencia de estar a más de 5000 metros sobre el nivel del mar. Con bastante trabajo y resbalando continuamente, trepé por un glaciar. Es lo más alto a lo que me han llevado las Matemáticas 😉
Foto tomada desde lo alto del Nevado Pastoruri, glaciar andino en Perú (1995).
Ya incorporado como profesor en la Universidad de Murcia, y antes del comienzo de las Montemáticas, recuerdo algunos momentos divertidos en la montaña y de los que apenas queda alguna foto.
Cima de Revolcadores, con mi amigo y colega Pedro Fernández y dos de sus estudiantes en aquella época. No estoy descalzo por gusto, sino porque se me empaparon las botas y los calcetines de agua.
Conclusión
El toque de atención sobre el envejecimiento del personal de la Universidad de Murcia me ha hecho recordar lo diferentes que eran las cosas hace un par de décadas: teníamos más ganas de hacer cosas y más tiempo para quedar en fin de semana. Sin embargo, la edad no es el motivo de mayor peso en esta transformación. Las excursiones a la montaña es uno sólo de esos aspectos que hemos perdido, de momento… antes del COVID hubo algún amago de recuperar la parte lúdica de ser profesor de Matemáticas, como un divertido descenso con algunos compañeros en bote por el río Segura, entre Cieza y Blanca. No es lo mismo, pero hubo fuertes descargas de adrenalina.
Momento más intenso del descenso por el río Segura: la bajada por la presa antes de Abarán.
He hablado en ocasiones con Jose Pastor sobre la posibilidad de recuperar las Montemáticas, aunque sea en versión «senior». Las Matemáticas siguen pareciendo una materia muy árida para los que están fuera de ellas y transmitir a los posibles estudiantes que los profesores de Matemáticas somos capaces de divertirnos y parecer gente «algo más normal» seguramente redunde en una mejor percepción de esta carrera.
Excursión al Mont d’Or durante un congreso de Espacios de Banach, celebrado en Métabief (Francia) en 2019.
Respuesta a la incógnita del primer pie de foto: Ricardo escogió la Montaña. Lo último que supe de él es que andaba por USA formándose para ser «Forest Ranger» en los National Parks de Norteamérica.
Ilustración de Lecciones de Geometría de Cirodde, Madrid 1905.
Hoy voy a hacer “divulgación matemática”. En particular, hablaré de circunferencias y esferas, en el sentido más euclídeo de la palabra. El detonante de esta ocurrencia ha sido el vídeo que me envió mi querido amigo Luis Arrufat por WhatsApp, que podréis ver a continuación (el vídeo está incrustado en la página, en caso de problemas para visualizarlo podéis verlo también en YouTube). Sólo una advertencia, las hipnóticas imágenes enganchan.
Si habéis visto con detenimiento el vídeo, cada bola blanca («pelota» en la lamentable traducción) se mueve en una línea recta, pero conjuntamente se «perciben» como rodando dentro del círculo rojo. Yo trataría de discernir aquí si el problema es realmente la percepción o lo que se entiende normalmente por rodar. Por ejemplo, considerad la rueda de una bicicleta que se desplaza por un camino recto y llano. Pues bien, ni uno sólo de sus puntos describe una trayectoria circular: el buje se mueve en línea recta, mientras que un punto en el neumático describe una trayectoria con forma de cicloide. Sin embargo, nadie discute si la rueda da vueltas o si está rodando ¿no?
Curva cicloide producida por la rueda de una bicicleta (imagen tomada de https://robadabambini.blogspot.com)
Una discusión tan similar como infructuosa es la de si la luna gira sobre sí misma, o no lo hace, ya que en su recorrido mensual alrededor de la tierra siempre presenta a un observador terrestre la misma cara. Como esto no va de Psicología ni Filosofía o Astronomía, sino de Matemáticas, lo primero que haré será aclarar por qué si una circunferencia rueda dentro de un círculo con el doble de diámetro todos sus puntos describen trayectorias rectilíneas.
Una explicación sencilla
En la escuela se enseña que los tres ángulos (internos) de un triángulo suman un ángulo llano (180 grados sexagesimales). Otra cosa bien diferente es si alguna vez nos han dado una explicación razonada, o razonable, de este aserto. En Geometría, como en cualquier otra teoría matemática hay que partir de unos principios que se dan por ciertos (postulados o axiomas). El hecho de que la suma de ángulos de un triángulo arroja siempre el mismo valor emana directamente del llamado «Postulado de las Paralelas» (también conocido como El Quinto Postulado) que afirma que, en el plano, dados una recta y un punto fuera de ella, sólo se puede trazar una paralela a la recta dada pasando por dicho punto. El dibujo a continuación ilustra como se relaciona la suma de ángulos con el Postulado de las Paralelas.
Tras trazar una paralela a un lado del triángulo por el vértice opuesto, resulta que los ángulos rojos (alfa) son iguales, y lo mismo ocurre con los azules (beta), por lo que se pueden transportar a la parte superior del dibujo y sumados al ángulo negro dan como resultado un ángulo llano.
No voy a engañar al lector: estoy ocultando algunas dificultades de manera deliberada. Por ejemplo, lo que se entiende por «ángulo» en Matemáticas. No entraré en ese jardín porque todo el mundo entiende de manera intuitiva el ángulo como cierto tipo de magnitud geométrica expresable en una escala numérica (de hecho, en la práctica se mide con un goniómetro o un transportador de ángulos). Ahora mostraré una curiosa propiedad de los ángulos en una circunferencia.
El ángulo rojo «beta» es exactamente el doble del ángulo negro «alfa».
El dibujo arriba ilustra la siguiente propiedad: cada vez que se da una circunferencia de centro X, un diámetro de ella con uno de sus extremos llamado O y un punto A en la circunferencia, el ángulo que forma el segmento XA con el diámetro por la parte opuesta a O es exactamente el doble del ángulo que forma el segmento OA con el diámetro en O. La prueba es muy sencilla, pero el limitado editor de texto de la web no me permite usar símbolos, así que daré el esquema argumental insertando una nota manuscrita, como si estuviera en clase usando una pizarra.
Argumento de mi puño y letra… lo siento, no soy calígrafo.
He apelado a otro resultado que en la práctica parece evidente, pero no lo es tanto su demostración: si un triángulo tiene dos lados iguales (llamado en tal caso isósceles), los ángulos opuestos a ellos son iguales entre sí. El propio Euclides dio una demostración bastante aparatosa que incluía como «bonus track» una construcción geométrica que lejanamente puede parecer un puente. Pons asinorum (el puente de los burros) se ha llamado popularmente, porque había que pasar por él para «desasnarse» y aprender la Geometría. Ya estamos en condiciones de explicar lo que pasa en el vídeo con el que comenzábamos el post de hoy.
Los arcos coloreados tienen la misma longitud por que el de la circunferencia cuyo diámetro es la mitad corresponde a un ángulo que es el doble.
El dibujo muestra dos círculos siendo el diámetro del grande el doble del pequeño. Los dos ángulos marcados están también en relación de ser uno el doble del otro, sólo que el ángulo mayor está en la circunferencia pequeña. Eso hace que los dos arcos coloreados tengan la misma longitud, los que puede interpretarse de la manera siguiente: si el circulo pequeño rueda hacia abajo, el punto B irá a parar directamente al O, y de hecho se situará siempre sobre el diámetro vertical porque el razonamiento se puede hacer con cualquier ángulo o posición de partida.
Ángulos inscritos y fútbol
El resultado sobre ángulos que ha sido clave en la sección anterior, tiene más consecuencias. Si dada una circunferencia con uno de sus diámetros, hacemos la construcción anterior del ángulo y su doble a cada lado obtenemos sumándolos un ángulo con un vértice en la circunferencia y otro que mide exactamente el doble con su vértice en el centro. Esta construcción es reversible en el sentido que si partimos de un ángulo con un vértice sobre la circunferencia y que engloba al centro de ésta podemos deducir que el ángulo con vértice en el centro de la circunferencia y que abarca el mismo arco de ésta debe ser el doble. A los ángulos con un vértice en una circunferencia nos referiremos como inscritos en ella.
A cada lado del diámetro se aplica la regla anterior: el ángulo inscrito que tiene un diámetro por lado es la mitad del ángulo centrado. La suma sigue guardando la misma proporción, pero también la diferencia.
La restricción de que el centro de la circunferencia esté comprendido en el ángulo inscrito puede evitarse. En efecto, igual que se argumenta con la suma se puede hacer también con la diferencia. Así cualquier ángulo inscrito es exactamente la mitad del ángulo centrado en la circunferencia que abarca el mismo arco. Consecuentemente, todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales entre sí (suele llamarse capaz a este arco). El dibujo explica muy bien este hecho.
Todos los ángulos que abarcan el mismo arco de circunferencia (el que va entre A y B) miden lo mismo (alfa).
Este bonito principio geométrico tiene una inesperada aplicación al fútbol… OMG! 😕 Empiezo a parecerme a José Manuel López Nicolás (espero que para bien). Un jugador corre con el balón por una línea paralela a la banda ¿en qué momento verá la portería rival con un ángulo máximo? El problema tiene una solución trivial si la línea entra en la portería: una vez que está dentro. En otro caso, nuestras consideraciones sobre ángulos inscritos en circunferencias permiten resolver el problema de forma muy elegante.
El jugador (punto rojo) avanza por la línea negra horizontal hacia la portería (azul). La verá bajo un ángulo máximo cuando se sitúe en el punto de tangencia de la circunferencia que pasa por los postes de la portería y es tangente al recorrido del jugador.
El motivo por el que el punto de tangencia da la solución al problema del jugador es el siguiente: cualquier otro punto antes o después de éste corresponderá a un ángulo inscrito en una circunferencia de radio mayor. El correspondiente arco capaz tiene la misma cuerda (la anchura de la portería) pero al ser más grande la circunferencia el ángulo es menor.
Newton y la atracción de las esferas
Estamos lejos de haber sacado todo el pringue a los ángulos inscritos y a los arcos capaces. Observemos la construcción dada el el siguiente esquema: dos cuerdas de una circunferencia se cortan en un punto y las completamos con sendos segmentos para formar dos triángulos: A y B. Resulta que los triángulos son semejantes, es decir, tienen iguales sus tres ángulos. En efecto, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Pero también los otros pues pueden verse como ángulos inscritos con el mismo arco capaz.
Los triángulos A y B son semejantes. Es decir, serían semejantes si el dibujo estuviera bien hecho.
Newton andaba tratando de resolver el problema de la atracción gravitoria entre los astros, sabiendo que las masas puntuales satisfacen la ley del inverso del cuadrado de la distancia. Los planetas y las estrellas son asimilables a bolas sólidas que pueden considerarse compuestas de capas esféricas al igual que una cebolla. El genio inglés sabía que le bastaba resolver el problema para una esfera hueca cuya masa está repartida homogéneamente en su superficie. El caso más sencillo de tratar es la evaluación de la fuerza atractiva cuando la masa está dentro de la esfera, que no responde a una situación astronómica.
El arco azul azul atraería al punto P con la misma fuerza, pero opuesta, que el arco rojo si la intensidad fuera inversamente proporcional a la distancia.
La solución del problema viene dada por una lectura adecuada de la semejanza de los triángulos enfrentados con la que hemos comenzado la sección. Si el ángulo que forman las cuerdas entre sí es pequeño, podemos cambiar los sendos lados de los triángulos por arcos de circunferencia. Si cada arco (A, B) atrajera al punto P con una fuerza inversamente proporcional a la distancia a la que se encuentra, ambas fuerzas se compensarían por la semejanza de los triángulos anteriormente descrita. Como la circunferencia se puede descomponer completamente en pares de arcos similares, la fuerza neta sobre el punto P es nula. Ahora bien ¿no era la Ley de Gravitación proporcional al cuadrado del inverso de la distancia? Si abandonamos en contexto plano para ir al espacial, en lugar de arcos de circunferencia tendremos casquetes de esfera. Las áreas son proporcionales al cuadrado de las longitudes, por lo que la compensación se producirá si la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Ahora todo cuadra.
Página de la edición en español de los Principia de Newton donde discute la atracción dentro de una esfera homogénea (Tecnos 2011).
Insistamos en que la diferencia entre los triángulos rectilíneos y los que usan arcos de circunferencia es que los primeros son realmente semejantes, mientras que los segundos sólo lo son de manera aproximada. Esta aproximación es mejor cuanto más estrecho es el ángulo, lo que viene a ser como sustituir el arco de circunferencia por su cuerda en el razonamiento. Esto es un argumento de tipo infinitesimal como los que ya empleaba Arquímedes en el cálculo de áreas, volúmenes y centros de masa. Después de Newton, los métodos infinitesimales se sistematizaron dando lugar a la rama de las Matemáticas llamada Análisis.
En el estudio del efecto gravitatorio de las esfera homogénea sobre un punto exterior es útil notar que se vuelve a producir una semejanza de triángulos, tal como indica el dibujo. Se puede deducir de ello que el arco más lejano atrae con la misma fuerza que el más cercano. Sin embargo, aún quedaría algo de trabajo por hacer hasta poder deducir, como hizo Newton, que la atracción neta de la esfera homogénea sobre un punto exterior es equivalente a la que produciría toda la masa de la esfera así estuviera concentrada en su centro.
Página de la edición en español de los Principia de Newton donde discute la atracción dentro de una esfera homogénea (Tecnos 2011).
El universo confinado en un círculo
Al comienzo de este post hemos mencionado, y apelado, al Postulado de la Paralelas, uno de los axiomas sobre los que se fundamenta la Geometría plana clásica. Una característica común de los sistemas axiomáticos en Matemáticas es tratar de ser lo más escuetos posible: si algo puede deducirse de principios más básicos, no debe estar en la lista de axiomas. Durante mucho tiempo se pensó que el Postulado de la Paralelas era demasiado complicado para ser un principio fundamental y debía de ser consecuencia de los otros axiomas. Sin embargo, en el siglo XIX varios matemáticos llegaron a la conclusión de que era indispensable porque existen «geometrías planas» diferentes de la euclídea que cumplen todos los axiomas menos el Postulado de las Paralelas. ¿Cómo es posible tener otras geometrías planas? Realmente, lo que llamamos geometría plana no son los dibujos con los que ilustramos los resultados, sino dos conjuntos de objetos, «puntos» y «rectas», que satisfacen unas ciertas relaciones de incidencia descritas por los axiomas. En principio, los «puntos» no tienen por qué parecer puntos, ni las «rectas» parecer rectas.
Libro fundamental, nunca mejor dicho, para la Geometría y el Método Axiomático en Matemáticas, edición en español del CSIC 1991.
Un descubrimiento notable del siglo XVII, la llamada Geometría Proyectiva, que encuentra sus raíces en el estudio renacentista de la perspectiva en dibujo y pintura. En Geometría Proyectiva plana no existen las paralelas: dos rectas diferentes siempre se cortan en un único punto, al igual que por dos puntos diferentes pasa una única recta. Los axiomas de la Geometría Proyectiva son simétricos respecto al papel que juegan puntos y rectas, de tal manera, que si uno demuestra un resultado y después cambia en su enunciado puntos por rectas y rectas por puntos, el enunciado resultante será automáticamente cierto. En otras palabras, si tratando de interpretar un teorema de Geometría Proyectiva de un libro escrito en sueco, confundimos puntos con rectas y viceversa en el texto, no lo notaremos. Sin embargo, no es la Geometría Proyectiva nuestro objetivo, ya que en ella no hay ni métrica ni ángulos, ni mucho menos, paralelismo.
Ejemplo de resultados duales en Geometría Proyectiva plana (F. Enriques, Lecciones de Geometría Proyectiva, EEE Madrid 1946). Quien desee saber como sigue el enunciado (y la prueba) puede verlo aquí.
Carl F. Gauss, Janos Bolyai y Nikolai Lobachevski descubrieron de manera independiente la Geometría Hiperbólica, Gauss antes que los otros dos, aunque no lo publicó. En la Geometría Hiperbólica hay distancias y ángulos, pero no se cumple el Postulado de las Paralelas. Una forma relativamente sencilla de construir un modelo del plano hiperbólico es la siguiente: tomemos un círculo al que llamaremos «disco», los puntos interiores del disco serán los puntos del plano hiperbólico y los arcos de circunferencia contenidos en el disco y perpendiculares a su frontera serán las «rectas» del plano hiperbólico. Hay otras construcciones, pero la que acabamos de describir es la que más ha inspirado al artista neerlandés M. C. Escher.
Ángeles y Demonios, no de Dan Brown, sino de Escher, teselando el plano hiperbólico.
El siguiente dibujo (abajo) muestra una «triangulación» del plano hiperbólico. Realmente cada supuesto triángulo está delimitado por tres rectas y todas las rectas que aparecen son mutuamente paralelas: en efecto, son arcos de circunferencia perpendiculares a la frontera del disco y que no se cortan en el interior. A pesar de ser el disco un objeto limitado para nuestra intuición euclídea, cada triángulo es infinito (desde el punto de vista hiperbólico) y se requiere, además, un número infinito de triángulos para rellenarlo. Se oye entre mis lectores una voz que dice: – ¡Normal! Si cada vez son más pequeños…-. Pero, insisto, eso vuelve a ser nuestra intuición euclídea tratando de orientarse en un universo que no es el suyo.
«Triangulación» del plano hiperbólico representado como un disco.
De hecho, todos esos triángulos tienen las mismas dimensiones y son simétricos unos de otros desde el punto de vista de la Geometría Hiperbólica. Esta simetría hiperbólica se puede llevar a cabo mediante una operación euclídea llamada “inversión”. Dada una circunferencia de radio r, el inverso respecto a ella de un punto P distinto del centro O, es otro punto P* situado en el mismo radio (O, P, P* están alineados y O no está entre los otros dos) tal que el producto de OP por OP* es r2. Como el inverso de P* es, a su vez, P decimos que P y P* son simétricos entre sí respecto a la circunferencia. En el caso que nos ocupa del disco hiperbólico, cada par de triángulos contiguos puede ser llevado el uno en el otro mediante una inversión respecto a la circunferencia cuyo arco comparten como lado. Asombrosamente, el disco se aplica en sí mismo por la inversión. La clave de esto está en un dibujo, que apareció hace rato, completado con otra circunferencia.
Respecto a la circunferencia mayor, los puntos A y B’ son simétricos. También los puntos B y A’, y todos los puntos de la circunferencia menor agrupados convenientemente por pares. El motivo es la constancia del producto de distancias a O que se deduce de la semejanza de los triángulos AOB y A’OB’.
La triangulación mostrada en el dibujo del disco hiperbólico tiene una peculiaridad. Imaginemos que en cada lado separando dos triángulos se abre una puerta que permite ir de un triángulo al otro. Ahora, supongamos que partiendo de cierto triángulo, hemos hecho un viaje cruzando un buen número de puertas sin volver atrás. Pues bien, si queremos volver al punto de partida la única forma de hacerlo es desandar el recorrido realizado. Debido a que la inversión, ligeramente modificada, es una función compleja holomorfa (no quiero dar definiciones excesivamente técnicas), la triangulación hiperbólica es la clave de un profundo teorema de É. Picard: una función holomorfa no constante definida en el plano complejo toma todos los valores, excepto posiblemente uno. La idea de esta prueba consiste en suponer que deja de tomar dos valores, lo que permitiría, sabiendo algo más de Análisis Complejo, almacenar convenientemente todos sus valores en los triángulos del plano hiperbólico para convertirla, momentáneamente, en una función inyectiva. Hay otras pruebas del teorema de Picard, pero carecen de la belleza caleidoscópica del plano hiperbólico.
La frontera metálica de Mr. Green
La fuerza entre cargas eléctricas, al igual que la gravedad, también responde a la ley del inverso del cuadrado de la distancia. Sin embargo, hay varias diferencias. Una de ellas es que la fuerza puede ser repulsiva o atractiva dependiendo del signo de las cargas. Una determinada distribución de cargas eléctricas se manifiesta en cualquier punto del espacio como un efecto (fuerza) sobre una carga test que se sitúe sobre dicho punto. Este noción recibe el nombre de campo eléctrico y se puede abordar matemáticamente por medio de una función llamada potencial. Dada una distribución de cargas, se puede hallar el potencial que genera usando una integralde volumen. Y, a su vez, dado el potencial se puede recuperar la densidad de carga por medio de la llamada ecuación de Poisson.
La ecuación de Poisson al estilo matemático contiene el signo menos y 4pi, pero no contiene la constante de permitividad del vacío (que alegremente suponemos igual a 1). Los físicos suelen evitar las dos primeras en la propia definición del potencial.
Pero otra de las diferencias que el campo eléctrico tiene respecto al gravitatorio es la existencia de los llamados “conductores”. Se trata de materiales por los que las cargas se pueden mover libremente, de manera que el potencial en ellos es siempre constante al poco de situarlos en un campo eléctrico estático. Esto se traduce en que las cargas se sitúan en la superficie del conductor: la ecuación de Poisson arroja valor cero para la densidad de carga en el interior. Es más interesante conocer la función potencial en el espacio libre de conductores y cargas al que llamaremos dominio. Tratar de conocer el potencial a partir de la ecuación diferencial que satisface y el valor que toma en la frontera de su dominio, se conoce como Problema de Dirichlet.
Efecto del campo eléctrico sobre cuerpos conductores, ilustración de G. Bruhat – Électricité, Masson, Paris 1956. Las líneas de campo son perpendiculares a los conductores por su superficie tiene potencial constante.
Del Problema de Dirichlet se sabe que tiene solución única, cuando la tiene. Pero no se sabe si tiene solución en general, si bien los matemáticos no han cesado en su empeño de resolverlo. George Green propuso una fórmula que solamente requería determinar una función dependiente del dominio (llamada función de Green en su honor) con ciertas propiedades especiales. Para construirla, era preciso demostrar que el campo producido por una carga en el interior del dominio coincide en la frontera del dominio con otro campo producido por cargas fuera del dominio. Green tuvo la siguiente idea: supongamos que la frontera del dominio es un conductor, en cuyo caso las cargas se moverán por la frontera para compensar el campo producido por la carga puntual. Así, el campo sobre la frontera será constante, y si se conecta a una toma de tierra, se puede hacer la constante igual a cero. De esta manera, «galvanizando» el conjunto y con ayuda de cables, estableció Green la resolubilidad del problema de Dirichlet.
Enunciado del Problema de Dirichlet en el espacio.
Naturalmente, el rigor de las Matemáticas tal como las entendemos ahora no admite el razonamiento de Green: no se puede probar un teorema de Geometría basándose en que los triángulos están hechos de madera, por ejemplo. El propio Dirichlet erró en sus razonamientos al apelar a la intuición física. Dirichlet formuló el problema en términos equivalentes a la minimización de cierta cantidad interpretable como una energía, el así llamado Principio de Dirichlet. Si bien la Naturaleza es un ejemplo de sostenibilidad porque se rige por principios de mínima energía, el razonamiento tampoco es admisible como Karl Weierstrass señaló, afeándole la conducta al mismísimo Bernhard Riemann. Los métodos desarrollados por los matemáticos de finales del siglo XIX para eliminar la heurística física de las pruebas de existencia de soluciones dieron lugar al Análisis Funcional.
Las línea desde cada punto de la circunferencia a B (azul) miden el doble que la correspondiente línea hacia A (roja).
Para acabar este post volveremos a la Geometría elemental con la que comenzamos viendo como se puede utilizar para resolver el problema de Dirichlet para el círculo, o la esfera, dependiendo de las dimensiones. No escribiremos la fórmula de Green, que no viene al caso, sino que veremos como evitar el «razonamiento eléctrico». Asumamos que el efecto de la carga es inversamente proporcional a la distancia (no es el caso de la fuerza, pero sí el del potencial en tres dimensiones). Si dos puntos A y B son simétricos respecto a una circunferencia, ocurre una curiosa propiedad: desde cada punto de la circunferencia las distancias a A y B guardan una misma relación constante. En el dibujo, el cociente de distancias a B entre las distancias a A es 2. Eso implica, en particular, que si en A hubiera una carga eléctrica, su efecto sobre los puntos de la circunferencia sería el mismo que si situamos el doble de carga sobre B.
No daré la prueba del último argumento empleado… pero quien quiera detalles podrá encontrarla en este excelente libro, ya clásico, de Pedro Puig Adam
Conclusión
Con este post he querido mostrar la unidad de las Matemáticas y su continuidad en el tiempo. Resultados relativamente modernos como el Teorema de Picard o la solución del Problema de Dirichlet para el círculo entroncan directamente con las propiedades métricas de las circunferencias que estudiaba Euclides dos milenios antes. Circunferencias y esferas siguen estando en el centro de las Matemáticas. No en vano, las últimas palabras de Arquímedes antes de que un soldado romano le quitara la vida (para disgusto de Marcelo, todo hay que decirlo) fueron: Noli turbare circulos meos! (¡No toquéis mis círculos!).
Tenía la mitad de años que ahora y estaba a punto de perder los beneficios del carnet joven. También quería hacer mi versión mochilera del Grand Tour aprovechando las vacaciones de verano. Deseaba conocer los países al otro lado del recién caído telón de acero. Me fui solo porque sabía que si tenía que ponerme de acuerdo con alguien nunca lo haría: dar una vuelta a Europa con el Interrail.
Introducción: el tren en España
Hasta los años 90 era muy habitual que las casas de nueva construcción en Murcia (aunque debe ser extensible a otros muchos sitios) tuvieran un salón presidido por un gran mueble aparador adornado con vasos improbables para cubata forrados de piel repujada, o de whisky de grueso vidrio de colores con burbujas. Una mesa grande lacada llena de portarretratos, con la foto de la boda, la de la jura de bandera y recuerdos de bautizos o primeras comuniones. El salón se enseñaba con orgullo a las visitas, cuando las había, y el resto del tiempo permanecía cerrado en penumbra, mientras la vida se hacía en otra parte de la casa. Así es el tren de largo recorrido en España, el salón inútil de una casa murciana, gracias a la gestión política de las últimas décadas.
Billete de Alicante a Zaragoza del año 1980, tren nocturno.
La metáfora es extravagante, pero resume de manera acertada mis impresiones ante el desmantelamiento de una forma de viajar que siempre me ha gustado. Por ejemplo, en el nombre de la modernidad desaparecieron los trenes nocturnos en España, mientras que, curiosamente, en la «anticuada» Europa los siguen usando. Antes, cuando tenía que ir a Madrid para un solo día, tomaba el tren correo a medianoche en la Estación del Carmen, llegaba a Atocha antes del amanecer y después de un chocolate con porras en El Brillante tenía todo el día por delante. Ahora, en el mejor de los casos, tras un madrugón llegas a Madrid después de las 10:00 AM, en plena pausa para almuerzo de los funcionarios. Eso sí, lo haces en un tren súper-moderno. Tengo otras muchas quejas que podré ampliar en los comentarios, pero no quiero desviarme mucho del tema del post: el Interrail.
Los Grandes Expresos Europeos y la Compagnie Internationale des Wagons Lits. Eso sí que es viajar en tren…
De niño soñaba con viajar en tren por todo el mundo o mejor dicho, viajar en los trenes de todo el mundo. Seguramente, mis ideas románticas se nutrían tanto de los viajes en tren con mis padres como del cine. Sin ir más lejos, una de mis películas favoritas es El Expreso de Chicago (Silver Streak en su versión original). Cuando me enteré de que «por ser joven» tenía derecho comprar un billete de tren que me permitiría viajar por toda Europa (o una gran parte de ella) comencé a preparar la ruta. Mi idea inicial consistía en hacer un recorrido zigzagueante de norte a sur por países del este de Europa. Finalmente adquirí el billete cubriendo únicamente esa zona para que no fuera tan caro.
En camión hasta Hamburgo
Como el comienzo de mi viaje estaba lejos de la zona de validez de mi billete Interrail necesitaba una alternativa al tren para llegar, que se presentó en forma de camión TIR. Desde Murcia se exportan productos agrícolas a toda Europa, así que a través de familia y conocidos me encontraron un chófer dispuesto a llevarme. Salimos de Archena con un frigo medio cargado de limones y paramos en un almacén de Valencia a cargar el resto del espacio disponible con cebollas. Esa noche cenamos en un buffet de Cambrils unos platos combinados fabulosos y dormí por primera vez en la litera que tienen las cabinas de estos camiones que cruzan el continente.
Camión similar al que me llevó, de la misma compañía transportista.
El segundo día lo empleamos cruzando Francia y el tercero por Alemania. El camión se dirigía a Suecia (para ello tomaría un ferry), así que lo que mejor me venía era quedarme en Hamburgo. Realmente, me quedé en una estación de servicio de la autobahn. Nos despedimos y durante el par de horas que pasé agarrando un cartón que tenía escrito Hamburg recordaba las anécdotas de esos tres días que pasé entre los «señores de la carretera». Al final nadie paró y como se hacía de noche decidí caminar. Al cabo de un rato me encontraba cruzando un barrio turco y en la oscuridad de la noche llegué a la estación central de Hamburgo. La mezcla de modernidad y suciedad en esa atmósfera oscura me hacía pensar en Blade Runner. Caminando por el andén encontré un banco libre y me eché a dormir.
Hacia el este
A la mañana siguiente tomé un tren a Berlín (todavía no había llegado a la zona de validez de mi billete Interrail). Paseé por la ciudad admirando la liberalidad con la que los jóvenes toman el sol en los parques. Me dije que si volvía por allí algún otro verano haría lo mismo que ellos, pero no he vuelto tantas veces por Alemania y menos en verano. La huella del muro que dividió la ciudad, el país y la vida era todavía bastante apreciable. Cada sitio tiene su canción y aquí hay que escuchar el Heroes de David Bowie. Por otra parte, la contemplación de la Alexanderplatz cantada por Franco Battiato resultó decepcionante.
Cuaderno que compré en Varsovia para escribir el diario del viaje.
Tomé un tren a Frankfurt Oder (no confundir con el Frankfurt de las salchichas) y después de merendarme lo último comestible que me quedaba de España crucé la frontera a Polonia. Un tren que iba bastante lleno me dejó por la noche en Varsovia. Los alrededores de la estación no son lo más bonito de la capital polaca, que he tenido la oportunidad de visitar después en más ocasiones. Desde allí destaca el Pałac Kultury i Nauki (Palacio de la Cultura y la Ciencia), regalo de Stalin a la ciudad hecho a imagen y semejanza de la Universidad Lomonosov de Moscú. En la estación compré un cuaderno infantil en que empecé a escribir el relato del viaje.
Postal de Cracovia. Como no tenía cámara, compraba postales para recordar los sitios.
Estaba cansado y nada me invitaba a quedarme en Varsovia. Se me ocurrió que si tomaba un tren nocturno a cualquier parte podría dormir, que para eso tenía el Interrail. La idea la puse en práctica en ese viaje y otros que he hecho posteriormente, siempre con éxito discutible. Paró un tren con destino a Cracovia que debía de ser ideal para mis propósitos, pero iba atestado de gente. Subí con mucha dificultad y pasé las varias horas del viaje en el pasillo en cuclillas, inmóvil y apretado entre la gente. Por la mañana estaba en Cracovia, que parecía un lugar mucho más agradable que Varsovia. En la oficina de información turística me buscaron una habitación de alquiler en una casa familiar donde, por fin, dejé mis cosas y pude pasear por la ciudad sin la pesada mochila.
Dando tumbos por Centroeuropa
Nunca llegué a dormir en Cracovia (ni siquiera la segunda vez que fui). Durante mi paseo me enteré de los horarios de los trenes a Praga y todos eran nocturnos. Si me quedaba en Cracovia perdería un día de viaje. Así que reservé una litera en el tren de medianoche. Hay que decir que el Interrail sólo cubre el viaje más económico, de manera que si uno usa litera o viaja en un tren directo debe pagar un suplemento. Ya en el tren, conversé un poco en inglés con mis compañeros de dormitorio rodante antes de dormir.
Postal de Praga mostrando la Plaza Vieja.
Me recuerdo llegando a la plaza vieja de Praga (Staromestské námestí) poco después del amanecer y viendo por primera vez el que es, sin duda, uno de los lugares más bellos de Europa. Quería que esa sensación durara siempre y, en cierto modo, mi deseo fue concedido: Praga es la capital Europea que más veces he visitado, excepto Madrid y seguida muy de lejos por París. Un rato después, una marabunta de turistas se repartía por todos los lugares de la ciudad.
Postal de Bratislava… sigo sin cámara.
Por la noche, otro tren nocturno hacia Viena. Esta vez tratando de dormir sentado junto a los malolientes retretes del extremo del vagón y maldiciendo a los japoneses que olvidaban cerrar la puerta cada vez que lo usaban. Paseando por Viena descubrí que los precios de la capital austriaca estaban fuera mi presupuesto, así que por la tarde llegué a Bratislava, lugar mucho más económico, donde dormí por primera vez en una cama de verdad después de una semana de viaje. A la tarde del día siguiente estaba en Budapest y allí cené en una pizzería con un grupo de españoles que conocí casualmente.
La guía de viaje que usé durante mi vuelta a Europa.
Cárpatos y vampiros
El tren que salía de medianoche de Budapest llegó a la frontera con Rumanía en algún momento de la mañana siguiente. Militares paseaban perros por todas partes buscando no se qué. Un suspicaz agente de aduanas, mirándome a los ojos, levantaba los cojines del compartimento donde pensaba que ocultaba algo. Tras el registro me informa del precio de la visa que pago en alguna divisa que no recuerdo. Me pregunta que si no me importa que me devuelva el cambio en deutsche marks, a lo que respondo afirmativamente. El hombre me dio como medio kilo de monedas de un marco que tardé años en poder cambiar.
Tarjeta de un alojamiento en Brasov.
A medida que el tren se adentraba en Rumanía, iba llenándose de gente. Los que compartían conmigo el compartimento tenían interés en saber qué motivos habían llevado a un español hasta allí (recordemos que estamos a mediados de los 90) y chapurreando francés tuvimos una conversación entretenida. Gracias a la simpatía mutua, mis compañeros de compartimento me defendieron ante el abuso del revisor que quería cobrarme al margen del Interrail. Así, llegué ya al caer la tarde a Brasov. No tenía moneda local y el consejo que me dio la gente fue: habla con la policía. Le pregunté a un policía dónde cambiar moneda y en correctísimo inglés me dijo lo mismo que dicen los cambistas en todo el mundo: ¿cuánto quieres cambiar? El policía me cambió dinero, me proporcionó la tarjeta del hotel de un amigo suyo y hasta me buscó un taxi.
Postal del castillo de Vlad Tepes, en el que se inspira el mito de Drácula.
El marcador del táximetro mostraba un crecimiento exponencial disparatado y antes de que superara la cantidad cambiada al policía a leus me bajé. Encontré el hotel donde pasé mi segunda noche, en el viaje, en una cama. Por la mañana fui a Bran a ver el castillo de Drácula y recrearme un poco en Los Cárpatos. Curiosamente, en el castillo había un grupo de españoles con guía y pude aprovecharme de las explicaciones que les daban. Por la tarde, de vuelta en Brasov, tomé otro tren hacia el sur. No tenía muchas ganas de ver la Bucarest de Ceaucescu, así que seguí en el tren hasta la frontera búlgara.
Contubernio a la búlgara
El tramo internacional de ferrocarril entre Rumanía y Bulgaria no estaba electrificado, así que cambiaron a una locomotora diesel. Durante esos kilómetros, que incluyeron un crujiente puente de hierro, los militares iban revisando el tren y los viajeros. Unos soldados intentaban llevarse a una señora llorando por no llevar el pasaporte, pero al poco apareció alguien con un documento extraviado que resultó ser el de la señora. Los soldados la dejaron y ahora lloraba de alegría. Ya en el puesto fronterizo, el funcionario que examina mi pasaporte me dice que para entrar el Bulgaria tengo que pagar 90 dólares ¿Lo tomas o lo dejas? Me deshago del ultimo billete de Benjamin Franklin que me quedaba de Sudamérica y regreso al tren.
Recibo por 90 dólares de visa para entrar en Bulgaria.
El tren a Sofia iba casi vacío, pero en mi compartimento viajaba un matrimonio checo. Tras el breve intercambio de información convenimos apagar la luz e intentar dormir. Al poco aparecen dos vigilantes uniformados del tren revisando con linternas y me indican que les acompañe al extremo del vagón. En un inglés rudimentario me piden el pasaporte y me indican que debo pagar una multa de 100 dólares por haber puesto los pies en el asiento. Me niego y pido hablar con el revisor. Ellos se quedan mi pasaporte y dicen que regresarán después. De vuelta en el compartimento intento explicar a los checos la situación mientras transfiero unas cuantas cosas de la mochila a los bolsillos de mi gabardina pensando que lo mismo tendría que huir sin equipaje…
Al cabo de un cuarto de hora vuelven los vigilantes, que esta vez me llevan a un compartimento vacío. Se sientan enfrente y esgrimiendo unos papeles en cirílico insisten en que debo pagar la multa. Me reitero en mi negativa y en mi deseo de ver a otra autoridad. Ellos me piden que me ponga en pie y me vacíe los bolsillos. Les digo que preferiría hacerlo con la policía delante. El mayor de ellos se lleva la mano a la pistola y me dice «you traficant, empty your pockets now!» (tú traficante, vacíate los bolsillos ya).
Billetes de los países por los que fui pasando.
No hizo falta que lo pidiera dos veces: saqué lo que llevaba en los bolsillos, incluyendo una pequeña carpeta donde tenía los billetes de los distintos países por los que había pasado (para colección) y entre los que había un billete de 10.000 pesetas para emergencias. Como no vieron los 100 dólares que querían, ni algo que creyeran equivalente, me dijeron «20 deutsche mark “souvenir” and we forget» (20 marcos alemanes “de regalo” y nos olvidamos del asunto). Acepté el trato y me dejaron.
Postal del Monasterio de Rila.
Caminaba intranquilo por Sofia, con la sensación de que podía ser multado por las cosas más inverosímiles o extorsionado en cualquier momento. Pensé que sería una buena idea dormir en el Monasterio de Rila. Tomé un autobús en el que viajaba una pareja francesa con la que entablé conversación. Juntos los tres nos presentamos en la recepción del dormitorio del monasterio (una gran sala con literas). Los franceses se registran primero y llega mi turno. La señora mira mi pasaporte y me dice que no puedo quedarme. Sin salir yo de mi asombro me dice que me falta una tarjeta amarilla que debían haberme dado junto con el visado. En esa tarjeta se registra cada noche que uno pasa en el país (sellada por el hotel o comisaría más cercana). Le explico que no tengo donde quedarme, le pido que me ponga un sello en una hoja de papel con el membrete de Rila y que al día siguiente volvería a Sofia a regularizar mi situación.
Regreso al Monasterio de Rila, 22 años después y muy bien acompañado.
Pasé la tarde paseando por Rila y su montaña mientras pensaba si debería ir directamente a la embajada de España a pedir ayuda. Al día siguiente, todos los que esperábamos el autobús a Sofia pasamos como dos horas en la calle hasta que alguien dijo que el vehículo estaba averiado. La solución era ir a Blagoevgrad y desde allí a Sofia. Así hice, pero había pasado mucho tiempo y las esperanzas de poder ver a alguien en la embajada se esfumaban. El autobús me dejó cerca de la estación de tren. Me planté delante del panel indicando las salidas y con ayuda de un mapa localicé un tren que llegaba hasta una localidad fronteriza con Grecia. La otra opción era un tren a Moscú… la decisión estaba clara.
Grecia y el Mediterráneo
Dejé la estación de no recuerdo qué aldea con el sol a punto de ponerse tras las montañas. Pregunté a un señor con unas vacas si iba en la dirección correcta a Grecia y crucé la frontera caminando. Al ver el cartel confirmando que había cambiado de país casi me tiro a besar el suelo como solía hacer Juan Pablo II. Un poco más adelante había un bar y casi sin abrir la boca me dieron unos trozos de pan. Pregunté si entre los camioneros que estaban allí parados alguno me llevaría hasta una ciudad. Uno de ellos se ofreció inmediatamente y esperé a que terminara de cenar. El motivo de tanta amabilidad lo averigüé un rato más tarde cuando paró el camión en una cuneta, encendió una luz roja y se quedó mirándome. El chófer, decepcionado por no poder darle lo que él quería, volvió a arrancar el camión y me dejó en Tesalónica de madrugada.
Mapa de Europa con el que iba ubicándome durante el viaje.
Al día siguiente en el tren, una señora mayor me va explicando el paisaje en griego. Sólo acierto a entender el momento en el que se refiere al monte Olimpo. La señora me regala unos higos y un tomate. Desde Kalambaka subo caminando hacia Meteora y por el camino me voy comiendo los higos y el tomate. Puedo asegurar que nunca he vuelto a probar nada tan sabroso como aquel tomate. Visito varios monasterios y regreso a la estación. En Atenas me alojo en un hotel económico regentado por un señor amable con el que conversé lo que quedaba de la tarde de aquel día.
Librito de fotos de los Monasterios de Meteora.
Pasé el día viendo Atenas, pero no era el mejor momento para visitar la Acrópolis porque el Partenón estaba totalmente cubierto con andamios. Al día siguiente quería ver un poco el Peloponeso y viajar a Italia, pero una información incorrecta me llevó a preguntar por los barcos al Pireo, donde no gestionan los que operan en Patras. El tren iba tan despacio que podía recrearme en los detalles del canal de Corinto desde ambos lados. Cuando llego a Patras pregunto por los barcos a Italia. El operario señala al puerto donde los humeantes ferries ya habían levado anclas. Desde un parque en una colina donde afloran algunas ruinas milenarias veo los barcos perderse por el horizonte donde se pone el sol. No me moví de allí hasta el amanecer. Al día siguiente, ya no perdí el barco a Bríndisi.
Italia, sin parar
Al principio me pareció una buena idea ir en la cubierta superior para ver el paisaje y luego las estrellas. El humo lleno de carbonilla diesel me hizo bajar al poco rato. Encontré un banco donde echar el saco de dormir. La lluvia provocó la entrada de agua en mi reloj Citizen automático, que desde entonces lleva la corrosión provocada en la esfera como recuerdo de esa travesía. A la mañana siguiente en Bríndisi paso por una lavandería en la que me aseguran que mi ropa estaría seca antes de la salida del tren. No tenía que haberme fiado: rato después en el tren, buscaba la manera de repartir mi ropa empapada de agua en el compartimento en el que viajaba solo, no durante mucho tiempo. Unas paradas más tarde, una atractiva chica pregunta por la ventana (que iba abierta) si hay sitio. Le digo que sí, por supuesto. Ella hace una señal y aparece una tropa de gente que empieza a echar sus maletas por la ventana ante mi sorpresa, o decepción.
Esquema de mi recorrido (en negro). La línea que se ve abajo cruza casi toda Italia.
Eran albaneses, un poco brutos pero buena gente. Compartieron conmigo sus pollos asados y su botellas de vodka, pero tuve que recoger mi ropa mojada. Al día siguiente, en Milán cogí otro tren hacia Suiza. Por la mañana estaba en un agradable pueblecito alpino. Como hacía una mañana soleada, puse mi ropa, todavía húmeda (mayormente calcetines y gayumbos), alrededor de mi mochila y fui a una fuente pública a asearme un poco. Un rato después, avisado por uno o varios de los simpáticos habitantes, apareció un coche de la polizei con las sirenas sonando y me detuvo el tiempo necesario para comprobar que Matías Raja no estaba en busca y captura. Después de eso regresé a Milán.
El regreso
Desde Milán salí hacia Francia. Ya no tenía privilegios Interrail en ninguno de los países. No pude tomar un tren directo a España, pero enlazando trenes regionales pude llegar a Cerbère, el último pueblo francés antes de la frontera. Era casi medianoche y la estación estaba llena de gente que no había podido pasar a España porque no habría más trenes hasta la mañana siguiente. Ante el panorama, pregunto a qué distancia está Portbou (España) y me dicen que apenas 7 km. Ni me lo pienso. Hice ese recorrido gustosamente caminando en la oscuridad de la carretera, de vez en cuando rota por el resplandor de algún relámpago. La estación de tren de Portbou estaba vacía, pero el bar abierto. Así pude darme un gusto antes de irme a dormir a uno de los bancos.
Mi aspecto por aquella época, con la mítica gabardina que usaba cuando iba de mochilero.
No había tenido problemas con saber qué tren tomar en ningún país hasta llegar a la estación de Sants. Afortunadamente el tren en España funciona tan mal que un regional llega antes a Tarragona que un Intercity que sale a la misma hora desde Barcelona. Aquel día por la noche estaba de vuelta en casa con mis padres. Había perdido 5 kg pero había ganado mucho más en vivencias.
Epílogo
El límite de edad para adquirir el Interrail desapareció en 1998. No he vuelto a usarlo, pero siempre que he podido he tomado trenes nocturnos a cualquier parte y paseado ciudades de madrugada. He vuelto a muchos de los sitios que menciono en el post en circunstancias muy diferentes y más cómodas en general. Ya no hace falta llevar un mapa desplegable de Europa para ubicarse.
En julio de 2020 publiqué un artículo titulado Los minerales del Valle de Ricote (Boletín de la Asociación Cultural Paleontológica Murciana nº 9, de ahora en adelante lo citaré como MVR). Cuando lo hice sabía que la lista de minerales que allí incluí no estaba completa por distintos motivos: no disponer de ejemplares de minerales citados por otros autores, no poder confirmar un determinado mineral por falta de pruebas, ser las muestras de escasa entidad… Como algunos de esos inconvenientes se van resolviendo con el tiempo, presentaré aquí una lista más completa y susceptible de ser puesta al día o corregida, al contrario que con un artículo impreso en papel.
Este post se irá actualizando a medida que aparezcan (o se identifiquen) nuevos minerales y mejoren los ejemplares representados. Por falta de tiempo y ocasión de salir al campo, me veo obligado a publicarlo con fotos provisionales de algunos minerales o, incluso, ausencia de algunas de ellas.
El Valle de Ricote
Se entiende por Valle de Ricote (nótese la deliberada ausencia del link a Wikipedia) la comarca alrededor del río Segura entre la poblaciones de Cieza y Archena, y que queda comprendida entre los términos municipales de Abarán, Blanca, Ricote, Ulea, Ojós, Villanueva del Río Segura y Archena. El municipio de Cieza no suele incluirse por cuestiones históricas, así como por estar la mayor parte de su territorio fuera de la unidad paisajística que comienza aguas abajo. Esto sería igualmente aplicable al territorio de Abarán en su parte más distante hacia la Sierra de la Pila, o al Campo de Ricote cuando empieza a confundirse con El Cagitán, pero mejor no comenzar una discusión bizantina ahora… Remito al lector a mi artículo MVR para generalidades geográficas y geológicas sobre el Valle de Ricote.
Imagen típica del Valle de Ricote, huerta verde y montes abigarrados… el pueblo al fondo es Ulea.
¿Qué interés puede tener conocer los minerales de una comarca como el Valle de Ricote? Los minerales son un elemento más del medio natural, en ocasiones relacionado con la historia del lugar y susceptible de ser usado como recurso didáctico. Tradicionalmente las guías de la Naturaleza comarcarles hacen hincapié en la orografía, los cursos de agua, las especies vegetales y animales… Eventualmente, también proporcionan información geológica en relación con lo anterior, pero no suelen prestar mucha atención a los minerales. Además ocurre con frecuencia que los minerales se asocian con lugares muy específicos y casi siempre remotos. Así era cuando se practicaba la minería en España (ahora es una actividad marginal), pero también pasa en la actualidad debido a la percepción errónea de la Mineralogía que transmiten los comercios y ferias de minerales.
En lo que respecta específicamente al Valle de Ricote, desde hace relativamente poco estoy involucrado con la Asociación Cultural «La Carraila» para contribuir al estudio, conservación y divulgación de esta comarca murciana. Este post no pretende ser un artículo al mismo nivel que los que ellos llevan publicando desde hace años sobre otros aspectos del Valle de Ricote, pero confío en que será el germen de trabajos más ambiciosos que abordarán, entre otras cosas, la minería moderna y ancestral en el Valle, la abundancia en estroncio de estas tierras o las peculiaridades mineralógicas de ciertos yacimientos.
Lista de minerales
No tengo intención de explicar exhaustivamente cada mineral que menciono. Remitiré al lector a mi artículo MVR para aquellos que fueron tratados allí o a otra fuente caso que sepa del mineral en cuestión por la literatura. La principal referencia alternativa (y de momento, única) es «Minerales de la Región de Murcia» de Mariano Muelas Espinosa, Pedro Pérez Nieto y Jordi Gil García-Miguel (1996, publicado por la Asociación para la Defensa de la Naturaleza y Conservación del Paisaje Minero de La Unión). A los agradecimientos recogidos en mi artículo de 2020 tengo que añadir uno nuevo para Fran García por la información que me ha proporcionado sobre algunos hallazgos.
Presentaremos la lista de minerales de acuerdo con la clasificación de Strunz, en su versión de 1982, que tiene la ventaja de no dejar ninguna categoría vacía. En cada una de esas categorías indicamos entre paréntesis las combinaciones químicas que, de momento, no proceden. La lista contiene 32 entradas, más de 60 fotos y dejo para el final algunas especulaciones sobre minerales aún no encontrados. Cada entrada (o mineral, grosso modo) comienza con la fórmula química y sistema cristalino, y será acompañado de fotos (siempre que disponga de ellas). He querido priorizar las fotos con mi mano como medida de escala, más humana que una regla pero menos científica.
Elementos
Azufre
S – rómbico
Ejemplar de azufre (cristales en matriz) procedente del desaparecido yacimiento de El Boquerón (pieza y foto de José Raúl Gómez Sánchez).
El azufre se explotó en El Boquerón (Abarán) asociado a yesos messinienses. No queda actualmente nada de aquellas minas, sepultadas por un movimiento de tierras destinado a su transformación en cultivos. Ver «Minerales de la Región de Murcia».
Se citan varios yacimientos en los municipios del Valle de Ricote que no he podido visitar. Asimismo, se dice que en el manantial del Balneario de Archena se deposita azufre pulverulento. Hace años entré con permiso a investigar el asunto y tomar muestras de la toba dejada por las aguas termales para comprobar su contenido en azufre.
Carbón
C – amorfo
Carbón cuarteado con yeso rellenando las diaclasas. Encuadre 5 cm de anchura.
El carbón no es un mineral realmente, pero debía estar en esta lista por ser carbono en alto grado de pureza. Los minerales de carbono «oficiales» son el grafito y el diamante. El carbón es una roca de origen orgánico rica en carbono, que está presente en forma de moléculas «gigantes» con enlaces aromáticos.
Pequeña bolsada de carbón pulverulento en Keuper (Ulea).
La muestra de la primera foto proviene de un estrato intercalado en dolomías triásicas que fue expuesto por una cantera. La segunda quedó al descubierto por el talud de un camino. Lo más interesante de este tipo de hallazgos es la información que pueden proporcionar sobre las etapas de la formación de los estratos que lo contienen.
Sulfuros (y sulfosales)
Pirita
FeS2 – cúbico
Macla tipo «cruz de hierro» de dos piritoedros en matriz del Keuper (Archena). Cristal de 5 mm. La misma pieza contiene otros dos cristales más de pirita.
La pirita ha sido extensamente tratada en MVR p. 79. Insistimos que es un mineral que puede aparecer en muchos tipos de terrenos, por lo que el aspecto puede diferir aparentemente. Desde un punto de vista cristalográfico, son muy interesantes las piritas en materiales del Keuper, ya que ofrecen cubos, octaedros, piritoedros y sus combinaciones. Las encontramos normalmente con pátinas o limonitizadas.
Nódulo de pirita formado por un agregado de cristales cúbicos (Ricote).
Sin duda los más espectaculares son los nódulos del Cretácico de Ricote por su tamaño y brillo. Los nódulos difieren entre si por pequeñas variaciones en el hábito cristalino y el patrón de maclado de los cristales.
Ammonites piritizados del Cretácico (Ricote).
Los nódulos de pirita anteriores se forman alrededor de un fósil, preferentemente un ammonites. No obstante, se pueden encontrar también los ammonites reconocibles en pirita (con pátina o limonitizados). En los de la foto puede observarse un recrecimiento de cristales, que ilustra la formación de un nódulo.
Cubos de pirita en una drusa parcialmente alterados (Ulea). El primer producto de la descomposición de la pirita es el sulfato de hierro pulverulento, que puede observarse claramente en la foto.
También hemos recogido fragmentos de una drusa de cristales cúbicos entre dolomías triásicas. Piritas con hábito cúbico limonitizadas han sido recogidas también en margas miocenas. Hemos visto también pequeños cristales de pirita y calcopirita en las drusas cristalizadas de las ofitas.
Calcopirita
CuFeS2 – tetragonal
Fragmentos centimétricos de calcopirita proveniente de una vetilla en materiales triásicos. Están cubiertos por una pátina de óxido, pero puede verse el típico color dorado en uno de los trozos.
Hemos tratado la calcopirita en MVR p. 85 en relación con la metalurgia prehistórica. Sin duda, los primitivos pobladores de la comarca sabían aprovechar las escasas cantidades de minerales de cobre que arrojan estos terrenos. La calcopirita aparece en cristales y granos, normalmente pequeños, en yesos del Keuper.
Gran fragmento de calcopirita alterada (Ulea): la fracción de hierro se oxida, mientras que el cobre forma también carbonatos. Este tipo de piezas puede contener algo de calcopirita sin alterar que se manifiesta como brillos metálicos en las fracturas recientes.
También han aparecido filoncillos en materiales carbonatados del Keuper, y masas de mayor tamaño, muy alteradas en general.
«Pepita» de calcopirita procedente de un filoncillo en Keuper (Ulea). El aspecto redondeado es consecuencia de años de erosión a la intemperie. Su alta densidad nos indica que queda una proporción apreciable de calcopirita en estado metálico, es decir, si alterar, bajo la superficie oxidada.
La calcopirita suele ser el origen de la mayor parte de las tinciones por malaquita que esporádicamente se encuentran en algunas rocas.
Calcosina / Digenita
Cu2S– monoclínico / Cu9S5 – trigonal
Vetillas de mineral de cobre con aureola verde, posible digenita (?) en caliza (Sierra de Ricote).
Hemos encontrado indicios de la presencia de sulfuro de cobre exento de hierro en calizas cretácicas de la Sierra de Ricote. La alteración del mineral a malaquita nos impide ser más precisos sobre si se trata (o trataba) de calcosina o digenita, siendo este último más frecuente en ciertos contextos sedimentarios.
Inclusiones de sulfuro de cobre alteradas en yesos messinienses (Ojós).
Es posible que las inclusiones de, lo que debió de ser, sulfuro de cobre detectadas en unos yesos messinienses de Ojós sean también calcosina o digenita, pues carecen de la aureola de óxido de hierro.
Galena
PbS – cúbico
Fragmento de galena (Ricote).
La galena ha sido tratada extensamente en MVR p. 83, así como su posible uso por los íberos para la obtención de plata por el método de copelación. En efecto, este mineral de plomo suele contener una pequeña proporción de plata que era el objeto de interés en la antigüedad.
La pieza de la primera foto, procedente de uno de los cotos mineros de Ricote, ha sido rascada para que aparezca el típico brillo metálico, ya que la galena se cubre de una capa de alteración oscura tras años de exposición a a la intemperie.
Mineralización de Ricote: lo más claro en la parte de arriba es celestina con manchitas verdes de malaquita; lo gris en posición central es dolomía; finalmente, lo oscuro es galena.
Una peculiaridad de la galena de Ricote es la presencia de celestina (blanca fibrosa) como ganga. La galena puede encontrarse diseminada en la celestina, o bien entre ésta y la dolomía.
Haluros
Halita
NaCl – cúbico
Piedras cubiertas de sal en las inmediaciones de las antiguas salinas del Carcelín (Ojós).
La halita o sal gema es un mineral común en las rocas evaporíticas, pero su facilidad para disolverse con el agua de lluvia hace que sea difícil observarlo, ver MVR p. 87. No hemos encontrado halita concentrada, pero la hay dispersa en terrenos del Keuper y del Messiniense. Particularmente, de esa última edad son los estratos que suministraban la salmuera a las salinas de la rambla del Carcelín (Ojós). Se puede encontrar la sal recristalizada sobre las piedras junto al cauce de salmuera.
Fluorita
CaF2 – cúbico
Cubo «flotante» de fluorita verde (Ulea).
La presencia de fluorita en el Valle de Ricote fue tratada en MVR p. 88. La encontramos en Keuper en la proximidad de materiales carbonatados. Advierto a los coleccionistas de «especímenes estandarizados» que los fantásticos cubos de fluorita verde de Ulea salen sin matriz.
Masa de kryptonita, perdón, fluorita (Ulea). Cristales de fluorita violácea sobre dolomita (Ricote).Fluorita (violeta) con celestina (haces fibrosos) sobre dolomita (Ricote).
También en materiales triásicos, pero en otras facies (dolomía franciscana) la encontramos acompañando a la dolomita en filones en la proximidad de mineralizaciones de galena.
Brecha compuesta de varios minerales iluminada con luz UV: lo azul es fluorita, lo verde yeso (Ulea).
Fluorita y fluorescencia son palabras con el mismo origen no por casualidad. Las fluoritas de Ulea tienen una intensa fluorescencia azul bajo luz UV media.
Óxidos e hidróxidos
Cuarzo
SiO2 – trigonal
Cuarzo morión (Villanueva del Río Segura).
Hemos tratado el cuarzo en sus distintas manifestaciones en MVR p. 77. Los cristales más apreciados son los del Keuper (jacinto, morión…) a los que localmente se conoce como «farolillos». Además, se puede encontrar cuarzo cristalizado en drusas en ofitas,o acompañando a la calcita en Neógeno. En Villanueva hemos encontrado cuarzos en ofitas (y puede que en la aureola de yesos) con inclusiones de laminillas de hematites.
Cuarzo con inclusiones de hematites en escamas (Villanueva del Río Segura). Cristales de cuarzo transparente (se distinguen tres claramente) en una geoda de dolomita (Ojós).
El cuarzo es también el elemento fosilizador en las maderas petrificadas. Encontramos este tipo de fósil tanto en Keuper como en Neógeno.
Madera petrificada del Mioceno (Archena). Observe el nudo.Madera petrificada del Triásico (Ulea). Además de las fibras se puede apreciar el veteado típico de la madera de conífera.
Podemos encontrar calcedonia substituyendo al carbonato en las conchas de moluscos miocenos. Más aún, en Ojós hemos observado caracoles terrestres fosilizados en calcedonia.
Caracoles terrestres folsilizados en calcedonia del Messiniense (Ojós).Cristal de cuarzo del Keuper mostrando fluorescencia anaranjada. El cristal tiene 23 mm de largo y su color a la luz natural es gris (Ojós).
Algunos de los cuarzos del Keuper pueden mostrar fluorescencia.
Hematites
Fe2O3 – trigonal
Hematites, masa con cristales de brillo intenso (Ulea). Lo blanco es costra de yeso.
La hematites es un mineral relativamente abundante, ver MVR p. 80. La encontramos en su versión especular en el Keuper de Ulea, donde se practicaron calicatas. Las diferencias aparentes de unas piezas a otras dependen, entre otras cosas, del hábito de los cristalitos que pueden ser planos o adoptar formas próximas a la bipirámide hexagonal.
Escamas de hematites en ofita (Villanueva).
Encontramos hematites en algunos afloramientos ofíticos.
Hematites, de la variedad llamada «terrosa», aunque la pieza es muy compacta (Ulea).
La hematites terrosa aparece en las minas del Cabezo de la Plata. A pesar del nombre, se trata de un mineral muy compacto que llega a mostrar brillos semimetálicos en las fracturas por su gran pureza.
Magnetita
Fe3O4 – cúbico
Cristal rombodedecaédrico de magnetita (Ulea).
Ver MVR p. 82. para más información más detallada sobre la presencia de este mineral en el Valle de Ricote. Los cristales idiomorfos de magnetita del Keuper son mencionados allí, pero nos ha parecido oportuno incluir mejores fotos.
Cristal de magnetita mostrando uno de los vértices del octaedro (Ulea).
Lo normal es encontrar la magnetita en masas granulares. En la última foto pongo una que recogí en Villanueva que tiene la peculiaridad de llevar pirita y unas manchas verdes de malaquita que delatan un leve contenido en minerales de cobre. La frecuente asociación entre magnetita y calcopirita la he descrito en mi post Paragénesis.
Pieza de magnetita del Keuper con algo de pirita e indicios de cobre (Villanueva).
Hasta ahora, ninguna de las magnetitas que he recogido en el Valle de Ricote puede considerarse piedra imán.
Ilmenita
FeTiO3 – trigonal
Mineral citado en el Cabezo Negro de Abarán. Ver «Minerales de la Región de Murcia» para ampliar información. Mencionemos que la forma más típica de aparición de la ilmenita en la Región de Murcia es en láminas asociada a cuarzo en esquistos cloríticos, roca que no está presente en el Valle de Ricote.
Ópalo
SiO2×nH2O – amorfo
Pieza de ópalo de varios colores mostrando el típico brillo craso (Archena).
Hay autores que no consideran al ópalo un mineral. Hablamos de él en MVR p. 77. Aquí me limitaré a poner una foto un poco mejor en la que he querido captar el particular brillo de este mineral.
Fragmento de silex mioceno englobando foraminíferos (Ojós).
El silex es un material que podríamos situar entre la calcedonia (cuarzo) y el ópalo. No es tan frágil como el ópalo pero contiene algo de agua por lo que la deshidratación superficial provoca cambios de aspecto con el tiempo. El silex puede contener fósiles como el que mostramos en la foto.
Limonita
FeO(OH)×nH2O – amorfo
Lo que fue un cristal cúbico de pirita es ahora limonita (Archena).
Se trata de una combinación de minerales de hierro, donde predomina la goethita, sumamente corriente que ya tratamos en MVR p. 81. A veces, lo más interesante de la limonita es lo que fue antes (pseudomorfismo).
Óxidos de manganeso
Mn4+O2 / Mn³⁺O(OH) / Ba(Mn2+)(Mn4+)8O16(OH)4
Los óxidos e hidróxidos (pirolusita, manganita, psilomelano) de manganeso constituyen una amplia familia de minerales que suelen ser responsables del color negro que a veces tiñe las rocas sedimentarias.
Piedra procedente de un conglomerado cuaternario teñida con óxidos de manganeso (Archena).
Hasta el momento, sólo hemos localizado el óxido indeterminado de manganeso tiñendo rocas en conglomerados de edad cuaternaria de las terrazas fluviales del río Segura.
Carbonatos (y nitratos)
Calcita
CaCO3 – trigonal
Cristales de calcita (Balneario de Archena). Encuadre 4 cm de anchura.
La calcita es uno de los minerales más abundantes y formador de rocas. Señalemos que por ese motivo aparece en todo tipo de terrenos, incluidas las ofitas. Remitimos al lector a MVR p. 76 para más información sobre este mineral en el Valle de Ricote.
Cristal «cilíndrico» de calcita terminado en pirámide triangular (Ojós).Enorme cristal idiomorfo tabular, lamentablemente afectado por la erosión (Ulea).
Dolomita
CaMg(CO3)2 – trigonal
Dolomita espática del Keuper de Ulea.
Ver MVR p. 79 para más información sobre las diferentes formas que puede presentar este mineral en el Valle de Ricote. Destacaremos la versión del mismo conocida como teruelita.
Cristales de dolomita (posible serie hacia la magnesita) en un estrato de Keuper (Ulea).Cristal de la variedad llamada teruelita (Ulea).Cristal pseudo-octaédrico de teruelita (Villanueva del Río Segura).
Se encuentra también la dolomita cristalizada en drusas en las dolomías de la Sierra de Ricote y en algunos afloramientos de ofitas.
Romboedros de dolomita en una drusa procedente un aforamiento de ofitas de Ojós.Dolomía bandeada «franciscana» típicamente Alpujárride, con una botella de cerveza Franziskaner como jalón. en la Sierra de Ricote. Se acompaña de fluorita y galena.
En particular, se han identificado afloramientos de dolomía «franciscana», roca típica del complejo Alpujárride, que hacen replantearse los límites de los complejos béticos en la Región de Murcia.
Magnesita
MgCO3 – trigonal
Cristales hexagonales de magnesita (Ricote).
Ver MVR p. 86 para más información sobre la presencia de este mineral en el Valle de Ricote. Sólo la hemos encontrado en forma de prismas hexagonales aplastados en terrenos del Keuper, pero sospechamos que puede haber magnesita con hábito diferente, que sólo se podrá determinar mediante el análisis de las muestras .
Aragonito
CaCO3 – rómbico
Cristales prismáticos pseudohexagonales de aragonito (Ulea). Encuadre 3 cm de anchura.
El aragonito fue el gran ausente en nuestro artículo de 2020. Sin duda, había recogido algunas muestras, pero en una forma no típica y por lo tanto difícil de identificar. Un yacimiento en Ulea produce muestras con cristales prismáticos que no dejan lugar a dudas. Las piezas con cristales aciculares recuerdan los célebres aragonitos de Pantoja (Toledo) mientras que en los cristales algo más gruesos se puede reconocer el patrón de maclado pseudohexagonal de los aragonitos de Minglanilla y Molina de Aragón.
Masa de cristales aciculares entrecruzados de aragonito (Ulea).
La última foto muestra una versión alternativa del aragonito del Keuper.
Aragonito en forma de agregado curvo de cristales fibrosos.
Malaquita / Azurita
Cu2CO3(OH)2 / Cu3(CO3)2(OH)2 – monoclínico
Formaciones en abanico de cristales aciculares de malaquita (Ulea). Encuadre 2 cm.
En nuestro artículo MVR p. 85 tratamos los minerales de cobre conjuntamente, ya que los carbonatos aparecen como alteración de los sulfuros (in situ) y todo ellos fueron aprovechados por los antiguos para la obtención de este metal. La forma más frecuente de encontrarlos es como «manchas», aunque hemos encontrado cristales algo más complejos de malaquita en la alteración de grandes masas de calcopirita del Keuper.
Masa arriñonada de malaquita (y limonita) procedente de la alteración de calcopirita (Ulea).
También hemos encontrado malaquita de aspecto algo más masivo, procedente también de la alteración de calcopiritas.
Aspecto cercano de los yesos «magnéticos y cobrizos» del Cabezo de la Plata. Encuadre 2 cm.
El mayor despliegue de coloreado verde lo encontramos en las calicatas del Cabezo de la Plata, producto de la alteración de calcopirita microscópica que acompaña a granos, igualmente pequeños, de magnetita diseminados en yeso del Keuper.
Yesos messinienses teñidos por malaquita y azurita producto de la descomposición de un sulfuro, posiblemente digenita (Ojós).
También encontramos malaquita y azurita tiñendo la celestina que acompaña a la galena en las minas de Ricote, así como en algunos yesos messinienses de Ojós. La azurita es más rara y siempre aparece junto con la malaquita.
Sulfatos, (cromatos, molibdatos y wolframatos)
Yeso
CaSO4×2H2O – monoclínico
Cristales prismáticos de yeso en marga ferruginosa del Keuper (Ricote).
El yeso, como mineral omnipresente en el Valle de Ricote, fue tratado en MVR p. 75. Sin embargo, no incluimos allí fotos de cristales de yeso, en sentido estricto, que es lo que más aprecian los mineralogistas. Hemos encontrado cristales bastante decentes en una marga triásica de Ricote.
Formación de yeso en «rosa del desierto» (Ulea).
El yeso aparece en una variedad de hábitos, particularmente laminar, fibroso y granular. Las maclas de cristales lenticulares formados en margas dan lugar a «rosas del desierto».
Yeso del Keuper «preñado» de nódulos de pirita, aunque a la vista hay uno pequeño, la densidad delata al resto (Balneario de Archena).
El yeso del Keuper es contenedor de otros minerales que mencionamos aquí. Hemos escogido la pirita y el cuarzo para ilustrar este hecho.
Cristales de cuarzo en yeso del Keuper (Ricote). El que está en primer plano tiene 15 mm.
Barita
BaSO4 – rómbico
Masa de barita consistente en agregados de cristales tabulares en forma de «libro» (Sierra del Cajal).
Ver MVR p. 88 para más información sobre la presencia de este mineral en el Valle de Ricote. La mayor dificultad que ofrece la barita es su parecido con celestina, salvo los casos en los que el hábito es típico, como el los ejemplares fotografiados.
Pieza de barita mostrando un patrón típico de este mineral (Sierra del Cajal).
También hemos encontrado la barita en cristales tabulares en Ojós.
Celestina
SrSO4 – rómbico
Celestina, drusa en calcarenita miocena (Archena). Encuadre 4 cm de anchura.
Ver MVR p. 87 para más información sobre la abundancia de este mineral en el Valle de Ricote. Mencionemos los extraordinarios cristales aparecidos en la rambla del Tinajón (Ulea) en arenisca miocena.
Agrupación de cristales prismáticos en arenisca miocena (Ulea).Macla de cristales «flotantes» (Ulea).
También aparece la celestina en el Keuper en forma de estratos concordantes con las margas y yesos, por lo que le atribuimos origen evaporítico.
Cristales tabulares de celestina, geoda en estrato de origen evaporítico del Keuper (Ulea). Encuadre 2 cm de anchura.Fragmento de estrato de celestina evaporítica (Ojós).
También encontramos la celestina acompañando a la galena en Ricote.
Fosfatos, (arseniatos y vanadatos)
Apatito
Ca(PO4)3(F,Cl,OH) – hexagonal
Fortunita tapizada de magnetita sobre la que hay cristales grises de apatito (Fortuna).
Mineral citado en el Cabezo Negro de Abarán. Ver «Minerales de la Región de Murcia» para ampliar información. También me han hablado de la presencia de apatito en otros afloramientos ofíticos del Valle. La foto que acompaña no es del Valle de Ricote estrictamente hablando, pero de un lugar relativamente cercano: el complejo volcánico de los Cabezos Negros de Fortuna.
Silicatos
Prehnita
Ca2Al(Si3Al)O10(OH)2 – rómbico
La estructura radial que se observa en las fracturas es típica de la prehnita (Ricote).
Fue tratada en MVR p. 89. Este mineral forma filones y tapizados en las ofitas. En un yacimiento de Ricote parecen grandes cristales de calcita en los huecos dejado por la prehnita.
Actinolita
Ca2(Mg, Fe)5Si8O22(OH)2 – monoclínico
Cristales de actinolita (Ricote). Encuadre 5 cm de anchura.
Fue tratada en MVR p. 89. Aparece ligada a las ofitas, en cristales aciculares de varios centímetros que pueden formar entramados complejos.
Epidota
Ca2FeAl2O(OH) – monoclínico
Epidota en cristales aciculares formando estructuras concéntricas (Ulea).
La epidota no fue incluida en MVR por ser muy pequeñas las muestras de mineral halladas hasta la fecha. Sin embargo, uno de los afloramientos de ofita de Ulea es abundante en epidota que forma tapizados de llamativo color verde.
Mencionaré que hay una polémica sobre si algunas epidotas son realmente clinozoisitas. Lo único que sé sobre este asunto es que, hasta ahora, todas las epidotas que he visto son «de libro», mientras que el análisis DRX donde salió a colación la clinozoisita ha sido cuestionado por algunos especialistas.
Granate
Ca3Fe2(SiO4)3 – cúbico
Granates en ofita con epidota. La foto es provisional pues la pieza no es del Valle de Ricote, pero es exactamente la misma paragénesis.
Mineral citado en el Cabezo Negro de Abarán. Ver «Minerales de la Región de Murcia» para ampliar información.
Titanita
CaTiSiO5 – monoclínico
Grupo de cristales de titanita (verde oscuro) en ofita, procedente del Cabezo Negro de Abarán..
Mineral citado en el Cabezo Negro de Abarán. Ver «Minerales de la Región de Murcia» para ampliar información.
Ortosa / Sanidina
KAlSi3O8 / (K, Na)(Si, Al)4O8 – monoclínico
Drusa de cristales de feldespato en ofita (Campo de Ricote). Encuadre 25 mm de anchura.
Minerales citados en el Cabezo Negro de Abarán. Ver «Minerales de la Región de Murcia» para ampliar información. El feldespato, en general, es un componente de las rocas ígneas (ofitas, en nuestro caso), pero no es habitual verlo de manera relativamente aislada. Ponemos estos dos feldespatos juntos por la dificultad para distinguirlos sin usar instrumental de laboratorio.
Clorita
(Mg,Fe2+)5Al(Si3Al)O10(OH)8 – monoclínico
Roca compuesta, posiblemente, en su mayoría por clorita (Ricote).
Mineral citado en el Cabezo Negro de Abarán (ver «Minerales de la Región de Murcia» para ampliar información). A falta de realizar los análisis oportunos, la magnetita/hematites del Cabezo Trinidad de Ricote parece estar acompañada de una roca formada mayoritariamente por clorita.
Diópsido
CaMgSi2O6 – monoclínico
Cristal prismático de diópsido (?)
En un afloramiento ofítico de Ojós aparecen cristales de un anfíbol, algunos liberados por la meteorización, que hemos identificado como diópsido.
Aerinita en finas vetas entre cuarzo y otros silicatos, con cuarzo azul.
Este silicato es característico por sus tonos azulados. Hemos encontrado la aerinita tiñendo superficies en una ofita del Campo de Ricote. Más recientemente, hemos encontrado un ejemplar donde la aerinita aparece masiva, de aspecto afieltrado, aunque en pequeñas cantidades, junto con algo de cuarzo azul.
Otros minerales que, posiblemente, hay
La marcasita es otro de los grandes ausentes. Como es plausible que un nódulo de marcasita aparezca alterado a limonita, se distinguiría por la cristalización tipo «pastilla juanola».
Esperamos encontrar una pieza significativa de goethita, el principal mineral del grupo de la limonita. Debería aparecer en un contexto de limonita abundante que haya sido sometida a la acción de aguas supergénicas.
Asimismo, creo que debe haber alguna concentración apreciable de óxidos de manganeso en terrenos cuaternarios que proporcione un ejemplar «decente».
Debe haber minerales de plomo producidos por alteración de los filones o masas de galena cerca de la superficie. El asunto es encontrarlos en forma reconocible, principalmente anglesita y cerusita.
Sospechamos la presencia de cinc acompañando a la galena en los yacimientos de Ricote, tal como ocurre en otros yacimientos similares de la Región de Murcia. El mineral más plausible en esta paragénesis, a falta de blenda, es la hemimorfita.
Otro gran ausente, la anhidrita, que es la forma «deshidratada», con respecto al yeso, del sulfato de calcio. Debería aparecer aunque sólo fuera como pseudomorfismo.
Algunas dolomitas del Keuper aparecen en estratos muy ferruginosos, lo que abre la posibilidad de que haya una serie hacia la ankerita (carbonato de calcio y hierro). Es preciso realizar análisis químicos de las muestras.
Esperamos realizar el estudio de los silicatos que acompañan a las magnetitas de la Loma del Hierro (Abarán).
El pasado fin de semana (7 y 8 de mayo 2022) se celebró en Cabra (Córdoba) el V Encuentro Nacional de Entidades de Ciencias de la Tierra. Naturalmente, sé que la mayor parte de la gente (hablo en términos estadísticos) no sólo desconoce que existen tales encuentros, sino que, además, desconoce lo que es una «entidad de Ciencias de la Tierra». Mi propósito aquí es dar alguna información al respecto y aclarar la relación con el título de este post: coleccionismo de «piedras».
Cartel de la «Trobada» en Cabra, a la que desafortunadamente no pude asistir.
¿Asociaciones de coleccionistas?
Las entidades de Ciencias de la Tierra son asociaciones culturales, generalmente locales, que reúnen a personas interesadas en alguna disciplina englobada o relacionada con la Geología. Muchas de estas asociaciones (al menos, de las que tengo noticia) surgen entre aficionados a la Paleontología y la Mineralogía. Pero, hay que decirlo, es muy difícil ser aficionado a estas disciplinas sin ser coleccionista de fósiles o minerales. Normalmente, la relación causa-efecto responde al siguiente esquema-historieta: al comienzo se siente fascinación por los fósiles, los minerales u otra cosa parecida; a raíz de ello comienza la colección, primando los criterios «estéticos»; a medida que aumenta la colección también se profundiza en el tema y aparecen los criterios «científicos»; al final, el coleccionista se ha convertido en un experto que disfruta conversando con otros que comparten su afición. Y así nace la «asociación». Hasta aquí todo bien ¿no?
Cada comunidad autónoma tiene su propio desarrollo normativo con ciertas diferencias… se dice que el mas duro es el de Aragón, donde doblar el lomo y hacer amago de tocar el suelo es punible.
El coleccionismo de fósiles o minerales son actividades legales, como el de sellos, monedas o aguafuertes de Goya. Sin embargo, la recolección de fósiles en España es delito, en la práctica, en cualquier situación, y la de minerales, aunque todavía no lo es, tiene muchos peros y muchos comos. Ciertamente, es muy difícil explicarle a un niño qué tiene de malo el recoger un fósil de bivalvo que aflora entre un montón de zahorra que unos obreros van a usar para relleno, pero no voy a opinar ahora sobre ese asunto cuyo verdadero meollo no reside tanto en el valor del patrimonio paleontológico como en el hecho de que Spain is different. Sólo diré que existen iniciativas a favor de cambios legislativos al respecto y quien quiera saber lo que pienso sobre el coleccionismo de «piedras» puede verlo aquí.
Saliendo del armario
Las asociaciones de coleccionismo de piedras, particularmente el de fósiles, han realizado la travesía del desierto para adaptarse al marco legal vigente. Con los mejores ejemplares cedidos por sus socios han creado museos a nivel municipal (o regional) de una calidad que no podría alcanzarse a golpe de presupuesto, sobre todo porque se trata de especímenes locales. Ejemplos de esto son los museos de Cidaris (Elche), Isurus (Alcoy) o el de la Asociación Cultural Paleontológica Murciana (Los Garres – Murcia), de la que hablaré algo más al final. La situación legal de estas colecciones es curiosa porque se encuentran «cedidas» a las asociaciones por las autoridades patrimoniales para que las conserven y las exhiban. Afortunadamente, la situación es estable porque es el modelo más barato de museo que pueden permitirse las autoridades con su exiguo presupuesto para Cultura.
Vista general del museo de la ACPM en el IES Severo Ochoa de Los Garres (Murcia). Destaca en el centro el impresionante caparazón de tortuga del Mioceno del Puerto de la Cadena.
Adaptarse a la ley tiene también mucho de dar ejemplo. Me consta que alguna entidad ha perdido miembros porque no comulgan con las buenas prácticas. Los indomables toperos que revientan yacimientos, acaparan ejemplares, especulan con ellos y sólo ven en las piedras un negocio no tienen ya cabida en las asociaciones. Esto es así desde hace más de 15 años en las entidades paleontológicas, pero aún llevamos el estigma y de vez en cuando nos siguen etiquetando de toperos. Curiosamente, hoy me ha llegado una noticia de que en las asociaciones de mineralogistas también cuecen habas. Por contra, hoy día, las entidades de Ciencias de la Tierra colaboran con las autoridades patrimoniales y científicas en la preservación y estudio de yacimientos y especímenes. Algunas, como Nautilus (La Alcarria) desarrollan una notable actividad investigadora y editora.
Recuperación de un fósil de Paleodyction en un bloque de sedimento, movido de su posición original por la construcción de un camino forestal y expuesto por una torrentera. La acción fue llevada a cabo altruistamente por la Asociación Cultural Paleontológica Murciana con el permiso de las autoridades patrimoniales.
La Trobada de Ángel Carbonell
El primer acto conjunto reuniendo al mayor número posible de entidades de Ciencias de la Tierra fue organizado por Ángel Carbonell, presidente de Isurus, en Alcoy (2015). Tengo recuerdos entrañables de aquella reunión, incluso del momento más tenso que vivimos. Durante la visita al yacimiento de La Querola en la vecina Cocentaina, al parecer, unos vecinos llamaron a la policía municipal al ver un grupo tan numeroso de personas en el lugar. La policía municipal, a su vez, avisó al Seprona (Servicio de Protección de la Naturaleza, división de la Guardia Civil) que es la autoridad competente para ese tipo de situaciones. Felizmente, las palabras de Ángel a los agentes explicando que aquella reunión era un acto científico-cultural catalizaron la vuelta a la normalidad en cuestión de minutos.
Encabezado del folleto con las actividades de la primera «Trobada».
Aquel primer encuentro fue un éxito, así que se organizaron algunos más. El último antes del COVID tuvo lugar en Cuenca. Además de visitas guiadas a yacimientos (Las Hoyas), al «almacén de dinosaurios» (Lo Hueco) y al Museo Paleontológico de Castilla-La Mancha. En un momento dado de la sesión institucional que tuvo lugar en el salón de actos del museo, una señora sale al estrado y se presenta como delegada de la SEP (Sociedad Española de Paleontología). Tras la sorpresa inicial, se sucedieron las bromas: que si aquello era una encerrona, que si el Seprona nos esperaba al otro lado de las puertas… El humor negro es una consecuencia natural tras muchos años de estigma. La señora de la SEP lo que hizo en su alocución fue elogiar el trabajo de las entidades de Ciencias de la Tierra y expresar su deseo que la colaboración entre aficionados y profesionales siguiera dando muchos frutos en el futuro.
Ángel Carbonell (izquierda) con otros miembros de Isurus.
La Asociación Cultural Paleontológica Murciana
Logo de la ACPM en mi carnet (socio nº 123)
Hace alrededor de 20 años me presenté en el museo que la Asociación Cultural Paleontológica Murciana (ACPM) tiene en Los Garres para ver los impresionantes restos de tortuga gigante, pero lo cierto es que nada allí tenía desperdicio: además de la calidad de las piezas, hay una serie de rarezas dignas de los mejores museos del mundo. El logo de nuestra Asociación incluye los dibujos de los dos fósiles más emblemáticos de la Región de Murcia: los fabulosos erizos marinos Clypeaster portentosus de Sangonera la Verde; y los ammonites fosilizados con concha (Indosphinctes choffati, aparentemente, el del logo) de Fortuna. Para mí, que mi experiencia con los fósiles se reducía a ver los que descubría la lluvia en las gredas miocenas, aquello fue una revelación. Así que me hice socio y comencé a aprender sobre la riqueza paleontológica del subsuelo murciano.
Paco Bernal examina los restos del dinosaurio de Benizar (Moratalla) en la sede de la ACPM.
Paco Bernal no es solamente el presidente de la ACPM, sino que también es su alma y oráculo. Cuando la mayor parte de nosotros se dejaba seducir por los «cantos de sirena», es decir, el entonces todavía proyecto de Museo Regional de Paleontología y de la Evolución Humana (en Torre-Pacheco), él mantuvo una postura firme sobre el futuro de la colección porque sabía que el museo regional sería un fiasco. Y efectivamente, así ha sido. Después de mucho tiempo sin poder juntarnos por las dificultades derivadas del COVID, pudimos echarnos una foto de familia que es muy significativa, porque estamos junto al equipo de excavación del yacimiento de Quibas, dirigido por Pedro Piñero, y en compañía del gran paleontólogo Jordi Agustí (casi tapado por Sangaré), reunidos junto a mi amigo el arqueólogo Ignacio Martín Lerma. Creo que esta imagen expresa mejor que las palabras el buen entendimiento y colaboración entre científicos y las entidades de Ciencias de la Tierra.
Visita de la ACPM y el equipo de excavación de Quibas a la exposición «Ancestros» sobre los neandertales en la Región de Murcia. En medio con un peluche, Ignacio Martín Lerma, organizador y guía del evento.
¡Qué no cunda el pánico! No voy a dar una lección sobre la elipse partiendo de cero. Para eso ya está la Wikipedia e innumerables blogs didácticos. Este post será sólo una reflexión sobre esta curva clásica, en el que contaré algunas curiosidades. Una cosa… si esto fuera una conferencia con un público con el que pudiera interactuar (en tiempo real), añadiría detalles que aquí he omitido de manera deliberada. Espero que estas ausencias no sean un problema para el lector que sepa leer entre líneas.
Enciclopedia de Grado Medio de la editorial Dalmau Carles Pla (Gerona 1950) en la que estudió mi padre. El dibujo de la izquierda ilustra la definición métrica de la elipse.
La elipse y yo
Es un hecho comúnmente aceptado que los libros de texto escolares van reduciendo su contenido (y aumentando su precio) año tras año. Esto ya debía de ser cierto hace por lo menos cuatro décadas porque los libros de mis hermanos, que son mayores que yo, o incluso los de mi padre, parecían más interesantes que los míos (hablaremos algún día de esta manía de privar de información a los niños en el cénit de su curiosidad). Con esos libros abandonados por sus usuarios que recuperé del trastero monté mi «primera biblioteca» en El Cañarico, en la que pasaba largas horas hojeándolos. En esos libros supe por primera vez de la elipse.
Aprendí que la elipse, junto con la parábola, la hipérbola y la circunferencia (realmente un caso particular de la elipse), son las llamadas curvas cónicas porque se obtienen como secciones de un cono (de revolución). Esto lo sabía Apolonio de Perga en el s. III de nuestra era, pero a mí me resultaba muy extraño… ¿Cómo es posible que un corte oblicuo del cono sea una curva con dos líneas de simetría (una de ellas es evidente) en lugar de una figura ovoide? Sólo había una forma de comprobarlo… cortar un cono.
Exin Castillos, foto tomada de Wikipedia.
Y así hice. Corté con un serrucho uno de los tejados cónicos que cubren las almenas de un popular juego de construcción de castillos en los años 70. Aparte de destrozar una pieza que ahora sería bastante valiosa entre los coleccionistas frikis, el experimento no me convenció mucho. Podría haber «seccionado» más cómodamente el cono proyectando oblicuamente el haz de luz de una linterna en sobre una pared. Años después aprendí como hacer eso mismo con Geometría Analítica, que reduce los objetos geométricos elementales a ecuaciones algebraicas.
Esquema del argumento de Dandelin, tomado de Courant-Robins ¿Qué es la Matemática? (Aguilar 1979)
Si pudiera viajar al pasado, le contaría a mi joven yo el argumento de Dandelin, la elegante demostración con Geometría elemental de que la sección oblicua (pero no más oblicua que la generatriz) de un cono de revolución satisface la definición métrica de la elipse. Los focos resultan ser los puntos donde dos esferas adecuadas tocan el plano (mejor dicho, son tangentes) que realiza la sección. Todo lo que hay que saber es que si desde un punto se traza una recta tangente a una esfera, la distancia al punto de tangencia no depende la recta escogida. El argumento se puede adaptar igualmente a la hipérbola y la parábola, por lo que Germinal P. Dandelin alcanzó la gloria redemostrando hechos conocidos durante más de 1500 años.
Ilustración del libro «Algebra lineal y algunas de sus aplicaciones» de L.I. Golovina (MIR 1983) que muestra los efectos de una transformación afín consistente en un acortamiento horizontal (x 1/3) y un alargamiento vertical (x 2). Así podemos convertir un cocodrilo en un monstruo de Dungeons and Dragons.
Después de haber estudiado matemáticas tantos años me sigo sorprendiendo con algunas cosas. Por ejemplo, el hecho elemental de que aplicando a la circunferencia una transformación afín siempre se obtenga una elipse. ¿Qué tiene esto de sorprendente? Me explico. Una transformación afín deforma el plano según dos direcciones no necesariamente perpendiculares, estropeando distancias y ángulos (un cuadrado puede transformarse en cualquier paralelogramo). Sin embargo, aplicada la transformación afín a una circunferencia, el resultado es siempre una elipse, con sus dos ejes perpendiculares y sus notables propiedad métricas. Más aún, esto que acabo de decir es sólo un caso particular de que cualquier forma cuadrática puede expresarse canónicamente (únicamente combinaciones lineales de cuadrados de las variables) mediante una transformación ortogonal en cualquier dimensión.
El mecánico celeste
El paso del sistema geocéntrico de Ptolomeo al heliocéntrico de Copérnico no sólo simplificó la comprensión de la dinámica planetaria, sino que también marcó el momento en el que Ciencia y Religión debían tomar caminos diferentes (es bien sabido que el «divorcio» se llevó unos años: eppur si muove). En el sistema de Copérnico los planetas giraban alrededor del sol el órbitas circulares. Johannes Kepler estudió los datos recopilados minuciosamente por Tycho Brahe y llegó a la conclusión de que las órbitas de los planetas realmente son elípticas y el sol ocupa uno de los focos. Esta es la primera ley de Kepler. La segunda ley describe la variación de la velocidad para un planeta en su órbita elíptica, y la tercera relaciona la duración del «año» para dos planetas diferentes en función del tamaño de la órbita.
Posiblemente el libro más importante de la historia de la Ciencia (edición en español, Tecnos 2011)… puesto disputado con «El origen de las especies» de Darwin.
Isaac Newton inventó el Cálculo Infinitesimal (derivadas, integrales, series de potencias, ecuaciones diferenciales…), descubrió las Leyes de la Mecánica, descubrió la Ley de Gravitación Universal explicando el funcionamiento del sistema solar, descompuso la luz explicando así los colores y la formación del arco iris, construyó el telescopio reflector tal como se usa hoy día en los grandes observatorios y en el Hubble… Nunca se ha contribuido más a la Ciencia (ni a la Humanidad) trabajando en solitario entre cuatro paredes. Aún así, de vez en cuando aparece algún «iluminado» de la autoayuda diciendo que todos podemos ser genios, que tenemos el mismo potencial y que desarrollarlo es cuestión de motivación… bullshit!
Parte de Los Principios Matemáticos de Filosofía Natural donde Newton trata la relación entre la ley del inverso del cuadrado de la distancia y las órbitas según curvas cónicas.
Un día de agosto de 1684, Edmund Halley (el dude del cometa) le preguntó a Newton cómo serían las trayectorias de los planetas si estos fueran atraídos por el sol con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Newton le dio la solución al instante: elipses. Asombrado, Halley le preguntó la razón para ello. Newton le dijo simplemente «lo he calculado». Newton sabía todo eso, y más, desde 1666. Hoy conocemos que uno de los motivos por los que Newton fue tan prudente, por así decirlo, es que estaba intentando resolver el problema de la atracción gravitatoria entre esferas sólidas (y no masas puntuales) que es lo que son, aproximadamente, los grandes astros. Halley insistió a Newton para que publicara sus descubrimientos y llegó a financiar de su bolsillo la edición de los «Philosophiæ naturalis principia mathematica» (el latín era la lengua científica, como hoy día lo es el inglés).
Lápida bajo la que reposan los resto de Newton, en la Abadía de Westminster. Cerca de Newton están otros físicos como Lord Kelvin, James C. Maxwell, Paul Dirac y Stephen Hawking. A poca distancia está también Charles Darwin, que debe aburrirse mucho con sus vecinos.
La imaginería popular representa a Newton bajo un manzano contemplando la caída de la fruta o, peor aún, siendo golpeado por ella. La grandeza de Newton consiste en haberse dado cuenta que la fuerza que hace caer la manzana es la misma que mantiene «atada» la Luna alrededor de la Tierra; que la Luna traza una órbita cerrada alrededor de la Tierra porque está «continuamente cayendo» sobre ella; que lo mismo ocurre con la Tierra y los otros planetas que giran alrededor del sol; y que la gravedad es la fuerza que mueve la máquinaria del universo, más allá de donde puede llegar a mirar con su telescopio reflector.
La lección perdida de Feynman
Hacia el final de La Novena Puerta, adaptación cinematográfica del Club Dumas de Arturo Pérez Reverte, el protagonista, interpretado por Johnny Depp, regresa al establecimiento de los hermanos Ceniza en Toledo. Allí se encuentra con unos obreros que están desmontando el local y, mientras estos mueven un pesado armario, una lámina vuela suavemente desde lo alto del mueble hasta sus pies: se trata de la página (con un grabado) que completa el libro por el que Boris Balkan (el villano de la historia) ha estado matando a lo largo de la película (spoiler, sorry).
Portada de mi ejemplar de «Feynman’s lost lecture», por D.L. Goodstein y J.R. Goodstein.
Más o menos, así podría haber ocurrido, cuando Judith R. Goodstein entró en el despacho de Robert B. Leighton, profesor retirado de Caltech, mientras estaban desalojando sus cosas para reutilizar el espacio: apareció una carpeta polvorienta que contenía la lección perdida de Feynman. Leighton, junto con Matthew Sands, había sido el encargado de transcribir las lecciones de Física que Richard Feynman impartió en Caltech entre 1961 y 1963, y que dieron lugar a una aclamada obra muy usada en primeros cursos universitarios. Esa lección extraviada de Feynman, que no había sido incluida en el libro, trataba sobre las órbitas de los planetas.
Edición conmemorativa de «The Feynman Lectures on Physics», o la manera de conciliar el amor a la Ciencia con la bibliofilia.
La manera moderna de resolver el problema de las órbitas planetarias consiste en escribir las ecuaciones del movimiento en coordenadas polares (las leyes de conservación ayudan en esta tarea), cambiar la variable r (distancia al origen de la fuerza) por 1/r y observar como la ecuación, salvo una constante es la del oscilador armónico. La Geometría Analítica nos permite identificar ahí la elipse en términos de las coordenadas polares. El problema real, con dos masas, es más complicado porque ambas se mueven, pero puede ser reducido con un truco matemático a una sola masa atraída desde un punto inmóvil. Sin embargo, la introducción de una tercera masa complica infinitamente el sistema (problema de los tres cuerpos).
Uno de los dibujos del libro «Feynman’s lost lecture».
Curiosamente, Feynman aborda el problema de las órbitas de los planetas siguiendo los pasos de Newton, con Geometría a la antigua usanza. Pero Feynman, al igual que Newton, era un genio y aportó su original visión a la demostración de la primera ley de Kepler. En lugar de estudiar únicamente la trayectoria del planeta (elipse), trazó el diagrama vectorial de las velocidades demostrando que estas se sitúan sobre una circunferencia, pero parten de un punto entre el centro y el borde de ésta. La trayectoria del planeta se recupera como la envolvente de una familia de rectas que ilustran la propiedad de que cualquier tangente a la elipse forma ángulos iguales con los dos segmentos que parten del punto de tangencia a los focos. No es mi intención entrar en detalles aquí, pero se puede decir que hay, en cómo argumenta aquí Feynman, una cierta reminiscencia de las ideas con las ideas que él mismo expone (o trata de exponer) de manera elemental la Electrodinámica Cuántica, teoría por la que obtuvo el Nobel en 1965.
En ocasiones veo elipses
La relación geométrica entre la circunferencia y la elipse empleada por Feynman puede ser usada para obtener elipses como experimento casero. Tome un disco circular de papel, marque un punto que no sea el centro ni esté en el borde y doble el papel de manera que el borde del disco se sitúe sobre el punto marcado. Esto se puede hacer de infinitas maneras, pero bastan unos cuantos dobleces bien repartidos para que la elipse comience a aparecer como envolvente de estos. El centro de la circunferencia y el punto marcado serán los focos de la elipse así obtenida.
Experimento casero para obtener un elipse como envolvente de líneas dadas por dobleces en el papel. Están marcados el centro de la circunferencia y el punto elegido. Tiempo de realización (incluyendo cortar el disco) 5 minutos.
Pero aunque no las busque en libros o las fabrique en papel, no puedo evitar seguir viendo elipses cuando salgo a la calle. Las veo incluso en la charcutería: los chorizos o salchichones de grandes dimensiones son aproximadamente cilíndricos, y cortados al bies producen sabrosas elipses. El argumento de Dandelin es mucho más sencillo de seguir para una sección cilíndrica (animo al lector a que lo haga) mientras disfruta un buen bocadillo de salchichón ibérico.
Sección elíptica producida en un salchichón ibérico (foto de Internet).
También, en un día soleado (o con una fuente de luz puntual), sobre una chapa de acero inoxidable arañada aleatoriamente o el capó de un coche con la pintura gastada por el tiempo, los arañazos iluminados forman patrones elípticos. La explicación es sencilla conociendo algunos conceptos: los arañazos que se iluminan son los que están contenidos en planos que son tangentes a algún elipsoide cuyos focos son la fuente luminosa y nuestro ojo. Las elipses formadas como envolventes de arañazos iluminados resultan ser la intersección de la superficie (arañada) con la familia de elipsoides confocales mencionada (prometo escribir en algún momento las cuentas para mis colegas de profesión).
Reflejo con arañazos en una chapa de acero inoxidable (foto de Internet hasta que pueda hacer una suficientemente buena del capó de mi coche).
La propiedad de reflexión de la elipse, o el elipsoide, respecto a los focos no solamente ocurre para la luz, sino también para el sonido. Existen varios lugares en el mundo donde se puede experimentar un curioso fenómeno: dos personas en lugares opuestos de una espaciosa sala llena de gente relativamente ruidosa pueden conversar entre ellos en susurros hablando y escuchando a la pared. Uno de esos lugares es la Sala de los Secretos de la Alhambra de Granada, pero hay más como puede consultar aquí. La bóveda elipsoidal, no sólo permite la adecuada reflexión del sonido, sino que además los diferentes trayectos de las ondas tienen la misma longitud. Esto contribuye a que el sonido no se distorsione. El paraboloide de revolución es esencialmente un elipsoide con un foco infinitamente alejado, por lo que goza de propiedades similares para: la luz (espejos cóncavos, faros halógenos), otras ondas electromagnéticas (antenas parabólicas) y ondas sonoras (micrófonos de escucha a larga distancia de los espías).
Para acabar, haré una pequeña mención a la Geometría de los espacios de Banach, mi tema de investigación en Matemáticas. Un cubo (hexaedro) cortado de manera conveniente, produce un hexágono regular. Todos podemos estar de acuerdo en que un hexágono regular está más cerca de ser «redondo» que un cubo. Si «cortáramos» con un plano un cubo en cuatro o más dimensiones (esto es difícil de imaginar, lo reconozco) podríamos obtener un poliedro regular con más lados que aproxima mejor a la circunferencia. El matemático israelí A. Dvoretzky demostró en 1961 que un cuerpo convexo simétrico en espacio n-dimensional al ser cortado aleatoriamente por un plano que pase por su centro producirá con una probabilidad alta elipses aproximadas, siendo más aproximadas y la probabilidad más alta a medida que la dimensión n crece.
