Circunferencias y esferas

Ilustración de Lecciones de Geometría de Cirodde, Madrid 1905.

Hoy voy a hacer “divulgación matemática”. En particular, hablaré de circunferencias y esferas, en el sentido más euclídeo de la palabra. El detonante de esta ocurrencia ha sido el vídeo que me envió mi querido amigo Luis Arrufat por WhatsApp, que podréis ver a continuación (el vídeo está incrustado en la página, en caso de problemas para visualizarlo podéis verlo también en YouTube). Sólo una advertencia, las hipnóticas imágenes enganchan.

Si habéis visto con detenimiento el vídeo, cada bola blanca («pelota» en la lamentable traducción) se mueve en una línea recta, pero conjuntamente se «perciben» como rodando dentro del círculo rojo. Yo trataría de discernir aquí si el problema es realmente la percepción o lo que se entiende normalmente por rodar. Por ejemplo, considerad la rueda de una bicicleta que se desplaza por un camino recto y llano. Pues bien, ni uno sólo de sus puntos describe una trayectoria circular: el buje se mueve en línea recta, mientras que un punto en el neumático describe una trayectoria con forma de cicloide. Sin embargo, nadie discute si la rueda da vueltas o si está rodando ¿no?

Curva cicloide producida por la rueda de una bicicleta (imagen tomada de https://robadabambini.blogspot.com)

Una discusión tan similar como infructuosa es la de si la luna gira sobre sí misma, o no lo hace, ya que en su recorrido mensual alrededor de la tierra siempre presenta a un observador terrestre la misma cara. Como esto no va de Psicología ni Filosofía o Astronomía, sino de Matemáticas, lo primero que haré será aclarar por qué si una circunferencia rueda dentro de un círculo con el doble de diámetro todos sus puntos describen trayectorias rectilíneas.

Una explicación sencilla

En la escuela se enseña que los tres ángulos (internos) de un triángulo suman un ángulo llano (180 grados sexagesimales). Otra cosa bien diferente es si alguna vez nos han dado una explicación razonada, o razonable, de este aserto. En Geometría, como en cualquier otra teoría matemática hay que partir de unos principios que se dan por ciertos (postulados o axiomas). El hecho de que la suma de ángulos de un triángulo arroja siempre el mismo valor emana directamente del llamado «Postulado de las Paralelas» (también conocido como El Quinto Postulado) que afirma que, en el plano, dados una recta y un punto fuera de ella, sólo se puede trazar una paralela a la recta dada pasando por dicho punto. El dibujo a continuación ilustra como se relaciona la suma de ángulos con el Postulado de las Paralelas.

Tras trazar una paralela a un lado del triángulo por el vértice opuesto, resulta que los ángulos rojos (alfa) son iguales, y lo mismo ocurre con los azules (beta), por lo que se pueden transportar a la parte superior del dibujo y sumados al ángulo negro dan como resultado un ángulo llano.

No voy a engañar al lector: estoy ocultando algunas dificultades de manera deliberada. Por ejemplo, lo que se entiende por «ángulo» en Matemáticas. No entraré en ese jardín porque todo el mundo entiende de manera intuitiva el ángulo como cierto tipo de magnitud geométrica expresable en una escala numérica (de hecho, en la práctica se mide con un goniómetro o un transportador de ángulos). Ahora mostraré una curiosa propiedad de los ángulos en una circunferencia.

El ángulo rojo «beta» es exactamente el doble del ángulo negro «alfa».

El dibujo arriba ilustra la siguiente propiedad: cada vez que se da una circunferencia de centro X, un diámetro de ella con uno de sus extremos llamado O y un punto A en la circunferencia, el ángulo que forma el segmento XA con el diámetro por la parte opuesta a O es exactamente el doble del ángulo que forma el segmento OA con el diámetro en O. La prueba es muy sencilla, pero el limitado editor de texto de la web no me permite usar símbolos, así que daré el esquema argumental insertando una nota manuscrita, como si estuviera en clase usando una pizarra.

Argumento de mi puño y letra… lo siento, no soy calígrafo.

He apelado a otro resultado que en la práctica parece evidente, pero no lo es tanto su demostración: si un triángulo tiene dos lados iguales (llamado en tal caso isósceles), los ángulos opuestos a ellos son iguales entre sí. El propio Euclides dio una demostración bastante aparatosa que incluía como «bonus track» una construcción geométrica que lejanamente puede parecer un puente. Pons asinorum (el puente de los burros) se ha llamado popularmente, porque había que pasar por él para «desasnarse» y aprender la Geometría. Ya estamos en condiciones de explicar lo que pasa en el vídeo con el que comenzábamos el post de hoy.

Los arcos coloreados tienen la misma longitud por que el de la circunferencia cuyo diámetro es la mitad corresponde a un ángulo que es el doble.

El dibujo muestra dos círculos siendo el diámetro del grande el doble del pequeño. Los dos ángulos marcados están también en relación de ser uno el doble del otro, sólo que el ángulo mayor está en la circunferencia pequeña. Eso hace que los dos arcos coloreados tengan la misma longitud, los que puede interpretarse de la manera siguiente: si el circulo pequeño rueda hacia abajo, el punto B irá a parar directamente al O, y de hecho se situará siempre sobre el diámetro vertical porque el razonamiento se puede hacer con cualquier ángulo o posición de partida.

Ángulos inscritos y fútbol

El resultado sobre ángulos que ha sido clave en la sección anterior, tiene más consecuencias. Si dada una circunferencia con uno de sus diámetros, hacemos la construcción anterior del ángulo y su doble a cada lado obtenemos sumándolos un ángulo con un vértice en la circunferencia y otro que mide exactamente el doble con su vértice en el centro. Esta construcción es reversible en el sentido que si partimos de un ángulo con un vértice sobre la circunferencia y que engloba al centro de ésta podemos deducir que el ángulo con vértice en el centro de la circunferencia y que abarca el mismo arco de ésta debe ser el doble. A los ángulos con un vértice en una circunferencia nos referiremos como inscritos en ella.

A cada lado del diámetro se aplica la regla anterior: el ángulo inscrito que tiene un diámetro por lado es la mitad del ángulo centrado. La suma sigue guardando la misma proporción, pero también la diferencia.

La restricción de que el centro de la circunferencia esté comprendido en el ángulo inscrito puede evitarse. En efecto, igual que se argumenta con la suma se puede hacer también con la diferencia. Así cualquier ángulo inscrito es exactamente la mitad del ángulo centrado en la circunferencia que abarca el mismo arco. Consecuentemente, todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales entre sí (suele llamarse capaz a este arco). El dibujo explica muy bien este hecho.

Todos los ángulos que abarcan el mismo arco de circunferencia (el que va entre A y B) miden lo mismo (alfa).

Este bonito principio geométrico tiene una inesperada aplicación al fútbol… OMG! 😕 Empiezo a parecerme a José Manuel López Nicolás (espero que para bien). Un jugador corre con el balón por una línea paralela a la banda ¿en qué momento verá la portería rival con un ángulo máximo? El problema tiene una solución trivial si la línea entra en la portería: una vez que está dentro. En otro caso, nuestras consideraciones sobre ángulos inscritos en circunferencias permiten resolver el problema de forma muy elegante.

El jugador (punto rojo) avanza por la línea negra horizontal hacia la portería (azul). La verá bajo un ángulo máximo cuando se sitúe en el punto de tangencia de la circunferencia que pasa por los postes de la portería y es tangente al recorrido del jugador.

El motivo por el que el punto de tangencia da la solución al problema del jugador es el siguiente: cualquier otro punto antes o después de éste corresponderá a un ángulo inscrito en una circunferencia de radio mayor. El correspondiente arco capaz tiene la misma cuerda (la anchura de la portería) pero al ser más grande la circunferencia el ángulo es menor.

Newton y la atracción de las esferas

Estamos lejos de haber sacado todo el pringue a los ángulos inscritos y a los arcos capaces. Observemos la construcción dada el el siguiente esquema: dos cuerdas de una circunferencia se cortan en un punto y las completamos con sendos segmentos para formar dos triángulos: A y B. Resulta que los triángulos son semejantes, es decir, tienen iguales sus tres ángulos. En efecto, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Pero también los otros pues pueden verse como ángulos inscritos con el mismo arco capaz.

Los triángulos A y B son semejantes. Es decir, serían semejantes si el dibujo estuviera bien hecho.

Newton andaba tratando de resolver el problema de la atracción gravitoria entre los astros, sabiendo que las masas puntuales satisfacen la ley del inverso del cuadrado de la distancia. Los planetas y las estrellas son asimilables a bolas sólidas que pueden considerarse compuestas de capas esféricas al igual que una cebolla. El genio inglés sabía que le bastaba resolver el problema para una esfera hueca cuya masa está repartida homogéneamente en su superficie. El caso más sencillo de tratar es la evaluación de la fuerza atractiva cuando la masa está dentro de la esfera, que no responde a una situación astronómica.

El arco azul azul atraería al punto P con la misma fuerza, pero opuesta, que el arco rojo si la intensidad fuera inversamente proporcional a la distancia.

La solución del problema viene dada por una lectura adecuada de la semejanza de los triángulos enfrentados con la que hemos comenzado la sección. Si el ángulo que forman las cuerdas entre sí es pequeño, podemos cambiar los sendos lados de los triángulos por arcos de circunferencia. Si cada arco (A, B) atrajera al punto P con una fuerza inversamente proporcional a la distancia a la que se encuentra, ambas fuerzas se compensarían por la semejanza de los triángulos anteriormente descrita. Como la circunferencia se puede descomponer completamente en pares de arcos similares, la fuerza neta sobre el punto P es nula. Ahora bien ¿no era la Ley de Gravitación proporcional al cuadrado del inverso de la distancia? Si abandonamos en contexto plano para ir al espacial, en lugar de arcos de circunferencia tendremos casquetes de esfera. Las áreas son proporcionales al cuadrado de las longitudes, por lo que la compensación se producirá si la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Ahora todo cuadra.

Página de la edición en español de los Principia de Newton donde discute la atracción dentro de una esfera homogénea (Tecnos 2011).

Insistamos en que la diferencia entre los triángulos rectilíneos y los que usan arcos de circunferencia es que los primeros son realmente semejantes, mientras que los segundos sólo lo son de manera aproximada. Esta aproximación es mejor cuanto más estrecho es el ángulo, lo que viene a ser como sustituir el arco de circunferencia por su cuerda en el razonamiento. Esto es un argumento de tipo infinitesimal como los que ya empleaba Arquímedes en el cálculo de áreas, volúmenes y centros de masa. Después de Newton, los métodos infinitesimales se sistematizaron dando lugar a la rama de las Matemáticas llamada Análisis.

En el estudio del efecto gravitatorio de las esfera homogénea sobre un punto exterior es útil notar que se vuelve a producir una semejanza de triángulos, tal como indica el dibujo. Se puede deducir de ello que el arco más lejano atrae con la misma fuerza que el más cercano. Sin embargo, aún quedaría algo de trabajo por hacer hasta poder deducir, como hizo Newton, que la atracción neta de la esfera homogénea sobre un punto exterior es equivalente a la que produciría toda la masa de la esfera así estuviera concentrada en su centro.

Página de la edición en español de los Principia de Newton donde discute la atracción dentro de una esfera homogénea (Tecnos 2011).

El universo confinado en un círculo

Al comienzo de este post hemos mencionado, y apelado, al Postulado de la Paralelas, uno de los axiomas sobre los que se fundamenta la Geometría plana clásica. Una característica común de los sistemas axiomáticos en Matemáticas es tratar de ser lo más escuetos posible: si algo puede deducirse de principios más básicos, no debe estar en la lista de axiomas. Durante mucho tiempo se pensó que el Postulado de la Paralelas era demasiado complicado para ser un principio fundamental y debía de ser consecuencia de los otros axiomas. Sin embargo, en el siglo XIX varios matemáticos llegaron a la conclusión de que era indispensable porque existen «geometrías planas» diferentes de la euclídea que cumplen todos los axiomas menos el Postulado de las Paralelas. ¿Cómo es posible tener otras geometrías planas? Realmente, lo que llamamos geometría plana no son los dibujos con los que ilustramos los resultados, sino dos conjuntos de objetos, «puntos» y «rectas», que satisfacen unas ciertas relaciones de incidencia descritas por los axiomas. En principio, los «puntos» no tienen por qué parecer puntos, ni las «rectas» parecer rectas.

Libro fundamental, nunca mejor dicho, para la Geometría y el Método Axiomático en Matemáticas, edición en español del CSIC 1991.

Un descubrimiento notable del siglo XVII, la llamada Geometría Proyectiva, que encuentra sus raíces en el estudio renacentista de la perspectiva en dibujo y pintura. En Geometría Proyectiva plana no existen las paralelas: dos rectas diferentes siempre se cortan en un único punto, al igual que por dos puntos diferentes pasa una única recta. Los axiomas de la Geometría Proyectiva son simétricos respecto al papel que juegan puntos y rectas, de tal manera, que si uno demuestra un resultado y después cambia en su enunciado puntos por rectas y rectas por puntos, el enunciado resultante será automáticamente cierto. En otras palabras, si tratando de interpretar un teorema de Geometría Proyectiva de un libro escrito en sueco, confundimos puntos con rectas y viceversa en el texto, no lo notaremos. Sin embargo, no es la Geometría Proyectiva nuestro objetivo, ya que en ella no hay ni métrica ni ángulos, ni mucho menos, paralelismo.

Ejemplo de resultados duales en Geometría Proyectiva plana (F. Enriques, Lecciones de Geometría Proyectiva, EEE Madrid 1946). Quien desee saber como sigue el enunciado (y la prueba) puede verlo aquí.

Carl F. Gauss, Janos Bolyai y Nikolai Lobachevski descubrieron de manera independiente la Geometría Hiperbólica, Gauss antes que los otros dos, aunque no lo publicó. En la Geometría Hiperbólica hay distancias y ángulos, pero no se cumple el Postulado de las Paralelas. Una forma relativamente sencilla de construir un modelo del plano hiperbólico es la siguiente: tomemos un círculo al que llamaremos «disco», los puntos interiores del disco serán los puntos del plano hiperbólico y los arcos de circunferencia contenidos en el disco y perpendiculares a su frontera serán las «rectas» del plano hiperbólico. Hay otras construcciones, pero la que acabamos de describir es la que más ha inspirado al artista neerlandés M. C. Escher.

Ángeles y Demonios, no de Dan Brown, sino de Escher, teselando el plano hiperbólico.

El siguiente dibujo (abajo) muestra una «triangulación» del plano hiperbólico. Realmente cada supuesto triángulo está delimitado por tres rectas y todas las rectas que aparecen son mutuamente paralelas: en efecto, son arcos de circunferencia perpendiculares a la frontera del disco y que no se cortan en el interior. A pesar de ser el disco un objeto limitado para nuestra intuición euclídea, cada triángulo es infinito (desde el punto de vista hiperbólico) y se requiere, además, un número infinito de triángulos para rellenarlo. Se oye entre mis lectores una voz que dice: – ¡Normal! Si cada vez son más pequeños…-. Pero, insisto, eso vuelve a ser nuestra intuición euclídea tratando de orientarse en un universo que no es el suyo.

«Triangulación» del plano hiperbólico representado como un disco.

De hecho, todos esos triángulos tienen las mismas dimensiones y son simétricos unos de otros desde el punto de vista de la Geometría Hiperbólica. Esta simetría hiperbólica se puede llevar a cabo mediante una operación euclídea llamada “inversión”. Dada una circunferencia de radio r, el inverso respecto a ella de un punto P distinto del centro O, es otro punto P* situado en el mismo radio (O, P, P* están alineados y O no está entre los otros dos) tal que el producto de OP por OP* es r2. Como el inverso de P* es, a su vez, P decimos que P y P* son simétricos entre sí respecto a la circunferencia. En el caso que nos ocupa del disco hiperbólico, cada par de triángulos contiguos puede ser llevado el uno en el otro mediante una inversión respecto a la circunferencia cuyo arco comparten como lado. Asombrosamente, el disco se aplica en sí mismo por la inversión. La clave de esto está en un dibujo, que apareció hace rato, completado con otra circunferencia.

Respecto a la circunferencia mayor, los puntos A y B’ son simétricos. También los puntos B y A’, y todos los puntos de la circunferencia menor agrupados convenientemente por pares. El motivo es la constancia del producto de distancias a O que se deduce de la semejanza de los triángulos AOB y A’OB’.

La triangulación mostrada en el dibujo del disco hiperbólico tiene una peculiaridad. Imaginemos que en cada lado separando dos triángulos se abre una puerta que permite ir de un triángulo al otro. Ahora, supongamos que partiendo de cierto triángulo, hemos hecho un viaje cruzando un buen número de puertas sin volver atrás. Pues bien, si queremos volver al punto de partida la única forma de hacerlo es desandar el recorrido realizado. Debido a que la inversión, ligeramente modificada, es una función compleja holomorfa (no quiero dar definiciones excesivamente técnicas), la triangulación hiperbólica es la clave de un profundo teorema de É. Picard: una función holomorfa no constante definida en el plano complejo toma todos los valores, excepto posiblemente uno. La idea de esta prueba consiste en suponer que deja de tomar dos valores, lo que permitiría, sabiendo algo más de Análisis Complejo, almacenar convenientemente todos sus valores en los triángulos del plano hiperbólico para convertirla, momentáneamente, en una función inyectiva. Hay otras pruebas del teorema de Picard, pero carecen de la belleza caleidoscópica del plano hiperbólico.

La frontera metálica de Mr. Green

La fuerza entre cargas eléctricas, al igual que la gravedad, también responde a la ley del inverso del cuadrado de la distancia. Sin embargo, hay varias diferencias. Una de ellas es que la fuerza puede ser repulsiva o atractiva dependiendo del signo de las cargas. Una determinada distribución de cargas eléctricas se manifiesta en cualquier punto del espacio como un efecto (fuerza) sobre una carga test que se sitúe sobre dicho punto. Este noción recibe el nombre de campo eléctrico y se puede abordar matemáticamente por medio de una función llamada potencial. Dada una distribución de cargas, se puede hallar el potencial que genera usando una integral de volumen. Y, a su vez, dado el potencial se puede recuperar la densidad de carga por medio de la llamada ecuación de Poisson.

La ecuación de Poisson al estilo matemático contiene el signo menos y 4pi, pero no contiene la constante de permitividad del vacío (que alegremente suponemos igual a 1). Los físicos suelen evitar las dos primeras en la propia definición del potencial.

Pero otra de las diferencias que el campo eléctrico tiene respecto al gravitatorio es la existencia de los llamados “conductores”. Se trata de materiales por los que las cargas se pueden mover libremente, de manera que el potencial en ellos es siempre constante al poco de situarlos en un campo eléctrico estático. Esto se traduce en que las cargas se sitúan en la superficie del conductor: la ecuación de Poisson arroja valor cero para la densidad de carga en el interior. Es más interesante conocer la función potencial en el espacio libre de conductores y cargas al que llamaremos dominio. Tratar de conocer el potencial a partir de la ecuación diferencial que satisface y el valor que toma en la frontera de su dominio, se conoce como Problema de Dirichlet.

Efecto del campo eléctrico sobre cuerpos conductores, ilustración de G. Bruhat – Électricité, Masson, Paris 1956. Las líneas de campo son perpendiculares a los conductores por su superficie tiene potencial constante.

Del Problema de Dirichlet se sabe que tiene solución única, cuando la tiene. Pero no se sabe si tiene solución en general, si bien los matemáticos no han cesado en su empeño de resolverlo. George Green propuso una fórmula que solamente requería determinar una función dependiente del dominio (llamada función de Green en su honor) con ciertas propiedades especiales. Para construirla, era preciso demostrar que el campo producido por una carga en el interior del dominio coincide en la frontera del dominio con otro campo producido por cargas fuera del dominio. Green tuvo la siguiente idea: supongamos que la frontera del dominio es un conductor, en cuyo caso las cargas se moverán por la frontera para compensar el campo producido por la carga puntual. Así, el campo sobre la frontera será constante, y si se conecta a una toma de tierra, se puede hacer la constante igual a cero. De esta manera, «galvanizando» el conjunto y con ayuda de cables, estableció Green la resolubilidad del problema de Dirichlet.

Enunciado del Problema de Dirichlet en el espacio.

Naturalmente, el rigor de las Matemáticas tal como las entendemos ahora no admite el razonamiento de Green: no se puede probar un teorema de Geometría basándose en que los triángulos están hechos de madera, por ejemplo. El propio Dirichlet erró en sus razonamientos al apelar a la intuición física. Dirichlet formuló el problema en términos equivalentes a la minimización de cierta cantidad interpretable como una energía, el así llamado Principio de Dirichlet. Si bien la Naturaleza es un ejemplo de sostenibilidad porque se rige por principios de mínima energía, el razonamiento tampoco es admisible como Karl Weierstrass señaló, afeándole la conducta al mismísimo Bernhard Riemann. Los métodos desarrollados por los matemáticos de finales del siglo XIX para eliminar la heurística física de las pruebas de existencia de soluciones dieron lugar al Análisis Funcional.

Las línea desde cada punto de la circunferencia a B (azul) miden el doble que la correspondiente línea hacia A (roja).

Para acabar este post volveremos a la Geometría elemental con la que comenzamos viendo como se puede utilizar para resolver el problema de Dirichlet para el círculo, o la esfera, dependiendo de las dimensiones. No escribiremos la fórmula de Green, que no viene al caso, sino que veremos como evitar el «razonamiento eléctrico». Asumamos que el efecto de la carga es inversamente proporcional a la distancia (no es el caso de la fuerza, pero sí el del potencial en tres dimensiones). Si dos puntos A y B son simétricos respecto a una circunferencia, ocurre una curiosa propiedad: desde cada punto de la circunferencia las distancias a A y B guardan una misma relación constante. En el dibujo, el cociente de distancias a B entre las distancias a A es 2. Eso implica, en particular, que si en A hubiera una carga eléctrica, su efecto sobre los puntos de la circunferencia sería el mismo que si situamos el doble de carga sobre B.

No daré la prueba del último argumento empleado… pero quien quiera detalles podrá encontrarla en este excelente libro, ya clásico, de Pedro Puig Adam

Conclusión

Con este post he querido mostrar la unidad de las Matemáticas y su continuidad en el tiempo. Resultados relativamente modernos como el Teorema de Picard o la solución del Problema de Dirichlet para el círculo entroncan directamente con las propiedades métricas de las circunferencias que estudiaba Euclides dos milenios antes. Circunferencias y esferas siguen estando en el centro de las Matemáticas. No en vano, las últimas palabras de Arquímedes antes de que un soldado romano le quitara la vida (para disgusto de Marcelo, todo hay que decirlo) fueron: Noli turbare circulos meos! (¡No toquéis mis círculos!).

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