Un Nobel en la familia

El mes pasado se hizo pública la noticia: Michel Talagrand ha sido galardonado con el Premio Abel de Matemáticas 2024. Es una noticia excelente para la Teoría de Espacios de Banach, de la que Talagrand es uno de sus más insignes representantes, si bien para el Premio Abel se han tenido también en cuenta otras contribuciones del matemático francés, como sus esfuerzos por dotar de rigor matemático a las teorías de Giorgio Parisi, Premio Nobel de Física en 2021. Pero es también una noticia muy buena para mí. Aunque no tengo trato con Michel Talagrand, su nombre ha aparecido frecuentemente en todo lo que he tenido que estudiar durante mi doctorado y años después. Es más, para mí, Michel Talagrand es sinónimo de ideas profundas y argumentos muy difíciles parcamente explicados: tengo un artículo suyo desde 1994 y todavía me atasco al pasar al segundo párrafo.

¿Nobel de Matemáticas?

Es bien sabido que no existe un Premio Nobel de Matemáticas. No entraré en las leyendas sin fundamento para tal ausencia. Lo cierto es que no entraba en los planes de Alfred Nobel, que estableció cinco premios originalmente en 1895: Física, Química, Fisiología/Medicina, Literatura y Paz. Tras la instauración del Nobel de Economía en 1968, que algunos sostienen que no es un auténtico Premio Nobel (aunque lo gestiona la Fundación Nobel y se entrega en la misma ceremonia que los demás), se cerró definitivamente la posibilidad de añadir nuevos premios. El matemático Sophus Lie, muy decepcionado con la decisión de Alfred Nobel, propuso en 1897 la creación del Premio Abel (en honor de Niels Abel). Sin embargo, no sería hasta 2002 que se establecería este galardón. El Premio Abel es concedido por la Academia Noruega de Ciencias y Letras y se entrega en Oslo (como el Nobel de la Paz). A pesar de esto, los periodistas suelen contribuir a la ambigüedad etiquetando como «Nobel de Matemáticas» otros premios.

Tradicionalmente se venía identificando la Medalla Fields como el «Nobel de Matemáticas». Las Medallas Fields se entregan, mayormente y como mucho, de cuatro en cuatro en el Congreso Internacional de Matemáticos, que se celebra cada cuatro años, lo que viene a ser, en media, un premio anual (a veces bianual). Sin duda, las Medallas Fields, concedidas desde 1936, han sido hasta la instauración del Premio Abel, el más importante galardón para matemáticos. Pero hay una diferencia fundamental: sólo se puede recibir la medalla fields si no se han cumplido los 40 años. Esto provoca que la Medalla Fields se vincule más a una trayectoria meteórica en Matemáticas que a un gran descubrimiento, si bien todos los galardonados, Abel o Fields, han hecho grandes descubrimientos, o han resuelto importantes problemas, que viene a ser casi lo mismo 😉 Andrew Wiles, tras resolver el «Último Teorema de Fermat» no pudo recibir la Medalla Fields por madurito, pero recibió el Premio Abel muy merecidamente unos años después.

Espacios de Banach, Topología y Medida

Michel Talagrand realizó su tesis doctoral bajo la dirección de Gustave Choquet, a quien ya conocemos de Historias tras un libro. En un artículo de matemáticas muy posterior a esa época de estudiante, Talagrand reconoce que Choquet le puso diez problemas sobre los que no pudo realizar ninguna contribución. De hecho, el artículo en cuestión está destinado a una solución parcial y extemporánea de uno de esos diez problemas. Su tesis doctoral titulada Mesures invariantes, compacts de fonctions mesurables et topologie faible des espaces de Banach da una idea del tipo de Matemáticas con las que comenzó Talagrand: un mix de Teoría de la Medida, Topología General y Teoría de Espacios de Banach. No es una reunión de tres tópicos ajenos, sino que hay fuertes conexiones entre ellos cuyo estudio resulta tremendamente fecundo (cross-fertilization en palabras de Namioka). Reconozco que soy muy parcial en este tema porque es donde se ubica mi propia investigación.

Uno de los primeros resultados de Talagrand en espacios de Banach resuelve un problema propuesto por Corson: los espacios débilmente compactamente generados son (débilmente) K-analíticos y, por lo tanto, también débilmente Lindelöf (demostrado independientemente por David Preiss). Este resultado forma parte de la clasificación de los espacios de Banach no separables, cuyo leitmotif es generalizar y aislar las propiedades que tienen los espacios separables de «forma gratuita». Concretamente se relacionan propiedades lineales con otras estrictamente topológicas. Los espacios de Banach pueden motivar resultados topológicos muy profundos. Por ejemplo, el teorema l₁ de Rosenthal es el origen de los resultados de Bourgain, Fremlin y Talagrand sobre compactos de funciones medibles. Señalemos aquí que Jean Bourgain fue galardonado con la Medalla Fields en 1994.

Probabilidad y más allá

Existe una tendencia en las universidades españolas a vincular las áreas de Probabilidad y Estadística. La diferencia es que la Probabilidad es una teoría matemática alrededor del concepto de aleatoriedad mientras que la Estadística es un conjunto de técnicas para analizar datos bajo la hipótesis de que los muestreos para obtenerlos y las perturbaciones en las medidas son aleatorios. Evidentemente, la Probabilidad y la Estadística están muy relacionadas, pero un analista como yo ve la Probabilidad como algo más propio de su campo. Hay muchos motivos para sostener esta afirmación, pero sólo mencionaré dos de ellos: importantes resultados de Análisis Funcional, como el teorema de Dvoretzky o el lema de Johnson-Lindenstrauss admiten demostraciones probabilísticas; otro motivo es que el comportamiento de las variables aleatorias en un espacio de Banach se relaciona con la geometría del mismo, por ejemplo, el uso que hace Pisier de las martingalas para renormar un espacio súper-reflexivo.

El comité del Premio Abel menciona explícitamente la contribución de Talagrand al estudio del fenómeno de concentración de la medida. Intentaremos dar una idea de en qué consiste. Para una función continua f definida en el intervalo [0,1] tenemos que su promedio «más justo» es la integral de ésta. Si ahora consideramos la función compuesta f(n^-1(x₁+ … + x_n)) definida en el producto de intervalos [0,1]ⁿ, podemos demostrar que a medida que n crece, el promedio de esta función se aproxima a f(1/2). Es decir, que aunque los valores de f y de la función compuesta sobre [0,1]ⁿ son los mismos, para la segunda se produce una «concentración» alrededor de un determinado valor. Más sorprendente es saber que la medida de en una esfera en el espacio euclídeo de n dimensiones se concentra alrededor de diámetros o que los valores de una función definida sobre ella lo hacen alrededor de su mediana.

No trataré de describir aquí las aportaciones más recientes de Michel Talagrand y que han pesado mucho en la concesión del premio. Hace bastantes años, buscando información sobre Talagrand llegué a su página personal. Allí decía, entre otras cosas, que en adelante sólo le interesaban los spin glasses, que por ignorancia pensaba que tenían que ver más con Swarovski que con las Matemáticas.

Un apunte personal

He aclarado al principio la identificación del Premio Abel con un Nobel de Matemáticas, lo que explica la mitad del título. Hablaremos ahora de la otra mitad, la familia. Existe una web llamada The Mathematics Genealogy Project donde se muestra el «árbol genealógico matemático», expresado éste como la relación maestro-discípulo aunque realmente se trate más de la formalidad director (o advisor) de tesis-doctorando. Este árbol genealógico está más o menos completo en la medida que se suministra a los administradores la información necesaria. Puede verse que Gustave Choquet tiene como alumnos, entre un total de 23, a Michel Talagrand y a Gilles Godefroy. Gilles Godefroy tiene, a su vez, como estudiante a Robert Deville. Finalmente, yo mismo soy alumno de Robert Deville, además de Gabriel Vera, lo que me proporciona también una buen puñado de ilustres antecesores. Si en lugar del Maths Genealogy Project se hubiera tratado del Génesis bíblico, Talagrand sería mi tío abuelo.

Por eso estoy especialmente feliz: hay un Nobel en la familia 🙂