{"id":7191,"date":"2024-07-13T15:58:17","date_gmt":"2024-07-13T13:58:17","guid":{"rendered":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=7191"},"modified":"2024-07-15T20:00:05","modified_gmt":"2024-07-15T18:00:05","slug":"edpsf","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=7191","title":{"rendered":"EDPSF"},"content":{"rendered":"\n

Si un acr\u00f3nimo no es una buena manera de captar la atenci\u00f3n, desarrollar lo que significa EDPSF seguro que no es mucho mejor: Ecuaciones en Derivadas Parciales y Series de Fourier<\/em>, la asignatura del Grado en Matem\u00e1ticas que he estado impartiendo durante los \u00faltimos tres cursos y que abandono para abordar nuevos proyectos docentes. Puede deducirse de lo que digo, que en mi departamento, los profesores no nos eternizamos en las asignaturas y que, cada cierto tiempo, tenemos la oportunidad de impartir y aprender cosas nuevas. En el caso de EDPSF, desde mis tiempos de estudiante, all\u00e1 por el siglo pasado, no hab\u00eda vuelto a tratar con esta materia. Por eso, me apetec\u00eda dejar aqu\u00ed al lector no matem\u00e1tico un poco de lo que he aprendido (o recordado) en estos tres a\u00f1os.<\/p>\n\n\n\n

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Uno de los libros de EDPs que tengo en mi biblioteca.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Ecuaciones en Derivadas Parciales<\/h2>\n\n\n\n

Es evidente que el t\u00edtulo se compone de dos t\u00f3picos diferenciados, pero suficientemente pr\u00f3ximos para que tenga sentido mezclarlos en una misma asignatura. Las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) son Ecuaciones Diferenciales<\/a> donde la inc\u00f3gnita es una funci\u00f3n de varias variables, conteniendo derivadas respecto a varias de ellas (derivadas parciales<\/em>). Este tipo de objeto matem\u00e1tico<\/em> aparece, principalmente, en problemas de F\u00edsica, pero no \u00fanicamente. En general, cualquier proceso en el tiempo que tenga una componente espacial es susceptible de ser modelizado por una EDP. Por ejemplo, la interacci\u00f3n entre dos especies o el crecimiento de un tumor pueden describirse con EDPs. Hay que advertir que una misma EDP tiene, en general, infinitas soluciones y muy diferentes, por lo que es de la m\u00e1xima importancia establecer condiciones adicionales que limiten a una \u00fanica funci\u00f3n la soluci\u00f3n del problema.<\/p>\n\n\n\n

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Imagen tomada de \u00abPartial Diferencial Equations\u00bb de F. John ilustrando la teor\u00eda geom\u00e9trica de las EDPs de primer orden con los llamados \u00abconos de Monge\u00bb.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Al igual que con las ecuaciones algebraicas, las EDPs m\u00e1s sencillas son las de primer orden<\/em>. Para ellas hay desde finales del siglo XVIII una teor\u00eda bastante satisfactoria con fuerte sabor geom\u00e9trico, desarrollada por Joseph-Louis Lagrange<\/a> y Gaspard Monge<\/a>, entre otros. Lamentablemente, el estudio de las EDPs de primer orden no es de mucha ayuda en las EDPs de orden superior, particularmente, las de segundo orden que aparecen ligadas a problemas f\u00edsicos. En los pr\u00f3ximos ep\u00edgrafes hablaremos de las siguientes: la ecuaci\u00f3n de ondas<\/em>, la ecuaci\u00f3n de Laplace<\/em> y la ecuaci\u00f3n del calor<\/em>. No por la relevancia de los problemas que describen o su importancia hist\u00f3rica, que es mucha, sino por que son las que se estudian habitualmente por su sencillez matem\u00e1tica y por ser representante de tres grandes grupos de EDPs.<\/p>\n\n\n\n

La ecuaci\u00f3n de ondas<\/h2>\n\n\n\n

La llamada ecuaci\u00f3n de la cuerda vibrante<\/em> (de viol\u00edn, por ejemplo), versi\u00f3n sencilla (dimensi\u00f3n 1) de la ecuaci\u00f3n de ondas, fue propuesta en el a\u00f1o 1746 por Jean le Rond d’Alembert<\/a> que, adem\u00e1s, proporcion\u00f3 de manera ingeniosa su soluci\u00f3n general. La ecuaci\u00f3n de ondas se presenta en muchas situaciones en las que se describe la propagaci\u00f3n de una perturbaci\u00f3n en un medio el\u00e1stico o un campo, tal como el electromagn\u00e9tico. Esto \u00faltimo es muy importante para la Ciencia, ya que cuando James C. Maxwell<\/a> descubri\u00f3 en 1867 que las ecuaciones del campo electromagn\u00e9tico implicaban la propagaci\u00f3n de perturbaciones de acuerdo con la ecuaci\u00f3n de ondas, calcul\u00f3 su velocidad (expresable en t\u00e9rminos de las constantes para las atracciones el\u00e9ctrica y magn\u00e9tica), encontrando que coincid\u00eda con la de la luz. Esto permiti\u00f3 reconocer la luz como una manifestaci\u00f3n del campo electromagn\u00e9tico, dando lugar a un desarrollo tecnol\u00f3gico cuyo pistoletazo de salida podemos situar en 1887 con los experimentos de Heinrich R. Hertz<\/a>. <\/p>\n\n\n\n

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Frentes de onda producidos por una piedra en un estanque (foto tomada de Internet).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Es un hecho notable que los Pitag\u00f3ricos<\/a> descubrieran experimentalmente una relaci\u00f3n entre Matem\u00e1ticas y M\u00fasica (bendecida por el Quadrivium<\/a><\/em>) que m\u00e1s de 2000 a\u00f1os despu\u00e9s se justific\u00f3 rigurosamente con el estudio de la EDP de la cuerda vibrante. El sonido tambi\u00e9n se transmite por el aire y lo hace de acuerdo con la ecuaci\u00f3n de ondas en 3 dimensiones, en la que el factor de elasticidad del medio gaseoso debe tener en cuenta consideraciones termodin\u00e1micas. La soluci\u00f3n de Gustav Kirchhoff<\/a> permite deducir una caracter\u00edstica del sonido que tenemos tan interiorizada que no reparamos en ella: los sonidos los escuchamos una sola vez, salvo que reboten (eco). En dimensi\u00f3n 2 esto mismo no ocurre, como muestra la soluci\u00f3n de Jacques Hadamard<\/a>, y el sonido se repite despu\u00e9s de ocurrido disip\u00e1ndose lentamente, como con la piedra que se arroja al estanque: aunque una onda circular se propague aumentando su radio, en el lugar donde se arroj\u00f3 la piedra el agua sigue temblando.<\/p>\n\n\n\n

La ecuaci\u00f3n de Laplace<\/h2>\n\n\n\n

De la figura de Pierre-Simon Laplace<\/a> dimos una pincelada anecd\u00f3tica en nuestro post<\/em> Ecuaciones diferenciales<\/a>. Adem\u00e1s, la ecuaci\u00f3n de Laplace<\/a><\/em> ya la hemos tratado en Circunferencias y esferas<\/a>, aunque all\u00ed no la mencionamos con ese nombre, sino con el de ecuaci\u00f3n de Poisson<\/a><\/em>, que es m\u00e1s general, y el llamado Problema de Dirichlet<\/em>, que es m\u00e1s particular. Ahora nos ocuparemos de ciertas variaciones. En efecto, la ecuaci\u00f3n de ondas nos remite a una ecuaci\u00f3n emparentada con la de Laplace cuando se investiga el problema de la membrana vibrante, o sea, el tambor<\/em>. Si la cuerda de un viol\u00edn puede producir determinadas frecuencias, la membrana de un tambor de contorno arbitrario puede hacer lo mismo. Pero con dos salvedades: las frecuencias en general no guardan las relaciones \u00abarmoniosas\u00bb que los Pitag\u00f3ricos reconocieron, y adem\u00e1s dependen fuertemente de la geometr\u00eda de la membrana. \u00ab\u00bfSe puede o\u00edr la forma de un tambor?<\/a><\/em>\u00bb preguntaba Mark Kac<\/a> en 1966 y la respuesta, negativa, lleg\u00f3 en 1992.<\/p>\n\n\n\n

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Parte de la resoluci\u00f3n del problema de Dirichlet por m\u00e9todos de espacio de Hilbert, tomado de H. Brezis \u00abAnalyse Fonctionnelle\u00bb.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

La ecuaci\u00f3n emparentada con la de Laplace a la que nos refer\u00edamos es la de valores propios del operador laplaciano<\/a><\/em>. Sin entrar es detalles y desde un punto de vista formal, dicha ecuaci\u00f3n guarda muchas similitudes con el problema de diagonalizar una matriz sim\u00e9trica, o equivalentemente, llevar una forma cuadr\u00e1tica a su expresi\u00f3n can\u00f3nica<\/em>, que no es otra cosa que describir, por ejemplo, una elipse seg\u00fan unas coordenadas paralelas a sus ejes. As\u00ed, la intuici\u00f3n geom\u00e9trica se convierte en la gu\u00eda que permite resolver una EDP como si fuera un problema de \u00c1lgebra Lineal<\/a><\/em>, y ese desarrollo formal se lleva a cabo en el marco del espacio de Hilbert<\/a><\/em> con algunos ingredientes que a\u00fan no introduciremos. Es inevitable no mencionar que espacio de Hilbert proporciona tambi\u00e9n soporte a la Mec\u00e1nica Cu\u00e1ntica y la resoluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de Schr\u00f6dinger<\/a><\/em> se reduce, en muchos casos, a la b\u00fasqueda de valores propios del operador hamiltoniano<\/em> (una complicaci\u00f3n del laplaciano, matem\u00e1ticamente hablando).<\/p>\n\n\n\n

La ecuaci\u00f3n de calor<\/h2>\n\n\n\n

La ecuaci\u00f3n que modeliza la difusi\u00f3n del calor y evoluci\u00f3n de la temperatura en un cuerpo fue propuesta por Joseph Fourier<\/a> en 1822 en una famosa memoria que a la Acad\u00e9mie de Sciencies<\/em> de Francia le cost\u00f3 mucho digerir. De hecho, Fourier vio publicada su obra gracias a que se convirti\u00f3 en secretario de la instituci\u00f3n cient\u00edfica. El motivo de tanta dificultad fue una audaz afirmaci\u00f3n sobre la posibilidad de desarrollo de una funci\u00f3n \u00abarbitraria\u00bb en serie trigonom\u00e9trica. En efecto, los mejores matem\u00e1ticos de la \u00e9poca no entend\u00edan como una superposici\u00f3n de funciones tan regulares como seno y coseno pod\u00eda producir gr\u00e1ficas con picos o, peor a\u00fan, discontinuidades. El resultado de la \u00abbomba\u00bb que lanz\u00f3 Fourier fue una profunda revisi\u00f3n de los fundamentos del An\u00e1lisis Matem\u00e1tico<\/a><\/em>: qu\u00e9 son las funciones, qu\u00e9 son los l\u00edmites, qu\u00e9 son realmente los n\u00fameros. Ese proceso se completar\u00eda 80 a\u00f1os despu\u00e9s con la introducci\u00f3n de la integral de Lebesgue<\/a><\/em>.<\/p>\n\n\n\n

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Gr\u00e1fico del movimiento browniano generado por mi compa\u00f1ero Francisco Esquembre, Fu-Kwun y Lookang obtenido en Wikipedia https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Brownian_motion_large.gif<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

No hemos dicho nada todav\u00eda de la ecuaci\u00f3n del calor, que se llama tambi\u00e9n de difusi\u00f3n porque rige la distribuci\u00f3n de probabilidad de una part\u00edcula que sufre perturbaciones aleatorias de su posici\u00f3n en el tiempo. La soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n nos dice, por medio de la integraci\u00f3n, la probabilidad de encontrar la part\u00edcula en una determinada regi\u00f3n en el instante t<\/em>>0, si para t<\/em>=0 se encontraba en el origen. Naturalmente, una part\u00edcula en el instante t<\/em> se encuentra en un \u00fanico sitio, pero al ser las perturbaciones aleatorias, cada vez que se repite el experimento, el resultado es distinto y lo \u00fanico que puede establecerse con precisi\u00f3n es la probabilidad. Lo m\u00e1s curioso es que este proceso puede observarse en la naturaleza: Robert Brown<\/a> se dio cuenta de lo err\u00e1tico de las trayectorias de los granos de polen en suspensi\u00f3n en una gota de agua. En un famoso trabajo, Albert Einstein<\/a> dio una explicaci\u00f3n: en la escala de tama\u00f1o del grano de polen, se percibe la discretitud del intercambio de energ\u00eda cin\u00e9tica con las mol\u00e9culas de agua. El propio Einstein deriv\u00f3 la ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n y demostr\u00f3 como la naturaleza at\u00f3mica de la materia se manifiesta visiblemente a nuestros ojos.<\/p>\n\n\n\n

Series de Fourier<\/h2>\n\n\n\n

Antes hemos dicho que Joseph Fourier afirm\u00f3 la posibilidad de desarrollar una funci\u00f3n arbitraria en serie trigonom\u00e9trica y que esto desencaden\u00f3 un proceso de revisi\u00f3n de los fundamentos del An\u00e1lisis Matem\u00e1tico. En su honor, dichas expresiones en serie se conocen como series de Fourier<\/a><\/em>, aunque la teor\u00eda fue desarrollada por otros autores, notablemente Dirichlet y Riemann. A finales del siglo XIX, un joven matem\u00e1tico realizaba su tesis doctoral sobre la unicidad de la expresi\u00f3n trigonom\u00e9trica para una funci\u00f3n dada. Sus investigaciones le llevaron al desarrollo de las nociones b\u00e1sicas de topolog\u00eda conjuntista (Topolog\u00eda General<\/a><\/em>) y las bases de la Teor\u00eda de Conjuntos<\/a><\/em>, lo que inclu\u00eda la diferenciaci\u00f3n entre distintos tama\u00f1os de infinitud y la teor\u00eda de n\u00fameros ordinales transfinitos, casi nada. Se llamaba Georg Cantor<\/a>, y ahora toda la Matem\u00e1tica se fundamenta en la su Teor\u00eda de Conjuntos, el para\u00edso que Cantor ha creado para nosotros<\/em> seg\u00fan David Hilbert<\/a>, que como acabamos de ver es un spin-off<\/em> de las series de Fourier.<\/p>\n\n\n\n

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Ejemplos de desarrollos en serie de Fourier, tomado de I. Bronshtein y K. Semendiaev \u00abManual de Matem\u00e1ticas para ingenieros y estudiantes\u00bb.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

La teor\u00eda de las series de Fourier queda englobada dentro del llamado An\u00e1lisis Arm\u00f3nico<\/a><\/em>, que investiga la expresi\u00f3n general de una funci\u00f3n como superposici\u00f3n de componentes peri\u00f3dicas. Esto es particularmente interesante en aplicaciones tecnol\u00f3gicas, como el an\u00e1lisis de se\u00f1ales, procesado y compresi\u00f3n de sonidos (mp3<\/em>) o im\u00e1genes (jpg<\/em>), o los m\u00e1s sofisticados m\u00e9todos de imagen m\u00e9dica<\/a><\/em>, utilizan las matem\u00e1ticas del An\u00e1lisis Arm\u00f3nico. Naturalmente, la implementaci\u00f3n de estas t\u00e9cnicas se hace con algoritmos que optimizan el volumen de c\u00e1lculos y proporcionan el resultado en un tiempo razonablemente breve. Uno de los m\u00e1s famosos, la transformada r\u00e1pida de Fourier<\/em> (FFT<\/a><\/em>) fue usado por Carl Friedrich Gauss<\/a>, antes incluso de la aparici\u00f3n es escena de Joseph Fourier, para descubrir periodicidades ocultas en los datos sobre el planetoide Ceres proporcionados por las observaciones astron\u00f3micas, ver nuestro post<\/em> El Sistema Solar<\/a> para m\u00e1s detalles.<\/p>\n\n\n\n

Una nueva visi\u00f3n de la realidad<\/h2>\n\n\n\n

Volviendo a las EDPs, la investigaci\u00f3n de la existencia de soluciones puede llevar por caminos extra\u00f1os. Ocurre que los m\u00e9todos de An\u00e1lisis Funcional<\/a><\/em>, consistentes en considerar una EDP como un problema de \u00c1lgebra Lineal (esto no es as\u00ed para EDPs no lineales) requieren la completitud del espacio de funciones que sirve de marco te\u00f3rico. Pero la completitud de los espacios de funciones integrables suele conllevar la presencia de elementos altamente discontinuos, lo que est\u00e1 re\u00f1ido con la derivabilidad inherente a las soluciones de EDPs. Esto se traduce en la necesidad de darle significado al concepto de soluci\u00f3n no diferenciable. Pero esto es como abrir la caja de Pandora, porque muy pronto tendremos que considerar soluciones de EDPs que no son siquiera funciones \ud83d\ude15 \u00bfC\u00f3mo se come esto? Para el lector con cultura matem\u00e1tica, estamos hablando de las funciones generalizadas o distribuciones<\/a><\/em> de Serg\u00e9i S\u00f3bolev<\/a> y Laurent Schwartz<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

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Un libro de texto por L. Schwartz con la teor\u00eda de distribuciones aplicada a las EDPs de la F\u00edsica.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Al igual que la Teor\u00eda de la Relatividad<\/em> o la Mec\u00e1nica Cu\u00e1ntica<\/em> nos obligan a alterar nuestra percepci\u00f3n de la realidad (la separaci\u00f3n entre tiempo y espacio depende del observador, o que part\u00edcula y onda son dos caras de la misma moneda), las soluciones distribucionales de una EDP nos invitan a reflexionar sobre si las funciones \u00abcl\u00e1sicas\u00bb son el mejor modelo para algunos problemas. Por ejemplo, en el planteamiento de la ecuaci\u00f3n del calor se habla de la temperatura en un punto de un cuerpo, pero la temperatura realmente se mide con un term\u00f3metro que no se sit\u00faa exactamente sobre un punto sino sobre una regi\u00f3n limitada alrededor del punto. Podr\u00edamos decir que esto es problema del aparato de medida, pero el hecho es que la temperatura<\/a><\/em> es un resultado de tipo estad\u00edstico sobre el estado de agitaci\u00f3n molecular de cuerpo. As\u00ed la temperatura modelizada por la EDP no es una funci\u00f3n que toma un valor en cada punto, sino una funci\u00f3n definida sobre un conjunto de term\u00f3metros<\/em> con distintos tama\u00f1os y posiciones con los que se puede examinar el cuerpo. \u00c9sta es la idea esencial de las distribuciones, s\u00f3lo que en lugar de term\u00f3metros hay funciones test<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Farewell PDEs!<\/em><\/h2>\n\n\n\n

Como dec\u00eda el gran Paco Umbral, yo he venido a hablar aqu\u00ed de mi libro de EDPSF<\/a>. Aunque las EDPs y las series de Fourier son teor\u00edas muy asentadas y con muchos grandes textos escritos por matem\u00e1ticos de primer orden, es siempre dif\u00edcil encontrar un libro que refleje exactamente el punto de vista que uno desea darle y tenga en cuenta los conocimientos previos de los estudiantes. Por eso decid\u00ed redactar unos apuntes que doy por acabados justo al final de estos tres a\u00f1os, cuando ya no me har\u00e1n falta para dar clase. El motivo por el que est\u00e1n en ingl\u00e9s<\/em> as\u00ed como otras consideraciones did\u00e1cticas lo explico en los enlaces de mi web corporativa<\/a>. <\/p>\n\n\n\n

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Ilustraci\u00f3n del principio de Huygens sobre la propagaci\u00f3n de ondas, una de las im\u00e1genes que me gusta(ba) destacar durante el curso.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Con esto me despido de la Ecuaciones en Derivadas Parciales y las Series de Fourier, de momento… y de las Matem\u00e1ticas, hasta el nuevo curso \ud83d\ude42<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Si un acr\u00f3nimo no es una buena manera de captar la atenci\u00f3n, desarrollar lo que significa EDPSF seguro que no es mucho mejor: Ecuaciones en Derivadas Parciales y Series de Fourier, la asignatura del Grado en Matem\u00e1ticas que he estado impartiendo durante los \u00faltimos tres cursos y que abandono para abordar nuevos proyectos docentes. Puede … Continuar leyendo \u00abEDPSF\u00bb<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[10,12],"tags":[],"class_list":["post-7191","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ciencia","category-matematicas"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/s9XVBt-edpsf","jetpack-related-posts":[{"id":1419,"url":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=1419","url_meta":{"origin":7191,"position":0},"title":"Matem\u00e1ticas y matem\u00e1ticos","author":"Mat\u00edas Raja Ba\u00f1o","date":"febrero 15, 2022","format":false,"excerpt":"Durante mucho tiempo he sentido cierta aversi\u00f3n a presentarme como matem\u00e1tico ante un grupo de desconocidos. 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