{"id":6170,"date":"2023-11-24T22:34:32","date_gmt":"2023-11-24T20:34:32","guid":{"rendered":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=6170"},"modified":"2024-12-24T19:42:49","modified_gmt":"2024-12-24T17:42:49","slug":"ecuaciones-diferenciales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=6170","title":{"rendered":"Ecuaciones diferenciales"},"content":{"rendered":"\n

El prop\u00f3sito de este post<\/em> es dar una idea de esta importante herramienta matem\u00e1tica, lo qu\u00e9 significa y sus aplicaciones. Desde un punto de vista t\u00e9cnico-did\u00e1ctico, tratar de explicar las ecuaciones diferenciales a un p\u00fablico general es meterse en un jard\u00edn del que dif\u00edcilmente se podr\u00e1 salir airoso. Pido a mis lectores que, llegado el momento, sean capaces de desligar la divulgaci\u00f3n del entretenimiento en lo que sigue. Parafraseando a Euclides, no hay un camino f\u00e1cil en Matem\u00e1ticas<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

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Los ingredientes<\/h2>\n\n\n\n

Antes de explicar en qu\u00e9 consiste una ecuaci\u00f3n diferencial es necesario especificar las nociones matem\u00e1ticas involucradas. Realmente lo que voy a hacer aqu\u00ed es recordar a mis lectores cosas que ya saben porque forman parte del curriculum obligatorio de matem\u00e1ticas.<\/p>\n\n\n\n

Ecuaci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n

Ecuaci\u00f3n<\/em> significa igualdad entre cantidades resultantes de diferentes operaciones, simplemente. Lo que ocurre es que, normalmente, se reserva el nombre ecuaci\u00f3n cuando la igualdad contiene alg\u00fan t\u00e9rmino desconocido: la inc\u00f3gnita, representada habitualmente con una letra. Cuando esto ocurre, el objetivo es resolver la ecuaci\u00f3n, es decir, calcular los valores que puede tomar la inc\u00f3gnita de manera que la ecuaci\u00f3n sea cierta, si es que existe alguno. Por ejemplo, la ecuaci\u00f3n x2<\/sup>+5=6x es cierta \u00fanicamente cuando x<\/em> toma los valores 1 o 5.<\/em> Podemos considerar ecuaciones con m\u00e1s variables, pero si queremos llegar a una soluci\u00f3n determinada, como regla general se necesita el mismo n\u00famero de ecuaciones que de inc\u00f3gnitas. Para ilustrar esto, planteamos un sencillo problema: en un corral hay conejos y gallinas, habiendo en total 10 animales y 28 patas \u00bfCu\u00e1ntos animales hay de cada?<\/p>\n\n\n\n

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Funci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n

Si los problemas matem\u00e1ticos se redujeran simplemente a averiguar valores num\u00e9ricos, como resolver ecuaciones del tipo descrito en el apartado anterior, no tendr\u00eda sentido mi profesi\u00f3n. Por fortuna, especialmente para m\u00ed, las matem\u00e1ticas operan con nociones m\u00e1s complejas. La relaci\u00f3n entre cantidades num\u00e9ricas variables (de ahora en adelante, simplemente variables<\/em>) se describe por medio de una funci\u00f3n. Por ejemplo, la variaci\u00f3n de temperatura en Murcia a lo largo del d\u00eda (o a\u00f1o) es una funci\u00f3n, siendo las variables temperatura y tiempo. M\u00e1s a\u00fan, podemos introducir otras variables, como la posici\u00f3n (a trav\u00e9s de coordenadas, geogr\u00e1ficas o geom\u00e9tricas), y examinar como var\u00eda la temperatura cuando nos movemos a otro lugar. De esta manera podemos ver la temperatura como una funci\u00f3n del tiempo y la posici\u00f3n. Con frecuencia, se identifica una funci\u00f3n f<\/em> con su gr\u00e1fica y<\/em>=f<\/em>(x<\/em>).<\/p>\n\n\n\n

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C\u00e1lculo diferencial<\/h3>\n\n\n\n

Para el estudio de las funciones se han desarrollado herramientas espec\u00edficas. Una de ellas es la derivaci\u00f3n<\/em>, que es un procedimiento por el cual a una funci\u00f3n se le asigna otra funci\u00f3n, llamada su derivada. Si la funci\u00f3n es f<\/em> su derivada es denotada f’<\/em>, aunque por abuso de lenguaje<\/em> escribimos y’<\/em>. La derivada de una funci\u00f3n proporciona informaci\u00f3n sobre la variaci\u00f3n de \u00e9sta. Una interpretaci\u00f3n intuitiva de la derivada es que expresa la velocidad con la que la funci\u00f3n crece o decrece, seg\u00fan sea positiva o negativa. Por ese motivo, cuando la funci\u00f3n alcanza un m\u00e1ximo o un m\u00ednimo, la derivada se anula en \u00e9l. En efecto, m\u00e1ximo o m\u00ednimo representan la transici\u00f3n entre crecimiento y decrecimiento para la funci\u00f3n, as\u00ed como el cero la frontera entre los n\u00fameros positivos y negativos. Los lectores con conocimientos m\u00e1s avanzados podr\u00edan discutirme lo dicho hasta ahora, pero las matem\u00e1ticas tienen recursos para extender la validez de las afirmaciones hasta extremos insospechados.<\/p>\n\n\n\n

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\u00bfQu\u00e9 es una ecuaci\u00f3n diferencial?<\/h2>\n\n\n\n

Una funci\u00f3n podr\u00eda ser la inc\u00f3gnita en una ecuaci\u00f3n. Por ejemplo, si queremos saber qu\u00e9 forma adopta una cadena suspendida por sus extremos, esta forma puede ser descrita con una funci\u00f3n. La ecuaci\u00f3n diferencial, que no intentaremos calcular aqu\u00ed, resulta de aplicar las leyes del equilibrio est\u00e1tico a la cadena. En principio, una ecuaci\u00f3n cuya inc\u00f3gnita es una funci\u00f3n se llama ecuaci\u00f3n funcional<\/em>. Si la ecuaci\u00f3n puede ser escrita en t\u00e9rminos de una relaci\u00f3n entre la funci\u00f3n desconocida y su derivada (o derivadas de \u00f3rdenes superiores) se llama ecuaci\u00f3n diferencial<\/em>. Por ejemplo, y’<\/em> = F<\/em>(x<\/em>, y<\/em>), donde y<\/em> es la funci\u00f3n inc\u00f3gnita, x<\/em> la variable independiente, y F<\/em> una f\u00f3rmula que contiene a ambas . El problema de la cadena colgante<\/a> involucra en su planteamiento una integral de la funci\u00f3n desconocida, pero una sencilla manipulaci\u00f3n lo reduce a una ecuaci\u00f3n diferencial de segundo orden<\/em>, es decir, una relaci\u00f3n entre la funci\u00f3n inc\u00f3gnita y sus derivadas primera y segunda.<\/p>\n\n\n\n

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Al igual que existen m\u00e9todos para resolver ecuaciones algebraicas sencillas, hay procedimientos para resolver ecuaciones diferenciales suficientemente sencillas. Podr\u00eda decirse que los casos para los que una ecuaci\u00f3n diferencial ordinaria de primer orden se resuelve expl\u00edcitamente se cuentan con los dedos de la mano. Por este motivo, las aplicaciones, m\u00e1s o menos relacionadas con la realidad, se suelen repetir de unos libros a otros y algunos problemas son incluso famosos, como el de la m\u00e1quina quitanieves<\/em>: Una ma\u00f1ana comienza a nevar, de manera uniforme y continuada. A las 12 del mediod\u00eda una m\u00e1quina quitanieves sale a limpiar la carretera. Si la m\u00e1quina recorre durante la primera hora de trabajo dos kil\u00f3metros y solamente un kil\u00f3metro durante la segunda hora \u00bfa qu\u00e9 hora comenz\u00f3 a nevar? (ver la soluci\u00f3n<\/a> en el libro de mi antiguo profesor Manuel L\u00f3pez Rodr\u00edguez, Problemas resueltos de ecuaciones diferenciales<\/em>, Thomson 2006).<\/p>\n\n\n\n

Un ejemplo<\/h2>\n\n\n\n

Llega un momento en el que hay que mojarse: no se puede escribir un post sobre ecuaciones diferenciales sin mostrar una de ellas. Elegiremos una muy sencilla: y’ = k y<\/em>, donde k<\/em> es una constante. Es decir, buscamos una funci\u00f3n f<\/em>(x<\/em>) positiva cuya derivada satisface f’<\/em>(x<\/em>) = k<\/em> f<\/em>(x<\/em>). Notemos que no hemos especificado si la constante k<\/em> es positiva o negativa, pues de ello depender\u00e1 que la soluci\u00f3n sea creciente o decreciente. Sin embargo, ello no altera el aspecto formal de las soluciones. Quien conozca la teor\u00eda elemental de derivadas<\/a> observar\u00e1 que la funci\u00f3n f<\/em>(x<\/em>)=ax<\/sup><\/em> satisface la ecuaci\u00f3n si k<\/em>=ln<\/em>(a<\/em>) (logaritmo natural o neperiano). M\u00e1s a\u00fan, dicha funci\u00f3n multiplicada por una constante sigue satisfaciendo la ecuaci\u00f3n diferencial, es decir, cualquier funci\u00f3n de la forma f<\/em>(x<\/em>)= c<\/em> ax<\/sup><\/em>, siendo c<\/em> un n\u00famero real (y positivo, para satisfacer nuestro requerimiento inicial). Notemos que con esto podemos encontrar una soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n que satisfaga una condici\u00f3n del tipo y<\/em>(x0<\/sub><\/em>)= y0<\/sub><\/em>.<\/p>\n\n\n\n

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Ejemplos de funciones exponenciales crecientes (Wikipedia).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Aunque sencilla, la ecuaci\u00f3n anterior es muy interesante porque sirve para resolver varios problemas. Por ejemplo, describir el crecimiento de un cultivo celular o la desintegraci\u00f3n de un material radiactivo. En efecto, en ambos casos la tasa de crecimiento (o decrecimiento) es proporcional a la cantidad de sustancia presente (n\u00famero c\u00e9lulas o masa del material radiactivo) que es lo que expresa, simplemente, la ecuaci\u00f3n y’ = k y<\/em>. Otra interpretaci\u00f3n de la misma ecuaci\u00f3n viene del problema siguiente: \u00bfQu\u00e9 forma debe tener la concha de un animal para que siempre mantenga la misma forma mientras crece por un extremo? Obviamente, pensamos en los moluscos (el crecimiento de la concha de las tortugas no satisface la hip\u00f3tesis). Este problema, interpretado en coordenadas polares, conduce a la misma ecuaci\u00f3n r’ = k r<\/em>, que geom\u00e9tricamente significa la constancia del \u00e1ngulo entre la curva y las rectas radiales que parten del origen. La representaci\u00f3n de la funci\u00f3n exponencial en coordenadas polares es la llamada espiral logar\u00edtmica descubierta por Jakob Bernoulli<\/a> y que mand\u00f3 grabar en su tumba con el epitafio eadem mutata resurgo<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

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Espiral logar\u00edtmica… modelizaci\u00f3n matem\u00e1tica de los caracoles (Wikipedia).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Los teoremas<\/h2>\n\n\n\n

\u00bfQu\u00e9 ocurre cuando una ecuaci\u00f3n diferencial no puede resolverse de manera expl\u00edcita? Seg\u00fan lo dicho antes, nos encontramos en el escenario m\u00e1s probable. Quiz\u00e1s no nos interese saber la soluci\u00f3n con todo detalle, sino conocer algunos aspectos de ella. Para ello, lo primero es estar seguros de que la soluci\u00f3n, aunque \u00abincalculable\u00bb, existe. Despu\u00e9s, saber si, fijadas las condiciones a satisfacer por la funci\u00f3n inc\u00f3gnita, la soluci\u00f3n es \u00fanica (por ejemplo, para y’<\/em> = F<\/em>(x<\/em>, y<\/em>) podemos tomar y<\/em>(x0<\/sub><\/em>) = y0<\/sub><\/em>). De lo contrario, poco sentido tendr\u00eda hacer previsiones sobre su comportamiento. Esta incertidumbre queda resuelta gracias a los llamados teoremas de existencia y\/o unicidad<\/em> que nos garantizan el poder trabajar con la soluci\u00f3n de una ecuaci\u00f3n diferencial sin necesidad de tenerla expl\u00edcitamente.<\/p>\n\n\n\n

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Los llamados teoremas de punto fijo tienen aplicaciones a la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Demostrar que un problema tiene soluci\u00f3n sin resolverlo es una de las caracter\u00edsticas de las Matem\u00e1ticas superiores que m\u00e1s sorprenden a los legos. Pondr\u00e9 un ejemplo sencillo para ilustrar esto. Consideremos la afirmaci\u00f3n \u201cexiste un n\u00famero real positivo x<\/strong> cuyo cuadrado es 3\u201d, en otras palabras, existe la ra\u00edz cuadrada de 3. Tal n\u00famero x<\/strong> , si existe, deber\u00eda de estar entre 1 y 2, ya que sus cuadrados 1 y 4 comprenden al 3. Por el mismo motivo, x<\/strong> deber\u00eda estar comprendido entre 1.7 y 1.8, pues sus cuadrados son, respectivamente 2.89 y 3.34. Siguiendo de esta manera, obtendr\u00edamos una sucesi\u00f3n de cifras decimales tras el 1 inicial: 1.7320508075… Con la propiedad de que cortada a cualquier altura y sumando 1 al \u00faltimo d\u00edgito del n\u00famero resultante, define dos n\u00fameros racionales entre cuyos cuadrados se encuentra el al 3. Omitiendo alguna sutileza matem\u00e1tica, resulta que la sucesi\u00f3n de cifras anterior 1.7320508075… define un n\u00famero irracional cuyo cuadrado es 3, el deseado x<\/strong>. Pues bien, las demostraciones de existencia para ecuaciones diferenciales son similares: se obtiene como l\u00edmite<\/em> de una sucesi\u00f3n de \u00absoluciones aproximadas\u00bb.<\/p>\n\n\n\n

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P\u00e1gina del libro \u00abEcuaciones diferenciales y c\u00e1lculo variacional\u00bb de L. Elsgoltz, MIR 1969.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

\u00bfQu\u00e9 entendemos por soluci\u00f3n aproximada de una ecuaci\u00f3n diferencial? Hay varias formas de proceder, pero quiz\u00e1s la m\u00e1s intuitiva sea la \u00abdiscretizaci\u00f3n\u00bb que consiste en lo siguiente (aplicado a una ecuaci\u00f3n de primer orden). La variable independiente tomar\u00e1 una cantidad finita de valores x0<\/sub>, x1<\/sub>, x2<\/sub>\u2026<\/em> espaciados por una distancia h<\/em> (es decir, h= x1 <\/sub>– x0 <\/sub><\/em>= <\/sub>x2 <\/sub>-x1<\/sub> …<\/em>). Los valores correspondientes de la funci\u00f3n a determinar ser\u00e1n y0<\/sub>, y1<\/sub>, y2<\/sub>\u2026<\/em> (s\u00f3lo y0<\/sub><\/em> es conocido por ser condici\u00f3n inicial<\/em>). La derivada en un punto xn<\/sub><\/em> ser\u00e1 sustituida por la expresi\u00f3n (yn+1<\/sub><\/em> – yn<\/sub><\/em>)\/(xn+1<\/sub><\/em> – xn<\/sub><\/em>) = (yn+1<\/sub><\/em> – yn<\/sub><\/em>)\/h<\/em>, que de acuerdo con la ecuaci\u00f3n diferencial se puede expresar en t\u00e9rminos de xn<\/sub><\/em> e yn<\/sub><\/em>. En consecuencia, yn+1<\/sub><\/em> puede ser calculado a partir de yn<\/sub><\/em>, ya que xn = <\/sub>x0<\/sub> + nh<\/em> no tiene inconveniente. Partiendo de y0<\/sub><\/em> se calcular\u00e1n sucesivamente y1<\/sub>, y2<\/sub><\/em>, y3<\/sub><\/em>… Lo que puede verse como una l\u00ednea quebrada con nodos en los puntos (xn<\/sub><\/em>, yn<\/sub><\/em>), que aproxima a la soluci\u00f3n verdadera, mejor cuanto m\u00e1s peque\u00f1o sea h<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Sistemas din\u00e1micos<\/h2>\n\n\n\n

Al final de la secci\u00f3n anterior hemos alcanzado el zenit de dificultad t\u00e9cnica del post<\/em>. A partir de aqu\u00ed seremos m\u00e1s cualitativos. Una ecuaci\u00f3n diferencial, sea del orden que sea, puede reducirse a una ecuaci\u00f3n de primer orden haciendo que la funci\u00f3n inc\u00f3gnita tome valores vectoriales<\/em> (tradicionalmente llamado sistema de ecuaciones diferenciales). Aunque esto puede parecer una enorme complicaci\u00f3n pr\u00e1ctica, desde el punto del vista te\u00f3rico se gana en simplicidad. M\u00e1s simple resultar\u00e1 si, adem\u00e1s, la variable independiente no aparece expl\u00edcitamente. De esta manera, la evoluci\u00f3n de una soluci\u00f3n depender\u00e1 solamente de por d\u00f3nde pasa y no de cu\u00e1ndo lo hace<\/em> (es habitual identificar la variable independiente con el tiempo<\/em> en la discusi\u00f3n de sistemas de ecuaciones). A este tipo de ecuaciones vectoriales que no contienen la variable independiente \u00abt<\/em>\u00bb se les llama sistemas din\u00e1micos<\/em> (o aut\u00f3nomos): si la variable independiente se identifica con tiempo, la variable vectorial inc\u00f3gnita representa movimiento: de ah\u00ed el nombre. Una forma muy adecuada de pensar en un sistema din\u00e1mico es el mapa de vientos de la predicci\u00f3n meteorol\u00f3gica: seg\u00fan donde te encuentres, se te empuja en una cierta direcci\u00f3n y con una determinada velocidad.<\/p>\n\n\n\n

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Mapa de vientos… as\u00ed se ve un sistema din\u00e1mico en dos variables. Un globo, por su gran rozamiento frente a muy poca inercia, seguir\u00eda una trayectoria soluci\u00f3n del sistema (fuente INM, a trav\u00e9s de tiempo.com).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Naturalmente, las ecuaciones del movimiento de un sistema mec\u00e1nico (masas unidas por palancas, bisagras, muelles… o fuerzas a distancia) pueden ser escritas en forma de sistema din\u00e1mico. Sin embargo, al ser la segunda ley de Newton, de hecho, una ecuaci\u00f3n diferencial de segundo orden, la reducci\u00f3n a un sistema de primer orden implica duplicar el n\u00famero de variables espaciales (grados de libertad<\/em>). La manera m\u00e1s sencilla de hacerlo es considerar las velocidades junto con las posiciones, dando lugar al llamado espacio de fases<\/em>. En el espacio de fases usado en Mec\u00e1nica Anal\u00edtica<\/a> est\u00e1n representadas variables de posici\u00f3n, no necesariamente cartesianas, y sus variables conjugadas<\/em>, que no siempre se corresponden con velocidades. Este punto de vista arroja resultados sorprendentes, como el siguiente descubierto por Henri<\/em> Poincar\u00e9<\/em><\/a>: un sistema confinado en el espacio y que no pierde energ\u00eda, volver\u00e1, con precisi\u00f3n arbitraria, a su posici\u00f3n inicial infinitas veces.<\/p>\n\n\n\n

\u00bfDeterminismo?<\/h2>\n\n\n\n

A lo largo de la Historia han aparecido religiones y doctrinas filos\u00f3ficas que afirman que el futuro est\u00e1 completamente determinado y, por lo tanto, niegan el libre albedr\u00edo<\/em>. Curiosamente, el libre albedr\u00edo estuvo tambi\u00e9n en cuesti\u00f3n por parte de la Ciencia y, en ello, las ecuaciones diferenciales jugaron un papel relevante. Las Leyes de la Mec\u00e1nica<\/a> reducen el problema del movimiento de un sistema de masas interactuantes a ecuaciones diferenciales mostrando que la evoluci\u00f3n del sistema est\u00e1 determinada a partir de las posiciones y velocidades iniciales. El universo entero es un sistema de masas en interacci\u00f3n, por fuerzas gravitatorias y electrom\u00e1gneticas, gobernado por la Mec\u00e1nica newtoniana; la Qu\u00edmica se reduce a la mec\u00e1nica de las mol\u00e9culas animadas por fuerzas electromagn\u00e9ticas; la Biolog\u00eda se reduce al estudio de la Qu\u00edmica Org\u00e1nica; finalmente, el pensamiento son impulsos electroqu\u00edmicos en una estructura, el cerebro, que, aunque compleja, se reduce a una cantidad finita, aunque enorme, de \u00e1tomos. Somos pura qu\u00edmica: la ingesta de ciertas substancias puede cambiar nuestro estado de \u00e1nimo, por no decir m\u00e1s cosas.<\/p>\n\n\n\n

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Pierre-Simon Laplace, retratado con los honores que le concedi\u00f3 Napole\u00f3n.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

El hecho de que el que la evoluci\u00f3n del universo con todo su contenido pueda reducirse a unas pocas leyes tuvo consecuencias importantes en nuestra visi\u00f3n del mundo. Cuando Laplace present\u00f3 su gran obra sobre Mec\u00e1nica Celeste<\/a> a Napole\u00f3n, el emperador le hizo una observaci\u00f3n: \u00abMe cuentan que en esta gran obra sobre el universo no menciona al Creador en ninguna parte<\/em>.\u00bb El matem\u00e1tico le replic\u00f3: \u00abSire, no he necesitado de esa hip\u00f3tesis<\/em>.\u00bb Si Dios ya no era necesario para gobernar el universo \u00bfseguir\u00eda siendo necesario para crearlo? Aparentemente, lo \u00fanico que nos impide hacer una predicci\u00f3n certera sobre el futuro son dos detalles nimios: (1) conocer la posici\u00f3n y velocidad de cada part\u00edcula del universo en un instante dado; (2) resolver un sistema de 2n<\/em> ecuaciones diferenciales, siendo n<\/em> el n\u00famero de part\u00edculas del universo. Sin embargo, aunque todo esto sea irrealizable en la pr\u00e1ctica, no excluye la validez del teorema de existencia y unicidad que nos dice que s\u00f3lo hay un resultado posible: el libre albedr\u00edo no existe… \u00bfo s\u00ed?<\/p>\n\n\n\n

Sensibilidad, caos y desorden<\/h2>\n\n\n\n

El que hayas le\u00eddo mi post<\/em> hasta aqu\u00ed es una decisi\u00f3n tuya, personal y consciente, que no tiene absolutamente nada que ver con la posici\u00f3n de las part\u00edculas del universo hace un par de horas. Podemos se\u00f1alar varios errores en los argumentos de la secci\u00f3n anterior. El primero es que el modelo matem\u00e1tico es una idealizaci\u00f3n de la realidad tanto o m\u00e1s como Las se\u00f1oritas de Avignon<\/a><\/em> representa un grupo de mujeres. En segundo lugar, es sabido que la soluci\u00f3n de una ecuaci\u00f3n diferencial, en general, depende continuamente de las condiciones iniciales. Esto quiere decir que con valores iniciales parecidos se tendr\u00e1n una soluciones pr\u00f3ximas sobre intervalos prefijados de la variable. Sin embargo, si no se mantiene la variable confinada en un intervalo, podr\u00eda observarse una tremenda divergencia entre dos soluciones por pr\u00f3ximas que comiencen (sensibilidad respecto a las condiciones iniciales<\/em>). Gracias a eso, el resultado de lanzar una moneda al aire se puede considerar un suceso aleatorio<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

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P\u00e9ndulo doble construido por el autor para la Semana de la Ciencia (Murcia, noviembre 2023). En YouTube<\/em> hay v\u00eddeos de p\u00e9ndulos que funcionan mejor y durante mucho m\u00e1s tiempo \ud83d\ude15<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

No obstante, en sistemas en una o dos dimensiones el comportamiento cualitativo de las soluciones no cambiar\u00e1. Por ejemplo, un p\u00e9ndulo sencillo siempre oscila peri\u00f3dicamente, aunque cambie la frecuencia de dichas oscilaciones. Pero a partir de tres dimensiones pueden aparecer diferencias substanciales que afectan a la predicibilidad del sistema y que reciben el nombre caos<\/em>, tambi\u00e9n conocido como efecto mariposa<\/em> (una descripci\u00f3n po\u00e9tica puede escucharse en este enlace<\/a><\/em>). Por ejemplo, un p\u00e9ndulo doble goza de dos grados de libertad, as\u00ed que su espacio de fases tiene cuatro dimensiones… el caos est\u00e1 garantizado. Adem\u00e1s de eso, en los sistemas con un gran n\u00famero de part\u00edculas hay una componente estad\u00edstica que debe ser adecuadamente tratada. Esto es el objeto de la Mec\u00e1nica Estad\u00edstica<\/a>, donde los sistemas no evolucionan por la inercia, sino hacia estados con mayor probabilidad<\/em>. Una baraja de cartas est\u00e1 bien ordenada de una sola manera, pero desordenada puede estarlo de tantas formas que se requiere un n\u00famero de 60 cifras para expresarlo. El desorden es la esencia de nuestro libre albedr\u00edo, en la F\u00edsica Cl\u00e1sica… no hablemos ya de principios de incertidumbre y gatos zombies<\/a><\/em>. <\/p>\n\n\n\n

EDPs<\/h2>\n\n\n\n

Hasta ahora hemos considerado ecuaciones diferenciales donde la inc\u00f3gnita depende de una \u00fanica variable, respecto a la que realiza la derivaci\u00f3n. Esto es algo bastante evidente cuando la ecuaci\u00f3n diferencial describe un proceso que depende \u00fanicamente del tiempo, tal como sucede en los sistemas din\u00e1micos. Este tipo de ecuaciones diferenciales con una sola variable independiente se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias<\/em> (EDOs). Naturalmente, el mundo es mucho m\u00e1s complejo. Por ejemplo, un proceso que dependa del tiempo y el espacio requerir\u00e1 una ecuaci\u00f3n con varias variables independientes respecto a las que se realizan derivaciones, necesariamente parciales<\/em>. Por este motivo son llamadas ecuaciones en derivadas parciales<\/em> (EDPs). Es una materia que aprecio bastante, ya que he estado impartiendo sus contenidos en una asignatura del Grado de Matem\u00e1ticas (los apuntes son accesibles aqu\u00ed<\/a>). Tambi\u00e9n hemos aludido a una cierta EDP en nuestro post<\/em> Circunferencias y esferas<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

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P\u00e1gina de Mathematical Biology<\/em>, J. D. Murray, Springer 2003.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Un aspecto interesante de las EDPs es, que a pesar de representar procesos continuos (por no decir derivables), son capaces de explicar fen\u00f3menos discretos o cuantificados. Las notas musicales se explican con ayuda de la ecuaci\u00f3n de la cuerda vibrante<\/a>. El hecho de que las variaciones de energ\u00eda en un \u00e1tomo est\u00e9n cuantizadas se explica, por motivos an\u00e1logos, a partir de la ecuaci\u00f3n de Schr\u00f6dinger<\/a>, que rige la Mec\u00e1nica Cu\u00e1ntica. Los llamados procesos de reacci\u00f3n-difusi\u00f3n<\/a><\/em> encierran la clave de la aparici\u00f3n de patrones en Biolog\u00eda como las manchas de leopardos, cebras y jirafas. Esta compleja teor\u00eda de la Morfog\u00e9nesis<\/em> fue iniciada por Alan Turing<\/a>, matem\u00e1tico conocido principalmente por su papel en el descifrado del c\u00f3digo Enigma<\/em> durante la Segunda Guerra Mundial, y que tambi\u00e9n sent\u00f3 las bases de la Teor\u00eda de la Computaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

Editado 24\/12\/2024<\/strong>. He dedicado un post<\/em> espec\u00edfico a las EDPs<\/a> con motivo de haber dejado de impartir la asignatura correspondiente en el Grado de Matem\u00e1ticas de la UMU.<\/p>\n\n\n\n

Para acabar<\/h2>\n\n\n\n

Las ecuaciones diferenciales permiten, entre muchas aplicaciones, modelizar y estudiar la evoluci\u00f3n sistemas y procesos que dependen continuamente del tiempo y, eventualmente, tambi\u00e9n del espacio. Lamentablemente, no se puede profundizar mucho m\u00e1s en este tema si no es a costa de un mayor despliegue matem\u00e1tico. Espero que la selecci\u00f3n de temas que he presentado en este post<\/em> despierte la curiosidad de los lectores.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

El prop\u00f3sito de este post es dar una idea de esta importante herramienta matem\u00e1tica, lo qu\u00e9 significa y sus aplicaciones. Desde un punto de vista t\u00e9cnico-did\u00e1ctico, tratar de explicar las ecuaciones diferenciales a un p\u00fablico general es meterse en un jard\u00edn del que dif\u00edcilmente se podr\u00e1 salir airoso. Pido a mis lectores que, llegado el … Continuar leyendo \u00abEcuaciones diferenciales\u00bb<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[10,12],"tags":[],"class_list":["post-6170","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ciencia","category-matematicas"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p9XVBt-1Bw","jetpack-related-posts":[{"id":1419,"url":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=1419","url_meta":{"origin":6170,"position":0},"title":"Matem\u00e1ticas y matem\u00e1ticos","author":"Mat\u00edas Raja Ba\u00f1o","date":"febrero 15, 2022","format":false,"excerpt":"Durante mucho tiempo he sentido cierta aversi\u00f3n a presentarme como matem\u00e1tico ante un grupo de desconocidos. 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