{"id":4395,"date":"2023-03-11T12:29:04","date_gmt":"2023-03-11T10:29:04","guid":{"rendered":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=4395"},"modified":"2024-12-18T09:35:37","modified_gmt":"2024-12-18T07:35:37","slug":"el-sistema-solar","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=4395","title":{"rendered":"El Sistema Solar"},"content":{"rendered":"\n
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Imagen toda de un viejo libro de texto, explicaci\u00f3n al final.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

El prop\u00f3sito de este post<\/em> es destacar ciertos aspectos del Sistema Solar que, como matem\u00e1tico, me resultan interesantes y con la esperanza de alguno resulte novedoso para mis queridos lectores. Esto \u00faltimo no va a ser sencillo… La observaci\u00f3n del cielo es tan antigua como la Historia, as\u00ed como la curiosidad por saber lo que hay ah\u00ed arriba (o afuera<\/em>) es tan inmensa como el Universo. La Astronom\u00eda, desde que se diferenci\u00f3 de la Astrolog\u00eda<\/em>, es una disciplina bien desarrollada y su divulgaci\u00f3n una de las populares. Tambi\u00e9n, algunos de los divulgadores de la astronom\u00eda alcanzaron una gran fama en vida: Camille Flammarion<\/a> en el siglo XIX, Carl Sagan<\/a> en el XX, y m\u00e1s recientemente, Neil deGrasse Tyson<\/a>. Por este motivo, no es f\u00e1cil contar algo realmente sorprendente sobre el Sistema Solar.<\/p>\n\n\n\n

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Uno de los libros con el que aprend\u00ed mucha Astronom\u00eda en mi juventud… y que ahora apenas recuerdo.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

El cielo desde un zigurat <\/h2>\n\n\n\n

En la antigua Babilonia, los sacerdotes escrutaban los cambios que se produc\u00edan en el firmamento y lo anotaban todo, de manera que, tras siglos de observaciones, hab\u00edan descubierto la periodicidad de numerosos fen\u00f3menos, incluidos los eclipses. La aplicaci\u00f3n m\u00e1s b\u00e1sica era el dominio del calendario<\/em>, que administraban como un saber herm\u00e9tico, pues el conocimiento del momento preciso de las siembras era fundamental para la econom\u00eda del estado. Adem\u00e1s del sol, la luna y las estrellas, hab\u00eda unos objetos cuya posici\u00f3n y ritmos no segu\u00edan las mismas pautas: los planetas<\/em>. De manera t\u00e1cita se asumi\u00f3 que sus ciclos deb\u00edan tener alguna repercusi\u00f3n en lo que ocurr\u00eda en el suelo y a la b\u00fasqueda de esa influencia se la llam\u00f3 Astrolog\u00eda<\/a>. Esta conexi\u00f3n resultaba tan \u201cevidente\u201d, que la Astrolog\u00eda no s\u00f3lo fue tolerada por la Iglesia medieval, sino que tambi\u00e9n se lleg\u00f3 a ense\u00f1ar en las universidades.<\/p>\n\n\n\n

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Maqueta de un zigurat (foto de Wikipedia).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Algunos planteamientos de la Astrolog\u00eda pueden parecernos ahora rid\u00edculos desde la ciencia moderna, pero estimularon la observaci\u00f3n cuidadosa y cuantitativa del cielo, dando lugar a una disciplina matem\u00e1tica: la Trigonometr\u00eda. En particular, la llamada Trigonometr\u00eda Esf\u00e9rica<\/a> tiene que ver con las relaciones entre las distintas magnitudes de un tri\u00e1ngulo esf\u00e9rico, cuyos lados son segmentos de circunferencia m\u00e1xima. Resulta curioso que los lados de un tri\u00e1ngulo esf\u00e9rico se midan como \u00e1ngulos, pero es lo m\u00e1s adecuado porque esa es la \u00fanica referencia que podemos tener entre los astros que observamos desde la Tierra. El \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo esf\u00e9rico es tambi\u00e9n una medida angular, es decir, relativa, pero recibe el nombre de \u00e1ngulo s\u00f3lido<\/em>. Al igual que la longitud de la circunferencia de radio unitario, 2pi<\/em>, se\u00f1ala el \u00e1ngulo lineal m\u00e1ximo, el \u00e1rea de la esfera de radio unidad, 4pi<\/em>, es el valor del \u00e1ngulo s\u00f3lido m\u00e1ximo.<\/p>\n\n\n\n

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Tri\u00e1ngulo esf\u00e9rico, dibujo tomado de Wikipedia.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Quiz\u00e1s el hecho m\u00e1s fascinante (al menos para m\u00ed) de los tri\u00e1ngulos esf\u00e9ricos es que su \u00e1rea se obtiene simplemente sumando sus \u00e1ngulos y restando pi<\/em> al resultado. Esta misma operaci\u00f3n dar\u00eda cero en un tri\u00e1ngulo plano (v\u00e9ase mi post<\/em> Circunferencias y esferas<\/a>), pero no en un esf\u00e9rico. En un globo terr\u00e1queo es f\u00e1cil trazar un tri\u00e1ngulo con un v\u00e9rtice en el Polo Norte y los otros dos en el ecuador, de manera que sus tres \u00e1ngulos son rectos. La f\u00f3rmula del \u00e1rea arroja un valor de pi<\/em>\/2, que es una octava parte de la esfera (y de 4pi<\/em>, obviamente). Curiosamente, la f\u00f3rmula del \u00e1rea de los tri\u00e1ngulos esf\u00e9ricos se puede deducir sin apenas conocimientos geom\u00e9tricos usando una f\u00f3rmula combinatoria que expresa la medida de la uni\u00f3n de tres conjuntos: s\u00famense todas las \u00e1reas, r\u00e9stense las \u00e1reas de las intersecciones dos a dos y, finalmente, s\u00famese el \u00e1rea de la intersecci\u00f3n de los tres conjuntos. <\/p>\n\n\n\n

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Demostraci\u00f3n de la f\u00f3rmula del \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo esf\u00e9rico.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Dice con bastante iron\u00eda Jean Dieudonn\u00e9<\/a>, uno de los miembros del influyente grupo matem\u00e1tico Bourbaki<\/a>, que la Trigonometr\u00eda actualmente s\u00f3lo interesa a tres colectivos: a los astr\u00f3nomos, a los agrimensores y a los autores de libros de Trigonometr\u00eda. No obstante, la Trigonometr\u00eda Esf\u00e9rica proporciona un modelo f\u00e1cilmente comprensible de una Geometr\u00eda no euclidiana<\/a> en la que los tri\u00e1ngulos de peque\u00f1as dimensiones son muy parecidos a los tri\u00e1ngulos planos, pero a medida que aumenta la escala tambi\u00e9n aumentan las diferencias. \u00bfNo pasar\u00e1 lo mismo en el Universo? En efecto, a nuestra escala (o la de nuestros instrumentos de medida) nos parece euclidiano, pero podr\u00eda no serlo globalmente… Albert Einstein nos abri\u00f3 ese mel\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

La cuarta ley de Kepler<\/h2>\n\n\n\n

Si pensamos en las leyes de Kepler<\/a>, recordaremos al menos tres de ellas: la primera describe la forma de las \u00f3rbitas de los planetas alrededor del sol; la segunda explica las variaciones de velocidad de un planeta a lo largo de su \u00f3rbita; finalmente la tercera relaciona los tama\u00f1os de las \u00f3rbitas de dos planetas con la duraci\u00f3n de su revoluci\u00f3n alrededor del sol. Pongamos un ejemplo de esta \u00faltima, si un planeta tiene una \u00f3rbita cuyas dimensiones duplican las de, por ejemplo, la Tierra, su a\u00f1o ser\u00e1 2.83 veces mayor que el nuestro (1033 d\u00edas terrestres). Ya comentamos en nuestro post<\/em> Elipse<\/a> que Isaac Newton dio la demostraci\u00f3n matem\u00e1tica de las leyes de Kepler a partir de su ley de Gravitaci\u00f3n Universal.<\/p>\n\n\n\n

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Ilustraci\u00f3n del Mysterium Cosmographicum de Kepler (foto de Wikipedia).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

\u00bfQu\u00e9 es lo que falta en el conjunto de las tres leyes de Kepler? La respuesta m\u00e1s obvia, quiz\u00e1, es que no proporcionan ninguna informaci\u00f3n sobre la disposici\u00f3n relativa de los planetas. En aquel momento, s\u00f3lo se conoc\u00edan seis: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, J\u00fapiter y Saturno. A falta de una hip\u00f3tesis mejor, Kepler relacion\u00f3 los planetas con los s\u00f3lidos plat\u00f3nicos<\/a>, es decir, los cinco poliedros regulares (convexos, hay que especificar), que inscritos y\/o circunscritos en cierto orden en seis esferas producen unos radios cuyas proporciones, dentro de cierto margen de error, coincid\u00edan con las de las \u00f3rbitas planetarias. Desde el punto de vista moderno, el modelo Kepleriano puede parecernos algo carente de fundamento, pero en realidad est\u00e1 haciendo algo que los matem\u00e1ticos seguimos haciendo todav\u00eda: buscar patrones<\/em>. <\/p>\n\n\n\n

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Tabla comparando las distancias predichas por la ley de Titius-Bode con las reales, tomada de J. Febrer Carb\u00f3 y E. Cabal Dalby \u00abLecciones de Astronom\u00eda Elemental\u00bb, Revert\u00e9 Barcelona (1948).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Encontrar un buen patr\u00f3n depende mucho del conocimiento acumulado. La hip\u00f3tesis de la elipse, por ejemplo, funcion\u00f3 y pudo justificarse a posteriori, pero la distancia relativa entre planetas del Sistema Solar necesitaba una aproximaci\u00f3n menos m\u00edstica. El astr\u00f3nomo alem\u00e1n Johann E. Titius<\/a> propuso que las distancias relativas al Sol estaban en progresi\u00f3n (esencialmente) geom\u00e9trica<\/em>, salvo por dos detalles: una correcci\u00f3n particular para Mercurio; y una \u201claguna\u201d entre Marte y J\u00fapiter. Otro alem\u00e1n, Johann D. Bode<\/a> que da tambi\u00e9n su nombre a esta ley, propuso que el hueco entre Marte y J\u00fapiter correspond\u00eda a un planeta que a\u00fan no hab\u00eda sido observado. Hay que decir que en ese momento no se hab\u00eda descubierto a\u00fan Neptuno<\/em>, planeta para que la ley de Titius-Bode falla estrepitosamente. Un grupo de 24 astr\u00f3nomos, en su mayor\u00eda alemanes, se lanz\u00f3 a la b\u00fasqueda del supuesto planeta intermedio entre Marte y J\u00fapiter. En la Nochevieja de 1800 a 1801 apareci\u00f3, por fin, un diminuto planeta: Ceres<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

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Ceres, m\u00e1s peque\u00f1o que nuestra luna, no tiene atm\u00f3sfera ni actividad geol\u00f3gica, por lo que su superficie est\u00e1 cubierta de cr\u00e1teres producidos por el impacto de meteoritos (foto de Wikipedia, como no).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

El descubridor de Ceres fue el italiano Giuseppe Piazzi<\/a> que pudo seguir al planetoide durante un mes aproximadamente, hasta que cay\u00f3 enfermo. Despu\u00e9s, la pista de Ceres se perdi\u00f3 y nadie fue capaz de encontrarlo… Hasta que lleg\u00f3 Carl Friedrich Gauss<\/a>, el m\u00e1s grande matem\u00e1tico del siglo XIX (por no decir de todos los tiempos, estas comparaciones son delicadas), y con las observaciones de Piazzi, que representaban un 1% de la \u00f3rbita de Ceres, realiz\u00f3 complejos c\u00e1lculos con un m\u00e9todo de su propia invenci\u00f3n y dijo a los astr\u00f3nomos hacia d\u00f3nde deb\u00edan enfocar sus telescopios en diciembre de ese mismo a\u00f1o. El planeta apareci\u00f3 exactamente donde dijo Gauss que aparecer\u00eda… bueno, con medio grado de error \ud83d\ude15<\/p>\n\n\n\n

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Carl Friedrich Gauss<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

El misterioso m\u00e9todo de Gauss inclu\u00eda el ajuste con m\u00ednimos cuadrados<\/a>, que hoy d\u00eda es una t\u00e9cnica est\u00e1ndar para hacer predicciones a partir de cierto n\u00famero de medidas experimentales. Sabemos tambi\u00e9n que Gauss en su estudio de las \u00f3rbitas planetarias us\u00f3 un algoritmo llamado transformada r\u00e1pida de Fourier<\/a> (FFT), a\u00f1os antes de que Joseph Fourier<\/em> en persona definiera su transformada (sin la etiqueta \u201cr\u00e1pida\u201d) y con m\u00e1s de un siglo de anticipaci\u00f3n sobre Cooley y Tukey, los \u201cinventores oficiales\u201d de la FFT: as\u00ed era Gauss. Para cerrar esta secci\u00f3n, despu\u00e9s de Ceres, se descubri\u00f3 en \u00f3rbitas cercanas otros peque\u00f1os planetas: Palas, Juno, Vesta… la cuenta va por miles, pero cada vez m\u00e1s diminutos y ya nada redondos. Es esas circunstancias, la noci\u00f3n de planeta deb\u00eda definirse de manera precisa por lo que Ceres qued\u00f3 fuera de la lista y nos referimos en su lugar al cintur\u00f3n de asteroides<\/em>. Por cierto, el mismo criterio provoc\u00f3 la expulsi\u00f3n de Plut\u00f3n<\/a> en 2006 de la lista oficial de planetas del Sistema Solar. Plut\u00f3n resulta ser parte de un cintur\u00f3n de asteroides exterior<\/em> llamado de Kuiper<\/a><\/em>.<\/p>\n\n\n\n

El problema de los tres cuerpos <\/h2>\n\n\n\n

Nos ocuparemos ahora de una cuesti\u00f3n de Mec\u00e1nica Celeste<\/a>. Notemos primero que, realmente, las elipses son soluciones exactas para las ecuaciones Newtonianas del movimiento cuando se considera un sistema de dos cuerpos (el Sol y un planeta). Matem\u00e1ticamente, el problema se reduce al de una sola masa en un campo gravitatorio central y puede resolverse dando la posici\u00f3n exacta del planeta en cada momento. Cuando hay tres cuerpos interactuando m\u00fatuamente entre s\u00ed, la dificultad del problema aumenta considerablemente y no es posible dar una soluci\u00f3n expl\u00edcita de las \u00f3rbitas… y no digamos ya cuando se tiene un n\u00famero mayor de cuerpos como el propio Sistema Solar.<\/p>\n\n\n\n

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ISS, foto tomada de Wikipedia.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

El llamado problema de los tres cuerpos<\/a> se puede abordar con distintas simplificaciones. Una de ellas es suponer que dos de los cuerpos no son demasiado masivos para despreciar su interacci\u00f3n mutua. Evidentemente, cada uno de los cuerpos peque\u00f1os seguir\u00e1 el modelo el\u00edptico, si es que permanecen confinados en sus \u00f3rbitas, pero es posible que nos interese saber como se mover\u00e1 uno respecto al otro. Si las \u00f3rbitas de estos dos cuerpos son suficientemente pr\u00f3ximas, podemos considerar una como perturbaci\u00f3n<\/em> de la otra. Esto permite deducir resultados aparentemente sorprendentes como el siguiente: imaginemos que un astronauta da un salto desde la Estaci\u00f3n Espacial Internacional<\/a> (ISS) de manera que se aleja de ella flotando en el vac\u00edo. No pasa nada, en alrededor de 45 minutos volver\u00e1 a la ISS. En efecto, la trayectoria del astronauta (alrededor de la Tierra) es una elipse de dimensiones similares a la que traza la ISS y, por lo tanto, con el mismo periodo.<\/p>\n\n\n\n

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Situaci\u00f3n de los puntos de Lagrange, los estables son L4 y L5 (tomado de Wikipedia).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Consideremos ahora un sistema compuesto de dos objetos masivos y un tercero mucho menor. En este caso, el problema de los tres cuerpos admite unas soluciones curiosas: existen dos puntos relativos a la posici\u00f3n de las masas mayores (movi\u00e9ndose con ellas) donde una tercera masa quedar\u00eda en una posici\u00f3n estable. Estos son los llamados puntos de Lagrange estables (hay otros puntos estacionarios, pero son inestables), que act\u00faan como recept\u00e1culos de peque\u00f1as masas a la deriva, los llamados asteroides troyanos<\/a>. Desde la predicci\u00f3n hecha por el matem\u00e1tico \u00edtalo-franc\u00e9s Joseph-Louis Lagrange<\/a>, se tard\u00f3 casi un siglo en poder observarlos. En el Sistema Solar, J\u00fapiter acapara casi todos los troyanos. Obviamente, es el segundo cuerpo m\u00e1s masivo despu\u00e9s del Sol, y junto con \u00e9l forma un potente atractor de troyanos.<\/p>\n\n\n\n

Kolmogorov, Arnold y Moser<\/h2>\n\n\n\n

Lo cierto es que los planetas del Sistema Solar se influyen unos a otros, quiz\u00e1s no tanto como para marcar la vida de un reci\u00e9n nacido, pero s\u00ed como para inquietar a los astr\u00f3nomos sobre un cataclismo en el futuro. Por ejemplo, el descubrimiento de Neptuno<\/a> fue posible gracias a las perturbaciones que provocaba en la \u00f3rbita de Urano<\/a>. A su vez, el planetoide Plut\u00f3n fue descubierto por las perturbaciones que provocaba sobre Neptuno. Las elipses que describir\u00edan te\u00f3ricamente los planetas alrededor del sol seg\u00fan el modelo de dos cuerpos, est\u00e1n \u201cabolladas\u201d consecuencia de esta mutua interacci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

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Neptuno, fotografiado por el Voyager (foto de Wikipedia)<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Si bien el efecto de la interacci\u00f3n entre dos planetas dados puede parecer peque\u00f1o puntualmente, su efecto prolongado a lo largo del tiempo podr\u00eda acumularse. A medida que los dos planetas orbitan alrededor del sol se producen alternativamente situaciones de m\u00e1ximo acercamiento y m\u00e1ximo distanciamiento. La atracci\u00f3n gravitatoria entre ellos, mayor durante la m\u00e1xima proximidad, se convierte en una fuerza pulsante. Hay situaciones en las que una peque\u00f1a fuerza ejercida peri\u00f3dicamente causa un gran efecto a largo plazo: imaginemos un columpio al que se le da un peque\u00f1\u00edsimo impulso cada vez que comienza a alejarse. Al cabo de un rato, el columpio ejecuta grandes oscilaciones. Este fen\u00f3meno se conoce como resonancia<\/a> y ocurre cuando la frecuencia de la fuerza coincide o est\u00e1 muy pr\u00f3xima a la frecuencia natural<\/em> del sistema al que se aplica.<\/p>\n\n\n\n

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Uno de los p\u00e1rrafos del libro de V. I. Arnold \u00abMec\u00e1nica Cl\u00e1sica\u00bb (Paraninfo, Madrid, 1983) del ap\u00e9ndice donde explica la teor\u00eda KAM. La dificultad del tema, unida a una peculiar traducci\u00f3n, produce un cierto des\u00e1nimo…<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Andrei Kolmogorov<\/a>, uno de los matem\u00e1ticos rusos m\u00e1s importantes del siglo XX, comenz\u00f3 el estudio de la posible resonancia en sistemas din\u00e1micos como el constituido por el Sistema Solar. Este estudio fue continuado por su disc\u00edpulo Vladimir Arnold<\/a> y el alem\u00e1n J\u00fcrgen Moser<\/a>. El teorema KAM (por las iniciales de los matem\u00e1ticos mencionados) dice, aplicado a los planetas, que las \u00f3rbitas ser\u00e1n estables cuando el cociente de sus frecuencias es muy irracional en un sentido tan preciso como t\u00e9cnico para ser expuesto aqu\u00ed. A mis colegas matem\u00e1ticos puedo decirles que la condici\u00f3n KAM recuerda ligeramente la definici\u00f3n de los n\u00fameros transcendentes de Liouville<\/em>. En lo que respecta al Sistema Solar, la mayor parte de los cataclismos por resonancia ocurrieron en una etapa inicial, y los cocientes de las frecuencias de los planetas actuales est\u00e1n lejos de ser conmensurables. No hace mucho, la matem\u00e1tica italiana Gabriella Pinzari<\/a> realiz\u00f3 una mejora substancial del teorema KAM.<\/p>\n\n\n\n

Concluyendo<\/h2>\n\n\n\n

Recuerdo como si fuera ayer aquella noche de invierno de 1976 cuando vi por primera vez la ilustraci\u00f3n* con la que he comenzado este post<\/em>. Todav\u00eda me dura el abrumador sentimiento de peque\u00f1ez y vac\u00edo que me provoc\u00f3. Por eso no puedo evitar tener cierto apuro cuando miro la noche estrellada reconociendo constelaciones y buscando luceros<\/em>. A pesar de que cada vez es m\u00e1s dif\u00edcil disfrutar del cielo nocturno, que se le ha declarado la guerra a la oscuridad, la noche estrellada est\u00e1 ah\u00ed, envolvi\u00e9ndonos, para que mientras miramos al infinito, sigamos haci\u00e9ndonos las preguntas m\u00e1s fundamentales de nuestra existencia.<\/p>\n\n\n\n

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La noche estrellada de Van Gogh.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

(*) El libro es \u00abGeograf\u00eda Universal\u00bb (Antonio M. Zubia, Ed. S.M. 1967) de 2\u00ba de bachillerato, un libro de texto que us\u00f3 mi hermana.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

El prop\u00f3sito de este post es destacar ciertos aspectos del Sistema Solar que, como matem\u00e1tico, me resultan interesantes y con la esperanza de alguno resulte novedoso para mis queridos lectores. Esto \u00faltimo no va a ser sencillo… La observaci\u00f3n del cielo es tan antigua como la Historia, as\u00ed como la curiosidad por saber lo que … Continuar leyendo \u00abEl Sistema Solar\u00bb<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[10,12],"tags":[],"class_list":["post-4395","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ciencia","category-matematicas"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p9XVBt-18T","jetpack-related-posts":[{"id":1227,"url":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=1227","url_meta":{"origin":4395,"position":0},"title":"La ciencia del\u2026 desempa\u00f1ado del coche","author":"Mat\u00edas Raja Ba\u00f1o","date":"diciembre 24, 2021","format":false,"excerpt":"Al parecer los blogs de Ciencia tienen su p\u00fablico y algunos blogueros se hacen famosos. 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Desconozco si es por que \u00e9sta se ha limitado a\u2026","rel":"","context":"En \u00abMatem\u00e1ticas\u00bb","block_context":{"text":"Matem\u00e1ticas","link":"https:\/\/matiasraja.es\/?cat=12"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/icosaedro_solo-scaled.jpg?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/icosaedro_solo-scaled.jpg?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/icosaedro_solo-scaled.jpg?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x, https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/icosaedro_solo-scaled.jpg?resize=700%2C400&ssl=1 2x, https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/icosaedro_solo-scaled.jpg?resize=1050%2C600&ssl=1 3x, https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/icosaedro_solo-scaled.jpg?resize=1400%2C800&ssl=1 4x"},"classes":[]},{"id":6170,"url":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=6170","url_meta":{"origin":4395,"position":2},"title":"Ecuaciones diferenciales","author":"Mat\u00edas Raja Ba\u00f1o","date":"noviembre 24, 2023","format":false,"excerpt":"El prop\u00f3sito de este post es dar una idea de esta importante herramienta matem\u00e1tica, lo qu\u00e9 significa y sus aplicaciones. Desde un punto de vista t\u00e9cnico-did\u00e1ctico, tratar de explicar las ecuaciones diferenciales a un p\u00fablico general es meterse en un jard\u00edn del que dif\u00edcilmente se podr\u00e1 salir airoso. Pido a\u2026","rel":"","context":"En \u00abCiencia popular\u00bb","block_context":{"text":"Ciencia popular","link":"https:\/\/matiasraja.es\/?cat=10"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Screenshot-2023-11-24-at-19.51.35.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Screenshot-2023-11-24-at-19.51.35.png?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Screenshot-2023-11-24-at-19.51.35.png?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x, https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Screenshot-2023-11-24-at-19.51.35.png?resize=700%2C400&ssl=1 2x"},"classes":[]},{"id":1791,"url":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=1791","url_meta":{"origin":4395,"position":3},"title":"Elipse","author":"Mat\u00edas Raja Ba\u00f1o","date":"mayo 7, 2022","format":false,"excerpt":"\u00a1Qu\u00e9 no cunda el p\u00e1nico! No voy a dar una lecci\u00f3n sobre la elipse partiendo de cero. Para eso ya est\u00e1 la Wikipedia e innumerables blogs did\u00e1cticos. Este post ser\u00e1 s\u00f3lo una reflexi\u00f3n sobre esta curva cl\u00e1sica, en el que contar\u00e9 algunas curiosidades. Una cosa... si esto fuera una conferencia\u2026","rel":"","context":"En \u00abMatem\u00e1ticas\u00bb","block_context":{"text":"Matem\u00e1ticas","link":"https:\/\/matiasraja.es\/?cat=12"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/IMG_5535-scaled.jpg?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/IMG_5535-scaled.jpg?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/IMG_5535-scaled.jpg?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x, https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/IMG_5535-scaled.jpg?resize=700%2C400&ssl=1 2x, https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/IMG_5535-scaled.jpg?resize=1050%2C600&ssl=1 3x, https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/IMG_5535-scaled.jpg?resize=1400%2C800&ssl=1 4x"},"classes":[]},{"id":7191,"url":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=7191","url_meta":{"origin":4395,"position":4},"title":"EDPSF","author":"Mat\u00edas Raja Ba\u00f1o","date":"julio 13, 2024","format":false,"excerpt":"Si un acr\u00f3nimo no es una buena manera de captar la atenci\u00f3n, desarrollar lo que significa EDPSF seguro que no es mucho mejor: Ecuaciones en Derivadas Parciales y Series de Fourier, la asignatura del Grado en Matem\u00e1ticas que he estado impartiendo durante los \u00faltimos tres cursos y que abandono para\u2026","rel":"","context":"En \u00abCiencia popular\u00bb","block_context":{"text":"Ciencia popular","link":"https:\/\/matiasraja.es\/?cat=10"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/piedra-efecto-ondulado-crea-circulos-agua-superficie-estanque_543222-4749.jpg?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/piedra-efecto-ondulado-crea-circulos-agua-superficie-estanque_543222-4749.jpg?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/piedra-efecto-ondulado-crea-circulos-agua-superficie-estanque_543222-4749.jpg?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x"},"classes":[]},{"id":1991,"url":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=1991","url_meta":{"origin":4395,"position":5},"title":"Circunferencias y esferas","author":"Mat\u00edas Raja Ba\u00f1o","date":"junio 23, 2022","format":false,"excerpt":"Ilustraci\u00f3n de Lecciones de Geometr\u00eda de Cirodde, Madrid 1905. Hoy voy a hacer \u201cdivulgaci\u00f3n matem\u00e1tica\u201d. En particular, hablar\u00e9 de circunferencias y esferas, en el sentido m\u00e1s eucl\u00eddeo de la palabra. El detonante de esta ocurrencia ha sido el v\u00eddeo que me envi\u00f3 mi querido amigo Luis Arrufat por WhatsApp, que\u2026","rel":"","context":"En \u00abMatem\u00e1ticas\u00bb","block_context":{"text":"Matem\u00e1ticas","link":"https:\/\/matiasraja.es\/?cat=12"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/600px-Ideal-hyperbolic-triangle-tess.svg_-3.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/600px-Ideal-hyperbolic-triangle-tess.svg_-3.png?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/matiasraja.es\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/600px-Ideal-hyperbolic-triangle-tess.svg_-3.png?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x"},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/matiasraja.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4395","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/matiasraja.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/matiasraja.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matiasraja.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matiasraja.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4395"}],"version-history":[{"count":111,"href":"https:\/\/matiasraja.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4395\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8180,"href":"https:\/\/matiasraja.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4395\/revisions\/8180"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/matiasraja.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4395"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/matiasraja.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4395"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/matiasraja.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4395"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}