{"id":3948,"date":"2022-11-19T17:12:39","date_gmt":"2022-11-19T15:12:39","guid":{"rendered":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=3948"},"modified":"2024-09-30T16:03:24","modified_gmt":"2024-09-30T14:03:24","slug":"area","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=3948","title":{"rendered":"\u00c1rea"},"content":{"rendered":"\n

Hubo un tiempo en el que el referente en divulgaci\u00f3n matem\u00e1tica era Martin Gardner<\/a><\/em>. Es dif\u00edcil encontrar a alguien que haya hecho m\u00e1s por hacer llegar las curiosidades y paradojas de las Matem\u00e1ticas, cl\u00e1sicas o contempor\u00e1neas, al p\u00fablico en general. Lo m\u00e1s curioso es que Martin Gardner no ten\u00eda estudios reglados de Matem\u00e1ticas m\u00e1s all\u00e1 de la high school<\/em>. Ahora la divulgaci\u00f3n matem\u00e1tica se ha erigido en disciplina y los divulgadores profesionales son b\u00e1sicamente monologuistas tem\u00e1ticos<\/em>. No s\u00e9 hasta que punto los divulgadores especializados m\u00e1s conocidos de nuestro pa\u00eds (Claudi Alsina, Clara Grima, Eduardo S\u00e1enz de Cabez\u00f3n, Marta Macho, Santi Garc\u00eda Cremades…) est\u00e1n contribuyendo a las vocaciones matem\u00e1ticas. En este sentido, yo s\u00f3lo puedo hablar del tipo de cosas con las que a m\u00ed me \u00abenganchar\u00edan\u00bb si fuera un joven indeciso. Este post es un ejemplo: hablemos del \u00e1rea<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

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Portada de uno de los libros m\u00e1s populares de Martin Gardner, \u00abParadojas\u00bb, Labor (1989).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Matem\u00e1ticas en la barra de un bar<\/h2>\n\n\n\n

En mi post<\/em> Matem\u00e1ticas y matem\u00e1ticos<\/a> di una versi\u00f3n excesivamente pesimista de qu\u00e9 significa ser matem\u00e1tico entre gente que no lo es. Lo cierto es que muchas veces disfrutamos tanto con nuestro oficio que podemos llegar a hacer apostolado<\/em> de nuestra ciencia en los bares y entre cervezas. Mucha gente recuerda el Teorema de Pit\u00e1goras<\/em> de los tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos con detalle suficiente como para enunciarlo en t\u00e9rminos de catetos<\/em> e hipotenusa<\/em>. Pero nadie recuerda el motivo por el cual el teorema es cierto, en muchos casos, porque nunca le han ense\u00f1ado una demostraci\u00f3n. Es decir, como se deducir\u00eda el Teorema de Pit\u00e1goras a partir de hechos m\u00e1s elementales.<\/p>\n\n\n\n

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Esto es una prueba del teorema de Pit\u00e1goras basada en la noci\u00f3n de \u00e1rea. El dibujo es algo cutre, tal como quedar\u00eda tras dos cervezas o m\u00e1s…<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

En ese momento se saca el bol\u00edgrafo y sobre una servilleta se hacen los dos dibujos representados arriba con la idea de demostrar que el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo de lados a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> satisface el Teorema de Pit\u00e1goras. Los dos cuadrados grandes, de lado a<\/em>+b<\/em>, tienen igual \u00e1rea porque son iguales. Si de cada cuadrado se retiran los cuatro tri\u00e1ngulos, todos ellos iguales al tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo de lados a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> original, lo que quede tras la sustracci\u00f3n deber\u00e1 tener igual \u00e1rea: a la izquierda quedan dos cuadrados de lados a<\/em> y b<\/em>; a la derecha queda un cuadrado de lado c. Por lo tanto a<\/em>2 <\/sup>+ b<\/em>2<\/sup> = c<\/em>2<\/sup> \u00bfNo es sorprendentemente sencillo?<\/p>\n\n\n\n

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Demostraci\u00f3n del Teorema de Pit\u00e1goras basada en semejanza de tri\u00e1ngulos, tomada de Coxeter \u00abFundamentos de Geometr\u00eda\u00bb, LIMUSA-WHILEY (1971).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Sin embargo, el \u00abprincipio de conservaci\u00f3n del \u00e1rea\u00bb al que hemos apelado parece m\u00e1s sencillo que el Teorema de Pit\u00e1goras porque es una extrapolaci\u00f3n de nuestra experiencia cotidiana: si un kilo de harina se separa en tres porciones y se pesan cada una de ellas con la mayor precisi\u00f3n posible que puede proporcionar una b\u00e1scula digital de cocina podemos asegurar que los tres n\u00fameros sumaran 1000 gramos, y si el resultado es inferior (999 \u00f3 998) ser\u00e1 culpa del redondeo o de algo de polvo de harina que se ha derramado. La Ley de Conservaci\u00f3n de la Materia<\/a> en el contexto qu\u00edmico fue formulada por Lavoisier<\/em> y Lomonosov<\/em>, independientemente en el siglo XVIII, y corregida por Einstein a\u00f1adiendo el balance energ\u00e9tico por medio de la f\u00f3rmula de conversi\u00f3n E<\/em>=mc<\/em>2<\/sup>.<\/p>\n\n\n\n

Unas cervezas despu\u00e9s…<\/h2>\n\n\n\n

Queremos convencer a nuestro interlocutor de que la noci\u00f3n de \u00e1rea en Matem\u00e1ticas posiblemente no se comporte con la misma fiabilidad que la materia en el mundo real. Le preguntamos por el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo y responde casi sin pensar \u00abla mitad de la base por altura\u00bb… Pero eso depender\u00e1 de como est\u00e9 apoyado el tri\u00e1ngulo \u00bfno? – podr\u00edamos argumentarle. Aprovechamos el breve momento de desconcierto para tomar una nueva servilleta de papel y lanzar un nuevo ataque en forma del siguiente dibujo.<\/p>\n\n\n\n

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Cuadrado de lado 13 descompuesto en tri\u00e1ngulos y trapecios.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Partimos de un cuadrado de lado 13 y se descompone en piezas tal como se muestra arriba. Si se tuviera una regla y unas tijeras, se podr\u00eda llevar a la pr\u00e1ctica la reorganizaci\u00f3n de los trozos de papel que ilustra el siguiente dibujo.<\/p>\n\n\n\n

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Reorganizaci\u00f3n de los trozos de la descomposici\u00f3n del cuadrado de lado 13.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

\u00bfQu\u00e9 tiene esto de particular? El cuadrado original de lado 13 tiene \u00e1rea 169 mientras que el rect\u00e1ngulo de dimensiones 21×8 tiene \u00e1rea 168… algo no cuadra. Tenemos tanta confianza en la conservaci\u00f3n del \u00e1rea que seguro que hay truco. En efecto, la aparente diagonal del rect\u00e1ngulo no es una l\u00ednea, sino que tiene \u00e1rea positiva<\/em>, ya que los tri\u00e1ngulos y los trapecios no est\u00e1n perfectamente alineados. Sin embargo, la diferencia es tan sutil que queda encubierta por la tinta del bol\u00edgrafo, o por la imperfecci\u00f3n del corte del papel si se ha llevado a la pr\u00e1ctica. Por cierto, este ejemplo lo aprend\u00ed en el libro de Martin Gardner que menciono al principio.<\/p>\n\n\n\n

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Otro \u00abtruco\u00bb de recomposici\u00f3n de rect\u00e1ngulos en el libro de Martin Gardner, en este caso, para hacer desaparecer una quemadura de un alfombra.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

El \u00e1rea de los pol\u00edgonos<\/h2>\n\n\n\n

A nuestros colegas del bar hay que dejarles claro que si bien el \u00e1rea satisface un cierto principio de conservaci\u00f3n, se trata de una cuesti\u00f3n delicada y que es preferible remitir la prueba del teorema de Pit\u00e1goras a argumentos m\u00e1s simples como la semejanza de tri\u00e1ngulos. En cuanto a las magnitudes<\/em>, es decir, longitudes, \u00e1ngulos, \u00e1reas, vol\u00famenes…, lo que se hace es atribuir un n\u00famero, llamado su medida<\/em>, que depender\u00e1 de la unidad que se establezca y de la complejidad del objeto a medir. Para no desviarnos mucho del asunto, seguiremos con la fundamentaci\u00f3n rigurosa<\/em> de la noci\u00f3n de \u00e1rea.<\/p>\n\n\n\n

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Comienzo del cap\u00edtulo dedicado al \u00e1rea en el \u00abCurso de Geometr\u00eda M\u00e9trica\u00bb de Pedro Puig Adam.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

En un nivel elemental, puede demostrarse que a los pol\u00edgonos del plano se les puede asignar una medida de \u00e1rea que cumple la \u00abley de conservaci\u00f3n\u00bb siguiente: si un pol\u00edgono se descompone como uni\u00f3n de una cantidad finita de pol\u00edgonos que no se solapan, entonces la suma de sus \u00e1reas es la del pol\u00edgono inicial. Esto es un teorema<\/em>, como el de Pit\u00e1goras, que debe ser demostrado en el marco de las Matem\u00e1ticas, es decir, sin pretender que los pol\u00edgonos puedan ser recortados en chapa de acero, por ejemplo, y apelar a la Ley de Conservaci\u00f3n de la Materia.<\/p>\n\n\n\n

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P\u00e1gina de \u00abFiguras equivalentes y equicompuestas\u00bb de V. G. Boltianski, Ed. MIR (1981).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Naturalmente, si dos pol\u00edgonos pueden descomponerse en los mismos trozos no solapados deben tener igual \u00e1rea. El rec\u00edproco resulta ser tambi\u00e9n cierto, es decir, si dos pol\u00edgonos tienen igual \u00e1rea, entonces es posible descomponer uno de ellos en trozos de manera que, reorganizados convenientemente, se obtiene el otro pol\u00edgono<\/strong>. Este es el llamado teorema de Bolyai-Gerwien. Notemos que \u00abreorganizado convenientemente\u00bb significa que los trozos son trasladados y rotados, como har\u00edamos con las piezas de un puzzle<\/em>. Un refinamiento debido a Hadwiger y Glur establece que bastan traslaciones y rotaciones de 180 grados. Los matem\u00e1ticos son bastante dados a los \u201crefinamientos\u201d, en este caso no referimos a buscar las hip\u00f3tesis m\u00e1s d\u00e9biles a partir de las cuales se puede obtener una misma conclusi\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

Los problemas de Hilbert<\/h2>\n\n\n\n

Durante el Congreso Internacional de Matem\u00e1ticos de 1900 en Par\u00eds, el insigne matem\u00e1tico alem\u00e1n David Hilbert<\/a> formul\u00f3 23 problemas que \u00e9l consideraba interesantes como \u201cprop\u00f3sitos de siglo nuevo\u201d. Y, en cierto modo, alguno de esos problemas fue fundamental como gu\u00eda o inspiraci\u00f3n de las Matem\u00e1ticas del siglo XX. Sin embargo, el problema n\u00famero 3 fue resuelto ese mismo a\u00f1o por, Max Dehn<\/a>, un alumno del propio Hilbert. El problema consist\u00eda en saber si un cubo se pod\u00eda descomponer el poliedros de manera que reorganiz\u00e1ndolos se pudiera obtener un tetraedro, obviamente del mismo volumen.<\/p>\n\n\n\n

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Descomposici\u00f3n de un cubo en varios poliedros, tomado del libro de Boltianski citado arriba.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

La soluci\u00f3n de dada por Dehn fue negativa<\/em>, es decir, cubo y tetraedro del mismo volumen no son equidescomponibles. Las pruebas de imposibilidad son, por lo general, mucho m\u00e1s sutiles que las de posibilidad. De manera similar, las desigualdades en Matem\u00e1ticas suelen ser m\u00e1s profundas que las igualdades (hablo de f\u00f3rmulas<\/em>). El resultado de Dehn muestra que no puede haber una \u00abteor\u00eda elemental\u00bb del volumen de poliedros an\u00e1loga a la del \u00e1rea de pol\u00edgonos del plano. Para relacionar el volumen de una pir\u00e1mide con el de un prisma de igual base y altura hay que cruzar un abismo conceptual parecido al que separa un c\u00edrculo de un pol\u00edgono regular de igual \u00e1rea. Hay que hacerse a la idea de que los pol\u00edgonos o los poliedros no llegan demasiado lejos… Pero \u00bfqu\u00e9 objetos geom\u00e9tricos son susceptibles de ser medidos?<\/p>\n\n\n\n

La Teor\u00eda de Conjuntos<\/h2>\n\n\n\n

Los pol\u00edgonos y otros objetos geom\u00e9tricos del plano son conjuntos de puntos. Esto puede parecer una obviedad, pero adoptar el punto de vista conjuntista fue uno de los mayores avances en las Matem\u00e1ticas. A partir de conjuntos dados, se pueden formar otros usando operaciones como la uni\u00f3n o la intersecci\u00f3n, resultando conjuntos cada vez m\u00e1s complejos. La Teor\u00eda de Conjuntos creada por George Cantor<\/a> a finales del siglo XIX tuvo un profundo efecto en la fundamentaci\u00f3n de las teor\u00edas matem\u00e1ticas en el siglo XX, que alcanz\u00f3 incluso a las matem\u00e1ticas escolares.<\/p>\n\n\n\n

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G. Pappy \u00abMatem\u00e1tica Moderna\u00bb, EUDEBA (1972), libro de Matem\u00e1ticas para las escuelas con una notable insistencia en el leguaje de la Teor\u00eda de Conjuntos. <\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Podemos plantearnos si el \u00e1rea de un conjunto tiene relaci\u00f3n con la cantidad de puntos que contiene, ya que, aparentemente, un conjunto mayor tiene m\u00e1s puntos que uno m\u00e1s peque\u00f1o, a pesar de que ambos pueden tener infinitos puntos<\/em>. Aunque este no es el sitio para reproducir las discusiones de los antiguos fil\u00f3sofos griegos sobre la noci\u00f3n de infinito, la infinitud de los n\u00fameros o los puntos de una recta nos resulta obvia. Uno de los descubrimientos de Cantor fue que hab\u00eda infinitos de distintos tama\u00f1os. De hecho, demostrar que hay m\u00e1s puntos en un segmento de recta que n\u00fameros naturales<\/strong> (1, 2, 3…), o que un cuadrado y un segmento<\/strong> tienen la misma cantidad<\/strong> de puntos, se puede hacer en la barra de un bar sobre una servilleta…<\/p>\n\n\n\n

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El \u00abHotel del Infinito\u00bb, historieta inventada por David Hilbert para ilustrar la noci\u00f3n de infinitud, tal como se encuentra expuesta en el libro de Martin Gardner.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Las paradojas a las que da lugar el infinito son muy interesantes (v\u00e9anse las Paradojas de Zen\u00f3n<\/a> o el Hotel del Infinito de Hilbert, ilustraci\u00f3n de arriba), pero no quiero desviarme demasiado del tema. El \u00e1rea, realmente, no tiene mucho que ver con la cantidad de puntos (como se pudo<\/em> mostrar sobre una servilleta), pero entre los diferentes infinitos usaremos el m\u00e1s peque\u00f1o<\/em>, esto es, el de los n\u00fameros naturales (insisto, los n\u00fameros de contar<\/em>: 1,2,3…). Diremos que un conjunto es numerable<\/em> si sus elementos se pueden etiquetar usando los n\u00fameros naturales. Notemos que esta definici\u00f3n incluye los conjuntos finitos, pero no insistiremos mucho en la diferencia, \u00e7a<\/em> va de soi<\/em>. <\/p>\n\n\n\n

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Vi\u00f1eta, \u00abpoliticamente incorrecta\u00bb hoy d\u00eda, tomada de George Gamow \u00abOne, two, three… infinity\u00bb, Dover (1974).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

La Teor\u00eda de la Medida<\/h2>\n\n\n\n

Un c\u00edrculo puede expresarse como una uni\u00f3n numerable de tri\u00e1ngulos: primero un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero inscrito; despu\u00e9s se a\u00f1aden tres tri\u00e1ngulos is\u00f3sceles cuyas bases sean los del primero y sus v\u00e9rtices tocan la circunferencia; despu\u00e9s, seis tri\u00e1ngulos m\u00e1s ocupando cada una de las l\u00fanulas no cubiertas por el hex\u00e1gono resultante… El proceso de rellenado por tri\u00e1ngulos del c\u00edrculo puede verse en la siguiente ilustraci\u00f3n. La numerabilidad es consecuencia de que en cada paso se a\u00f1ade una cantidad finita de tri\u00e1ngulos.<\/p>\n\n\n\n

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C\u00f3mo rellenar un c\u00edrculo con tri\u00e1ngulos (imagen tomada de Scielo http:\/\/ve.scielo.org\/scielo.php)<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Aunque es un ejemplo particular, el mismo argumento se puede emplear para rellenar con pol\u00edgonos cualquier figura limitada por curvas. Esto nos induce a pensar que si el \u00e1rea fuera \u00abnumerablemente aditiva\u00bb se simplificar\u00eda, por lo menos a nivel te\u00f3rico, las relaciones entre las \u00e1reas de conjuntos del plano, a costa de sustituir las sumas finitas por series<\/em>. Es decir, si un conjunto se expresa como una uni\u00f3n numerable de partes disjuntas, el \u00e1rea del total se expresar\u00e1 como la suma finita o infinita (serie) de las \u00e1reas de las partes. No es razonable tratar de ir m\u00e1s lejos, a la hora de tomar uniones, del infinito numerable. En efecto, cualquier pol\u00edgono es una uni\u00f3n de puntos, cada uno con \u00e1rea cero, y no hay forma de conseguir un n\u00famero positivo a base de sumar ceros \ud83d\ude15<\/p>\n\n\n\n

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Ejemplos de series (sumas infinitas) tomado de Brohshtein y Semendiaev \u00abManual de Matem\u00e1ticas para ingenieros y estudiantes\u00bb, MIR (1973).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

A la vez que se admiten uniones numerables, la complejidad de los conjuntos aumenta y la noci\u00f3n de \u00ab\u00e1rea\u00bb se vuelve menos intuitiva. No obstante, Henri Lebesgue<\/a> demostr\u00f3 en 1904 que hay una forma coherente de asignar medida a familias de conjuntos de la recta, del plano o el espacio, sin restricci\u00f3n por operaciones conjuntistas (uniones, intersecciones, diferencias) en cantidad numerable. La Teor\u00eda de la Medida de Lebesgue se contin\u00faa y complementa con la integral que lleva su nombre, que es una de las principales herramientas en An\u00e1lisis Funcional<\/a><\/em>.<\/p>\n\n\n\n

El milagro de los panes, los peces y las esferas<\/h2>\n\n\n\n

El procedimiento que emple\u00f3 Lebesgue para definir una medida de \u00e1rea aplicable a un gran n\u00famero de conjuntos del plano era esencialmente constructivo. Si se admite cierta regla no constructiva para la formaci\u00f3n de conjuntos, es posible encontrar (realmente, \u00abfabricar\u00bb) un conjunto no medible<\/em>. Las regla no constructiva a la que nos referimos es el llamado \u00abAxioma de Elecci\u00f3n\u00bb de la Teor\u00eda de Conjuntos, al que pondremos en contexto en la pr\u00f3xima secci\u00f3n. A pesar de la existencia de conjuntos no medibles en el plano, es todav\u00eda posible asignar una medida finitamente aditiva<\/strong> (renunciamos a las uniones numerables y a las series) a los conjuntos del plano de manera que se comporta como el \u00e1rea. Esto fue demostrado en 1923 por Stefan Banach<\/a>, padre<\/em> de los espacios que llevan su nombre, haciendo uso del Axioma de Elecci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

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Ilustraci\u00f3n de la Paradoja de Banach-Tarski tomada de Wikipedia<\/a>.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Pero si nos situamos en el espacio tridimensional, la cosa cambia dr\u00e1sticamente. Banach y Tarski demostraron que una esfera puede descomponerse en una cantidad finita de trozos (10, sin ir m\u00e1s lejos) de tal manera que, convenientemente trasladados y rotados, componen dos esferas, exactamente iguales a la original. Este resultado conocido como la \u00abParadoja de Banach-Tarski\u00bb es el equivalente matem\u00e1tico del c\u00e9lebre milagro de los panes y los peces recogido en los evangelios. Insistimos en que esto es un resultado puramente matem\u00e1tico<\/em> y no viola la Ley de Conservaci\u00f3n de la Materia. La Paradoja de Banach-Tarski implica la imposibilidad de una medida de volumen definida para todos<\/strong> los conjuntos del espacio: asunto cerrado. Por cierto, dije m\u00e1s arriba que las demostraciones de no existencia eran en general m\u00e1s sutiles que las de existencia… me retracto \ud83d\ude09<\/p>\n\n\n\n

Y dijo G\u00f6del…<\/h2>\n\n\n\n

La Teor\u00eda de Conjuntos que fund\u00f3 Cantor se conoce como la \u00abTeor\u00eda Ingenua de Conjuntos\u00bb (Naive Set Theory<\/a><\/em>, por el libro de Halmos) en la que los conjuntos se manejan como objetos compuestos de elementos previamente existentes y con propiedades n\u00edtidas. El car\u00e1cter sumamente elemental de la noci\u00f3n de conjunto, a partir de la cual se pueden definir las relaciones, los n\u00fameros, las funciones… motiv\u00f3 tomar la Teor\u00eda de Conjuntos como \u00abpiedra fundacional\u00bb de las Matem\u00e1ticas. Para ello, ser\u00eda necesario definirla axiom\u00e1ticamente. La dificultad de la tarea fue puesta de manifiesto por la Paradoja de Russell<\/a>, que no es m\u00e1s que la versi\u00f3n conjuntista de la m\u00e1s popular \u00abParadoja del Barbero\u00bb (ver ilustraci\u00f3n).<\/p>\n\n\n\n

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La Paradoja del Barbero, seg\u00fan Martin Gardner.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

La versi\u00f3n de la Teor\u00eda de Conjuntos m\u00e1s aceptada se debe a Zermelo y Fraenkel, siendo el \u00faltimo de los axiomas el de Elecci\u00f3n. Por motivos que no voy a desentra\u00f1ar aqu\u00ed, el Axioma de Elecci\u00f3n se considera como algo opcional por lo que su uso se hace expl\u00edcito denotando la Teor\u00eda de Conjuntos como ZFC (Zermelo-Fraenkel + Choice). Sin embargo, ZFC no es un cimiento de las Matem\u00e1ticas tan firme como ser\u00eda deseable. Kurt G\u00f6del<\/a> en su breve tesis doctoral (1930) demostr\u00f3 que cualquier teor\u00eda axiom\u00e1tica que incluya a la Aritm\u00e9tica (dese ZFC por aludida) contiene \u00abproposiciones indecidibles\u00bb, es decir, afirmaciones cuya veracidad o falsedad no puede ser establecida<\/strong> dentro de los l\u00edmites de la teor\u00eda.<\/p>\n\n\n\n

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Kurt G\u00f6del con Albert Einstein, en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (Science Photo Library). <\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

El as\u00ed llamado Teorema de Incompletitud<\/em> de G\u00f6del abre la puerta a seguir a\u00f1adiendo axiomas a ZFC, aunque la teor\u00eda seguir\u00e1 siendo incompleta. Tampoco parece algo necesario, porque estas sutilezas afectan \u00fanicamente a la Teor\u00eda de Conjuntos y no perjudican a las \u00abMatem\u00e1ticas normales\u00bb ni al \u00abmundo real\u00bb… \u00bfO quiz\u00e1s s\u00ed? En 2016 tres matem\u00e1ticos, entre ellos nuestro apreciado David P\u00e9rez Garc\u00eda <\/a>(UCM-ICMAT), publicaron un art\u00edculo en Nature<\/a><\/em> en el que demuestran que cierto problema de la Mec\u00e1nica Cu\u00e1ntica<\/em> (la teor\u00eda F\u00edsica que rige los fen\u00f3menos a nivel at\u00f3mico) es indecidible<\/strong>. Esto fue nada menos que un shock<\/em>: el principio de G\u00f6del interviene tambi\u00e9n en las leyes que rigen el Mundo. Sin embargo, que las leyes de los Hombres ser\u00e1n siempre incompletas, es algo que ya ten\u00eda m\u00e1s que asumido.<\/p>\n\n\n\n

Ep\u00edlogo<\/h2>\n\n\n\n

Martin Gardner fue una gran influencia para m\u00ed antes de comenzar a estudiar la carrera de Matem\u00e1ticas. Podr\u00eda atribuirle parte de responsabilidad en esta decisi\u00f3n, incluso. Ahora yo intento hacer divulgaci\u00f3n a mi manera, pero sin olvidar a mis maestros. Sobre el tema de este post<\/em>, reconozco que por la razonable limitaci\u00f3n de espacio, la longitud de los p\u00e1rrafos y la prudencia a la hora de introducir nuevos conceptos, me he dejado innumerables (esta vez la palabra en el sentido de la RAE<\/a>) detalles, an\u00e9cdotas, conexiones con otros temas… sin tratar. Si quieren saber m\u00e1s, \u00a1ll\u00e9venme a un bar!<\/strong><\/p>\n\n\n\n

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Tambi\u00e9n se pueden leer libros… el de la derecha contiene la prueba de la Paradoja de Banach-Tarski.<\/figcaption><\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Hubo un tiempo en el que el referente en divulgaci\u00f3n matem\u00e1tica era Martin Gardner. Es dif\u00edcil encontrar a alguien que haya hecho m\u00e1s por hacer llegar las curiosidades y paradojas de las Matem\u00e1ticas, cl\u00e1sicas o contempor\u00e1neas, al p\u00fablico en general. Lo m\u00e1s curioso es que Martin Gardner no ten\u00eda estudios reglados de Matem\u00e1ticas m\u00e1s all\u00e1 … Continuar leyendo \u00ab\u00c1rea\u00bb<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[12],"tags":[],"class_list":["post-3948","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematicas"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/s9XVBt-area","jetpack-related-posts":[{"id":1419,"url":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=1419","url_meta":{"origin":3948,"position":0},"title":"Matem\u00e1ticas y matem\u00e1ticos","author":"Mat\u00edas Raja Ba\u00f1o","date":"febrero 15, 2022","format":false,"excerpt":"Durante mucho tiempo he sentido cierta aversi\u00f3n a presentarme como matem\u00e1tico ante un grupo de desconocidos. 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