{"id":1991,"date":"2022-06-23T16:03:42","date_gmt":"2022-06-23T14:03:42","guid":{"rendered":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=1991"},"modified":"2022-06-24T17:06:43","modified_gmt":"2022-06-24T15:06:43","slug":"circunferencias-y-esferas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=1991","title":{"rendered":"Circunferencias y esferas"},"content":{"rendered":"\n
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Ilustraci\u00f3n de Lecciones de Geometr\u00eda de Cirodde, Madrid 1905.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Hoy voy a hacer \u201cdivulgaci\u00f3n matem\u00e1tica<\/em>\u201d. En particular, hablar\u00e9 de circunferencias y esferas, en el sentido m\u00e1s eucl\u00eddeo<\/a><\/em> de la palabra. El detonante de esta ocurrencia ha sido el v\u00eddeo que me envi\u00f3 mi querido amigo Luis Arrufat por WhatsApp<\/em>, que podr\u00e9is ver a continuaci\u00f3n (el v\u00eddeo est\u00e1 incrustado<\/em> en la p\u00e1gina, en caso de problemas para visualizarlo pod\u00e9is verlo tambi\u00e9n en YouTube<\/a><\/em>). S\u00f3lo una advertencia, las hipn\u00f3ticas im\u00e1genes enganchan.<\/p>\n\n\n\n

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Si hab\u00e9is visto con detenimiento el v\u00eddeo, cada bola blanca (\u00abpelota\u00bb en la lamentable traducci\u00f3n) se mueve en una l\u00ednea recta, pero conjuntamente se \u00abperciben\u00bb como rodando dentro del c\u00edrculo rojo. Yo tratar\u00eda de discernir aqu\u00ed si el problema es realmente la percepci\u00f3n<\/em> o lo que se entiende normalmente por rodar<\/em>. Por ejemplo, considerad la rueda de una bicicleta que se desplaza por un camino recto y llano. Pues bien, ni uno s\u00f3lo de sus puntos describe una trayectoria circular: el buje se mueve en l\u00ednea recta, mientras que un punto en el neum\u00e1tico describe una trayectoria con forma de cicloide<\/a><\/em>. Sin embargo, nadie discute si la rueda da vueltas o si est\u00e1 rodando \u00bfno?<\/p>\n\n\n\n

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Curva cicloide producida por la rueda de una bicicleta (imagen tomada de https:\/\/robadabambini.blogspot.com)<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Una discusi\u00f3n tan similar como infructuosa es la de si la luna gira sobre s\u00ed misma, o no lo hace, ya que en su recorrido mensual alrededor de la tierra siempre presenta a un observador terrestre la misma cara. Como esto no va de Psicolog\u00eda ni Filosof\u00eda o Astronom\u00eda, sino de Matem\u00e1ticas, lo primero que har\u00e9 ser\u00e1 aclarar por qu\u00e9 si una circunferencia rueda dentro de un c\u00edrculo con el doble de di\u00e1metro todos sus puntos describen trayectorias rectil\u00edneas.<\/p>\n\n\n\n

Una explicaci\u00f3n sencilla<\/h2>\n\n\n\n

En la escuela se ense\u00f1a que los tres \u00e1ngulos (internos) de un tri\u00e1ngulo suman un \u00e1ngulo llano<\/em> (180 grados sexagesimales). Otra cosa bien diferente es si alguna vez nos han dado una explicaci\u00f3n razonada, o razonable, de este aserto. En Geometr\u00eda, como en cualquier otra teor\u00eda matem\u00e1tica hay que partir de unos principios que se dan por ciertos (postulados o axiomas). El hecho de que la suma de \u00e1ngulos de un tri\u00e1ngulo arroja siempre el mismo valor emana directamente del llamado \u00abPostulado de las Paralelas<\/a><\/em>\u00bb (tambi\u00e9n conocido como El Quinto Postulado<\/em>) que afirma que, en el plano, dados una recta y un punto fuera de ella, s\u00f3lo se puede trazar una paralela a la recta dada pasando por dicho punto. El dibujo a continuaci\u00f3n ilustra como se relaciona la suma de \u00e1ngulos con el Postulado de las Paralelas.<\/p>\n\n\n\n

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Tras trazar una paralela a un lado del tri\u00e1ngulo por el v\u00e9rtice opuesto, resulta que los \u00e1ngulos rojos (alfa) son iguales, y lo mismo ocurre con los azules (beta), por lo que se pueden transportar a la parte superior del dibujo y sumados al \u00e1ngulo negro dan como resultado un \u00e1ngulo llano. <\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

No voy a enga\u00f1ar al lector: estoy ocultando algunas dificultades de manera deliberada. Por ejemplo, lo que se entiende por \u00ab\u00e1ngulo<\/em>\u00bb en Matem\u00e1ticas. No entrar\u00e9 en ese jard\u00edn porque todo el mundo entiende de manera intuitiva el \u00e1ngulo como cierto tipo de magnitud geom\u00e9trica expresable en una escala num\u00e9rica (de hecho, en la pr\u00e1ctica se mide con un goni\u00f3metro<\/em> o un transportador de \u00e1ngulos<\/em>). Ahora mostrar\u00e9 una curiosa propiedad de los \u00e1ngulos en una circunferencia.<\/p>\n\n\n\n

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El \u00e1ngulo rojo \u00abbeta\u00bb es exactamente el doble del \u00e1ngulo negro \u00abalfa\u00bb.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

El dibujo arriba ilustra la siguiente propiedad: cada vez que se da una circunferencia de centro X<\/strong>, un di\u00e1metro de ella con uno de sus extremos llamado O<\/strong> y un punto A<\/strong> en la circunferencia, el \u00e1ngulo que forma el segmento XA<\/strong> con el di\u00e1metro por la parte opuesta a O<\/strong> es exactamente el doble del \u00e1ngulo que forma el segmento OA<\/strong> con el di\u00e1metro en O<\/strong>. La prueba es muy sencilla, pero el limitado editor de texto de la web no me permite usar s\u00edmbolos, as\u00ed que dar\u00e9 el esquema argumental insertando una nota manuscrita, como si estuviera en clase usando una pizarra.<\/p>\n\n\n\n

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Argumento de mi pu\u00f1o y letra… lo siento, no soy cal\u00edgrafo.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

He apelado a otro resultado que en la pr\u00e1ctica parece evidente, pero no lo es tanto su demostraci\u00f3n: si un tri\u00e1ngulo tiene dos lados iguales (llamado en tal caso is\u00f3sceles<\/em>), los \u00e1ngulos opuestos a ellos son iguales entre s\u00ed. El propio Euclides<\/em><\/a> dio una demostraci\u00f3n bastante aparatosa que inclu\u00eda como \u00abbonus track\u00bb una construcci\u00f3n geom\u00e9trica que lejanamente puede parecer un puente. Pons asinorum<\/a><\/em> (el puente de los burros) se ha llamado popularmente, porque hab\u00eda que pasar por \u00e9l para \u00abdesasnarse\u00bb y aprender la Geometr\u00eda. Ya estamos en condiciones de explicar lo que pasa en el v\u00eddeo con el que comenz\u00e1bamos el post de hoy.<\/p>\n\n\n\n

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Los arcos coloreados tienen la misma longitud por que el de la circunferencia cuyo di\u00e1metro es la mitad corresponde a un \u00e1ngulo que es el doble.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

El dibujo muestra dos c\u00edrculos siendo el di\u00e1metro del grande el doble del peque\u00f1o. Los dos \u00e1ngulos marcados est\u00e1n tambi\u00e9n en relaci\u00f3n de ser uno el doble del otro, s\u00f3lo que el \u00e1ngulo mayor est\u00e1 en la circunferencia peque\u00f1a. Eso hace que los dos arcos coloreados tengan la misma longitud, los que puede interpretarse de la manera siguiente: si el circulo peque\u00f1o rueda hacia abajo, el punto B<\/strong> ir\u00e1 a parar directamente al O<\/strong>, y de hecho se situar\u00e1 siempre sobre el di\u00e1metro vertical porque el razonamiento se puede hacer con cualquier \u00e1ngulo o posici\u00f3n de partida.<\/p>\n\n\n\n

\u00c1ngulos inscritos y f\u00fatbol <\/h2>\n\n\n\n

El resultado sobre \u00e1ngulos que ha sido clave en la secci\u00f3n anterior, tiene m\u00e1s consecuencias. Si dada una circunferencia con uno de sus di\u00e1metros, hacemos la construcci\u00f3n anterior del \u00e1ngulo y su doble a cada lado obtenemos sum\u00e1ndolos un \u00e1ngulo con un v\u00e9rtice en la circunferencia y otro que mide exactamente el doble con su v\u00e9rtice en el centro. Esta construcci\u00f3n es reversible en el sentido que si partimos de un \u00e1ngulo con un v\u00e9rtice sobre la circunferencia y que engloba al centro de \u00e9sta podemos deducir que el \u00e1ngulo con v\u00e9rtice en el centro de la circunferencia y que abarca el mismo arco de \u00e9sta debe ser el doble. A los \u00e1ngulos con un v\u00e9rtice en una circunferencia nos referiremos como inscritos<\/em> en ella.<\/p>\n\n\n\n

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A cada lado del di\u00e1metro se aplica la regla anterior: el \u00e1ngulo inscrito que tiene un di\u00e1metro por lado es la mitad del \u00e1ngulo centrado. La suma sigue guardando la misma proporci\u00f3n, pero tambi\u00e9n la diferencia.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

La restricci\u00f3n de que el centro de la circunferencia est\u00e9 comprendido en el \u00e1ngulo inscrito puede evitarse. En efecto, igual que se argumenta con la suma se puede hacer tambi\u00e9n con la diferencia. As\u00ed cualquier \u00e1ngulo inscrito es exactamente la mitad del \u00e1ngulo centrado en la circunferencia que abarca el mismo arco. Consecuentemente, todos los \u00e1ngulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales entre s\u00ed (suele llamarse capaz<\/em> a este arco). El dibujo explica muy bien este hecho.<\/p>\n\n\n\n

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Todos los \u00e1ngulos que abarcan el mismo arco de circunferencia (el que va entre A y B) miden lo mismo (alfa).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Este bonito principio geom\u00e9trico tiene una inesperada aplicaci\u00f3n al f\u00fatbol… OMG!<\/em> \ud83d\ude15 Empiezo a parecerme a Jos\u00e9 Manuel L\u00f3pez Nicol\u00e1s<\/a><\/em> (espero que para bien). Un jugador corre con el bal\u00f3n por una l\u00ednea paralela a la banda \u00bfen qu\u00e9 momento ver\u00e1 la porter\u00eda rival con un \u00e1ngulo m\u00e1ximo? El problema tiene una soluci\u00f3n trivial si la l\u00ednea entra en la porter\u00eda: una vez que est\u00e1 dentro. En otro caso, nuestras consideraciones sobre \u00e1ngulos inscritos en circunferencias permiten resolver el problema de forma muy elegante.<\/p>\n\n\n\n

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El jugador (punto rojo) avanza por la l\u00ednea negra horizontal hacia la porter\u00eda (azul). La ver\u00e1 bajo un \u00e1ngulo m\u00e1ximo cuando se sit\u00fae en el punto de tangencia de la circunferencia que pasa por los postes de la porter\u00eda y es tangente al recorrido del jugador.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

El motivo por el que el punto de tangencia da la soluci\u00f3n al problema del jugador es el siguiente: cualquier otro punto antes o despu\u00e9s de \u00e9ste corresponder\u00e1 a un \u00e1ngulo inscrito en una circunferencia de radio mayor. El correspondiente arco capaz tiene la misma cuerda (la anchura de la porter\u00eda) pero al ser m\u00e1s grande la circunferencia el \u00e1ngulo es menor. <\/p>\n\n\n\n

Newton y la atracci\u00f3n de las esferas<\/h2>\n\n\n\n

Estamos lejos de haber sacado todo el pringue a los \u00e1ngulos inscritos y a los arcos capaces. Observemos la construcci\u00f3n dada el el siguiente esquema: dos cuerdas de una circunferencia se cortan en un punto y las completamos con sendos segmentos para formar dos tri\u00e1ngulos: A<\/strong> y B<\/strong>. Resulta que los tri\u00e1ngulos son semejantes, es decir, tienen iguales sus tres \u00e1ngulos. En efecto, los \u00e1ngulos opuestos por el v\u00e9rtice son iguales. Pero tambi\u00e9n los otros pues pueden verse como \u00e1ngulos inscritos con el mismo arco capaz.<\/p>\n\n\n\n

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Los tri\u00e1ngulos A y B son semejantes. Es decir, ser\u00edan semejantes si el dibujo estuviera bien hecho.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Newton<\/em> andaba tratando de resolver el problema de la atracci\u00f3n gravitoria entre los astros, sabiendo que las masas puntuales satisfacen la ley del inverso del cuadrado de la distancia. Los planetas y las estrellas son asimilables a bolas s\u00f3lidas que pueden considerarse compuestas de capas esf\u00e9ricas al igual que una cebolla. El genio ingl\u00e9s sab\u00eda que le bastaba resolver el problema para una esfera hueca cuya masa est\u00e1 repartida homog\u00e9neamente en su superficie. El caso m\u00e1s sencillo de tratar es la evaluaci\u00f3n de la fuerza atractiva cuando la masa est\u00e1 dentro de la esfera, que no responde a una situaci\u00f3n astron\u00f3mica.<\/p>\n\n\n\n

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El arco azul azul atraer\u00eda al punto P con la misma fuerza, pero opuesta, que el arco rojo si la intensidad fuera inversamente proporcional a la distancia.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

La soluci\u00f3n del problema viene dada por una lectura adecuada de la semejanza de los tri\u00e1ngulos enfrentados con la que hemos comenzado la secci\u00f3n. Si el \u00e1ngulo que forman las cuerdas entre s\u00ed es peque\u00f1o, podemos cambiar los sendos lados de los tri\u00e1ngulos por arcos de circunferencia. Si cada arco (A<\/strong>, B<\/strong>) atrajera al punto P<\/strong> con una fuerza inversamente proporcional a la distancia a la que se encuentra, ambas fuerzas se compensar\u00edan por la semejanza de los tri\u00e1ngulos anteriormente descrita. Como la circunferencia se puede descomponer completamente en pares de arcos similares, la fuerza neta sobre el punto P<\/strong> es nula. Ahora bien \u00bfno era la Ley de Gravitaci\u00f3n<\/a><\/em> proporcional al cuadrado del inverso de la distancia? Si abandonamos en contexto plano para ir al espacial, en lugar de arcos de circunferencia tendremos casquetes de esfera. Las \u00e1reas son proporcionales al cuadrado de las longitudes, por lo que la compensaci\u00f3n se producir\u00e1 si la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Ahora todo cuadra.<\/p>\n\n\n\n

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P\u00e1gina de la edici\u00f3n en espa\u00f1ol de los Principia de Newton donde discute la atracci\u00f3n dentro de una esfera homog\u00e9nea (Tecnos 2011<\/em>).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Insistamos en que la diferencia entre los tri\u00e1ngulos rectil\u00edneos y los que usan arcos de circunferencia es que los primeros son realmente semejantes, mientras que los segundos s\u00f3lo lo son de manera aproximada<\/em>. Esta aproximaci\u00f3n es mejor cuanto m\u00e1s estrecho es el \u00e1ngulo, lo que viene a ser como sustituir el arco de circunferencia por su cuerda en el razonamiento. Esto es un argumento de tipo infinitesimal como los que ya empleaba Arqu\u00edmedes<\/a><\/em> en el c\u00e1lculo de \u00e1reas, vol\u00famenes y centros de masa. Despu\u00e9s de Newton, los m\u00e9todos infinitesimales se sistematizaron dando lugar a la rama de las Matem\u00e1ticas llamada An\u00e1lisis<\/a><\/em>.<\/p>\n\n\n\n

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En el estudio del efecto gravitatorio de las esfera homog\u00e9nea sobre un punto exterior es \u00fatil notar que se vuelve a producir una semejanza de tri\u00e1ngulos, tal como indica el dibujo. Se puede deducir de ello que el arco m\u00e1s lejano atrae con la misma fuerza que el m\u00e1s cercano. Sin embargo, a\u00fan quedar\u00eda algo de trabajo por hacer hasta poder deducir, como hizo Newton, que la atracci\u00f3n neta de la esfera homog\u00e9nea sobre un punto exterior es equivalente a la que producir\u00eda toda la masa de la esfera as\u00ed estuviera concentrada en su centro.<\/p>\n\n\n\n

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P\u00e1gina de la edici\u00f3n en espa\u00f1ol de los Principia de Newton donde discute la atracci\u00f3n dentro de una esfera homog\u00e9nea (Tecnos 2011<\/em>).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

El universo confinado en un c\u00edrculo<\/h2>\n\n\n\n

Al comienzo de este post<\/em> hemos mencionado, y apelado, al Postulado de la Paralelas, uno de los axiomas sobre los que se fundamenta la Geometr\u00eda plana cl\u00e1sica. Una caracter\u00edstica com\u00fan de los sistemas axiom\u00e1ticos en Matem\u00e1ticas es tratar de ser lo m\u00e1s escuetos posible: si algo puede deducirse de principios m\u00e1s b\u00e1sicos, no debe estar en la lista de axiomas. Durante mucho tiempo se pens\u00f3 que el Postulado de la Paralelas era demasiado complicado para ser un principio fundamental y deb\u00eda de ser consecuencia de los otros axiomas. Sin embargo, en el siglo XIX varios matem\u00e1ticos llegaron a la conclusi\u00f3n de que era indispensable porque existen \u00abgeometr\u00edas planas\u00bb diferentes de la eucl\u00eddea que cumplen todos los axiomas menos el Postulado de las Paralelas. \u00bfC\u00f3mo es posible tener otras geometr\u00edas planas<\/em>? Realmente, lo que llamamos geometr\u00eda plana no son los dibujos con los que ilustramos los resultados, sino dos conjuntos de objetos, \u00abpuntos\u00bb y \u00abrectas\u00bb, que satisfacen unas ciertas relaciones de incidencia descritas por los axiomas. En principio, los \u00abpuntos\u00bb no tienen por qu\u00e9 parecer puntos, ni las \u00abrectas\u00bb parecer rectas.<\/p>\n\n\n\n

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Libro fundamental, nunca mejor dicho, para la Geometr\u00eda y el M\u00e9todo Axiom\u00e1tico en Matem\u00e1ticas, edici\u00f3n en espa\u00f1ol del CSIC 1991.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Un descubrimiento notable del siglo XVII, la llamada Geometr\u00eda Proyectiva<\/a><\/em>, que encuentra sus ra\u00edces en el estudio renacentista de la perspectiva en dibujo y pintura. En Geometr\u00eda Proyectiva plana no existen las paralelas: dos rectas diferentes siempre se cortan en un \u00fanico punto, al igual que por dos puntos diferentes pasa una \u00fanica recta. Los axiomas de la Geometr\u00eda Proyectiva son sim\u00e9tricos respecto al papel que juegan puntos y rectas, de tal manera, que si uno demuestra un resultado y despu\u00e9s cambia en su enunciado puntos por rectas y rectas por puntos, el enunciado resultante ser\u00e1 autom\u00e1ticamente cierto. En otras palabras, si tratando de interpretar un teorema de Geometr\u00eda Proyectiva de un libro escrito en sueco<\/em>, confundimos puntos con rectas y viceversa en el texto, no lo notaremos. Sin embargo, no es la Geometr\u00eda Proyectiva nuestro objetivo, ya que en ella no hay ni m\u00e9trica ni \u00e1ngulos, ni mucho menos, paralelismo. <\/p>\n\n\n\n

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Ejemplo de resultados duales en Geometr\u00eda Proyectiva plana (F. Enriques, Lecciones de Geometr\u00eda Proyectiva, EEE Madrid 1946). Quien desee saber como sigue el enunciado (y la prueba) puede verlo aqu\u00ed<\/a>.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Carl F. Gauss<\/a><\/em>, Janos Bolyai<\/em> y Nikolai Lobachevski<\/em> descubrieron de manera independiente la Geometr\u00eda Hiperb\u00f3lica<\/a><\/em>, Gauss antes que los otros dos, aunque no lo public\u00f3. En la Geometr\u00eda Hiperb\u00f3lica hay distancias y \u00e1ngulos, pero no se cumple el Postulado de las Paralelas. Una forma relativamente sencilla de construir un modelo del plano hiperb\u00f3lico es la siguiente: tomemos un c\u00edrculo al que llamaremos \u00abdisco\u00bb, los puntos interiores del disco ser\u00e1n los puntos del plano hiperb\u00f3lico y los arcos de circunferencia contenidos en el disco y perpendiculares a su frontera ser\u00e1n las \u00abrectas\u00bb del plano hiperb\u00f3lico. Hay otras construcciones, pero la que acabamos de describir es la que m\u00e1s ha inspirado al artista neerland\u00e9s M. C. Escher<\/a><\/em>. <\/p>\n\n\n\n

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\u00c1ngeles y Demonios, no de Dan Brown, sino de Escher, teselando el plano hiperb\u00f3lico. <\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

El siguiente dibujo (abajo) muestra una \u00abtriangulaci\u00f3n\u00bb del plano hiperb\u00f3lico. Realmente cada supuesto tri\u00e1ngulo est\u00e1 delimitado por tres rectas y todas las rectas que aparecen son mutuamente paralelas: en efecto, son arcos de circunferencia perpendiculares a la frontera del disco y que no se cortan en el interior. A pesar de ser el disco un objeto limitado para nuestra intuici\u00f3n eucl\u00eddea, cada tri\u00e1ngulo es infinito (desde el punto de vista hiperb\u00f3lico) y se requiere, adem\u00e1s, un n\u00famero infinito de tri\u00e1ngulos para rellenarlo. Se oye entre mis lectores una voz que dice: – \u00a1Normal! Si cada vez son m\u00e1s peque\u00f1os…<\/em>-. Pero, insisto, eso vuelve a ser nuestra intuici\u00f3n eucl\u00eddea tratando de orientarse en un universo que no es el suyo. <\/p>\n\n\n\n

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\u00abTriangulaci\u00f3n\u00bb del plano hiperb\u00f3lico representado como un disco.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

De hecho, todos esos tri\u00e1ngulos tienen las mismas dimensiones y son sim\u00e9tricos unos de otros desde el punto de vista de la Geometr\u00eda Hiperb\u00f3lica. Esta simetr\u00eda hiperb\u00f3lica se puede llevar a cabo mediante una operaci\u00f3n eucl\u00eddea llamada \u201cinversi\u00f3n<\/a><\/em>\u201d. Dada una circunferencia de radio r<\/strong>, el inverso respecto a ella de un punto P<\/strong> distinto del centro O<\/strong>, es otro punto P*<\/strong> situado en el mismo radio (O<\/strong>, P<\/strong>, P*<\/strong> est\u00e1n alineados y O<\/strong> no est\u00e1 entre los otros dos) tal que el producto de OP<\/strong> por OP*<\/strong> es r2<\/sup><\/strong>. Como el inverso de P*<\/strong> es, a su vez, P<\/strong> decimos que P<\/strong> y P*<\/strong> son sim\u00e9tricos<\/em> entre s\u00ed respecto a la circunferencia. En el caso que nos ocupa del disco hiperb\u00f3lico, cada par de tri\u00e1ngulos contiguos puede ser llevado el uno en el otro mediante una inversi\u00f3n respecto a la circunferencia cuyo arco comparten como lado. Asombrosamente, el disco se aplica en s\u00ed mismo por la inversi\u00f3n. La clave de esto est\u00e1 en un dibujo, que apareci\u00f3 hace rato, completado con otra circunferencia.<\/p>\n\n\n\n

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Respecto a la circunferencia mayor, los puntos A y B’ son sim\u00e9tricos. Tambi\u00e9n los puntos B y A’, y todos los puntos de la circunferencia menor agrupados convenientemente por pares. El motivo es la constancia del producto de distancias a O que se deduce de la semejanza de los tri\u00e1ngulos AOB y A’OB’.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

La triangulaci\u00f3n mostrada en el dibujo del disco hiperb\u00f3lico tiene una peculiaridad. Imaginemos que en cada lado separando dos tri\u00e1ngulos se abre una puerta que permite ir de un tri\u00e1ngulo al otro. Ahora, supongamos que partiendo de cierto tri\u00e1ngulo, hemos hecho un viaje cruzando un buen n\u00famero de puertas sin volver atr\u00e1s. Pues bien, si queremos volver al punto de partida la \u00fanica forma de hacerlo es desandar el recorrido realizado. Debido a que la inversi\u00f3n, ligeramente modificada, es una funci\u00f3n compleja holomorfa<\/a><\/em> (no quiero dar definiciones excesivamente t\u00e9cnicas), la triangulaci\u00f3n hiperb\u00f3lica es la clave de un profundo teorema de \u00c9. Picard<\/a><\/em>: una funci\u00f3n holomorfa no constante definida en el plano complejo toma todos los valores, excepto posiblemente uno. La idea de esta prueba consiste en suponer que deja de tomar dos valores, lo que permitir\u00eda, sabiendo algo m\u00e1s de An\u00e1lisis Complejo<\/a>, almacenar convenientemente todos sus valores en los tri\u00e1ngulos del plano hiperb\u00f3lico para convertirla, moment\u00e1neamente, en una funci\u00f3n inyectiva<\/em>. Hay otras pruebas del teorema de Picard, pero carecen de la belleza caleidosc\u00f3pica del plano hiperb\u00f3lico.<\/p>\n\n\n\n

La frontera met\u00e1lica de Mr. Green<\/h2>\n\n\n\n

La fuerza entre cargas el\u00e9ctricas, al igual que la gravedad, tambi\u00e9n responde a la ley del inverso del cuadrado de la distancia. Sin embargo, hay varias diferencias. Una de ellas es que la fuerza puede ser repulsiva o atractiva dependiendo del signo de las cargas. Una determinada distribuci\u00f3n de cargas el\u00e9ctricas se manifiesta en cualquier punto del espacio como un efecto (fuerza) sobre una carga test que se sit\u00fae sobre dicho punto. Este noci\u00f3n recibe el nombre de campo el\u00e9ctrico<\/a><\/em> y se puede abordar matem\u00e1ticamente por medio de una funci\u00f3n llamada potencial<\/a><\/em>. Dada una distribuci\u00f3n de cargas, se puede hallar el potencial que genera usando una integral<\/em> de volumen<\/em>. Y, a su vez, dado el potencial se puede recuperar la densidad de carga por medio de la llamada ecuaci\u00f3n de Poisson<\/a><\/em>.<\/p>\n\n\n\n

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La ecuaci\u00f3n de Poisson al estilo matem\u00e1tico contiene el signo menos y 4pi, pero no contiene la constante de permitividad del vac\u00edo (que alegremente suponemos igual a 1). Los f\u00edsicos suelen evitar las dos primeras en la propia definici\u00f3n del potencial.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Pero otra de las diferencias que el campo el\u00e9ctrico tiene respecto al gravitatorio es la existencia de los llamados \u201cconductores<\/em>\u201d. Se trata de materiales por los que las cargas se pueden mover libremente, de manera que el potencial en ellos es siempre constante al poco de situarlos en un campo el\u00e9ctrico est\u00e1tico. Esto se traduce en que las cargas se sit\u00faan en la superficie del conductor: la ecuaci\u00f3n de Poisson arroja valor cero para la densidad de carga en el interior. Es m\u00e1s interesante conocer la funci\u00f3n potencial en el espacio libre de conductores y cargas al que llamaremos dominio<\/em>. Tratar de conocer el potencial a partir de la ecuaci\u00f3n diferencial que satisface y el valor que toma en la frontera de su dominio, se conoce como Problema de Dirichlet<\/em><\/a>. <\/p>\n\n\n\n

\"\"
Efecto del campo el\u00e9ctrico sobre cuerpos conductores, ilustraci\u00f3n de G. Bruhat – \u00c9lectricit\u00e9, Masson, Paris 1956. Las l\u00edneas de campo son perpendiculares a los conductores por su superficie tiene potencial constante.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Del Problema de Dirichlet se sabe que tiene soluci\u00f3n \u00fanica, cuando la tiene. Pero no se sabe si tiene soluci\u00f3n en general, si bien los matem\u00e1ticos no han cesado en su empe\u00f1o de resolverlo. George Green<\/a><\/em> propuso una f\u00f3rmula que solamente requer\u00eda determinar una funci\u00f3n dependiente del dominio (llamada funci\u00f3n de Green en su honor) con ciertas propiedades especiales. Para construirla, era preciso demostrar que el campo producido por una carga en el interior del dominio coincide en la frontera del dominio con otro campo producido por cargas fuera del dominio. Green tuvo la siguiente idea: supongamos que la frontera del dominio es un conductor, en cuyo caso las cargas se mover\u00e1n por la frontera para compensar el campo producido por la carga puntual. As\u00ed, el campo sobre la frontera ser\u00e1 constante, y si se conecta a una toma de tierra<\/em>, se puede hacer la constante igual a cero. De esta manera, \u00abgalvanizando\u00bb el conjunto y con ayuda de cables, estableci\u00f3 Green la resolubilidad del problema de Dirichlet.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Enunciado del Problema de Dirichlet en el espacio.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Naturalmente, el rigor de las Matem\u00e1ticas tal como las entendemos ahora no admite el razonamiento de Green: no se puede probar un teorema de Geometr\u00eda bas\u00e1ndose en que los tri\u00e1ngulos est\u00e1n hechos de madera<\/em>, por ejemplo. El propio Dirichlet <\/a>err\u00f3 en sus razonamientos al apelar a la intuici\u00f3n f\u00edsica. Dirichlet formul\u00f3 el problema en t\u00e9rminos equivalentes a la minimizaci\u00f3n de cierta cantidad interpretable como una energ\u00eda, el as\u00ed llamado Principio de Dirichlet<\/a><\/em>. Si bien la Naturaleza es un ejemplo de sostenibilidad porque se rige por principios de m\u00ednima energ\u00eda, el razonamiento tampoco es admisible como Karl Weierstrass<\/a><\/em> se\u00f1al\u00f3, afe\u00e1ndole la conducta al mism\u00edsimo Bernhard Riemann<\/a><\/em>. Los m\u00e9todos desarrollados por los matem\u00e1ticos de finales del siglo XIX para eliminar la heur\u00edstica f\u00edsica de las pruebas de existencia de soluciones dieron lugar al An\u00e1lisis Funcional<\/a><\/em>.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Las l\u00ednea desde cada punto de la circunferencia a B (azul) miden el doble que la correspondiente l\u00ednea hacia A (roja).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Para acabar este post<\/em> volveremos a la Geometr\u00eda elemental con la que comenzamos viendo como se puede utilizar para resolver el problema de Dirichlet para el c\u00edrculo, o la esfera, dependiendo de las dimensiones. No escribiremos la f\u00f3rmula de Green, que no viene al caso, sino que veremos como evitar el \u00abrazonamiento el\u00e9ctrico\u00bb. Asumamos que el efecto de la carga es inversamente proporcional a la distancia (no es el caso de la fuerza, pero s\u00ed el del potencial en tres dimensiones). Si dos puntos A<\/strong> y B<\/strong> son sim\u00e9tricos respecto a una circunferencia, ocurre una curiosa propiedad: desde cada punto de la circunferencia las distancias a A<\/strong> y B<\/strong> guardan una misma relaci\u00f3n constante. En el dibujo, el cociente de distancias a B<\/strong> entre las distancias a A<\/strong> es 2. Eso implica, en particular, que si en A<\/strong> hubiera una carga el\u00e9ctrica, su efecto sobre los puntos de la circunferencia ser\u00eda el mismo que si situamos el doble de carga sobre B<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
No dar\u00e9 la prueba del \u00faltimo argumento empleado… pero quien quiera detalles podr\u00e1 encontrarla en este excelente libro, ya cl\u00e1sico, de Pedro Puig Adam <\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Conclusi\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n

Con este post<\/em> he querido mostrar la unidad de las Matem\u00e1ticas y su continuidad en el tiempo. Resultados relativamente modernos como el Teorema de Picard o la soluci\u00f3n del Problema de Dirichlet para el c\u00edrculo entroncan directamente con las propiedades m\u00e9tricas de las circunferencias que estudiaba Euclides dos milenios antes. Circunferencias y esferas siguen estando en el centro de las Matem\u00e1ticas. No en vano, las \u00faltimas palabras de Arqu\u00edmedes antes de que un soldado romano le quitara la vida (para disgusto de Marcelo<\/a><\/em>, todo hay que decirlo) fueron: Noli turbare circulos meos!<\/em> (\u00a1No toqu\u00e9is mis c\u00edrculos!).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Hoy voy a hacer \u201cdivulgaci\u00f3n matem\u00e1tica\u201d. En particular, hablar\u00e9 de circunferencias y esferas, en el sentido m\u00e1s eucl\u00eddeo de la palabra. El detonante de esta ocurrencia ha sido el v\u00eddeo que me envi\u00f3 mi querido amigo Luis Arrufat por WhatsApp, que podr\u00e9is ver a continuaci\u00f3n (el v\u00eddeo est\u00e1 incrustado en la p\u00e1gina, en caso de … Continuar leyendo \u00abCircunferencias y esferas\u00bb<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[12],"tags":[],"class_list":["post-1991","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematicas"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p9XVBt-w7","jetpack-related-posts":[{"id":4395,"url":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=4395","url_meta":{"origin":1991,"position":0},"title":"El Sistema Solar","author":"Mat\u00edas Raja Ba\u00f1o","date":"marzo 11, 2023","format":false,"excerpt":"Imagen toda de un viejo libro de texto, explicaci\u00f3n al final. 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