{"id":1791,"date":"2022-05-07T13:21:22","date_gmt":"2022-05-07T11:21:22","guid":{"rendered":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=1791"},"modified":"2023-12-18T13:11:35","modified_gmt":"2023-12-18T11:11:35","slug":"elipse","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matiasraja.es\/?p=1791","title":{"rendered":"Elipse"},"content":{"rendered":"\n

\u00a1Qu\u00e9 no cunda el p\u00e1nico! No voy a dar una lecci\u00f3n sobre la elipse<\/em> partiendo de cero. Para eso ya est\u00e1 la Wikipedia<\/a> e innumerables blogs did\u00e1cticos. Este post<\/em> ser\u00e1 s\u00f3lo una reflexi\u00f3n sobre esta curva cl\u00e1sica, en el que contar\u00e9 algunas curiosidades. Una cosa… si esto fuera una conferencia con un p\u00fablico con el que pudiera interactuar (en tiempo real), a\u00f1adir\u00eda detalles que aqu\u00ed he omitido de manera deliberada. Espero que estas ausencias no sean un problema para el lector que sepa leer entre l\u00edneas.<\/p>\n\n\n\n

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Enciclopedia de Grado Medio de la editorial Dalmau Carles Pla (Gerona 1950) en la que estudi\u00f3 mi padre. El dibujo de la izquierda ilustra la definici\u00f3n m\u00e9trica de la elipse.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

La elipse y yo<\/h2>\n\n\n\n

Es un hecho com\u00fanmente aceptado que los libros de texto escolares van reduciendo su contenido (y aumentando su precio) a\u00f1o tras a\u00f1o. Esto ya deb\u00eda de ser cierto hace por lo menos cuatro d\u00e9cadas porque los libros de mis hermanos, que son mayores que yo, o incluso los de mi padre, parec\u00edan m\u00e1s interesantes que los m\u00edos (hablaremos alg\u00fan d\u00eda de esta man\u00eda de privar de informaci\u00f3n a los ni\u00f1os en el c\u00e9nit de su curiosidad). Con esos libros abandonados por sus usuarios que recuper\u00e9 del trastero mont\u00e9 mi \u00abprimera biblioteca\u00bb en El Ca\u00f1arico, en la que pasaba largas horas hoje\u00e1ndolos. En esos libros supe por primera vez de la elipse<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Aprend\u00ed que la elipse, junto con la par\u00e1bola<\/em>, la hip\u00e9rbola<\/em> y la circunferencia (realmente un caso particular de la elipse), son las llamadas curvas c\u00f3nicas<\/em> porque se obtienen como secciones de un cono (de revoluci\u00f3n). Esto lo sab\u00eda Apolonio de Perga<\/a><\/em> en el s. III de nuestra era, pero a m\u00ed me resultaba muy extra\u00f1o… \u00bfC\u00f3mo es posible que un corte oblicuo del cono sea una curva con dos l\u00edneas de simetr\u00eda (una de ellas es evidente) en lugar de una figura ovoide<\/em>? S\u00f3lo hab\u00eda una forma de comprobarlo… cortar un cono.<\/p>\n\n\n\n

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Exin Castillos, foto tomada de Wikipedia.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Y as\u00ed hice. Cort\u00e9 con un serrucho uno de los tejados c\u00f3nicos que cubren las almenas de un popular juego<\/a> de construcci\u00f3n de castillos en los a\u00f1os 70. Aparte de destrozar una pieza que ahora ser\u00eda bastante valiosa entre los coleccionistas frikis<\/em>, el experimento no me convenci\u00f3 mucho. Podr\u00eda haber \u00abseccionado\u00bb m\u00e1s c\u00f3modamente el cono proyectando oblicuamente el haz de luz de una linterna en sobre una pared. A\u00f1os despu\u00e9s aprend\u00ed como hacer eso mismo con Geometr\u00eda Anal\u00edtica, que reduce los objetos geom\u00e9tricos elementales a ecuaciones algebraicas<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

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Esquema del argumento de Dandelin, tomado de Courant-Robins \u00bfQu\u00e9 es la Matem\u00e1tica? (Aguilar 1979)<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Si pudiera viajar al pasado, le contar\u00eda a mi joven yo el argumento de Dandelin<\/a><\/em>, la elegante demostraci\u00f3n con Geometr\u00eda elemental de que la secci\u00f3n oblicua (pero no m\u00e1s oblicua que la generatriz<\/em>) de un cono de revoluci\u00f3n satisface la definici\u00f3n m\u00e9trica de la elipse. Los focos<\/em> resultan ser los puntos donde dos esferas adecuadas tocan el plano (mejor dicho, son tangentes<\/em>) que realiza la secci\u00f3n. Todo lo que hay que saber es que si desde un punto se traza una recta tangente a una esfera, la distancia al punto de tangencia no depende la recta escogida. El argumento se puede adaptar igualmente a la hip\u00e9rbola y la par\u00e1bola, por lo que Germinal P. Dandelin alcanz\u00f3 la gloria redemostrando hechos conocidos durante m\u00e1s de 1500 a\u00f1os.<\/p>\n\n\n\n

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Ilustraci\u00f3n del libro \u00abAlgebra lineal y algunas de sus aplicaciones\u00bb de L.I. Golovina (MIR 1983) que muestra los efectos de una transformaci\u00f3n af\u00edn consistente en un acortamiento horizontal (x 1\/3) y un alargamiento vertical (x 2). As\u00ed podemos convertir un cocodrilo en un monstruo de Dungeons and Dragons<\/em>.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Despu\u00e9s de haber estudiado matem\u00e1ticas tantos a\u00f1os me sigo sorprendiendo con algunas cosas. Por ejemplo, el hecho elemental de que aplicando a la circunferencia una transformaci\u00f3n af\u00ed<\/em>n<\/a> siempre se obtenga una elipse. \u00bfQu\u00e9 tiene esto de sorprendente? Me explico. Una transformaci\u00f3n af\u00edn deforma el plano seg\u00fan dos direcciones no necesariamente perpendiculares, estropeando distancias y \u00e1ngulos (un cuadrado puede transformarse en cualquier paralelogramo). Sin embargo, aplicada la transformaci\u00f3n af\u00edn a una circunferencia, el resultado es siempre una elipse, con sus dos ejes perpendiculares y sus notables propiedad m\u00e9tricas. M\u00e1s a\u00fan, esto que acabo de decir es s\u00f3lo un caso particular de que cualquier forma cuadr\u00e1tica<\/em> puede expresarse can\u00f3nicamente<\/em> (\u00fanicamente combinaciones lineales de cuadrados de las variables) mediante una transformaci\u00f3n ortogonal<\/em> en cualquier<\/a> dimensi\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

El mec\u00e1nico celeste<\/h2>\n\n\n\n

El paso del sistema geoc\u00e9ntrico<\/em> de Ptolomeo al helioc\u00e9ntrico<\/em> de Cop\u00e9rnico no s\u00f3lo simplific\u00f3 la comprensi\u00f3n de la din\u00e1mica planetaria, sino que tambi\u00e9n marc\u00f3 el momento en el que Ciencia y Religi\u00f3n deb\u00edan tomar caminos diferentes (es bien sabido que el \u00abdivorcio\u00bb se llev\u00f3 unos a\u00f1os: eppur si muove<\/a><\/em>). En el sistema de Cop\u00e9rnico los planetas giraban alrededor del sol el \u00f3rbitas circulares. Johannes Kepler<\/a> estudi\u00f3 los datos recopilados minuciosamente por Tycho Brahe<\/a> y lleg\u00f3 a la conclusi\u00f3n de que las \u00f3rbitas de los planetas realmente son el\u00edpticas y el sol ocupa uno de los focos. Esta es la primera ley de Kepler. La segunda ley describe la variaci\u00f3n de la velocidad para un planeta en su \u00f3rbita el\u00edptica, y la tercera relaciona la duraci\u00f3n del \u00aba\u00f1o\u00bb para dos planetas diferentes en funci\u00f3n del tama\u00f1o de la \u00f3rbita.<\/p>\n\n\n\n

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Posiblemente el libro m\u00e1s importante de la historia de la Ciencia (edici\u00f3n en espa\u00f1ol, Tecnos 2011)… puesto disputado con \u00abEl origen de las especies\u00bb de Darwin.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Isaac Newton<\/a> invent\u00f3 el C\u00e1lculo Infinitesimal (derivadas, integrales, series de potencias, ecuaciones diferenciales…), descubri\u00f3 las Leyes de la Mec\u00e1nica, descubri\u00f3 la Ley de Gravitaci\u00f3n Universal explicando el funcionamiento del sistema solar, descompuso la luz explicando as\u00ed los colores y la formaci\u00f3n del arco iris, construy\u00f3 el telescopio reflector tal como se usa hoy d\u00eda en los grandes observatorios y en el Hubble<\/a><\/em>… Nunca se ha contribuido m\u00e1s a la Ciencia (ni a la Humanidad) trabajando en solitario entre cuatro paredes. A\u00fan as\u00ed, de vez en cuando aparece alg\u00fan \u00abiluminado\u00bb de la autoayuda diciendo que todos podemos ser genios<\/a>, que tenemos el mismo potencial y que desarrollarlo es cuesti\u00f3n de motivaci\u00f3n… bullshit!<\/em><\/p>\n\n\n\n

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Parte de Los Principios Matem\u00e1ticos de Filosof\u00eda Natural donde Newton trata la relaci\u00f3n entre la ley del inverso del cuadrado de la distancia y las \u00f3rbitas seg\u00fan curvas c\u00f3nicas.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Un d\u00eda de agosto de 1684, Edmund Halley<\/a> (el dude<\/em> del cometa) le pregunt\u00f3 a Newton c\u00f3mo ser\u00edan las trayectorias de los planetas si estos fueran atra\u00eddos por el sol con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Newton le dio la soluci\u00f3n al instante: elipses. Asombrado, Halley le pregunt\u00f3 la raz\u00f3n para ello. Newton le dijo simplemente \u00ablo he calculado\u00bb. Newton sab\u00eda todo eso, y m\u00e1s, desde 1666. Hoy conocemos que uno de los motivos por los que Newton fue tan prudente, por as\u00ed decirlo, es que estaba intentando resolver el problema de la atracci\u00f3n gravitatoria entre esferas s\u00f3lidas (y no masas puntuales) que es lo que son, aproximadamente, los grandes astros. Halley insisti\u00f3 a Newton para que publicara sus descubrimientos y lleg\u00f3 a financiar de su bolsillo la edici\u00f3n de los \u00abPhilosophi\u00e6 naturalis principia mathematica<\/em><\/a>\u00bb (el lat\u00edn era la lengua cient\u00edfica, como hoy d\u00eda lo es el ingl\u00e9s).<\/p>\n\n\n\n

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L\u00e1pida bajo la que reposan los resto de Newton, en la Abad\u00eda de Westminster. Cerca de Newton est\u00e1n otros f\u00edsicos como Lord Kelvin, James C. Maxwell, Paul Dirac y Stephen Hawking. A poca distancia est\u00e1 tambi\u00e9n Charles Darwin, que debe aburrirse mucho con sus vecinos.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

La imaginer\u00eda popular representa a Newton bajo un manzano contemplando la ca\u00edda de la fruta o, peor a\u00fan, siendo golpeado por ella. La grandeza de Newton consiste en haberse dado cuenta que la fuerza que hace caer la manzana es la misma que mantiene \u00abatada\u00bb la Luna alrededor de la Tierra; que la Luna traza una \u00f3rbita cerrada alrededor de la Tierra porque est\u00e1 \u00abcontinuamente cayendo\u00bb sobre ella; que lo mismo ocurre con la Tierra y los otros planetas que giran alrededor del sol; y que la gravedad es la fuerza que mueve la m\u00e1quinaria del universo, m\u00e1s all\u00e1 de donde puede llegar a mirar con su telescopio reflector.<\/p>\n\n\n\n

La lecci\u00f3n perdida de Feynman<\/h2>\n\n\n\n

Hacia el final de La Novena Puerta<\/a><\/em>, adaptaci\u00f3n cinematogr\u00e1fica del Club Dumas<\/em> de Arturo P\u00e9rez Reverte, el protagonista, interpretado por Johnny Depp, regresa al establecimiento de los hermanos Ceniza en Toledo. All\u00ed se encuentra con unos obreros que est\u00e1n desmontando el local y, mientras estos mueven un pesado armario, una l\u00e1mina vuela suavemente desde lo alto del mueble hasta sus pies: se trata de la p\u00e1gina (con un grabado) que completa el libro por el que Boris Balkan (el villano de la historia) ha estado matando a lo largo de la pel\u00edcula (spoiler<\/em>, sorry<\/em>). <\/p>\n\n\n\n

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Portada de mi ejemplar de \u00abFeynman’s lost lecture\u00bb, por D.L. Goodstein y J.R. Goodstein.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

M\u00e1s o menos, as\u00ed podr\u00eda haber ocurrido, cuando Judith R. Goodstein entr\u00f3 en el despacho de Robert B. Leighton, profesor retirado de Caltech, mientras estaban desalojando sus cosas para reutilizar el espacio: apareci\u00f3 una carpeta polvorienta que conten\u00eda la lecci\u00f3n perdida de Feynman<\/a><\/em>. Leighton, junto con Matthew Sands, hab\u00eda sido el encargado de transcribir las lecciones de F\u00edsica que Richard Feynman<\/a> imparti\u00f3 en Caltech entre 1961 y 1963, y que dieron lugar a una aclamada obra muy usada en primeros cursos universitarios. Esa lecci\u00f3n extraviada de Feynman, que no hab\u00eda sido incluida en el libro, trataba sobre las \u00f3rbitas de los planetas.<\/p>\n\n\n\n

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Edici\u00f3n conmemorativa de \u00abThe Feynman Lectures on Physics\u00bb, o la manera de conciliar el amor a la Ciencia con la bibliofilia.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

La manera moderna de resolver el problema de las \u00f3rbitas planetarias consiste en escribir las ecuaciones del movimiento en coordenadas polares (las leyes de conservaci\u00f3n<\/em> ayudan en esta tarea), cambiar la variable r<\/em> (distancia al origen de la fuerza) por 1\/r<\/em> y observar como la ecuaci\u00f3n, salvo una constante es la del oscilador arm\u00f3nico<\/a><\/em>. La Geometr\u00eda Anal\u00edtica nos permite identificar ah\u00ed la elipse en t\u00e9rminos de las coordenadas polares. El problema real, con dos masas, es m\u00e1s complicado porque ambas se mueven, pero puede ser reducido con un truco matem\u00e1tico a una sola masa atra\u00edda desde un punto inm\u00f3vil. Sin embargo, la introducci\u00f3n de una tercera masa complica infinitamente<\/em> el sistema (problema de los tres cuerpos<\/a><\/em>).<\/p>\n\n\n\n

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Uno de los dibujos del libro \u00abFeynman’s lost lecture\u00bb.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Curiosamente, Feynman aborda el problema de las \u00f3rbitas de los planetas siguiendo los pasos de Newton, con Geometr\u00eda a la antigua usanza. Pero Feynman, al igual que Newton, era un genio y aport\u00f3 su original visi\u00f3n a la demostraci\u00f3n de la primera ley de Kepler. En lugar de estudiar \u00fanicamente la trayectoria del planeta (elipse), traz\u00f3 el diagrama vectorial de las velocidades <\/em>demostrando que estas se sit\u00faan sobre una circunferencia, pero parten de un punto entre el centro y el borde de \u00e9sta. La trayectoria del planeta se recupera como la envolvente<\/a><\/em> de una familia de rectas que ilustran la propiedad de que cualquier tangente a la elipse forma \u00e1ngulos iguales con los dos segmentos que parten del punto de tangencia a los focos. No es mi intenci\u00f3n entrar en detalles aqu\u00ed, pero se puede decir que hay, en c\u00f3mo argumenta aqu\u00ed Feynman, una cierta reminiscencia de las ideas con las ideas que \u00e9l mismo expone (o trata de exponer) de manera elemental la Electrodin\u00e1mica Cu\u00e1ntica<\/a><\/em>, teor\u00eda por la que obtuvo el Nobel en 1965.<\/p>\n\n\n\n

En ocasiones veo elipses<\/h2>\n\n\n\n

La relaci\u00f3n geom\u00e9trica entre la circunferencia y la elipse empleada por Feynman puede ser usada para obtener elipses como experimento casero<\/em>. Tome un disco circular de papel, marque un punto que no sea el centro ni est\u00e9 en el borde y doble el papel de manera que el borde del disco se sit\u00fae sobre el punto marcado. Esto se puede hacer de infinitas maneras, pero bastan unos cuantos dobleces bien repartidos para que la elipse comience a aparecer como envolvente de estos. El centro de la circunferencia y el punto marcado ser\u00e1n los focos de la elipse as\u00ed obtenida.<\/p>\n\n\n\n

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Experimento casero para obtener un elipse como envolvente de l\u00edneas dadas por dobleces en el papel. Est\u00e1n marcados el centro de la circunferencia y el punto elegido. Tiempo de realizaci\u00f3n (incluyendo cortar el disco) 5 minutos.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Pero aunque no las busque en libros o las fabrique en papel, no puedo evitar seguir viendo elipses cuando salgo a la calle. Las veo incluso en la charcuter\u00eda<\/em>: los chorizos o salchichones de grandes dimensiones son aproximadamente cil\u00edndricos, y cortados al bies producen sabrosas elipses. El argumento de Dandelin es mucho m\u00e1s sencillo de seguir para una secci\u00f3n cil\u00edndrica (animo al lector a que lo haga) mientras disfruta un buen bocadillo de salchich\u00f3n ib\u00e9rico. <\/p>\n\n\n\n

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Secci\u00f3n el\u00edptica producida en un salchich\u00f3n ib\u00e9rico (foto de Internet).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Tambi\u00e9n, en un d\u00eda soleado (o con una fuente de luz puntual), sobre una chapa de acero inoxidable ara\u00f1ada aleatoriamente o el cap\u00f3 de un coche con la pintura gastada por el tiempo, los ara\u00f1azos iluminados forman patrones el\u00edpticos. La explicaci\u00f3n es sencilla conociendo algunos conceptos: los ara\u00f1azos que se iluminan son los que est\u00e1n contenidos en planos que son tangentes a alg\u00fan elipsoide<\/a><\/em> cuyos focos son la fuente luminosa y nuestro ojo. Las elipses formadas como envolventes de ara\u00f1azos iluminados resultan ser la intersecci\u00f3n de la superficie (ara\u00f1ada) con la familia de elipsoides confocales<\/em> mencionada (prometo escribir en alg\u00fan momento las cuentas para mis colegas de profesi\u00f3n).<\/p>\n\n\n\n

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Reflejo con ara\u00f1azos en una chapa de acero inoxidable (foto de Internet hasta que pueda hacer una suficientemente buena del cap\u00f3 de mi coche).<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

La propiedad de reflexi\u00f3n de la elipse, o el elipsoide, respecto a los focos no solamente ocurre para la luz, sino tambi\u00e9n para el sonido<\/em>. Existen varios lugares en el mundo donde se puede experimentar un curioso fen\u00f3meno: dos personas en lugares opuestos de una espaciosa sala llena de gente relativamente ruidosa pueden conversar entre ellos en susurros hablando y escuchando a la pared. Uno de esos lugares es la Sala de los Secretos <\/em>de la Alhambra de Granada<\/em>, pero hay m\u00e1s como puede consultar aqu\u00ed<\/a>. La b\u00f3veda elipsoidal, no s\u00f3lo permite la adecuada reflexi\u00f3n del sonido, sino que adem\u00e1s los diferentes trayectos de las ondas tienen la misma longitud. Esto contribuye a que el sonido no se distorsione. El paraboloide de revoluci\u00f3n<\/a><\/em> es esencialmente un elipsoide con un foco infinitamente alejado, por lo que goza de propiedades similares para: la luz (espejos c\u00f3ncavos, faros hal\u00f3genos), otras ondas electromagn\u00e9ticas (antenas parab\u00f3licas) y ondas sonoras (micr\u00f3fonos de escucha a larga distancia de los esp\u00edas<\/em>).<\/p>\n\n\n\n

Para acabar, har\u00e9 una peque\u00f1a menci\u00f3n a la Geometr\u00eda de los espacios de Banach, mi tema de investigaci\u00f3n<\/a> en Matem\u00e1ticas. Un cubo (hexaedro) cortado de manera conveniente, produce un hex\u00e1gono regular. Todos podemos estar de acuerdo en que un hex\u00e1gono regular est\u00e1 m\u00e1s cerca de ser \u00abredondo\u00bb que un cubo. Si \u00abcort\u00e1ramos\u00bb con un plano un cubo en cuatro o m\u00e1s dimensiones (esto es dif\u00edcil de imaginar, lo reconozco) podr\u00edamos obtener un poliedro regular con m\u00e1s lados que aproxima mejor a la circunferencia. El matem\u00e1tico israel\u00ed A. Dvoretzky<\/a> demostr\u00f3 en 1961 que un cuerpo convexo sim\u00e9trico en espacio n<\/em>-dimensional al ser cortado aleatoriamente por un plano que pase por su centro producir\u00e1 con una probabilidad alta elipses aproximadas, siendo m\u00e1s aproximadas y la probabilidad m\u00e1s alta a medida que la dimensi\u00f3n n<\/em> crece.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

\u00a1Qu\u00e9 no cunda el p\u00e1nico! No voy a dar una lecci\u00f3n sobre la elipse partiendo de cero. Para eso ya est\u00e1 la Wikipedia e innumerables blogs did\u00e1cticos. Este post ser\u00e1 s\u00f3lo una reflexi\u00f3n sobre esta curva cl\u00e1sica, en el que contar\u00e9 algunas curiosidades. 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